CN114211057A - 一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法 - Google Patents

一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法 Download PDF

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CN114211057A CN202111449721.7A CN202111449721A CN114211057A CN 114211057 A CN114211057 A CN 114211057A CN 202111449721 A CN202111449721 A CN 202111449721A CN 114211057 A CN114211057 A CN 114211057A
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Abstract

本发明涉及一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，具体包括：确定蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系；同时考虑面齿轮副轴交角γ和蜗杆砂轮螺旋升角λw，获得在磨削非正交面齿轮时对刀所需的蜗杆砂轮转角位置θ；通过考虑蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的展成运动和进给运动过程，计算出蜗杆砂轮磨削加工非正交直齿面齿轮的走刀路径。本发明方法在一个具体的非正交面齿轮磨齿试验中获得了验证。该方法不需要开发非正交面齿轮专用磨削加工机床，通过数字控制技术实现蜗杆砂轮对非正交直齿面齿轮的磨削加工。

Description

一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法
技术领域
本发明属于面齿轮磨削加工技术领域，具体涉及一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法。
背景技术
非正交面齿轮传动具有结构紧凑、安装调试方便、重合度大等优点，被成功应用于直升机主减速器和汽车差速器等诸多场合。高速重载非正交面齿轮传动必须依靠磨削精加工以提高轮齿精度，然而现有的非正交面齿轮磨齿技术需要为工作台增加悬摆装置以实现轴交角的调整，结构复杂且成本高。例如，加拿大北星公司研制的MK-II型面齿轮专用蜗杆砂轮磨齿机床，能够磨削不同轴交角的非正交面齿轮，但是该机床十分复杂，具有8-9个数控轴，该技术很难普及。
发明内容
本发明解决的技术问题是：为了解决现有技术存在的不足，本发明基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，不需要开发非正交面齿轮专用磨削加工机床，通过合理计算蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的走刀路径，就能结合数字控制技术实现蜗杆砂轮对非正交面齿轮的高精度磨削，因此具有很强的现实意义。本发明通过蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的空间走刀轨迹的求解，可实现在五轴联动圆柱齿轮数控磨齿机床上磨削非正交面齿轮，降低了设备成本，具有普及应用价值。
发明效果
本发明的技术效果在于：本发明克服了国内现有技术不能加工非正交面齿轮的缺陷，基于加工圆柱齿轮的数控磨齿机床磨削非正交面齿轮，能够磨削的内锥面齿轮轴交角范围为0°～90°，外锥面齿轮轴交角范围为90°～110°，不需要开发非正交面齿轮专用磨削加工机床，通过合理计算蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的走刀路径，就能结合数字控制技术实现蜗杆砂轮对非正交面齿轮的高精度磨削。
本发明的技术方案是：一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，
包括以下步骤：
步骤1：确定蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系；
步骤2：求得蜗杆砂轮从初始位置到磨削对刀点处的初始转角；
步骤3：推导蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮时，其中心点Ow的走刀轨迹。
本发明进一步的技术方案是：所述步骤1中包括以下子步骤：
步骤1.1：建立动坐标系Ss(Os,Xs,Ys,Zs)和Sw(Ow,Xw,Yw,Zw)，分别作为插齿刀具和蜗杆砂轮的固定坐标系，其中轴线Zs与Zw分别是插齿刀具和蜗杆砂轮的回转轴线；
步骤1.2：建立辅助坐标系Sa(Oa,Xa,Ya,Za)、Sb(Ob,Xb,Yb,Zb)和Sc(Oc,Xc,Yc,Zc)；其中坐标系Sa和坐标系Ss的坐标原点重合，坐标系Sb、坐标系Sc和坐标系Sw的坐标原点重合；蜗杆砂轮轴线Zw与辅助坐标系Sc轴线Zc重合；插齿刀具轴线Zs与辅助坐标系Sa轴线Za重合；辅助坐标系Sb轴线Xb与辅助坐标系Sc轴线Xc重合；
轴线Xs与Xa之间的夹角为
Figure BDA0003385503160000021
表示插齿刀具转动的角度；轴线Xb与Xw之间的夹角为
Figure BDA0003385503160000022
代表蜗杆砂轮转动的角度；插齿刀具转动的角度和蜗杆砂轮转动的角度之间的关系由传动比iws所决定，传动比为iws＝Zs/Nw。为了降低制造复杂度，取蜗杆砂轮头数Nw＝1，即蜗杆砂轮转动一周，插齿刀具相应地转一个齿的角度。Ews为插齿刀具的轴线与蜗杆砂轮轴线之间的距离，插齿刀具与蜗杆砂轮轴线之间的夹角在机床坐标系XY平面上可用关系式表示为：
γws＝90°±λw
式中：γws为插齿刀具与蜗杆砂轮轴线之间的夹角；“+”表示蜗杆砂轮为右旋，“-”表示蜗杆砂轮为左旋；λw为蜗杆砂轮螺旋升角。
蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系可表述为：插齿刀具坐标系Ss绕Zs轴旋转
Figure BDA0003385503160000031
角度后与辅助坐标系Sa重合，Sa沿砂轮中心点方向平移Ews距离后与辅助坐标系Sb重合，Sb绕Xb轴旋转γws角度后与辅助坐标系Sc重合，Sc绕Zc旋转
Figure BDA0003385503160000032
角度后，与蜗杆砂轮坐标系Sw重合。
本发明进一步的技术方案是：所述步骤2中包括以下内容：
Ow为砂轮对称面与其轴线的交点(即砂轮中心点)，O2为插齿刀轴线与面齿轮轴线的交点(即轴交角所在点)。蜗杆砂轮对称面平行于机床XZ平面，轴交角所在平面与XZ平面的夹角为λw。蜗杆砂轮初始转角的表达式为：
Figure BDA0003385503160000033
式中：θ为蜗杆砂轮初始转角；γ为面齿轮与插齿刀具的轴线交角；λw为蜗杆砂轮螺旋升角。
本发明进一步的技术方案是：所述步骤3中包括以下步骤：
步骤3.1：设机床坐标系由X、Y、Z三轴所构成，其原点O位于插齿刀具与面齿轮轴线交点上；通过机床参数标定，使得蜗杆砂轮中心点Ow与O重合时机床坐标为X＝0、Y＝0且Z＝0；
步骤3.2：设虚拟插齿刀具齿轮的轴线
Figure BDA0003385503160000034
单位向量为：
Figure BDA0003385503160000035
设Os到Ow的单位向量为：
Figure BDA0003385503160000036
已知面齿轮轴线
Figure BDA0003385503160000037
方向为：
Figure BDA0003385503160000038
蜗杆砂轮轴线
Figure BDA0003385503160000041
平行于机床Y轴，因此其方向为：
Figure BDA0003385503160000042
插齿刀具齿轮轴线与面齿轮轴线交角为面齿轮传动的轴交角为γ，因此有：
Figure BDA0003385503160000043
插齿刀轴线
Figure BDA0003385503160000044
与砂轮轴线
Figure BDA0003385503160000045
夹角为γws＝90°-λw，因此有：
Figure BDA0003385503160000046
另外
Figure BDA0003385503160000047
方向为插齿刀具轴线与蜗杆砂轮轴线间最短距离方向，满足：
(1)
Figure BDA0003385503160000048
与插齿刀具轴线
Figure BDA0003385503160000049
垂直，因此有：
Figure BDA00033855031600000410
(2)
Figure BDA00033855031600000411
与蜗杆砂轮轴线
Figure BDA00033855031600000412
垂直，因此有：
Figure BDA00033855031600000413
已知
Figure BDA00033855031600000414
和
Figure BDA00033855031600000415
为单位向量，满足各分量的平方和为1，因此有：
xη 2+yη 2+zη 2＝1 (11)
xε 2+yε 2+zε 2＝1 (12)
联立式(7)～(12)可求得
Figure BDA00033855031600000416
和
Figure BDA00033855031600000417
Figure BDA00033855031600000418
Figure BDA00033855031600000419
其中，
Figure BDA00033855031600000420
Os到Ow的距离Ews：
Ews＝Rw-Rs (15)
其中，Rw为砂轮分度圆半径；Rs为插齿刀具分度圆半径。
Os到O的距离Rso为：
Figure BDA00033855031600000421
其中，L1为非正交面齿轮内锥距；F为非正交面齿轮齿宽。
根据关系式求蜗杆砂轮中心点的坐标Ow(xw，yw，zw)：
Figure BDA0003385503160000051
其中，Row为机床坐标原点O到蜗杆砂轮中心点Ow的距离，
Figure BDA0003385503160000052
为机床坐标原点O指向蜗杆砂轮中心点Ow的单位向量。
则，Ow为
Figure BDA0003385503160000053
蜗杆砂轮中心点Ow沿着OwO′方向的运动轨迹线的表达方程为
Figure BDA0003385503160000054
Figure BDA0003385503160000055
其中，lw为走刀距离(砂轮沿非正交面齿轮齿向方向向内或向外进给一个面齿轮齿宽一半的长度，并加了15mm的内外端出头量)。
公式(18)中，将lw分别取为定义域的两端数值，可求得两组(xw′、yw′、zw′)值，分别对应蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的内端出头点Ow 内和外端出头点Ow 外，这两点的连线形成的路径即为蜗杆砂轮的空间走刀路径
附图说明
图1为数控机床磨削非正交直齿面齿轮示意图
图2为插齿刀、蜗杆砂轮和面齿轮的啮合关系示意图
图3为蜗杆砂轮与插齿刀具的坐标系关系示意图
图4为蜗杆砂轮磨削对刀角度示意图
图5为图1中加工非正交直齿面齿轮时相关示图，其中(a)图为俯视图，(b)侧视图
图6为蜗杆砂轮走刀路径示意图
图7为图6中蜗杆砂轮走刀路径的向量简图
图8为加拿大面齿轮专用蜗杆砂轮磨齿机局部参考图。其中，68为面齿轮旋转机构、70为非正交面齿轮、72为旋转工作台、74为面齿轮转轴、76为底座、78为枢轴、80为电机、82为枢轴选择器、100为砂轮机构、102为蜗杆砂轮
图9为步骤流程图
具体实施方式
在本发明的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“长度”、“宽度”、“厚度”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”、“顺时针”、“逆时针”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。
参见图1-图9，本发明的技术方案如下所示：
步骤1：确定蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系
面齿轮可以利用圆柱齿轮插齿刀具来进行加工，蜗杆砂轮本身具有螺旋升角，当用蜗杆砂轮模拟插齿刀具来加工面齿轮时，需要保证蜗杆砂轮的螺旋面与插齿刀产形齿轮的齿面准确共轭，图1所示为数控机床磨削非正交直齿面齿轮示意图。
图2所示为蜗杆砂轮、非正交直齿面齿轮以及假想的渐开线圆柱齿轮插齿刀具三者处于同时啮合的状态，其中圆柱齿轮与蜗杆之间是虚拟内啮合。
在展成面齿轮的插齿刀具与蜗杆砂轮之间建立如图3所示的坐标系。其中，坐标系Ss(Os,Xs,Ys,Zs)和Sw(Ow,Xw,Yw,Zw)分别作为插齿刀具和蜗杆砂轮的固定坐标系，其中轴线Zs与Zw分别是插齿刀具和蜗杆砂轮的回转轴线。为了方便坐标转换，添加三个辅助坐标系，分别是：Sa(Oa,Xa,Ya,Za)、Sb(Ob,Xb,Yb,Zb)和Sc(Oc,Xc,Yc,Zc)，其中坐标系Sa和坐标系Ss的坐标原点重合，坐标系Sb、坐标系Sc和坐标系Sw的坐标原点重合)；蜗杆砂轮轴线Zw与辅助坐标系Sc轴线Zc重合；插齿刀具轴线Zs与辅助坐标系Sa轴线Za重合；辅助坐标系Sb轴线Xb与辅助坐标系Sc轴线Xc重合。轴线Xs与Xa之间的夹角为
Figure BDA0003385503160000071
表示插齿刀具转动的角度；轴线Xb与Xw之间的夹角为
Figure BDA0003385503160000072
代表蜗杆砂轮转动的角度；插齿刀具转动的角度和蜗杆砂轮转动的角度之间的关系由传动比iws所决定，传动比为iws＝Zs/Nw。为了降低制造复杂度，取蜗杆砂轮头数Nw＝1，即蜗杆砂轮转动一周，插齿刀具相应地转一个齿的角度。Ews为插齿刀具的轴线与蜗杆砂轮轴线之间的距离，插齿刀具与蜗杆砂轮轴线之间的夹角在机床坐标系XY平面上可用关系式表示为：
γws＝90°±λw (1)
式中：γws为插齿刀具与蜗杆砂轮轴线之间的夹角；“+”表示蜗杆砂轮为右旋，“-”表示蜗杆砂轮为左旋；λw为蜗杆砂轮螺旋升角。
因此，蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系可表述为：插齿刀具坐标系Ss绕Zs轴旋转
Figure BDA0003385503160000073
角度后与辅助坐标系Sa重合，Sa沿砂轮中心点方向平移Ews距离后与辅助坐标系Sb重合，Sb绕Xb轴旋转γws角度后与辅助坐标系Sc重合，Sc绕Zc旋转
Figure BDA0003385503160000074
角度后，与蜗杆砂轮坐标系Sw重合。
步骤2：求得蜗杆砂轮从初始位置到磨削对刀点处的初始转角
为了准确的模拟圆柱齿轮，蜗杆砂轮的外围呈圆形，整体上为椭球形。由于蜗杆砂轮齿面是螺旋的，砂轮修整结束后当B轴值为0时，蜗杆砂轮最大外径位于砂轮最下方，此为蜗杆砂轮的初始位置。
如图4所示，Ow为砂轮对称面与其轴线的交点(即砂轮中心点)，O2为插齿刀轴线与面齿轮轴线的交点(即轴交角所在点)。蜗杆砂轮对称面平行于机床XZ平面，轴交角所在平面与XZ平面的夹角为λw。蜗杆砂轮初始转角的表达式为：
Figure BDA0003385503160000075
式中：θ为蜗杆砂轮初始转角；γ为面齿轮与插齿刀具的轴线交角；λw为蜗杆砂轮螺旋升角。
步骤3：推导蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮时，其中心点Ow的走刀轨迹
图5为利用五轴数控机床磨削加工非正交直齿面齿轮的俯视图和正视图。按照本方法磨削非正交面齿轮，需要利用X轴、Y轴、Z轴、B轴以及C轴这5个轴同时联动，才能完成面齿轮的展成加工。其中B和C联动完成齿廓展成运动。
面齿轮与蜗杆砂轮之间是瞬时点接触，通过两者的旋转展成运动只能在齿面上磨削出沿齿廓方向的一条窄带，因此需要砂轮沿面齿轮齿向(通常沿虚拟插齿刀具圆柱齿轮的轴线方向)进给。齿向进给通过机床的X轴、Y轴、Z轴三轴联动实现，且与B、C联动无关。
图6为蜗杆砂轮的走刀路径示意图，齿向进给时让蜗杆砂轮中心点Ow沿着OwO′方向移动，此方向与虚拟插齿刀具齿轮的轴线Zs方向平行。图6中，Os点为插齿刀具的中心点，O点为插齿刀轴线与面齿轮轴线的交点，Z为面齿轮的轴线。
首先通过机床参数标定，使得Ow与O重合时机床坐标为X＝0、Y＝0且Z＝0。
设机床坐标系由图示X、Y、Z三轴所构成，其原点O位于插齿刀具与面齿轮轴线交点上。
现设虚拟插齿刀具齿轮的轴线
Figure BDA0003385503160000081
单位向量为：
Figure BDA0003385503160000082
设Os到Ow的单位向量为：
Figure BDA0003385503160000083
已知面齿轮轴线
Figure BDA0003385503160000084
方向为：
Figure BDA0003385503160000091
蜗杆砂轮轴线
Figure BDA0003385503160000092
平行于机床Y轴，因此其方向为：
Figure BDA0003385503160000093
插齿刀具齿轮轴线与面齿轮轴线交角为面齿轮传动的轴交角为γ，因此有：
Figure BDA0003385503160000094
插齿刀轴线
Figure BDA0003385503160000095
与砂轮轴线
Figure BDA0003385503160000096
夹角为γws＝90°-λw，因此有：
Figure BDA0003385503160000097
另外
Figure BDA0003385503160000098
方向为插齿刀具轴线与蜗杆砂轮轴线间最短距离方向，满足：
(1)
Figure BDA0003385503160000099
与插齿刀具轴线
Figure BDA00033855031600000910
垂直，因此有：
Figure BDA00033855031600000911
(2)
Figure BDA00033855031600000912
与蜗杆砂轮轴线
Figure BDA00033855031600000913
垂直，因此有：
Figure BDA00033855031600000914
已知
Figure BDA00033855031600000915
和
Figure BDA00033855031600000916
为单位向量，满足各分量的平方和为1，因此有：
xη 2+yη 2+zη 2＝1 (11)
xε 2+yε 2+zε 2＝1 (12)
联立式(7)～(12)可求得
Figure BDA00033855031600000917
和
Figure BDA00033855031600000918
Figure BDA00033855031600000919
Figure BDA00033855031600000920
其中，
Figure BDA00033855031600000921
Os到Ow的距离Ews：
Ews＝Rw-Rs (15)
其中，Rw为砂轮分度圆半径；Rs为插齿刀具分度圆半径。
Os到O的距离Rso为：
Figure BDA0003385503160000101
其中，L1为非正交面齿轮内锥距；F为非正交面齿轮齿宽。
根据关系式求蜗杆砂轮中心点的坐标Ow(xw，yw，zw)：
Figure BDA0003385503160000102
其中，Row为机床坐标原点O到蜗杆砂轮中心点Ow的距离，
Figure BDA0003385503160000103
为机床坐标原点O指向蜗杆砂轮中心点Ow的单位向量。
则，Ow为
Figure BDA0003385503160000104
蜗杆砂轮中心点Ow沿着OwO′方向的运动轨迹线的表达方程为
Figure BDA0003385503160000105
Figure BDA0003385503160000106
其中，lw为走刀距离(砂轮沿非正交面齿轮齿向方向向内或向外进给一个面齿轮齿宽一半的长度，并加了15mm的内外端出头量)。
公式(18)中，将lw分别取为定义域的两端数值，可求得两组(xw′、yw′、zw′)值，分别对应蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的内端出头点Ow 内和外端出头点Ow 外，这两点的连线形成的路径即为蜗杆砂轮的空间走刀路径。
实施实例及验证
1、实例参数及计算
现基于五轴联动圆柱齿轮数控磨齿机床对非正交面齿轮进行磨削试验。过程所需的基本参数见表1。
表1蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的基本参数
Figure BDA0003385503160000107
Figure BDA0003385503160000111
根据表1中的参数，求解走刀路径具体数值。
已知蜗杆砂轮法向模数mn＝3mm，插齿刀具模数m＝3mm，蜗杆砂轮头数Nw＝1，蜗杆砂轮直径D＝340mm。
则，
插齿刀具分度圆半径Rs；
Figure BDA0003385503160000112
蜗杆砂轮分度圆半径Rw；
Rw＝D/2-1.25mn＝166.25mm
蜗杆砂轮螺旋升角λw：
Figure BDA0003385503160000113
蜗杆砂轮从初始位置到磨削对刀点处的初始转角θ：
Figure BDA0003385503160000114
式(13)中的参数
Figure BDA0003385503160000115
那么，式(13)和式(14)的值为：
Figure BDA0003385503160000116
Figure BDA0003385503160000121
Os到Ow的距离Ews：
Ews＝Rw-Rs＝122.75mm
非正交面齿轮齿宽F；
F＝L2-L1＝27mm
Os到O的距离Rso:
Figure BDA0003385503160000122
蜗杆砂轮中心点Ow坐标(xw，yw，zw)：
Figure BDA0003385503160000123
则，
Ow(xw，yw，zw)＝[-136.8505，-1.4753，149.6121]
根据式(18)求蜗杆砂轮蜗杆砂轮中心点Ow的走刀路径的起点Ow 外和终点Ow 内：
Figure BDA0003385503160000124
则，
Ow 内＝[-164.4898，-1.7318，154.5597]
Figure BDA0003385503160000125
即，
Ow 外＝[-109.2112，-1.2188，144.6645]
坐标点Ow 外到坐标点Ow 内的连线即为蜗杆砂轮中心点的走刀路径。
2、磨齿实验
基于上述计算所得到的蜗杆砂轮中心点的走刀路径两端点坐标数据，利用圆柱齿轮五轴数控磨齿机进行非正交面齿轮磨齿试验并通过克林贝格检测仪检测磨至理论齿深的非正交面齿轮的齿面精度。
表2和表3分别为非正交面齿轮左、右齿面的平均误差参数。参考锥齿轮测量标准GB11365-1989，单个齿距偏差低于4.5μm为4级精度，实测2.9μm；齿距累积总偏差低于25μm为4级精度，实测6μm；齿形偏差低于7μm为6级精度，实测5.9μm；跳动公差低于15μm为4级精度，实测4.9μm。综合评定，该非正交面齿轮的齿面精度为6级。
表2非正交面齿轮左齿面误差数值(单位：μm)
Figure BDA0003385503160000131
表3非正交面齿轮右齿面误差数值(单位：μm)
Figure BDA0003385503160000132
注：表1和表2中的齿面误差数值统计顺序从齿顶到齿根，从内径到外径。

Claims (4)

1.一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：确定蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系；
步骤2：求得蜗杆砂轮从初始位置到磨削对刀点处的初始转角；
步骤3：推导蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮时，其中心点Ow的走刀轨迹。
2.如权利要求1所述的一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，其特征在于，所述步骤1中包括以下子步骤：
步骤1.1：建立动坐标系Ss(Os，Xs，Ys，Zs)和Sw(Ow，Xw，Yw，Zw)，分别作为插齿刀具和蜗杆砂轮的固定坐标系，其中轴线Zs与Zw分别是插齿刀具和蜗杆砂轮的回转轴线；
步骤1.2：建立辅助坐标系Sa(Oa，Xa，Ya，Za)、Sb(Ob，Xb，Yb，Zb)和Sc(Oc，Xc，Yc，Zc)；其中坐标系Sa和坐标系Ss的坐标原点重合，坐标系Sb、坐标系Sc和坐标系Sw的坐标原点重合；蜗杆砂轮轴线Zw与辅助坐标系Sc轴线Zc重合；插齿刀具轴线Zs与辅助坐标系Sa轴线Za重合；辅助坐标系Sb轴线Xb与辅助坐标系Sc轴线Xc重合；
轴线Xs与Xa之间的夹角为
Figure FDA0003385503150000011
表示插齿刀具转动的角度；轴线Xb与Xw之间的夹角为
Figure FDA0003385503150000012
代表蜗杆砂轮转动的角度；插齿刀具转动的角度和蜗杆砂轮转动的角度之间的关系由传动比iws所决定，传动比为iws＝Zs/Nw。为了降低制造复杂度，取蜗杆砂轮头数Nw＝1，即蜗杆砂轮转动一周，插齿刀具相应地转一个齿的角度。Ews为插齿刀具的轴线与蜗杆砂轮轴线之间的距离，插齿刀具与蜗杆砂轮轴线之间的夹角在机床坐标系XY平面上可用关系式表示为：
γws＝90°±λw
式中：γws为插齿刀具与蜗杆砂轮轴线之间的夹角；“+”表示蜗杆砂轮为右旋，“-”表示蜗杆砂轮为左旋；λw为蜗杆砂轮螺旋升角。
蜗杆砂轮与虚拟圆柱齿轮的坐标系相对位置关系可表述为：插齿刀具坐标系Ss绕Zs轴旋转
Figure FDA0003385503150000021
角度后与辅助坐标系Sa重合，Sa沿砂轮中心点方向平移Ews距离后与辅助坐标系Sb重合，Sb绕Xb轴旋转γws角度后与辅助坐标系Sc重合，Sc绕Zc旋转
Figure FDA0003385503150000022
角度后，与蜗杆砂轮坐标系Sw重合。
3.如权利要求2所述的一种基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，其特征在于，所述步骤2中包括以下内容：
Ow为砂轮对称面与其轴线的交点(即砂轮中心点)，O2为插齿刀轴线与面齿轮轴线的交点(即轴交角所在点)。蜗杆砂轮对称面平行于机床XZ平面，轴交角所在平面与XZ平面的夹角为λw。蜗杆砂轮初始转角的表达式为：
Figure FDA0003385503150000023
式中：θ为蜗杆砂轮初始转角；γ为面齿轮与插齿刀具的轴线交角；λw为蜗杆砂轮螺旋升角。
4.如权利要求1所述的基于圆柱齿轮数控磨齿机磨削非正交面齿轮的方法，其特征在于，所述步骤3中包括以下步骤：
步骤3.1：设机床坐标系由X、Y、Z三轴所构成，其原点O位于插齿刀具与面齿轮轴线交点上；通过机床参数标定，使得蜗杆砂轮中心点Ow与O重合时机床坐标为X＝0、Y＝0且Z＝0；
步骤3.2：设虚拟插齿刀具齿轮的轴线
Figure FDA0003385503150000024
单位向量为：
Figure FDA0003385503150000025
设Os到Ow的单位向量为：
Figure FDA0003385503150000026
已知面齿轮轴线
Figure FDA0003385503150000027
方向为：
Figure FDA0003385503150000031
蜗杆砂轮轴线
Figure FDA0003385503150000032
平行于机床Y轴，因此其方向为：
Figure FDA0003385503150000033
插齿刀具齿轮轴线与面齿轮轴线交角为面齿轮传动的轴交角为γ，因此有：
Figure FDA0003385503150000034
插齿刀轴线
Figure FDA0003385503150000035
与砂轮轴线
Figure FDA0003385503150000036
夹角为γws＝90°-λw，因此有：
Figure FDA0003385503150000037
另外
Figure FDA0003385503150000038
方向为插齿刀具轴线与蜗杆砂轮轴线间最短距离方向，满足：
(1)
Figure FDA0003385503150000039
与插齿刀具轴线
Figure FDA00033855031500000310
垂直，因此有：
Figure FDA00033855031500000311
(2)
Figure FDA00033855031500000312
与蜗杆砂轮轴线
Figure FDA00033855031500000313
垂直，因此有：
Figure FDA00033855031500000314
已知
Figure FDA00033855031500000315
和
Figure FDA00033855031500000316
为单位向量，满足各分量的平方和为1，因此有：
xη 2+yη 2+zη 2＝1 (11)
xε 2+yε 2+zε 2＝1 (12)
联立式(7)～(12)可求得
Figure FDA00033855031500000317
和
Figure FDA00033855031500000318
Figure FDA00033855031500000319
Figure FDA00033855031500000320
其中，
Figure FDA00033855031500000321
Os到Ow的距离Ews：
Ews＝Rw-Rs (15)
其中，Rw为砂轮分度圆半径；Rs为插齿刀具分度圆半径。
Os到O的距离Rso为：
Figure FDA0003385503150000041
其中，L1为非正交面齿轮内锥距；F为非正交面齿轮齿宽。
根据关系式求蜗杆砂轮中心点的坐标Ow(xw，yw，zw)：
Figure FDA0003385503150000042
其中，Row为机床坐标原点O到蜗杆砂轮中心点Ow的距离，
Figure FDA0003385503150000043
为机床坐标原点O指向蜗杆砂轮中心点Ow的单位向量。
则，Ow为
Figure FDA0003385503150000044
蜗杆砂轮中心点Ow沿着OwO′方向的运动轨迹线的表达方程为
Figure FDA0003385503150000045
其中，lw为走刀距离(砂轮沿非正交面齿轮齿向方向向内或向外进给一个面齿轮齿宽一半的长度，并加了15mm的内外端出头量)。
公式(18)中，将lw分别取为定义域的两端数值，可求得两组(xw′、yw′、zw′)值，分别对应蜗杆砂轮磨削非正交面齿轮的内端出头点Ow 内和外端出头点Ow 外，这两点的连线形成的路径即为蜗杆砂轮的空间走刀路径。
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