CN114268093B - 高斯泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了高斯泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法，考虑随机激励与跳跃激励对电力系统的影响，提出基于高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的电力系统带跳随机动态模型；利用梯形公式对EM(Euler‑Maruyama)数值方法进行改进，构造Heun算法求解电力系统带跳随机动态模型；最后通过采用对比分析不同激励强度下高斯白噪声和泊松白噪声对电力系统稳定性影响的方法分析实验结果；该方法构造更加稳定、精确的数值方法对模型进行求解，更加真实的反映系统状态变量的运行轨迹，在激励强度给定的情况下分析系统稳定性，面对强度未知的外部激励，有效评估和显性表达其大小，对准确分析随机干扰程度和电力系统随机特性具有重要的意义。

Description

高斯泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法

技术领域

本发明涉及电力系统稳定性分析领域，特别涉及高斯泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法。

背景技术

随着电力系统的快速发展和持续转型升级，新能源并网、电力电子装置和新型负荷接入比例增加，电力系统朝多能源、多网络、多主体相结合的趋势演变，为电力系统创造巨大社会经济效益的同时，也给电力系统带来了诸多随机因素，大量随机因素的输入使电力系统安全与稳定面临新的挑战，由复杂随机因素引起的系统安全问题得到了业界的广泛关注。

在目前的电力系统中，利用随机微分方程理论能够更加真实准确地描述系统动态过程及运行特性，建立更加符合实际的外部激励影响下的电力系统动态模型。其中，电力系统随机动态模型是在确定性模型的基础上加入外部随机激励项来构建，在诸多工程实践中，通常认为外部随机激励是具有平稳独立增量的高斯白噪声，采用电力系统线性随机动态模型进行研究。而实际电力系统是一个高维复杂非线性动态系统，当系统某节点附近的随机激励强度较大时，采用线性随机动态模型进行分析获得的结果可能会产生比较大的误差，因此需要采用建立更加准确地电力系统动态模型。在诸多工程实践中，高斯白噪声一般用于刻画平稳、连续性的外部随机激励，而对于引起功率突变的冲击性外部跳跃激励，用泊松白噪声来刻画更加符合实际。因此，仅由高斯白噪声作用的随机动态模型，并不能完全模拟系统中外部激励的随机特性，而由高斯、泊松白噪声共同作用的电力系统动态模型精度更高，更加符合实际电力系统的特性。并且以往主要针对单一噪声影响下的电力系统随机特性进行研究，而针对多种噪声综合影响下的电力系统随机特性研究几乎空白。

因此，研究噪声作用的电力系统动态模型，是研究单一噪声和多种噪声对电力系统综合影响机理，以及分析外部激励影响下的电力系统动态变化过程的基础。

发明内容

针对技术背景存在的问题，提供高斯泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法。

本发明解决上述问题的技术方案是：在单机无穷大系统中考虑多种噪声综合影响下的电力系统随机特性，采用高斯白噪声和泊松白噪声分别表示电力系统中随机激励和跳跃激励，提出电力系统随机带跳微分方程模型；利用梯形公式改进EM数值方法，构造电力系统带跳随机动态模型的Heun算法对电力系统带跳随机动态模型进行求解，最后利用对比分析法分析不同激励强度下高斯白噪和泊松白噪声对单机无穷大系统稳定性的影响。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案来实现：

建立计及高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的电力系统带跳随机动态模型；

电力系统带跳随机动态模型是在确定性模型的基础上加入随机激励项与跳跃激励共同构建，在高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的随机动态模型中，建立高斯白噪声和泊松白噪声混合激励下的电力系统带跳随机动态模型如下：

X(t)＝f(X(t),t)+g(X(t),t)W_G(t)+h(X(t),t)W_P(t) (1)

式中，t为时间，X(t)为随机状态变量，f(X(t),t)为漂移项系数，g(X(t),t)为扩散项系数，W_G(t)为高斯白噪声过程，h(X(t),t)为跳跃项系数，W_P(t)为标准的泊松白噪声过程；

将式(1)带跳随机动态模型中的高斯白噪声W_G(t)和泊松白噪声W_P(t)分别转换为Brown运动和形式，建立最终的随机微分方程模型如下：

式中，B(t)为Brown运动过程，C(t)为复合泊松过程，N(t)为强度为γ的泊松计数过程，表示[0,t]内随机脉冲发生的次数，Y_j和t_j分别为j个随机脉冲的强度和发生时刻，Y_j与t_j相互独立，ε(·)为单位阶跃函数，δ_D(x)为Dirac函数；

利用最具代表性的单机无穷大系统进行建模，得到最终的电力系统带跳随机微分方程模型如下：

dX(t)＝f(X(t),t)dt+g(X(t),t)dB(t)+h(X(t),t)dC(t) (5)

将式(5)重新定义如下：

dX(t)＝AX(t)dt+QdB(t)+HdC(t) (6)

电力系统带跳随机微分方程对应变量定义为，

式中，M和D分别为发电机的惯性时间常数和阻尼系数，δ和ω分别为发电机的功角和转速，σ和γ分别为高斯白噪声激励强度和泊松白噪声激励强度，δ₀和ω₀分别为发电机功角初值和转速初值，E′为发电机内电势，U为无穷大母线电压，X_∑为系统总电抗；

对EM数值方法进行改进，构造电力系统带跳随机动态模型的Heun算法对模型进行求解；

首先针对电力系统带跳随机动态模型，采用预估校正算法的思想，利用EM算法对式(6)进行数值离散，得到预估格式；然后，使用梯形公式对EM算法进行改进，降低预估误差；最后，利用改进的EM算法进行校正，得到校正格式如下：

X_n+1＝X_n+A(X_n)Δt+Q(X_n)ΔB_n+H(X_n)ΔC_n (7)

式中，n＝1,2,…,L，Δt＝T/L，

N(0,1)表示标准正态分布，ΔC_n为复合泊松分布增量；

对于某个正整数N*，记Δt＝T/N*，t_k＝kΔt，δ_k＝δ(t_k)，ω_k＝ω(t_k)，k＝0,1,2,…,N，将式(6)中具体系数带入式(8)，得到求解电力系统带跳随机微分方程的Heun算法如下：

式中，δ_k和ω_k分别为发电机功角和转速，ΔB_k表示为高斯过程第k个增量，ΔC_k为复合泊松过程k个增量；

针对全局Lipschitz条件和线性增长条件，利用Heun算法求解高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的电力系统带跳随机动态模型；

选取不同的随机激励和跳跃激励强度进行仿真，采用对比分析不同激励强度下高斯白噪声和泊松白噪声对电力系统稳定性影响的方法；

选取单机无穷大系统为算例系统，任意选取不同的随机激励和跳跃激励强度进行仿真，对比分析不同激励强度对电力系统稳定性的综合影响，包括以下三个方面：

1)保持泊松白噪声激励强度不变，改变高斯白噪声激励强度，分析系统稳定性：针对泊松白噪声激励强度不变，高斯白噪声激励强度不同情况下在单机无穷大系统随机带跳动态模型下进行仿真分析，比较不同高斯白噪声激励强度下功角曲线差异，并分析不同随机激励强度对电力系统稳定性的影响；

2)保持高斯白噪声激励强度不变，改变泊松白噪声激励强度，分析系统稳定性：针对高斯白噪声激励强度不变，泊松白噪声激励强度不同情况下在单机无穷大系统随机带跳动态模型下进行仿真分析，比较不同泊松白噪声激励强度下功角曲线差异，并分析不同跳跃激励强度对电力系统稳定性的影响；

3)同时改变高斯白噪声和泊松白噪声激励强度，分析单机无穷大系统随机带跳动态模型功角曲线差异：针对高斯白噪声和泊松白噪声激励强度都发生变化情况下，比较两种情况功角曲线差异，并分析不同随机激励和跳跃激励强度对电力系统稳定性的影响。

附图说明

图1为稳定性分析流程图。

图2γ＝0.01，σ＝0.01带跳随机动态模型功角曲线。

图3γ＝0.01，σ＝0.75带跳随机动态模型功角曲线。

图4γ＝0.05，σ＝0.01带跳随机动态模型功角曲线。

图5γ＝0.53，σ＝0.01带跳随机动态模型功角曲线。

图6γ＝0.49，σ＝0.1带跳随机动态模型功角曲线。

图7γ＝0.462，σ＝0.2带跳随机动态模型功角曲线。

图8γ＝0.447，σ＝0.3带跳随机动态模型功角曲线。

图9γ＝0.437，σ＝0.4带跳随机动态模型功角曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实例对本发明做进一步的说明。

选取单机无穷大系统为算例系统，该系统中的各个电气参数如表1所示，参数均转化为标幺值进行计算仿真，利用所构造的电力系统带跳随机动态模型的Heun算法对其进行求解，任意选取不同的随机激励和跳跃激励强度进行仿真，分析不同激励强度对电力系统稳定性的综合影响机理。

表1单机无穷大系统电气参数

参照图1，一种计及高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法，具体步骤如下：

1.考虑电力系统外部不同强度的随机激励因素与跳跃激励因素，建立电力系统带跳随机动态模型；

电力系统带跳随机动态模型如下：

dX(t)＝AX(t)dt+QdB(t)+HdC(t) (1)

电力系统带跳随机微分方程对应变量定义为，

2.对EM数值方法进行改进，构造电力系统带跳随机动态模型的Heun算法对模型进行求解；

首先针对电力系统带跳随机动态模型，利用预估校正算法的思想，根据梯形公式对EM数值方法进行改进，构造电力系统带跳随机动态模型的Heun算法对模型进行求解，求解格式如(2)所示：

式中，δ_k和ω_k分别为发电机功角和转速，ΔB_k表示为高斯过程第k个增量，ΔC_k为复合泊松过程k个增量，k＝0,1,…,N；

3.选取不同的随机激励和跳跃激励强度进行仿真，对比分析不同激励强度下高斯白噪声和泊松白噪声对电力系统稳定性的影响；

1)针对不同随机激励相同跳跃激励强度，令跳跃激励强度γ＝0.01，随机激励强度σ为0.01和0.75，分别对其进行仿真分析，仿真结果如图2和3所示，仿真现象如表2所示；其中，虚线为含跳跃激励的功角初值δ₀曲线，点画线为高斯白噪声驱动的随机动态模型功角曲线，实线为高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的带跳随机动态模型功角曲线；

图2中，在75s时，系统发生跳跃事件，带跳随机动态模型功角曲线和随机动态模型功角曲线产生较小偏差，曲线基本重合，围绕功角初值整体呈周期性上下波动；

图3中，带跳随机动态模型功角曲线和随机动态模型功角曲线同样基本重合，围绕功角初值整体呈周期性上下波动，因坐标范围增大，系统发生跳跃事件时，功角曲线偏差并不明显；

表2γ＝0.01，σ为0.01和0.75仿真现象

由上述不同随机激励强度和相同跳跃激励强度下的仿真结果可知，当跳跃激励强度较小，随机激励强度增大时，两者功角曲线基本保持一致，围绕功角初值整体呈有界的随机波动，曲线波动趋势尚未产生明显差异；由此说明，跳跃激励强度较小时，对系统稳定性的影响并不明显，系统稳定性的主要影响因素是不断增大的随机激励强度；在随机激励和跳跃激励综合影响下的电力系统中，跳跃激励强度较小时，可近似忽略跳跃激励的影响，将带跳随机动态模型近似为随机动态模型进行分析，所得结论差异不大。

2)针对相同随机激励不同跳跃激励强度，令随机激励强度σ＝0.01，跳跃激励强度γ为0.05和0.53，分别对其进行仿真分析，仿真结果如图4和5所示，仿真现象如表3所示；

表3σ＝0.01，γ为0.05和0.53仿真现象

图4中，带跳随机动态模型和随机动态模型功角曲线差异较大，随机动态模型功角曲线围绕功角初值整体呈周期性上下波动，带跳随机动态模型功角曲线围绕功角初值基本呈周期性上下波动；

图5中，带跳随机动态模型功角曲线围绕功角初值整体呈周期性上下波动。当随机激励较小，跳跃激励强度γ＝0.53时，系统已失去稳定，跳跃激励对系统稳定性的影响较大；

由上述相同随机激励强度和不同跳跃激励强度下的仿真结果可知，当随机激励强度较小，跳跃激励强度增大时，两者功角曲线差异较大，随跳跃激励强度增大而愈加明显，相较随机激励，跳跃激励对系统稳定性的影响更大；在随机激励和跳跃激励综合影响下的电力系统中，随机激励强度较小时，可近似忽略随机激励的影响，将带跳随机动态模型近似为仅由跳跃激励影响的系统进行分析。

3)针对不同随机激励和跳跃激励强度，分别选取随机激励与跳跃激励强度为(0.1,0.49)、(0.2,0.462)、(0.3,0.447)、(0.4,0.437)，分别对其进行仿真分析，仿真结果如图6、7、8和9所示；

图6至9中，带跳随机动态模型和随机动态模型功角曲线差异非常明显，随机激励强度变化0.1，跳跃激励强度变化0.01～0.02左右，系统即可失稳，由此进一步表明跳跃激励对系统稳定性的影响较大；仿真现象如表4所示；

表4不同随机激励强度和跳跃激励强度仿真现象

由上述不同随机激励强度和不同跳跃激励强度下的仿真结果可知，在随机激励强度和跳跃激励综合影响下的电力系统中，随机激励和跳跃激励对系统稳定性的影响均不可忽略，其中跳跃激励对系统稳定性的影响更加明显。

通过选用单机无穷大算例系统进行仿真分析，定量分析了随机激励和跳跃激励对系统稳定性的综合影响，分析不同条件下的稳定性结果，是在工程实际中得到验证的基础；同时，构造更加稳定、精确的数值方法对模型进行求解，以逼近所建模型的真解，更加真实的反映系统状态变量的运行轨迹，在激励强度给定的情况下分析系统稳定性，面对强度未知的外部激励，有效评估和显性表达其大小，对准确分析随机干扰程度和电力系统随机特性具有重要的意义。

Claims (1)

1.高斯泊松白噪声共同作用的电力系统功角稳定性分析方法，其特征在于：

1-1：建立计及高斯白噪声和泊松白噪声共同驱动的电力系统带跳随机动态模型；

电力系统带跳随机动态模型是在确定性模型的基础上加入随机激励项与跳跃激励共同构建，在高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的随机动态模型中，建立高斯白噪声和泊松白噪声混合激励的电力系统带跳随机动态模型如下：

X(t)＝f(X(t),t)+g(X(t),t)W_G(t)+h(X(t),t)W_P(t) (1)

式中，t为时间，X(t)为随机状态变量，f(X(t),t)为漂移项系数，g(X(t),t)为扩散项系数，W_G(t)为高斯白噪声过程，h(X(t),t)为跳跃项系数，W_P(t)为标准的泊松白噪声过程；

将式(1)带跳随机动态模型中的高斯白噪声W_G(t)和泊松白噪声W_P(t)分别转换为Brown运动和形式，表达形式如下：

式中，B(t)为Brown运动过程，C(t)为复合泊松过程，N(t)为强度为γ的泊松计数过程，表示[0,t]内随机脉冲发生的次数，Y_j和t_j分别为j个随机脉冲的强度和发生时刻，Y_j与t_j相互独立，ε(·)为单位阶跃函数，δ_D(x)为Dirac函数；

利用最具代表性的单机无穷大系统进行建模，得到最终的电力系统带跳随机微分方程模型如下：

dX(t)＝f(X(t),t)dt+g(X(t),t)dB(t)+h(X(t),t)dC(t) (5)

将式(5)重新定义为如下：

dX(t)＝AX(t)dt+QdB(t)+HdC(t) (6)

电力系统带跳随机微分方程对应变量定义为，

式中，M和D分别为发电机的惯性时间常数和阻尼系数，δ和ω分别为发电机的功角和转速，σ和γ分别为高斯白噪声激励强度和泊松白噪声激励强度，δ₀和ω₀分别为发电机功角初值和转速初值，E’为发电机内电势，U为无穷大母线电压，X_∑为系统总电抗；

1-2：对EM数值方法进行改进，构造电力系统带跳随机动态模型的Heun算法对模型进行求解；

首先针对电力系统带跳随机动态模型，采用预估校正算法的思想，利用EM算法对式(6)进行数值离散，得到预估格式；然后，使用梯形公式对EM算法进行改进，降低预估误差；最后，利用改进的EM算法进行校正，过程如下：

X_n+1＝X_n+A(X_n)Δt+Q(X_n)ΔB_n+H(X_n)ΔC_n (7)

式中，n＝1,2,…,L，Δt＝T/L，

N(0,1)表示标准正态分布，ΔC_n为复合泊松分布增量；

对于某个正整数N*，记Δt^*＝T/N*，t_k＝kΔt^*，δ_k＝δ(t_k)，ω_k＝ω(t_k)，k＝0,1,2,…,N，将式(6)中具体系数带入式(8)，得到求解电力系统带跳随机微分方程的Heun算法：

式中，δ_k和ω_k分别为发电机功角和转速，ΔB_k表示为高斯过程第k个增量，ΔC_k为复合泊松过程k个增量；

针对全局Lipschitz条件和线性增长条件，利用Heun算法求解高斯白噪声和泊松白噪声共同作用的电力系统带跳随机动态模型；

1-3：选取不同的随机激励和跳跃激励强度进行仿真，采用对比分析不同激励强度下高斯白噪声和泊松白噪声对电力系统稳定性影响的方法分析结果；

选取单机无穷大系统为算例系统，任意选取不同的随机激励和跳跃激励强度进行仿真，对比分析不同激励强度对电力系统稳定性的综合影响，包括以下三个方面：

1)保持泊松白噪声激励强度不变，改变高斯白噪声激励强度，分析系统稳定性：针对泊松白噪声激励强度不变，高斯白噪声激励强度不同情况下在单机无穷大系统随机带跳动态模型下进行仿真分析，比较不同高斯白噪声激励强度下功角曲线差异，并分析不同随机激励强度对电力系统稳定性的影响；

2)保持高斯白噪声激励强度不变，改变泊松白噪声激励强度，分析系统稳定性：针对高斯白噪声激励强度不变，泊松白噪声激励强度不同情况下在单机无穷大系统随机带跳动态模型下进行仿真分析，比较不同泊松白噪声激励强度下功角曲线差异，并分析不同跳跃激励强度对电力系统稳定性的影响；

3)同时改变高斯白噪声和泊松白噪声激励强度，分析单机无穷大系统随机带跳动态模型功角曲线差异：针对高斯白噪声和泊松白噪声激励强度都发生变化情况下，比较两种情况功角曲线差异，并分析不同随机激励和跳跃激励强度对电力系统稳定性的影响。

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