CN113580148B - 基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及机器人标定技术领域。技术方案是：基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，按以下步骤进行：步骤一：根据并联机器人的自由度，运用Grassmann‑Cayley代数构建并联机器人的等效虚拟串联运动支链；步骤二：确定机器人等效虚拟串联运动支链的位姿矩阵，并将其中的运动螺旋从全局坐标系转换到局部坐标系下进行运动学描述；步骤三：对位姿矩阵进行全微分计算以确定机器人的误差矩阵；步骤四：对机器人的末端位姿进行误差测量；步骤五：运用最小二乘法对并联机器人的误差参数进行参数辨识；步骤六：根据辨识出的误差参数，重新确定并联机器人的驱动输入量，并进行误差补偿。该方法操作简单，并联机器人输出位姿精度较高。

Description

基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法

技术领域

本发明涉及机器人标定技术领域，具体是一种基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法。

背景技术

并联机器人为多闭环机构，通过驱动多条分支实现机器人末端的位姿变化。根据结构特征，其具有高速、高刚度、承载能力强等优点，已广泛应用于航空航天及制造业等领域。

在制造和装配并联机器人的过程中，必然会产生误差，如机器人零件加工误差、机器人装配误差等，这会使得最终的并联机器人输出末端存在位姿偏差，从而降低了机器人的精度。为保障并联机器人的精度，常用的技术手段有两种，分别是提高机器人零件的精度设计及对装配后的机器人采用运动学标定技术进行误差补偿。虽然通过提高机器人零件的精度可降低机器人的输出误差，但该方法成本较高且不易推广。运动学标定方法则是在并联机器人完成装配后，通过对机器人整体进行误差建模、误差测量、参数辨识和误差补偿对其进行运动学的输入修正，从而提高并联机器人的输出位姿精度，该操作优于提高机器人零件精度的方法。

误差建模是运动学标定的基础，目前主要采用D-H参数法、螺旋理论法、指数积法等对机器人进行误差建模。上述方法均需建立机器人的运动学正解模型，而对于并联机器人较难得到其正解的符号表达式。虽然有其他间接方法可确定并联机器人的误差模型，但依旧存在缺乏一般性或被动关节运动难消除等问题。因此，提出新的误差方法，并在此基础上形成一整套适用于任何并联机器人的运动学标定方法是十分必要的。

发明内容

本发明的目的是针对上述背景技术中的不足，提出一种基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，该方法具有操作简单、并联机器人输出位姿精度较高的特点。

本发明提供的技术方案是：

基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，按以下步骤进行：

步骤一：根据并联机器人的自由度，运用Grassmann-Cayley代数构建并联机器人的等效虚拟串联运动支链；

步骤二：确定机器人等效虚拟串联运动支链的位姿矩阵，并将其中的运动螺旋从全局坐标系转换到局部坐标系下进行运动学描述；

步骤三：对位姿矩阵进行全微分计算以确定机器人的误差矩阵；

步骤四：对机器人的末端位姿进行误差测量；

步骤五：运用最小二乘法对并联机器人的误差参数进行参数辨识；

步骤六：根据辨识出的误差参数，重新确定并联机器人的驱动输入量，并进行误差补偿。

步骤一中，n自由度并联机器人的等效虚拟串联运动支链末端子空间确定为：

其中，L_{new_j}表示并联机器人等效虚拟串联运动支链中第j个extensor。

步骤二中，等效虚拟串联运动支链的位姿矩阵为：

其中q_j表示第j个关节上的驱动变量。

步骤二中，运动螺旋转换到局部坐标系下进行描述为：

其中，$⁰和$^j分别为运动螺旋$在坐标系{0}和{j}的表示，A_j0为坐标系{j}到坐标系{0}的坐标变换；

当关节j运动q_j时，相邻两关节的坐标变换为

其中，

为关节j在自身关节坐标系下的运动螺旋，

表示有关节运动引起的部分，

表示初始位形下相邻两关节坐标系的坐标变换，P_j+1为初始状态时坐标系{j+1}与{j}之间相对位姿关系的螺旋表示；

因此，并联机器人末端的转换矩阵可表示为

步骤三中，通过全微分计算确定的并联机器人末端的误差矩阵为

其中J_P和J_q为雅可比矩阵，

表示机器人杆件参数的误差，δq表示机器人关节运动的输入误差，其中δP_i表示等效运动链第i个杆的杆件误差，δP_k+1表示第k个关节到等效运动链末端的杆件误差，δq_i表示等效运动链第i个关节的输入误差。

步骤四中，首先，根据并联机器人的机构参数和驱动值，可得到末端名义位置P^N为

P^N＝r+R^Nl_c (9)

其中R_t表示测量坐标系相对于固定坐标系的旋转矩阵，r_t表示测量坐标系相对于固定坐标系的位置向量，l_m表示机构末端相对于测量坐标系的测量位置向量；

采用激光跟踪仪，确定并联机器人的末端测量位姿P^M为

P^M＝r_t+R^Ml_m＝R_tR_tmac (10)

其中，测量姿态R^M可由激光跟踪仪测量得到；R_tmac是机构末端工具坐标系相对于测量坐标系的旋转矩阵；

测量时，工具的误差建模为：

因此，并联机器人运动学标定时所用的误差模型为

e^*＝e+Ad(A_new)e_t＝JΔε (12)

其中，J＝[J_P Ad(A_new) J_q]，

步骤五中，采用最小二乘法对并联机器人误差参数的辨识结果为：

Δε_r+1＝Δε_r+(J^TJ)^-1J^Te^* (13)

其中r为迭代次数，当||e^*||小于设定值时或Δε_r+1与Δε_r之差足够小时，终止迭代。

步骤六中，重新确定并联机器人的驱动输入量包括：将上述得到的末端误差补偿到机器人末端位姿中，并通过并联机器人的反解计算得到实时情况下的驱动输入量，以提高机器人末端输出的精度。

相比于现有标定技术，本发明的有益效果如下

(1)计算过程简单。本发明的运动学标定方法只需确定并联机器人的虚拟等效运动链即可进行误差建模，避开了机器人的正解符号推导，操作简单；

(2)物理意义清晰。本发明从并联机器人的末端输出运动出发，建立物理意义清晰的误差模型，并基于该误差模型建立了完整的运动学标定方法，可适用于不同结构的并联机器人。

附图说明

图1为本发明运动学标定方法的流程图。

图2为并联机器人中等效虚拟串联运动支链示意图。

图3为误差测量原理示意图。

图4为本发明实施例1的2-UPR-RPU机构简图。

图5为本发明实施例1的虚构支链机构简图。

图6为本发明实施例1的等效运动链的关节坐标系位置图。

图7为本发明实施例1的标定实验状态图。

图8为本发明实施例1的实验标定前后位置误差图。

图9为本发明实施例1的实验标定前后姿态误差图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的原理和具体实施方式作进一步说明。

本发明提出的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，通过对基于Grassmann-Cayley代数的等效虚拟串联运动支链进行全微分计算，建立并联机器人的误差模型，接着采用激光跟踪仪对并联机器人的末端位姿进行测量并确定误差，再通过最小二乘法对误差参数进行辨识，最后将辨识出的参数带入并联机器人反解中，确定并联机器人含误差的驱动输入量，并对并联机器人进行实时的误差补偿。

具体的，本发明分为如下六个步骤(如图1)：

步骤一：根据并联机器人的自由度，构建等效虚拟串联运动支链。

对于自由度为n的并联机器人，其输出运动均可通过等效的虚拟串联运动支链进行描述。通过Grassmann-Cayley代数，可确定并联机器人的末端子空间为：

其中，L_{new_j}表示并联机器人等效虚拟串联运动支链中第j个extensor。并联机器人中的等效虚拟串联运动支链示意图如图2所示。

步骤二：确定等效虚拟串联运动支链的位姿矩阵，并将运动螺旋转换到局部坐标系下进行描述。

该步骤旨在通过指数积公式将等效虚拟串联运动支链的运动转换成位姿矩阵的形式，并将其表示在局部坐标系下以便于计算。等效虚拟串联运动支链的运动空间等同于并联机器人末端输出的运动空间，故可用虚拟支链的位姿矩阵替代并联机器人末端平台的转换矩阵。因此，根据式，等效虚拟运动支链的位姿矩阵可表示为

其中q_j表示第j个关节上的驱动变量。

考虑到机器人的误差，L'_{new_j}＝L_{new_j}+ΔL_{new_j}，其中L_{new_j}和误差ΔL_{new_j}均在全局坐标系下表达。为方便计算，可将L_{new_j}转换到局部坐标系下进行描述。并联机器人中运动螺旋$在坐标系{0}和{j}下表示分别为$⁰和$^j，且坐标系{j}到坐标系{0}的坐标变换为

因此$⁰和$^j间的转换关系为

对于转动副，$^j＝[0 0 0 0 0 1]^T；对于移动副，$^j＝[0 0 1 0 0 0]^T。对于关节j和j+1，其在自身关节坐标系下的运动螺旋分别为

和

当关节j运动q_j时，相邻两关节的坐标变换为

其中，

表示有关节运动引起的部分，

表示初始位形下相邻两关节坐标系的坐标变换，P_j+1为初始状态时坐标系{j+1}与{j}之间相对位姿关系的螺旋表示。

因此，并联机器人末端的转换矩阵可表示为

步骤三：对位姿矩阵进行全微分计算得到误差。

通过对式进行全微分计算，可得到

因此可得到杆件j在坐标系{j}下的误差模型为

将上述结果扩展至整个机器人，可得到并联机器人末端的误差矩阵为

其中J_P和J_q为雅可比矩阵，

表示机器人杆件参数的误差，δq表示机器人关节运动的输入误差，其中δP_i表示等效运动链第i个杆的杆件误差，δP_k+1表示第k个关节到等效运动链末端的杆件误差，δq_i表示等效运动链第i个关节的输入误差。

步骤四：采用激光跟踪仪对并联机器人的末端位姿进行误差测量。

该步骤是在进行误差参数辨识前，先确定并联机器人末端在固定坐标系下的名义位姿，并采用激光跟踪仪确定末端的测量位姿，如图3所示。

首先，根据并联机器人的机构参数和驱动值，可得到末端名义位置P^N为

P^N＝r+R^Nl_c (9)

其中R_t表示测量坐标系相对于固定坐标系的旋转矩阵，r_t表示测量坐标系相对于固定坐标系的位置向量，l_m表示机构末端相对于测量坐标系的测量位置向量；

采用激光跟踪仪，可确定并联机器人的末端测量位姿P^M为

P^M＝r_t+R^Ml_m＝R_tR_tmac (10)

其中，测量姿态R^M可由激光跟踪仪测量得到。R_t为测量坐标系相对于固定坐标系的旋转矩阵。

由于测量时需要固定测量工具，机器人末端有额外偏移，其末端中心点到工具坐标系的转换矩阵为T_t。因此，工具的误差建模为

并联机器人运动学标定时所用的误差模型为

e^*＝e+Ad(A_new)e_t＝JΔε (12)

其中，J＝[J_P Ad(A_new) J_q]，

步骤五：采用最小二乘法对并联机器人的误差参数进行辨识。

将并联机器人的误差辨识转化成一个具有迭代关系的非线性最小二乘问题，为

Δε_r+1＝Δε_r+(J^TJ)^-1J^Te^* (13)

其中r为迭代次数，当||e^*||小于设定值时或Δε_r+1与Δε_r之差足够小时，终止迭代。

步骤六：根据辨识参数确定并联机器人的驱动输入并进行误差补偿。

将上述得到的末端误差补偿到机器人末端位姿中，并通过并联机器人的反解计算得到实时情况下的驱动输入量，进而提高机器人末端输出的精度。

实施例1(2-UPR-RPU并联机构标定)

2-UPR-RPU机构是一个两转一移过约束的并联机构(图4为该机构简图)，该机构由一个动平台、一个定平台、两条UPR支链和一条RPU支链组成。每条支链都有一个U副、一个P副和一个R副，且P副轴线过U副中心点同时垂直R副轴线。两条UPR支链对称分布，其U副与定平台连接，R副与动平台连接，而RPU支链正好相反。在定平台上，两个U副的两个转动轴与R副的轴线平行，另两个转动轴线平行。在动平台中，两个R副的轴线与U副的其中一个转动轴平行。三个移动副为驱动关节。

A₁，A₂，B₃是三个U副的几何中心，A₃，B₁，B₂是转动副轴线与移动副轴线的交点。ΔA₁A₂A₃与ΔB₁B₂B₃相似，且OA₁＝OA₂＝OA₃＝a，OB₁＝OB₂＝OB₃＝b。固定坐标系{O_xyz}位于A₁和A₂中点，z轴垂直于动平台平面且方向向下，x轴y轴分别平行于OA₃和OA₂。同样地，动坐标系{O_u'_vw}固定在动平台上，其原点位于B₁和B₂中点，w轴垂直于动平台平面且方向向下，u轴v轴分别平行于O'B₃和O'B₂。B₁在固定坐标系{O_xyz}下的坐标为

同样的，B₂，B₃的坐标分别为

分支1上的各个关节运动螺旋可表示为：

其中θ₁₁，θ₁₂分别为L₁₁，L₁₂运动螺旋的转动角度。

同样地，分支2上的各个关节运动螺旋可表示为：

分支3上的各个关节运动螺旋可表示为：

分支1末端的运动空间可以由并集算子得到

同样地，分支2、分支3的运动空间为

由式和可以看出，对称分布的分支1和2的运动空间是相等的，即T₁＝T₂。因此2-UPR-RPU机构动平台的运动空间实际上是分支1和分支3的交集。

根据[85]，使用交集运算前需要判断分支1和分支3的并集是否满足V，

式表示分支1和分支3的并集不是V，因此需要向L₃中添加1个与T₁和T₃均线性无关的extensor。L'＝[0 0 1 0 0 0]^T。修正后的机构动平台的运动空间为：

令

由于GCA满足加法的分配律和结合律，则机构动平台的运动空间可化简为：

其中

由结果可以看出，动平台的运动空间由三个向量张成，这三个向量同时也表示动平台的三个运动，可以由这三个运动构建一个虚拟的支链，于是可以将2-UPR-RPU并联机构简化成一个虚拟串联运动链来处理，该串联运动链含有3个虚拟关节，分别是轴线与固定坐标系y轴重合的各关节1，轴线垂直于关节1的移动关节2，以及轴线垂直于关节1与关节2且过点B₃的转动副关节3(如图5所示)。

由式动平台的位姿矩阵可写为：

由支链3得到动平台的位姿矩阵为：

由Α_new＝A₃，可得

利用伴随变换将L_{new_1}、L_{new_2}、L_{new_3}转换到各自关节坐标系下，以运动副轴线为z轴建立关节坐标系，

表示初始状态下关节1坐标系到固定坐标系的转换矩阵，令

L_{new_1}在关节坐标系{1}下表示为

L_{new_1}与

的关系可写为

由此可得a₁₃＝0,a₂₃＝1,a₃₃＝0,a₁₄＝0,a₃₄＝0,同时对比旋转变换公式，

可写为：

其中

同样地，

表示初始状态下关节2坐标系到关节1标系的转换矩阵，令

L_{new_2}在关节坐标系下{2}可表示为

L_{new_2}与

的关系可写为

由此可得b₁₃＝0,b₂₃＝-1,b₃₃＝0,同时对比旋转变换公式，

可写为：

其中

同样地，

表示初始状态下关节3坐标系到关节2标系的转换矩阵，令

L_{new_3}在关节坐标系{3}下可表示为

L_{new_3}与

的关系可写为

由此可得c₁₃＝1,c₂₃＝0,c₃₃＝0,y₃＝-y₁-z₂,z₃＝y₂,同时对比旋转变换公式，

可写为：

其中

由伴随变换

机构动平台位姿矩阵可表示为：

其中

令y₁＝0,x₂＝0,y₁＝0,z₂＝0,x₃＝0,可得

2-UPR-RPU机构的等效运动链各关节坐标系位置如图6所示。P₁表示固定坐标系到坐标系{1}的坐标变换，P₂表示坐标系{1}到坐标系{2}的坐标变换，P₃表示坐标系{2}到坐标系{3}的坐标变换，P₄表示坐标系{3}到动坐标系的坐标变换。

等效运动链的误差建模

求全微分可得，

则误差模型

写成extensor形式：

以及式可计算得到2-UPR-RPU的误差模型为

其中：

δP₁,δP₃表示第两个转动副的误差，δP₂表示移动副的误差，δP₄表示第二个转动关节与动平台中心点之间的误差。

表示第一个转动关节的输入误差，δd₂表示移动关节的输入误差，

表示第二个转动关节的输入误差。在实际标定过程中，由于δq即

d₂,

代表并联机构动平台的3个自由度上的运动，其误差即

δd₂,

代表动平台的总误差，其值不为常量，因此在标定中将这3个误差当成已知量进行处理，可由激光跟踪仪直接测出，不需在误差模型中计算得出。

等效运动链的标定实验

根据测量原理，对2-UPR-RPU串联机器人进行如图7所示的标定实验，在机构末端安装好T-Mac，由控制系统驱动机构运动，并用激光跟踪仪测量系统对机构末端安装的T-Mac进行实时测量。测量坐标系相对于固定坐标系的旋转矩阵R_t和平移向量r_t由测量得到为

r_t＝[143.336 2588.243 -1062.619]^T

r_t中的单位为毫米。表1列出了机构的运动学参数。

表1 2-UPR-RPU机构运动学参数

根据基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，用辨识结果求得的末端位姿重新计算驱动关节驱动值，以补偿后的驱动值驱动机构进行补偿实验测量完成运动学标定。

标定前后位置误差如图8所示，位置误差的平均值和最大值以及标准差分别由原来的3.5683mm、5.1102mm、0.5379mm下降到0.1399mm、0.2950mm、0.0646mm。标定前后姿态误差如图9所示，姿态误差的平均值和最大值以及标准差分别由原来的0.0156rad、0.0329rad、0.0066rad下降到0.0022rad、0.0043rad、0.0010rad。

结果表明标定效果显著，验证了误差模型的正确性。

Claims (8)

1.基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，按以下步骤进行：

步骤一：根据并联机器人的自由度，运用Grassmann-Cayley代数构建并联机器人的等效虚拟串联运动支链；

步骤二：确定机器人等效虚拟串联运动支链的位姿矩阵，并将其中的运动螺旋从全局坐标系转换到局部坐标系下进行运动学描述；

步骤三：对位姿矩阵进行全微分计算以确定机器人的误差矩阵；

步骤四：对机器人的末端位姿进行误差测量；

步骤五：运用最小二乘法对并联机器人的误差参数进行参数辨识；

步骤六：根据辨识出的误差参数，重新确定并联机器人的驱动输入量，并进行误差补偿。

2.根据权利要求1所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：步骤一中，n自由度并联机器人的等效虚拟串联运动支链末端子空间确定为：

其中，L_{new_j}表示并联机器人等效虚拟串联运动支链中第j个extensor。

3.根据权利要求2所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：步骤二中，等效虚拟串联运动支链的位姿矩阵为：

其中q_j表示第j个关节上的驱动变量。

4.根据权利要求3所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：步骤二中，运动螺旋转换到局部坐标系下进行描述为：

其中，$⁰和$^j分别为运动螺旋$在坐标系{0}和{j}的表示，

为坐标系{j}到坐标系{0}的坐标变换；

当关节j运动q_j时，相邻两关节的坐标变换为

其中，

为关节j在自身关节坐标系下的运动螺旋，

表示有关节运动引起的部分，

表示初始位形下相邻两关节坐标系的坐标变换，P_j+1为初始状态时坐标系{j+1}与{j}之间相对位姿关系的螺旋表示；

因此，并联机器人末端的转换矩阵可表示为

5.根据权利要求4所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：步骤三中，通过全微分计算确定的并联机器人末端的误差矩阵为

其中J_P和J_q为雅可比矩阵，

表示机器人杆件参数的误差，δq表示机器人关节运动的输入误差，其中δP_i表示等效运动链第i个杆的杆件误差，δP_k+1表示第k个关节到等效运动链末端的杆件误差，δq_i表示等效运动链第i个关节的输入误差。

6.根据权利要求5所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：

步骤四中，首先，根据并联机器人的机构参数和驱动值，可得到末端名义位置P^N为

P^N＝r_t+R_tl_m (9)

其中R_t表示测量坐标系相对于固定坐标系的旋转矩阵，r_t表示测量坐标系相对于固定坐标系的位置向量，l_m表示机构末端相对于测量坐标系的测量位置向量；

采用激光跟踪仪，确定并联机器人的末端测量位姿P^M为

P^M＝r_t+R^Ml_m＝R_tR_tmac (10)

其中，测量姿态R^M可由激光跟踪仪测量得到；R_tmac是机构末端工具坐标系相对于测量坐标系的旋转矩阵；

测量时，工具的误差建模为：

e_t＝(δA_tA_t ^-1)^∨＝J_PtδP_t (11)

因此，并联机器人运动学标定时所用的误差模型为

e^*＝e+Ad(A_new)e_t＝JΔε (12)

其中，J＝[J_P Ad(A_new) J_q]，Δε＝[δP₁ ^T … δP_n ^T δP_n+1 ^T δP_t ^T δq^T]^T。

7.根据权利要求6所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：步骤五中，采用最小二乘法对并联机器人误差参数的辨识结果为：

Δε_r+1＝Δε_r+(J^TJ)^-1J^Te^* (13)

其中r为迭代次数，当||e^*||小于设定值时或Δε_r+1与Δε_r之差足够小时，终止迭代。

8.根据权利要求7所述的基于等效运动链的并联机器人运动学标定方法，其特征在于：步骤六中，重新确定并联机器人的驱动输入量包括：将上述得到的末端误差补偿到机器人末端位姿中，并通过并联机器人的反解计算得到实时情况下的驱动输入量，以提高机器人末端输出的精度。

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