CN113676289B - 一种基于变换域最大比合并的otfs调制信号检测方法 - Google Patents

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CN113676289B CN202110953367.5A CN202110953367A CN113676289B CN 113676289 B CN113676289 B CN 113676289B CN 202110953367 A CN202110953367 A CN 202110953367A CN 113676289 B CN113676289 B CN 113676289B
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Abstract

本发明公开了一种基于变换域最大比合并的OTFS信号检测方法，包括如下步骤：步骤一，根据信道的路径信息构建时延多普勒域的有效信道矩阵；步骤二，根据步骤一所构建的矩阵中循环矩阵对角化的相关性质推导有效信道矩阵的分块带状结构，并得到多普勒分集形式的输入输出关系；步骤三，根据有效信道矩阵的结构特征设计低复杂度的变换域最大比合并算法，通过该算法得到得到发射符号的估计值。本发明能够解决现有OTFS信号检测方法中复杂度高的问题，显著降低计算复杂度，并具有较好的误码率性能。

Description

一种基于变换域最大比合并的OTFS调制信号检测方法
技术领域
本发明涉及一种基于变换域最大比合并的OTFS信号检测方法，属于通信数字信号处理技术领域。
背景技术
正交时频空(Orthogonal time frequency space,OTFS)调制作为一种新兴的二维调制技术，对多普勒扩展具有很强的鲁棒性，适用于5G高速移动环境下的通信场景。不同于正交频分复用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技术，OTFS将载有信息的符号调制在时延多普勒域上。OTFS调制把频率时间域下的时变衰落信道转变为时延多普勒域下的恒定增益、与时间无关的信道，因此对信道的时变特性更加鲁棒。针对OTFS的符号解调算法是目前研究的一大热点。
现有的针对OTFS符号解调的算法可以分为两类，分别是线性的和非线性的。线性算法包括线性最小均方误差估计(Linear minimum mean square error,LMMSE)算法。这种方法简单易实现，计算复杂度低，但是没有充分利用时延多普勒信道的稀疏特性，因此误码率性能较差。非线性算法主要有信息传递(Message passing,MP)算法，MP算法借助因子图，将噪声干扰和符号间干扰看作独立的高斯分布，通过和积算法得到近似的最大后验概率估计，具有较好的误码率性能，但是相比线性算法，计算复杂度相对较大。另外还有人提出了一种低复杂度的Rake接收机，这种Rake接收机将不同时延的发射符号分集接收，通过最大比合并的方式来提升接收信噪比，得到较好的误码率性能，同时利用时延多普勒域信道的稀疏性，降低了计算复杂度。但是这种方法的缺点是为了满足信道矩阵的特殊结构，需要将最前端的部分发射符号置零，这样就降低了通信速率。另外这种算法没有利用多普勒域的扩展，随着多普勒扩展的增加性能会有所下降。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于变换域最大比合并的OTFS调制信号检测方法，将接收信号在多普勒维度上进行分集，利用时延多普勒域有效信道矩阵的分块对角化特性，设计变换域的最大比合并算法，避免传统最大比合并算法的矩阵求逆，降低算法的计算复杂度，提升算法的误码率性能。
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种基于变换域最大比合并的OTFS信号检测方法，包括如下步骤：
步骤一，根据信道的路径信息构建时延多普勒域的有效信道矩阵；
步骤二，根据步骤一所构建的矩阵中循环矩阵对角化的相关性质推导有效信道矩阵的分块带状结构，并得到多普勒分集形式的输入输出关系；
步骤三，根据有效信道矩阵的结构特征设计低复杂度的变换域最大比合并算法，通过该算法得到得到发射符号的估计值。
所述步骤一具体为：
对于OTFS调制系统，设符号数和子载波数分别为N和M，符号持续时间为T，为了满足子载波间的正交性，子载波带宽设为Δf＝1/T，因此一帧的持续时间为NT，总带宽为MΔf，设调制在时延多普勒域的二维信息符号矩阵为
Figure BDA0003219397820000021
其中的每一个信息符号都是随机从符号表中选取；对于OTFS调制，应用逆辛傅里叶变换将信息符号从时延多普勒域转化到时频域，写成矩阵形式为
Figure BDA0003219397820000022
其中，XTF表示时频域的符号矩阵，且FM表示归一化的M点DFT矩阵，
Figure BDA0003219397820000023
表示归一化的N点IDFT矩阵，上标H代表共轭转置；然后，经过海森堡变换得到信号的时域形式，表示为
Figure BDA0003219397820000024
其中，S是M×N的发射信号矩阵，将发射信号矩阵做向量化处理，得到向量形式的发射信号，如下
Figure BDA0003219397820000025
式(3)中，vec(·)表示列向量化，另外x＝vec(X)，
Figure BDA0003219397820000026
表示克罗内克积，IM表示M阶的单位矩阵；加入循环前缀后，发射信号在时变信道中传播；
设时变信道有P条传播路径，其中第i条传播路径的的增益设为hi，时延和多普勒频移分别设为
Figure BDA0003219397820000027
其中，li和ki表示离散时延和离散多普勒，随后将P条传播路径按照离散多普勒ki进行分类，用
Figure BDA0003219397820000031
表示P条路径中离散多普勒的取值集合，
Figure BDA0003219397820000032
表示离散多普勒为q时的离散时延取值集合，因此时延多普勒域的信道脉冲响应表示为
Figure BDA0003219397820000033
其中，δ(·)表示狄利克雷函数，τ表示时延域，ν表示多普勒域，hq,l表示在多普勒为q且时延为l处的信道复增益，如果不存在这样一条路径则相应的复增益取值为0，最大的离散多普勒设为Q，最大的离散时延设为L，显然
Figure BDA0003219397820000034
经过信道后，接收信号表示成
Figure BDA0003219397820000035
其中，e是自然常数，n代表离散时间采样点，s是向量形式的发射信号，<·>MN代表取模运算，
Figure BDA0003219397820000036
代表向量形式的高斯白噪声，上式写成向量形式，记为
r＝Hs+w (7)
其中，H表示时域信道矩阵，分解成如下形式
Figure BDA0003219397820000037
其中，
Figure BDA0003219397820000038
是一个循环矩阵，代表时延对信号的影响，它是个L个置换矩阵的加权和，置换矩阵
Figure BDA0003219397820000039
的形式如下
Figure BDA00032193978200000310
Δ代表多普勒对信号的影响，表示为
Figure BDA00032193978200000311
其中，diag{·}表示对角矩阵，大括号内的是对角线元素，有了时域信道矩阵的结构，能够得到后面的时延多普勒有效信道矩阵的分块对角结构，在此之前，先得到OTFS的接收机结构；
OTFS接收机实施发射机的逆过程，首先去除循环前缀得到向量形式的接收信号r，然后通过维格纳变换将时域接收信号变换到时频域，也就是
YTF＝FMR (11)
其中，YTF表示时频域的接收矩阵，R＝vec-1(r)是M×N的接收信号矩阵，最后通过辛傅里叶变换将接收信号变换到时延多普勒域
Figure BDA0003219397820000041
向量形式的接收符号表示为
Figure BDA0003219397820000042
其中r为式(7)中得到的r；
接下来得到时延多普勒信道的有效信道矩阵，时延多普勒信道的有效信道矩阵具有分块对角化的结构特征，能够用来降低接收机的复杂度，结合式(3)、(7)、(8)和(13)，得到有效信道矩阵的一般形式
Figure BDA0003219397820000043
其中，
Figure BDA0003219397820000044
且
Figure BDA0003219397820000045
下面分别分析Uq和Vq的结构；
首先分析Uq的结构，由于Gq不仅是循环矩阵，还是分块循环矩阵，每个分块的大小是M×M，因此，Uq能够分解为一个分块对角矩阵，记为
Uq＝Diag{Uq,0,…,Uq,n,…,Uq,N-1} (15)
Figure BDA0003219397820000046
表示第n个分块元素，Diag{·}表示分块对角矩阵，每个对角元素都是一个块矩阵，根据分块循环矩阵的性质，Uq,n能够进一步分解为
Figure BDA0003219397820000047
其中，ΛM是M×M的对角矩阵，具体表示为
Figure BDA0003219397820000051
另外，式(16)中的
Figure BDA0003219397820000052
也是对角矩阵，其对角元素为
Figure BDA0003219397820000053
其中的对角元素根据
Figure BDA0003219397820000054
来计算，即信道复增益的离散傅里叶变换；为了简化式(16)，定义一种变换，记为
Figure BDA0003219397820000055
这样式(16)简记为
Figure BDA0003219397820000056
因此，Uq不仅本身为分块对角矩阵，而且每个对角元素都可以通过
Figure BDA0003219397820000057
实现对角化，这位接收机降低复杂度创造了条件；
接下来分析Vq的结构，由于Δq是分块对角矩阵，因此Vq是一个分块循环矩阵，具体表示为
Figure BDA0003219397820000058
其中，ΠN∈N×N是置换矩阵，根据式(21)，对于离散多普勒q，需要q个单位的循环移位，因此，不同多普勒的信号被分离，形成了多普勒分集；结合上面分析的Uq，得到时延多普勒域有效信道矩阵的分块循环带状结构，并且每个分块都能够通过
Figure BDA0003219397820000059
变换实现对角化；
总结下来，有效信道矩阵表示为
Figure BDA00032193978200000510
所述步骤二具体为：
根据步骤一中对模型的分析，有效信道矩阵Heff被划分成N×N个子块，因此同样将发射信号矢量x和接收信号矢量y划分为N×1个子向量，记作xn和yn，其中，n＝0,1,…,N-1，这样时延多普勒域的输入输出关系记为
Figure BDA0003219397820000061
其中Uq,n根据式(20)得出，wn为时延多普勒域的噪声；
通过用<n+q>N代替上式中的n，并将式(16)代入(23)，得到下式
Figure BDA0003219397820000062
为了简化上式，定义根据
Figure BDA0003219397820000063
下列几组变换：
Figure BDA0003219397820000064
Figure BDA0003219397820000065
Figure BDA0003219397820000066
Figure BDA0003219397820000067
经过这些变换，得到一个相对简单的变换域的输入输出关系
Figure BDA0003219397820000068
其中的Ξ q,n+q是为了消除式(24)中的取模符号，记为
Figure BDA0003219397820000069
所述步骤三具体为：
基于式(26)，设计变换域最大比合并算法，定义
Figure BDA00032193978200000610
其中，
Figure BDA00032193978200000611
表示发射符号块矢量x n经过多普勒抽头为q的路径后接收的符号块矢量；
其中，
Figure BDA00032193978200000612
是上次迭代得到的发射符号的估计值，然后定义
Figure BDA00032193978200000613
(29b)
Figure BDA0003219397820000071
其中，g n表示把信道中所有多普勒抽头对应的接收符号块矢量
Figure BDA0003219397820000074
进行加权求和后得到的结果，γ n记录了加权的权重；
根据每一次迭代中计算的式(29a)和(29b)的值，得到每次迭代发射符号的估计值。
Figure BDA0003219397820000072
其中
Figure BDA0003219397820000073
表示γ n的逆矩阵。
有益效果：本发明充分利用了有效信道矩阵的稀疏循环带状结构，降低了算法的复杂度；不需要对部分发射符号置零，没有损失通信速率；算法的性能随着多普勒扩展的增大而提升。本发明针对以往检测算法的缺陷，设计了一种低复杂度的变换域最大比合并(Transform Domain Maximal Ratio Combining，TD-MRC)算法。不同于之前提出的Rake接收机，TDMRC算法将接收符号在多普勒维度上进行分集，由此构建的信道矩阵不仅具有稀疏性，还具有可分块对角化的特性。通过利用时延多普勒域有效信道矩阵分块对角化的特性可以避免传统MRC算法的矩阵求逆，从而大大降低了计算复杂度。通过多普勒域的分集接收能够有效对抗多普勒扩展，因此算法的另一个优势是算法性能随着多普勒扩展的增加而提升，这是以往算法所不具备的。此外，该算法不需要将最前端的部分发射符号置零，保证了通信速率，提高了频谱利用率。
变换域MRC算法的优势总结如下：首先，由于Ξ q,n+q是对角矩阵，因此γ n是一个对角矩阵，计算γ n的逆矩阵非常容易，计算复杂度被大大降低；第二，此算法不需要对部分发射符号置零，因为信道的循环带状结构考虑在内，因此通信效率可以保证；最后，此算法的性能随着多普勒扩展的增大而提升，这是最重要的一个优势，因为一般算法的性能随着多普勒扩展的增大会有所下降。
附图说明
图1为当Q＝2时的有效信道矩阵结构示图；
图2为TD-MRC算法伪代码示意图；
图3为不同路径数目下算法误码率性能对比图；
图4为不同速度下算法误码率性能对比图；
图5为不同算法时间复杂度性能对比图；
图6为基于变换域最大比合并的OTFS信号检测方法流程图。
具体实施方式
下面将结合附图和具体实施方式对本来发明进行详细说明，需要指出的是，本具体实施实例不具有限定作用，只用来验证发明的有效性。
本发明的一种基于变换域最大比合并的OTFS信号检测方法，包括如下步骤：
步骤一，根据信道的路径信息构建时延多普勒域的有效信道矩阵；
对于OTFS调制系统，设符号数和子载波数分别为N和M，符号持续时间为T，为了满足子载波间的正交性，子载波带宽设为Δf＝1/T。因此一帧的持续时间为NT，总带宽为MΔf。设调制在时延多普勒域的二维信息符号矩阵为
Figure BDA0003219397820000081
其中的每一个信息符号都是随机从符号表中选取，常用的符号表有PSK，QAM。对于OTFS调制，应用逆辛傅里叶变换(Inverse Symplectic Fast Fourier Transform,ISFFT)将信息符号从时延多普勒域转化到时频域，写成矩阵形式为
Figure BDA0003219397820000082
其中，XTF表示时频域的符号矩阵，且FM表示归一化的M点DFT矩阵，相应地
Figure BDA0003219397820000083
表示归一化的N点IDFT矩阵，上标H代表共轭转置；然后，经过海森堡变换得到信号的时域形式，表示为
Figure BDA0003219397820000084
其中，S是M×N的发射信号矩阵，将发射符号矩阵做向量化处理，得到向量形式的发射信号，如下
Figure BDA0003219397820000085
式(3)中，vec(·)表示列向量化，另外x＝vec(X)，
Figure BDA0003219397820000086
表示克罗内克积，IM表示M阶的单位矩阵；加入循环前缀后，发射信号在时变信道中传播；
设时变信道有P条传播路径，其中第i条传播路径的的增益设为hi，时延和多普勒频移分别设为
Figure BDA0003219397820000087
其中，li和ki表示离散时延和离散多普勒。随后将P条传播路径按照离散多普勒ki进行分类，用
Figure BDA0003219397820000088
表示P条路径中离散多普勒的取值集合，
Figure BDA0003219397820000089
表示离散多普勒为q时的离散时延取值集合。因此时延多普勒域的信道脉冲响应表示为
Figure BDA0003219397820000091
其中，δ(·)表示狄利克雷函数，τ表示时延域，ν表示多普勒域，hq,l表示在多普勒为q且时延为l处的信道复增益，如果不存在这样一条路径则相应的复增益取值为0，最大的离散多普勒设为Q，最大的离散时延设为L，显然
Figure BDA0003219397820000092
经过信道后，接收信号可以表示成
Figure BDA0003219397820000093
其中，e是自然常数，n代表离散时间采样点，s是向量形式的发射信号，<·>MN代表取模运算，
Figure BDA0003219397820000094
代表向量形式的高斯白噪声，上式写成向量形式，记为
r＝Hs+w (7)
之中的H表示时域信道矩阵，可以分解成如下形式
Figure BDA0003219397820000095
其中，
Figure BDA0003219397820000096
是一个循环矩阵，代表时延对信号的影响，它是个L个置换矩阵的加权和。置换矩阵
Figure BDA0003219397820000097
的形式如下
Figure BDA0003219397820000098
Δ代表多普勒对信号的影响，可以表示为
Figure BDA0003219397820000099
其中，diag{·}表示对角矩阵，大括号内的是对角线元素；有了时域信道矩阵的结构，可以得到后面的时延多普勒有效信道矩阵的分块对角结构；在此之前，先得到OTFS的接收机结构。
OTFS接收机实施发射机的逆过程，首先去除循环前缀得到向量形式的接收信号r，然后通过维格纳变换将时域接收信号变换到时频域，也就是
YTF＝FMR (11)
其中，R＝vec-1(r)是M×N的接收信号矩阵。最后通过辛傅里叶变换将接收信号变换到时延多普勒域
Figure BDA0003219397820000101
向量形式的接收符号表示为
Figure BDA0003219397820000102
其中r由式(7)得到；
接下来得到时延多普勒信道的有效信道矩阵；时延多普勒信道的有效信道矩阵具有分块对角化的结构特征，可以用来降低接收机的复杂度；结合式(3)、(7)、(8)和(13)，得到有效信道矩阵的一般形式
Figure BDA0003219397820000103
其中，
Figure BDA0003219397820000104
且
Figure BDA0003219397820000105
下面分别分析Uq和Vq的结构；
首先分析Uq的结构。由于Gq不仅是循环矩阵，还是分块循环矩阵，每个分块的大小是M×M；因此，Uq可以分解为一个分块对角矩阵，记为
Uq＝Diag{Uq,0,…,Uq,n,…,Uq,N-1} (15)
Figure BDA0003219397820000106
表示第n个分块元素，Diag{·}表示分块对角矩阵，每个对角元素都是一个块矩阵；根据分块循环矩阵的性质，Uq,n可以进一步分解为
Figure BDA0003219397820000107
其中，ΛM是M×M的对角矩阵，具体可以写作
Figure BDA0003219397820000108
另外，式(16)中的
Figure BDA0003219397820000109
也是对角矩阵，其对角元素为
Ξq,n＝diag{Hq,n,Hq,n+N,…,Hq,n+(M-1)N} (18)
其中的对角元素根据
Figure BDA00032193978200001010
来计算，即信道复增益的离散傅里叶变换；为了简化公式(16)，定义一种变换，记为
Figure BDA00032193978200001011
这样式(16)简记为
Figure BDA0003219397820000111
由此可见，Uq不仅本身为分块对角矩阵，而且每个对角元素都可以通过
Figure BDA0003219397820000112
实现对角化，这位接收机降低复杂度创造了条件。
接下来分析Vq的结构，由于Δq是分块对角矩阵，因此Vq是一个分块循环矩阵，具体写成
Figure BDA0003219397820000113
其中，ΠN∈N×N是置换矩阵，根据式(21)，对于离散多普勒q，需要q个单位的循环移位。因此，不同多普勒的信号被分离，形成了多普勒分集；结合上面分析的Uq，得到时延多普勒域有效信道矩阵的分块循环带状结构，并且每个分块都可以通过
Figure BDA0003219397820000114
变换实现对角化；
总结下来，有效信道矩阵可以表示为
Figure BDA0003219397820000115
一个具体的实例如图1所示。
步骤二，根据步骤一所构建的矩阵中循环矩阵对角化的相关性质推导有效信道矩阵的分块带状结构，并得到多普勒分集形式的输入输出关系；
基于有效信道矩阵的分块对角结构，可以设计一种变换域的最大比合并(MaximalRatio Combining，MRC)算法。根据步骤一中对模型的分析，有效信道矩阵Heff被划分成N×N个子块，因此同样将发射信号矢量x和接收信号矢量y划分为N×1个子向量，记作xn和yn(n＝0,1,…,N-1)。这样时延多普勒域的输入输出关系记为
Figure BDA0003219397820000116
其中，Uq,n根据式(20)得出，wn为时延多普勒域的噪声；
通过用<n+q>N代替上式中的n，并将(16)代入(23)，得到下式
Figure BDA0003219397820000117
为了简化上式，定义根据
Figure BDA0003219397820000118
下列几组变换：
Figure BDA0003219397820000121
Figure BDA0003219397820000122
Figure BDA0003219397820000123
Figure BDA0003219397820000124
经过这些变换，得到一个相对简单的变换域的输入输出关系，便于得出接下来的变换域MRC算法，
Figure BDA0003219397820000125
其中的Ξ q,n+q是为了消除(24)中的取模符号，记为
Figure BDA0003219397820000126
步骤三，根据有效信道矩阵的结构特征设计低复杂度的变换域最大比合并算法，通过该算法得到得到发射符号的估计值；
基于(26)，可以设计变换域的MRC算法。类似于传统的MRC算法，定义
Figure BDA0003219397820000127
这里
Figure BDA0003219397820000128
表示发射符号块矢量x n经过多普勒抽头为q的路径后接收的符号块矢量，Ξ q,n+q、x n、w n+q、y n+q分别由式(27)、(25a)、(25d)和(25c)得到。
其中
Figure BDA0003219397820000129
是上次迭代得到的发射符号的估计值。然后定义
Figure BDA00032193978200001210
Figure BDA00032193978200001211
其中g n表示把信道中所有多普勒抽头对应的接收符号块矢量
Figure BDA00032193978200001212
进行加权求和后得到的结果，γ n记录了加权的权重；
根据每一次迭代中计算的(29)的值，得到每次迭代发射符号的估计值
Figure BDA0003219397820000131
其中
Figure BDA0003219397820000132
表示γ n的逆矩阵。
具体的算法实现流程参考图2。
下面根据实施例对本发明做进一步说明。
实施例
为了验证算法的性能优势，以下给出了本发明的一个实例流程。
(1)系统仿真参数
本实施例中，基于变换域最大比合并的OTFS信号检测系统的仿真参数如表1所示。此外，选择QPSK调制作为通信调制方式，而且每条路径的复增益服从均值为0，方差为1/P的高斯分布，也就是
Figure BDA0003219397820000134
其余参数设置总结在表1中。
表1 OTFS收发系统参数
Figure BDA0003219397820000133
(2)误码率性能分析
图3展示了三种算法误码率性能随信噪比的变化曲线，其中发射端和接收端的最大相对速度Vmax,c固定为120km/h。根据图3，三种算法中，变换域的LDL分解算法性能相对较差，且当有4条路径时，MP算法和TD-MRC算法的性能大致相同。当路径数目增加到9条，MP算法的误码率性能相比4条路径时有所下降，这是因为随着路径的增加多径的干扰增强，MP算法不能有效的利用多径信息改善接收信噪比。然而TD-MRC算法的误码率性能相比4条路径有所上升，这是因为随着路径的增加，可用的多普勒分集数目增加，TD-MRC算法可以合并不同多普勒的信号来改善接收信噪比。
图4中固定路径数目，改变发射端和接收端的最大相对速度Vmax,c，分别取30，120，500km/h。如图4所示，TD-LDL算法的性能仍是相对较差，所以主要对比MP算法和TD-MRC算法。由于OTFS对多普勒扩展的鲁棒性，在三种速度条件下MP算法的性能变化不大。对于TD-MRC算法，随着Vmax,c的增大，算法的误码率性能逐渐提升，这是TD-MRC算法的优势。当Vmax,c＝30km/h时，此时的Q仅为2，多普勒分集较少，不能充分发挥TD-MRC算法的优势，但此时的误码率性能依然与MP算法相近。当Vmax,c＝500km/h时，此时Q变为24，因此TD-MRC算法的优势充分发挥，得到了更好的误码率性能。
(3)复杂度评价
从图2可以看出，本发明每次迭代的计算量为
Figure BDA0003219397820000141
故本方案总体计算复杂度最多为
Figure BDA0003219397820000142
MP算法的计算复杂度为
Figure BDA0003219397820000143
其中niter为最大迭代次数，算法的复杂度与路径数和符号表的大小有关。TD-LDL算法的计算复杂度为
Figure BDA0003219397820000144
由于三种算法由于原理上存在差异，其计算复杂度受不同参数的影响，所以采用仿真时间统计的直观对比来比较三种算法的计算复杂度。
图5展示了三种算法仿真时间的统计柱状图，很明显MP算法所需的运算时间最长，计算复杂度最高；TD-LDL算法的复杂度受Vmax,c的影响较大；而TD-MRC算法的运算时间最少，计算的复杂度最低。结合上文中的误码率分析，TD-MRC算法实现了低复杂度下的高误码率性能。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于变换域最大比合并的OTFS信号检测方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一，根据信道的路径信息构建时延多普勒域的有效信道矩阵；
对于OTFS调制系统，设符号数和子载波数分别为N和M，符号持续时间为T，为了满足子载波间的正交性，子载波带宽设为Δf＝1/T，因此一帧的持续时间为NT，总带宽为MΔf，设调制在时延多普勒域的二维信息符号矩阵为
Figure RE-FDA0003639746160000011
其中的每一个信息符号都是随机从符号表中选取；对于OTFS调制，应用逆辛傅里叶变换将信息符号从时延多普勒域转化到时频域，写成矩阵形式为
Figure RE-FDA0003639746160000012
其中，XTF表示时频域的符号矩阵，且FM表示归一化的M点DFT矩阵，
Figure RE-FDA0003639746160000013
表示归一化的N点IDFT矩阵，上标H代表共轭转置；然后，经过海森堡变换得到信号的时域形式，表示为
Figure RE-FDA0003639746160000014
其中，S是M×N的发射信号矩阵，将发射信号矩阵做向量化处理，得到向量形式的发射信号，如下
Figure RE-FDA0003639746160000015
式(3)中，vec(·)表示列向量化，另外x＝vec(X)，
Figure RE-FDA0003639746160000016
表示克罗内克积，IM表示M阶的单位矩阵；加入循环前缀后，发射信号在时变信道中传播；
设时变信道有P条传播路径，其中第i条传播路径的增益设为hi，时延和多普勒频移分别设为
Figure RE-FDA0003639746160000017
其中，li和ki表示离散时延和离散多普勒，随后将P条传播路径按照离散多普勒ki进行分类，用
Figure RE-FDA0003639746160000018
表示P条路径中离散多普勒的取值集合，
Figure RE-FDA0003639746160000019
表示离散多普勒为q时的离散时延取值集合，因此时延多普勒域的信道脉冲响应表示为
Figure RE-FDA0003639746160000021
其中，δ(·)表示狄利克雷函数，τ表示时延域，v表示多普勒域，hq，l表示在多普勒为q且时延为l处的信道复增益，如果不存在这样一条路径则相应的复增益取值为0，最大的离散多普勒设为Q，最大的离散时延设为L，显然
Figure RE-FDA0003639746160000022
经过信道后，接收信号表示成
Figure RE-FDA0003639746160000023
其中，e是自然常数，n代表离散时间采样点，s是向量形式的发射信号，<·>MN代表取模运算，
Figure RE-FDA0003639746160000024
代表向量形式的高斯白噪声，上式写成向量形式，记为
Figure RE-FDA0003639746160000025
其中，H表示时域信道矩阵，分解成如下形式
Figure RE-FDA0003639746160000026
其中，
Figure RE-FDA0003639746160000027
是一个循环矩阵，代表时延对信号的影响，它是个L个置换矩阵的加权和，置换矩阵
Figure RE-FDA0003639746160000028
的形式如下
Figure RE-FDA0003639746160000029
Δ代表多普勒对信号的影响，表示为
Figure RE-FDA00036397461600000210
其中，diag{·}表示对角矩阵，大括号内的是对角线元素，有了时域信道矩阵的结构，能够得到后面的时延多普勒有效信道矩阵的分块对角结构，在此之前，先得到OTFS的接收机结构；
OTFS接收机实施发射机的逆过程，首先去除循环前缀得到向量形式的接收信号r，然后通过维格纳变换将时域接收信号变换到时频域，也就是
YTF＝FMR (11)
其中，YTF表示时频域的接收矩阵，R＝vec-1(r)是M×N的接收信号矩阵，最后通过辛傅里叶变换将接收信号变换到时延多普勒域
Figure RE-FDA0003639746160000031
向量形式的接收符号表示为
Figure RE-FDA0003639746160000032
接下来得到时延多普勒信道的有效信道矩阵，时延多普勒信道的有效信道矩阵具有分块对角化的结构特征，能够用来降低接收机的复杂度，结合式(3)、(7)、(8)和(13)，得到有效信道矩阵的一般形式
Figure RE-FDA0003639746160000033
其中，
Figure RE-FDA0003639746160000034
且
Figure RE-FDA0003639746160000035
下面分别分析Uq和Vq的结构；
首先分析Uq的结构，由于Gq不仅是循环矩阵，还是分块循环矩阵，每个分块的大小是M×M，因此，Uq能够分解为一个分块对角矩阵，记为
Uq＝Diag{Uq，0，…，Uq，n，…，Uq，N-1} (15)
Figure RE-FDA0003639746160000036
表示第n个分块元素，Diag{·}表示分块对角矩阵，每个对角元素都是一个块矩阵，根据分块循环矩阵的性质，Uq，n能够进一步分解为
Figure RE-FDA0003639746160000037
其中，ΛM是M×M的对角矩阵，具体表示为
Figure RE-FDA0003639746160000038
另外，式(16)中的
Figure RE-FDA0003639746160000039
也是对角矩阵，其对角元素为
Ξq，n＝diag{Hq，n，Hq，n+N，…，Hq，n+(M-1)N} (18)
其中的对角元素根据
Figure RE-FDA00036397461600000310
来计算，即信道复增益的离散傅里叶变换；为了简化式(16)，定义一种变换，记为
Figure RE-FDA0003639746160000041
这样式(16)简记为
Figure RE-FDA0003639746160000042
因此，Uq不仅本身为分块对角矩阵，而且每个对角元素都可以通过
Figure RE-FDA0003639746160000043
实现对角化，这位接收机降低复杂度创造了条件；
接下来分析Vq的结构，由于Δq是分块对角矩阵，因此Vq是一个分块循环矩阵，具体表示为
Figure RE-FDA0003639746160000044
其中，ΠN∈N×N是置换矩阵，根据式(21)，对于离散多普勒q，需要q个单位的循环移位，因此，不同多普勒的信号被分离，形成了多普勒分集；结合上面分析的Uq，得到时延多普勒域有效信道矩阵的分块循环带状结构，并且每个分块都能够通过
Figure RE-FDA0003639746160000045
变换实现对角化；
总结下来，有效信道矩阵表示为
Figure RE-FDA0003639746160000046
步骤二，根据步骤一所构建的矩阵中循环矩阵对角化的相关性质推导有效信道矩阵的分块带状结构，并得到多普勒分集形式的输入输出关系；根据步骤一中对模型的分析，有效信道矩阵Heff被划分成N×N个子块，因此同样将发射信号矢量x和接收信号矢量y划分为N×1个子向量，记作xn和yn，其中，n＝0，1，…，N-1，这样时延多普勒域的输入输出关系记为
Figure RE-FDA0003639746160000047
其中Uq，n根据式(20)得出，wn为时延多普勒域的噪声；
通过用<n+q>N代替上式中的n，并将式(16)代入(23)，得到下式
Figure RE-FDA0003639746160000048
为了简化上式，定义根据
Figure RE-FDA0003639746160000049
下列几组变换：
Figure RE-FDA0003639746160000051
经过这些变换，得到一个相对简单的变换域的输入输出关系
Figure RE-FDA0003639746160000052
其中的Ξ q，n+q是为了消除式(24)中的取模符号，记为
Figure RE-FDA0003639746160000053
步骤三，根据有效信道矩阵的结构特征设计低复杂度的变换域最大比合并算法，通过该算法得到发射符号的估计值；基于式(26)，设计变换域最大比合并算法，定义
Figure RE-FDA0003639746160000054
其中，
Figure RE-FDA0003639746160000055
表示发射符号块矢量x n经过多普勒抽头为q的路径后接收的符号块矢量；
其中，
Figure RE-FDA0003639746160000056
是上次迭代得到的发射符号的估计值，然后定义
Figure RE-FDA0003639746160000057
Figure RE-FDA0003639746160000058
其中，g n表示把信道中所有多普勒抽头对应的接收符号块矢量
Figure RE-FDA0003639746160000059
进行加权求和后得到的结果，Υ n记录了加权的权重；
根据每一次迭代中计算的式(29a)和(29b)的值，得到每次迭代发射符号的估计值；
Figure RE-FDA00036397461600000510
其中
Figure RE-FDA00036397461600000511
表示Υ n的逆矩阵。
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