CN113333869A

CN113333869A - 渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法及曲面剐齿刀具

Info

Publication number: CN113333869A
Application number: CN202110489142.9A
Authority: CN
Inventors: 吴晓强; 金永泉
Original assignee: Inner Mongolia University for Nationlities
Current assignee: Inner Mongolia University for Nationlities
Priority date: 2021-04-30
Filing date: 2021-04-30
Publication date: 2021-09-03
Anticipated expiration: 2041-04-30
Also published as: CN113333869B

Abstract

本发明涉及高精度齿轮加工领域，具体涉及一种渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法，包括：S1，确定需要求解的对象为珩齿砂轮的一个齿槽两侧两个渐开螺旋面M、N，建立动坐标系S₁(O₁‑x₁y₁z₁)，z₁轴与内齿工件轴线重合，平面O₁x₁y₁平行于内齿工件端面，与端面之间的距离为齿宽的一半，x₁轴穿过内齿工件的齿槽中心，动坐标系S₁与内齿工件固联；S2，分别获取渐开螺旋面M和N求解的初始所需参数r_b、σ₀、θ、u、p，其中，r_b是渐开线基圆半径，σ₀表示渐开线的起始位置，θ为渐开线绕z₁轴转动角，u为渐开线张角，p为沿z₁轴移动距离。还公开了一种面剐齿刀具。解决的技术问题在于提供一种利于刀具、磨具的快速设计的渐开螺旋面内啮合线接触共轭面求解方法及曲面剐齿刀具。

Description

渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法及曲面剐齿刀具

技术领域

本发明涉及高精度齿轮加工领域，具体涉及一种渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法及曲面剐齿刀具。

背景技术

剐齿是一种高效高精度的齿轮干切加工技术。在剐齿工艺系统中，剐齿刀是最重要的组成部分。近年来，关于剐齿刀设计方面的研究已经取得了初步的成果，但目前的设计理论还不足以适时解决生产实践中出现的问题。

对于剐齿的渐开螺旋面齿面而言，其内啮合线接触共轭面并不是理论渐开螺旋面，而是一种特殊曲面。高效率地求解高精度渐开螺旋面内啮合线接触共轭面是剐齿刀的内齿圈加工刀具设计中的难题。因此，开展渐开螺旋面内啮合线接触共轭面的求解方法研究具有重要意义。

现有的与渐开螺旋面内啮合线接触共轭面求解方法相关的文献包括：解析法、半解析法、数值法和包络法。介绍解析法的相关文献为：

文献1：Litvin F L，Fuentes A.Gear geometry and applied theory[M].Cambridge University Press，2004.

文献2：[9]吴序堂.齿轮啮合原理[M].西安：西安交通大学出版社，2009.

虽然文献1和文献2中提出了外啮合时渐开螺旋面共轭面的求解思路，但其研究对象是特殊参数情况的渐开螺旋面，没有得出共轭面解析解结果，有待进一步发展提高。

介绍半解析法的相关文献为，文献3：[10]李佳，娄本超，陈新春.基于自由曲面的剐齿刀结构设计[J].机械工程学报.2014(17)：157-164.

文献3中，半解析法求解渐开螺旋面内啮合共轭面，因为使用数值法解啮合方程，所以只能针对离散的数据点求与之共轭的共轭点，共轭点拟合后才能得到共轭面。数值法解方程本身存在计算误差，效率较低，拟合得到的曲面与实际共轭面也存在误差，因此半解析法并不完全适合此类刀具设计。

介绍数值法的相关文献为，文献4：[11]Xiao L Y，Liao D X，Yi C Y.Resolutionof Digitized Conjugate Tooth-Face Surface Based on the Theory of DigitizedConjugate Surfaces[J].International Journal of Plant Engineering&Management，2004， 9(1)：1-7.

用离散数据点拟合曲面，表达出啮合方程，再用数值法求解啮合方程，得到离散的共轭点，进而拟合出共轭面。数值法多次运用曲面拟合和数值方法，误差比半解析法更大，效率也更低。

介绍包络法的相关文献为，文献5：[12]Mohan L V，Shunmugam M S.CAD approachfor simulation of generation machining and identification of contact lines[J]. International Journal of Machine Tools&Manufacture，2004，44(7-8)：717-723.

文献6：[13]王贵彬.基于UG的径向剃齿刀齿面造型分析[D].太原理工大学，2014.

包络法将已知齿面在与共轭面固结的坐标系中的包络面作为共轭面。如文献6中，利用 UG软件模拟切削运动，通过内齿圈实体反切出剃齿刀实体，径向剃齿也是一种内啮合线接触加工工艺，因此反切出的剃齿刀齿面实际上就是渐开螺旋面内啮合线接触共轭面，模拟切削运动的分度越小，求解精度越高，但是求解速度越慢，求解的共轭面由一个个小凹槽连接而成，不是连续光滑的曲面，而且共轭面数据位于实体模型上，需要进一步提取，不利于刀具、磨具的快速设计。

发明内容

本发明的解决的技术问题在于提供一种利于刀具、磨具的快速设计的渐开螺旋面内啮合线接触共轭面求解方法及曲面剐齿刀具。

本发明提供的基础方案为：渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法，包括：

S1，确定需要求解的对象为珩齿砂轮的一个齿槽两侧两个渐开螺旋面M、N，建立动坐标系S₁(O₁-x₁y₁z₁)，z₁轴与内齿工件轴线重合，平面O₁x₁y₁平行于内齿工件端面，与端面之间的距离为齿宽的一半，x₁轴穿过内齿工件的齿槽中心，动坐标系S₁与内齿工件固联；

S2，分别获取渐开螺旋面M和N求解的初始所需参数r_b、σ₀、θ、u、p，其中，r_b是渐开线基圆半径，σ₀表示渐开线的起始位置，θ为渐开线绕z₁轴转动角，u为渐开线张角，p 为沿z₁轴移动距离；

S3，分别获取渐开螺旋面M和N求解的进阶所需参数，齿数比i₂₁，轴交角∑和中心距a；

S4，求解动坐标系S₁跟随内齿工件绕z轴转过角φ₁，

对于已知的u和θ，A、B、C最终均可由渐开螺旋面生成参数(u，θ)解析表达，当给定确定的(u，θ)值后，A、B、C也能确定，等效于已知量；

其中，

所以，可得：

式中k∈Z，

通解共有4种情况f₀～f₃，枚举测试4种f_i解，合理共轭面图形对应的f_i就是

的取值；

S5，建立渐开螺旋面内啮合线接触共轭面的解析解为

S6，通过式25得到渐开螺旋面M、N内啮合线接触共轭面解析解。

采用上述方案后实现了以下有益效果：能得到连续的共轭面曲面，没有理论误差，计算稳定，不存在收敛性问题，能够从根源上保证强力珩齿砂轮的设计精度，进而在一定程度上保证加工齿轮的精度，同时具有更加的求解效率，更便于工程化应用。

一种曲面剐齿刀具(即珩齿砂轮)，所述曲面剐齿刀具由上述方法设计而得。

有益效果：采用上述方法设计，更加快速。

进一步，包括上端面、下端面和夹持供电装置，定义上端面的圆心到上端面的齿槽为内径，且以该圆心和该内径限定的圆形为上内径圆；同理定义下内径圆，在上内径圆和下内径圆的表面均覆盖有绝缘膜，夹持供电装置夹持在上端面和下端面两侧，夹持供电装置与上端面和下端面之间紧密接触以用于上端面和下端面之间通过电流，夹持供电装置还包括用于检测电流大小的电流检测模块。

有益效果：通过检测电流的大小是否发生变化，能够表征刀具(剐齿刀)的齿部分是否变形，保证加工的进度。

进一步，还包括AD转换模块和处理模块，电流检测模块与AD转换模块信号连接，AD转换模块与处理模块信号连接。

进一步，夹持供电装置包括夹持架、上夹板和下夹板，上夹板和下夹板分别于夹持架滑动连接，上夹板上固设有碳刷层，上夹板与上内径圆接触部分固设有上压力敏感传感器，上压力敏感传感器位于碳刷层与上夹板之间，上夹板与夹持架之间设有上电磁驱动模块，下夹板上固设有碳刷层，下夹板与下内径圆接触部分固设有下压力敏感传感器，下压力敏感传感器位于碳刷层与下夹板之间，下夹板与夹持架之间设有下电磁驱动模块。

有益效果：保证在电流检测过程中紧密接触，且不会因为夹持的问题，导致误报的情况。

进一步，所述处理模块为单片机，上电磁驱动模块和下电磁驱动模块均为舵机，舵机的输出轴上均固定连接有同轴的丝杆，上夹板和下夹板上均固定连接有与丝杆对应的丝杠，舵机均与单片机控制连接。

有益效果：能够通过单片机只能调节夹持力度，保证检测的准确性。

附图说明

图1a为本发明实施例一中的坐标系示意图；

图1b为本发明实施例一中的啮合方程相关的参数的示意图；

图2为渐开螺旋面的示意图；

图3为三角函数的解的示意图；

图4为内斜齿圆柱齿轮与相关参数的示意图；

图5为齿槽渐开螺旋面的示意图；

图6为正轴交角内啮合线接触共轭面的示意图；

图7为正轴交角内啮合线接触共轭齿轮的示意图；

图8为负轴交角内啮合线接触共轭面的示意图。

具体实施方式

下面通过具体实施方式进一步详细说明：

实施例一

渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法，包括：

S4，求解动坐标系S₁跟随内齿工件绕z轴转过角φ₁，

其中，

所以，可得：

式中k∈z，

的取值；

S5，建立渐开螺旋面内啮合线接触共轭面的解析解为

具体的，从理论层面进行进一步的阐述，强力珩齿工艺系统包含如图1a所示的2个自由度，即工件和刀具的同步转动以及刀具或工件沿工件轴线的相对移动。剐齿等齿轮加工工艺的自由度与之相同。由此建立图1a所示的工艺系统坐标系，即2个固定坐标系S(O-xyz)、 S_t(O_t-x_ty_tz_t)，2个分别与齿轮1、齿轮2固联的动坐标系S₁(O₁-x₁y₁z₁)、S₂(O₂-x₂y₂z₂)。啮合方程相关的参数如图1b所示。

坐标系S、S_t是两个固定坐标系，z轴与齿轮1即工件齿轮的回转轴线重合；z_t轴与齿轮 2即珩齿砂轮的回转轴线重合；z_t轴到z轴的夹角在平面Oyz上的投影为轴交角∑；x轴与x_t轴重合，OO_t之间的距离为中心距a。S₁、S₂分别与齿轮1、齿轮2固联，齿轮1的齿面1 是已知的渐开螺旋面，齿轮2的齿面2为齿面1的共轭面，为待求量。S₁、S₂在起始位置处分别与S、St重合。齿轮1以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，并以速度vs⁽¹⁾沿z轴匀速移动；齿轮 2以匀角速度ω⁽²⁾绕z_t轴转动，ω⁽¹⁾、vs⁽¹⁾和ω⁽²⁾分别与z和z_t正方向相同。加工过程中，从起始位置经过一段时间后，S₁跟随齿轮1绕z轴转过角φ₁，沿z轴移动距离l₁；与此同时， S₂随齿轮2绕z_t轴转过角φ₂，运动到图1b中所示的啮合位置，S₁中的点P和S₂中的点P’ 共轭接触于S中的点N，三点重合，这里称点P’为点P的共轭点。不同的点P和点P’对应的φ₁、l₁、φ₂值不同，P和P’接触点N在S中的位置也不同。根据图1a和图1b所示坐标系的关系，可得坐标系间的变换关系，S₁到S的齐次坐标变换矩阵T₀₁、S到S₂的其次坐标变换矩阵T₂₁、S₁到S₂的其次坐标变换矩阵T₂₁等。

T_2i＝T₂₀·T₀₁ (3)

齿面1与齿面2共轭，那么两齿面在共轭接触点N处的公法矢n⁽¹²⁾必须与两齿面在该点处的相对运动速度v⁽¹²⁾垂直[9]，即在点N处必须满足啮合方程

n⁽¹²⁾.ν⁽¹²⁾＝0 (4)

寻求渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析解的核心是解啮合方程(4)。求解啮合方程时，必然要有计算参考系，在该参考系中表达出两齿面在接触点处的公法矢n⁽¹²⁾和相对运动速度 ν⁽¹²⁾，利用n⁽¹²⁾和ν⁽¹²⁾构造出啮合方程后再解之。坐标系S₁，S，St，S₂均可作为参考系，因固定坐标系S更能直观描述相对运动速度，所以本文选定S作为计算参考系。

在坐标系S中，两齿面在共轭接触点N处的公法矢n⁽¹²⁾是解啮合方程的基础。如图1b，因为点P与点P’共轭啮合于点N，所以两齿面在接触点N处的公法矢n⁽¹²⁾等于点P在坐标系 S中的法矢n⁽¹⁾。点P在坐标系S中的法矢n⁽¹⁾可由点P在坐标系S₁中的法矢

变换得到。又因为点P是S₁中渐开螺旋面上的点，所以法矢

可根据S₁中渐开螺旋面的方程推出。本文约定矢量

的上标“(1)”表示该矢量属于齿面1，若上标为“(12)”则表示该矢量与齿面1和齿面2均有关；下标“1”表示该矢量参考系为坐标系S₁，若无下标，参考系则为S。综上所述，求点N处的公法矢n⁽¹²⁾，首先应表示出S₁中的渐开螺旋面方程r₁ ⁽¹⁾，然后根据r₁ ⁽¹⁾求得点P在S₁中法矢

再将

变换到S中。

如图2所示，结合实际的齿廓，单独考察与坐标系S₁固联的渐开螺旋面，位于平面O₁-x₁y₁上的渐开线BC绕z轴做螺旋运动，形成了渐开螺旋面，渐开螺旋面的方程为

其中

式中r_b是渐开线基圆半径。在平面Oxy上，初始角σ₀表示渐开线的起始位置；本文定义参数渐开线张角u，u值从0逐渐增大，生成了渐开线BC。渐开线BC绕z轴转动角θ，同时沿z轴移动距离pθ，其运动过程扫略形成了渐开螺旋面。σ₀、u和θ均为有向角，方向与 z正方向相同，螺旋面右旋时p为正，左旋时p为负。除u和θ为参变量外，其他参数均为常量，每一对具体的(u，θ)值确定了渐开螺旋面上的一点P(u，θ)，因此本文称u和θ为渐开螺旋面的两个生成参数，连续的(u，θ)值确定了对应的渐开螺旋面。

在坐标系S₁中，渐开螺旋面上任意一点P(u，θ)处的法矢

为

将式(5)带入式(6)，可得坐标系S₁中渐开螺旋面法矢

为

其中

由上式可知，渐开螺旋面在坐标系S₁中的法矢

能由其自身生成参数(u，θ)解析表达。

齿面1上任一点P(u，θ)从初始位置到成为共轭接触点，即与点N重合，坐标系S₁相对于坐标系S沿z轴转过了相应的角φ₁，同时沿z轴移动了相应的距离l₁，不同的点P(u，θ)从初始位置到成为接触点对应的φ₁和l₁不同。根据矢量在坐标系间的变换关系和式(7)，将接触点N处坐标系S₁中的法矢

变换到坐标系S中得n⁽¹⁾，又知n⁽¹²⁾等于n⁽¹⁾，可得两齿面在N点处的公法矢n⁽¹²⁾为

其中

由式(7)、(8)可知，在公法矢n⁽¹²⁾表达式中，除

外，其他式子均可由渐开螺旋面生成参数(u，θ)解析表达。

在坐标系S中，两齿面在共轭接触点N处的相对速度v⁽¹²⁾是解啮合方程的基础。如图1a 和图1b，点P在坐标系S中的运动速度为v⁽¹⁾，点P’在坐标系S中的运动速度为v⁽²⁾，P、P’、N三点重合。因此，在坐标系S中，两齿面在共轭接触点N处的相对速度

v⁽¹²⁾＝v⁽¹⁾-v⁽²⁾＝ω⁽¹⁾×r⁽¹⁾+vs⁽¹⁾-ω⁽²⁾×r⁽²⁾ (9)

式(9)中

其中的x⁽¹⁾、y⁽¹⁾、z⁽¹⁾是点P在坐标系S中的坐标值，可以由点P在坐标系S₁中的坐标值

变换得到，由其次坐标变换矩阵式(1)可得

将式(1)、(5)、(10)、(11)带入式(9)，可知在坐标系S中，两齿面在接触点N处的相对速度v⁽¹²⁾为

其中

式中的ω₁、ω₂、v₀₁分别是矢量ω⁽¹⁾、ω⁽²⁾、

的模。由式(5)、(11)可知，在ν⁽¹²⁾表达式 (12)中，除参数

外，其他式子均可由渐开螺旋面生成参数(u，θ)解析表达。

式(8)和式(12)分别用解析式描述了坐标系S中，两齿面在啮合点N处的公法矢n⁽¹²⁾和两齿面在N点处的相对运动速度v⁽¹²⁾，将n⁽¹²⁾和v⁽¹²⁾带入式(4)，啮合方程仅含一个变量

因而

的求取成为求共轭面的关键。本小节先讨论如何求取转角

的解析解，然后利用

求得共轭面的解析解。

对于同一渐开螺旋面，双自由度线接触啮合与单自由度线接触啮合的共轭面相同[14]。双自由度内啮合线接触可简化为单自由度的齿轮1与齿轮2之间的定轴转动。设此时的独立运动参数为ω₁，则其他运动参数为

ω₂＝i₂₁ω₂，

v₀₁＝0，l₁＝0 (13)

式中i₂₁＝z₁/z₂，即齿轮1与齿轮2的齿数比。将式(8)、(12)带入式(4)，整理得啮合方程

其中

由式(5)、(7)知，式(14)中的A、B、C最终均可由渐开螺旋面生成参数(u，θ)解析表达，当给定确定的(u，θ)值后，A、B、C也能确定，等效于已知量。此时啮合方程(14)仅余下一个变量

由式(14)得

其中

tanδ＝e，

解方程式(15)，首先应解外层三角函数方程

如图3(a)所示，在单位圆中，当余弦值为d时，该方程的解等于终边为1或1’的角，所以

同理，对方程式(15)中的方程tanG＝e，其求解原理如图3(b)所示，在单位圆中，当正切值为e时，该方程的解等于终边为2或2’的角，即

整理(16)、(17)，可得方程式(14)中

的通解

其中

f₀＝arccos(d)-arctan(e)+2kπ

f₁＝arccos(d)-arctan(e)+π+2kπ

f₂＝-arccos(d)-arctan(e)+2kπ

f₃＝-arccos(d)-arctan(e)+π+2kπ

式中k∈Z，

通解共有4种情况f₀～f₃，由式(5)、(7)、(14)、(15)和(18)知，4 种情况f₀～f₃均可由渐开螺旋面生成参数(u，θ)解析表达。针对某个具体的渐开螺旋面，式(18)中，仅有1种f_i是合理值，其他三种f_i其他为奇异值。

具体取哪种f_i值，与构造渐开螺旋面的自身参数等多个因素有关，较为复杂。枚举测试4种f_i解，合理共轭面图形对应的f_i就是

的取值，最终可以统计出各种情况下的取值。

由式(18)可知，

是一个以2π为周期的值。在实际齿轮啮合过程中，

的物理意义是齿面1上的点P从初始位置到成为啮合点过程中绕z轴转过的角度，P点从第一次啮合到再次啮合，齿面1会绕自身转轴转动一圈，即2π；若再到下一次啮合，齿面1相对于第一次会绕自身转动2圈，即4π，以此类推。因此，

是以2π为周期的值，也与实际啮合情况相互吻合。

图1a和图1b中，齿面1上的点P在坐标系S中的坐标值x⁽¹⁾、y⁽¹⁾、z⁽¹⁾可由式(11)计算。齿面2上的点P’在坐标系S中的坐标值x⁽²⁾、y⁽²⁾、z⁽²⁾可以由P’在坐标系S₂中的坐标值

变换得到

由于点P和点P’在坐标系S中重合，即

[x⁽¹⁾ y⁽¹⁾ z⁽¹⁾ 1]^T＝[x⁽²⁾、y⁽²⁾、z⁽²⁾ 1]^T (20)

所以由式(11)、(19)、(20)得

进一步变换式(21)，有

又因为

(T₀₂)^-1T₀₁＝T₂₀T₀₁＝T₂₁ (23)

所以式(22)为

由式(24)可知，共轭点P’在坐标系S₂中的坐标值

可以由点P在坐标系S₁中的坐标值

变换得到。其中的齐次坐标变换矩阵T₂₁可根据式(1)、(2)、(3)计算，T₂₁最终有5个参数

l₁、

∑和a。由式(18)知

能由渐开螺旋面生成参数(u，θ)解析表达；由式(13)可知l₁＝0，

因此

也可以由(u，θ)解析表达；∑和a是工艺系统给定的常量。因此，T₂₁最终可以由(u，θ)解析表达。由式(7)知，式(22)中的

也能由(u，θ)解析表达。因此在式(24)中，共轭点P’在坐标系S₂中的坐标值的

最终也能由(u，θ)解析表达。一个具体的共轭点P’对应了一对具体的(u，θ)值，当(u，θ)为连续值时，式(24)实质上就是连续的共轭面在坐标系S₂中的方程，即连续的共轭面自身的曲面方程，因此由式(1)、(2)、 (3)、(5)、(18)和(24)可得渐开螺旋面内啮合线接触共轭面的解析解为

本实施例还公开了一种曲面剐齿刀具所述曲面剐齿刀具由前述的渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法设计而出。为进一步进行具体说明，列举了如图4所示内斜齿圆柱齿轮齿面为例进行说明(仅为方便说明而列举参数，不作为对本发明保护范围的限定，本领域技术人员根据所掌握现有技术进行的适应性调整，也在本发明的保护范围之内)，齿轮基本参数如表1所示。

表1齿轮参数

以齿轮的一个齿槽两侧两个渐开螺旋面M、N为研究对象，建立图4所示的坐标系S₁(O₁- x₁y₁z₁)，z₁轴与齿轮轴线重合，平面O₁x₁y₁平行于齿轮端面，与端面之间的距离为齿宽的一半。x₁轴穿过齿槽中心。根据齿轮参数与渐开螺旋面参数的映射关系，式(5)所需的渐开螺旋面M、N的参数如表2和表3，渐开螺旋面M、N的图形如图5所示

表2渐开螺旋面M的参数

表3渐开螺旋面N的参数

由式(23)可知，除渐开螺旋面自身参数外，求渐开螺旋面M、N的内啮合线接触解析解还需3个参数：齿数比i₂₁，轴交角∑和中心距a。其中i₂₁＝z₁/z₂，工件齿数z₁由表1确定，因此解析解所需参数实质为：z₂、∑和a，这3个参数取值不同时，对应的内啮合线接触共轭面也不同，在强力珩齿等齿轮加工工艺中，共轭齿轮齿数z₂是设计珩齿砂轮前指定的参数，轴交角∑和中心距a是加工前指定的工艺参数，一旦实际的工艺系统确定，那么z₂、∑和a三个参数就能确定。结合强力珩齿工艺，本文选取了如表4所示∑为正值和表5所示∑为负值的两组参数。另外，式(23)中

的取值也是求渐开螺旋面M、N内啮合线接触解析解的关键。实验统计发现，在图4和图1a和图1b所示的坐标系建立方式，渐开螺旋面自身参数选定如表 2和表3，z₂、∑和a选定如表4时，渐开螺旋面M的共轭面对应的

应取f₀，渐开螺旋面N的共轭面对应的

应取f₂。式(18)中f_i是一个以2π为周期的函数，取k＝0的一个周期特解作为研究代表，得如表4所示的

将表2和表4中的参数带入式(25)，即可到如式(26)所示的渐开螺旋面M的内啮合线接触共轭面解析解。同理，也能得到渐开螺旋面N的内啮合线接触共轭面解析解。图6中M_CJS 和N_CJS分别为与M和N对应的内啮合线接触共轭面图形。

表4正轴交角时的参数

其中

式中

A＝-111576.4095uθsin(θ+u-0.0605) +76105.2885u cos(θ+u-0.0605) +1311.3914u²[cos(θ+u-0.0605)+usin(θ+u-0.0605)]

B＝76105.2885u sin(θ+u-0.0605) -111576.4095uθcos(θ+u-0.0605) -1311.3914u²[sin(θ+u-0.0605)-ucos(θ+u-0.0605)]

C＝-49399.6192[u sin²(θ+u-0.0605) +u cos²(θ+u-0.0605)]-77944.0668u²

式(26)中的u为0.348～0.555rad，θ为-0.266～0.266rad的连续值。

利用M_CJS和N_CJS构造的内啮合线接触共轭齿轮是珩齿砂轮等的设计基础，如图7所示。

同理，当轴交角∑为负时，渐开螺旋面M的共轭面对应的

应取f₀，渐开螺旋面N的共轭面对应的

应取f₂。将表2、表3和表5中的参数带入式(25)，即可得到共轭面解析表达式，共轭面图形及由此构造的共轭齿轮，如图8所示。

表5负轴交角时的参数

本实施例与现有的半解析法、数值法以及包络法相比，在收敛性、稳定性、求解速度、求解精度等方面明显不同于其他方法。

以求表2、表3、表4和表5所示渐开螺旋面M、N的共轭面为例，要求共轭面求解结果误差均小于10⁴mm，将本实施例与上述方法定量比较，比较结果如下：

表6求解方法的定量比较

注：实验电脑硬件配置：处理器：Intel T7500，安装内存：4GB；操作系统：windows7旗舰版Service Pack1。

本文提出的解析法，用渐开螺旋面的两个生成参数(u，θ)解析表达与之线接触内啮合的共轭面，能得到连续的共轭面曲面，没有理论误差，计算稳定，不存在收敛性问题，能够从根源上保证强力珩齿砂轮的设计精度，进而在一定程度上保证加工齿轮的精度。如表6所示，解析法的求解速度是半解析法的300多倍，是数值法的1000多倍，是包络法的1000多甚至 2000多倍，本文提出的解析法相较于其他方法，在求解速度上具有绝对优势，有利于齿轮刀具、磨具的快速开发和迭代升级。

半解析法用解析表达式表示啮合方程，但用数值法求解共轭面。啮合方程式是一个超越方程，只能用二分法、牛顿法、插值法等解法求其近似解。不论是哪种解超越方程的方法，都存在理论误差，不能同时满足高精度高效率的求解要求，另外，如何保证求解算法的收敛性与一致性也必须考虑，这也增加了求解过程的复杂度。数值法的精度与效率比半解析法更差。利用UG的包络法运算速度相对其他方法最慢，包络法同样满足不了高精度高效率的共轭面求解要求。

在工程应用方面。半解析法和解析法只能先求得共轭点，拟合这些共轭点后才能得到共轭面；包络法运算的共轭面数据位于实体模型上，需再次开发算法剔除冗余数据，才能提取出共轭面数据进而构造共轭面。而解析法的共轭面解析解则可以直接用来生成连续的共轭面曲面。相比于半解析法、数值法和包络法这些离散化的方法，解析法简洁且直接，更便于工程化应用。

实施例二

与实施例一相比，不同之处仅在于，还包括夹持供电装置、AD转换模块和处理模块(本实施例中，处理模块选用的是stc12c5a60s2单片机，其自带16位的AD转换模块，精度能够到5/255V，经过试验，已经能够对变形的刀具进行检测，如果还要提高精度可以选择精度更高的AD转换模块)，定义刀具上端面的圆心到上端面的齿槽为内径，且以该圆心和该内径限定的圆形为上内径圆；同理定义下内径圆，在上内径圆和下内径圆的表面均覆盖有绝缘膜，夹持供电装置夹持在上端面和下端面两侧，夹持供电装置与上端面和下端面之间紧密接触以用于上端面和下端面之间通过电流，夹持供电装置还包括用于检测电流大小的电流检测模块(电流检测模块本实施例中选用的电流表，实际上，也可以用stc12c5a60s2单片机的引脚直接对电压进行检测，然后进行AD转换，但是由于stc12c5a60s2单片机的供电电压波动，会导致误读，且精度也有限，因此，本实施引入了专门的电流表)。电流检测模块与 stc12c5a60s2单片机信号连接。

夹持供电装置包括恒流源(5V，也可以选用12V，然后进行降压，本实施例为了方便表述和理解，选择的5V的)、夹持架、上夹板和下夹板，恒流源为的正负极分别连接上夹板和下夹板，上夹板和下夹板分别于夹持架滑动连接，上夹板上固设有碳刷层，上夹板与上内径圆接触部分固设有上压力敏感传感器，上压力敏感传感器位于碳刷层与上夹板之间，上夹板与夹持架之间设有上电磁驱动模块，下夹板上固设有碳刷层，下夹板与下内径圆接触部分固设有下压力敏感传感器，下压力敏感传感器位于碳刷层与下夹板之间，下夹板与夹持架之间设有下电磁驱动模块，上压力敏感传感器和下压力敏感传感器分别于stc12c5a60s2单片机信号连接，当上压力敏感传感器和下压力敏感传感器的压力满足预设值时(本实施例中的预设条件为定值1N)，stc12c5a60s2单片机才读取电流表的电压，避免接触误差导致的误读。

上电磁驱动模块和下电磁驱动模块均为舵机，舵机的输出轴上均固定连接有同轴的丝杆，上夹板和下夹板上均固定连接有与丝杆对应的丝杠，舵机分别于stc12c5a60s2单片机控制连接，在上夹板、下夹板分别与上端面和下端面的压力值不满足预设条件时，由stc12c5a60s2单片机控制舵机工作，以进行调整，确保检测的精度。

需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。

以上所述的仅是本发明的实施例，方案中公知的具体结构及特性等常识在此未作过多描述，所属领域普通技术人员知晓申请日或者优先权日之前发明所属技术领域所有的普通技术知识，能够获知该领域中所有的现有技术，并且具有应用该日期之前常规实验手段的能力，所属领域普通技术人员可以在本申请给出的启示下，结合自身能力完善并实施本方案，一些典型的公知结构或者公知方法不应当成为所属领域普通技术人员实施本申请的障碍。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明结构的前提下，还可以作出若干变形和改进，这些也应该视为本发明的保护范围，这些都不会影响本发明实施的效果和专利的实用性。本申请要求的保护范围应当以其权利要求的内容为准，说明书中的具体实施方式等记载可以用于解释权利要求的内容。

Claims

1.渐开螺旋面内啮合线接触共轭面解析方法，其特征在于，包括：

S2，分别获取渐开螺旋面M和N求解的初始所需参数r_b、σ₀、θ、u、p，其中，r_b是渐开线基圆半径，σ₀表示渐开线的起始位置，θ为渐开线绕z₁轴转动角，u为渐开线张角，p为沿z₁轴移动距离；

S4，求解动坐标系S₁跟随内齿工件绕z轴转过角φ₁，

其中，

所以，可得：

式中k∈z，

的取值；

S5，建立渐开螺旋面内啮合线接触共轭面的解析解为

2.一种曲面剐齿刀具，其特征在于：所述曲面剐齿刀具由权利要求1所述方法设计而得。

3.根据权利要求2所述的曲面剐齿刀具，其特征在于：包括上端面、下端面和夹持供电装置，定义刀具上端面的圆心到上端面的齿槽为内径，且以该圆心和该内径限定的圆形为上内径圆；同理定义下内径圆，在上内径圆和下内径圆的表面均覆盖有绝缘膜，夹持供电装置夹持在上端面和下端面两侧，夹持供电装置与上端面和下端面之间紧密接触以用于上端面和下端面之间通过电流，夹持供电装置还包括用于检测电流大小的电流检测模块。

4.根据权利要求3所述的曲面剐齿刀具，其特征在于：还包括AD转换模块和处理模块，电流检测模块与AD转换模块信号连接，AD转换模块与处理模块信号连接。

5.根据权利要求4所述的曲面剐齿刀具，其特征在于：夹持供电装置包括夹持架、上夹板和下夹板，上夹板和下夹板分别于夹持架滑动连接，上夹板上固设有碳刷层，上夹板与上内径圆接触部分固设有上压力敏感传感器，上压力敏感传感器位于碳刷层与上夹板之间，上夹板与夹持架之间设有上电磁驱动模块，下夹板上固设有碳刷层，下夹板与下内径圆接触部分固设有下压力敏感传感器，下压力敏感传感器位于碳刷层与下夹板之间，下夹板与夹持架之间设有下电磁驱动模块。

6.根据权利要求5所述的曲面剐齿刀具，其特征在于：所述处理模块为单片机，上电磁驱动模块和下电磁驱动模块均为舵机，舵机的输出轴上均固定连接有同轴的丝杆，上夹板和下夹板上均固定连接有与丝杆对应的丝杠。