CN105354433A - 一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法 - Google Patents

Abstract

一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法，首先获取空间机械臂运动可靠性影响因素；其次建立以表征空间机械臂操作空间位姿偏差最小为目标的极限状态函数；之后建立表征影响因素与位姿偏差关系的响应面函数；最终计算获得各影响因素的运动可靠性灵敏度。本发明综合考虑了空间机械臂在轨任务约束和各影响因素间的耦合关系，避免了运动可靠性灵敏度分析过程中的多维积分连续偏导问题，降低了影响因素间的耦合性和非线性，避免了运动可靠性分析中样本需求量大的问题，提高了运算效率，满足了在轨实时应用需求。

Description

一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法

技术领域

本发明涉及空间机械臂的可靠性分析，特别涉及一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法。

背景技术

随着我国航天技术的发展，在轨应用需求的日益增多，航天机构产品呈现出多样化的发展趋势。空间机械臂作为一类操作负载高、定位操作精确、利用多种末端执行器能够实现多样操作的航天机构，已经成为航天活动的关键产品。由于空间机械臂的工作环境具有强辐射、高温差及超真空等特点，其在轨操作性能会受到较大影响。为了实时把握机械臂的在轨运动性能，需要对空间机械臂这一复杂系统进行运动可靠性分析。运动可靠性分析包括运动可靠度评估和运动可靠性影响因素的灵敏度分析。运动可靠度能够定量描述机械臂系统综合运动性能，而灵敏度分析结果则可以作为空间机械臂后续任务规划和控制决策制定的理论依据。

目前，可靠性分析方法主要有一阶可靠性方法、概率密度演化方法、模糊算法等方法。然而这些方法多用于分析机械臂结构强度与载荷的影响，难以反映机械臂运动过程中的可靠性情况。针对机械臂的运动可靠性分析，将机械臂的运动可靠性阐述为运动学可靠性和动力学可靠性，现有分析中，均以求解机械臂的运动可靠度数值为目标，对可靠性的影响因素考虑较少或仅考虑了单一因素的影响，无法详尽阐述机械臂运动可靠性的变化机理。同时由于考虑因素较少，因素的影响权重分析无法完全表征多因素的耦合影响，难于为机械臂后续任务规划提供理论支撑。此外，现有方法均针对地面机器人，未能充分考虑空间机械臂的复杂结构和在轨任务约束。

另一方面，机械臂可靠性的灵敏度分析多集中于针对结构可靠性的灵敏度分析，且灵敏度分析较为依赖于分析对象，需要根据对象特性提出相应的灵敏度分析方法。Korayem基于移动机器人的柔性关节特性开展灵敏度分析；Guo针对变量的随机和区间分布特性提出一种基于FORM改进的灵敏度分析方法。Helton提出了一种基于样本的灵敏度分析方法，但该方法对样本的需求量较大，效率较低。上述方法均不适用于空间机械臂运动可靠性的灵敏度分析。由于空间机械臂运动可靠性的函数形式为影响因素概率密度函数的多维积分，对空间机械臂运动过程中的灵敏度分析具有一定的实时性需求。因此，分析运动可靠性灵敏度时，需要考虑运动可靠性多维积分的特点，并建立一种能够表征多因素耦合影响、样本需求小、能够实现快速求解的灵敏度分析方法。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法，解决了基于运动可靠性优化控制中各影响因素控制优先度的定量表征的问题。

本发明的技术方案是：一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法，步骤如下：

1)获取空间机械臂运动可靠性影响因素集Θ；

2)建立以空间机械臂操作空间运动精度为表征的极限状态函数：

g(Θ)＝|P^A(Θ)-P^D(Θ)|

其中，P^A(Θ)和P^D(Θ)分别表示机械臂实际位姿和理想位姿，Θ＝[x₁…x_n]^T表示运动可靠性的影响因素集，n表示影响因素的个数；

3)构造非线性响应面函数：

其中，a,b,c表示响应面函数的常数系数，x_i表示第i个影响因素；通过使得非线性响应面函数逼近极限状态函数计算系数a,b,c的值；

4)基于响应面函数构造运动可靠度指标，求解各影响因素对运动可靠性的灵敏度：

定义运动可靠度指标β如下：

其中，μ_g和σ_g分别表示极限状态函数g的数学期望和标准差；基于运动可靠度指标，得到运动可靠性的表征：

R＝Φ(β)

其中，Φ(·)表示标准的正态分布函数；则影响因素x_i对运动可靠性灵敏度通过如下方式求解：

式中各乘项可分别求解如下：

其中，表示标准正态分布的概率密度函数，则各影响因素x_i对运动可靠性的灵敏度为：

步骤2)中a,b,c的计算步骤如下：

21)通过初始实验点获取a,b,c的初始值

将未知系数a,b,c定义为向量形式κ＝[a,b₁,…,b_n,c₁,…c_n]，令v＝[1xx²]^T，其中x＝[x₁…x_n]，将响应面函数转化为如下形式：

假设Θ中的每一个影响因素均服从正态分布，且有x_i～(μ_i,σ_i)，构造2n+1个实验点其中：

称为中心实验点；该组实验点称之为初始第一代实验点，表示为上标⁽¹⁾表示第一代；基于这2n+1个实验点，可以得到响应面函数与极限状态函数的差值为：

其中，i,j＝1,…,2n+1，V∈R^{(2n+1)×(2n+1)}称为回归系数矩阵：

当响应面函数逼近极限状态函数时，两函数的偏差取最小值；S(κ)取极值的条件为即：

(V·κ-g)^TV＝0

基于最小二乘原理，求得响应面函数系数初始值κ⁽¹⁾：

κ⁽¹⁾＝(V^TWV)^-1V^TWg

其中W＝diag(w₁…w_2n+1)∈R^{(2n+1)×(2n+1)}为权重矩阵，且有

则响应面函数a,b,c的初始(第一代)值表示为：

22)构造设计点进行系数a,b,c的迭代求解

定义初始第一代设计点对于中的每个元素，

其中，μ_i和σ_i表示第i个影响因素x_i的期望值和标准差；i＝1～n；β⁽¹⁾表示初始第一代可靠度指标，其定义为响应面函数的数学期望与标准差的比值。

将响应面函数在初始设计点处进行泰勒展开，并保留一阶项：

则和表示为：

利用上式求得β⁽¹⁾的值，从而得到的值；基于初始设计点，求解第二代的实验中心点：

以此类推，构造第s代的实验点，并计算获得该代对应的响应面函数系数a^(s),b^(s),c^(s)及其对应的可靠度指标β^(s)；

23)建立迭代收敛指标实现系数a,b,c最优解求解

定义响应面函数迭代收敛指标如下：

当相邻两次迭代之间的可靠度指标满足|β^(s+1)-β^(s)|＜ξ时，认为响应面函数收敛，此时的响应面函数与极限状态函数间的偏差取最小值，有其中ξ为迭代收敛阈值，ε为无穷小量；

则第s+1次迭代得到的系数a^(s+1),b^(s+1),c^(s+1)为最优解。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)本发明通过建立表征空间机械臂操作空间位姿精度的极限状态函数，实现了对空间机械臂在轨任务约束以及各影响因素间的耦合关系的综合考虑，由此得到的灵敏度分析结果能够反映多因素共同作用下各因素对运动可靠性的灵敏程度。

(2)本发明提出的基于非线性响应面函数的极限状态函数拟合方法，能够有效地降低影响因素间的耦合性和非线性；基于响应面函数获得运动可靠度指标开展灵敏度分析，能够有效地避免运动可靠性灵敏度分析过程中的多维积分连续偏导问题。

(3)本发明提出的基于实验点和设计点进行响应面函数系数迭代求解的方法，避免了传统运动可靠性分析中样本需求量大的问题，提高了运算效率和拟合精度，能够满足在轨应用的实时性需求。

附图说明

图1为本发明方法流程图。

图2空间机械臂构型图。

图3响应面函数解析式求解流程图。

图4关节角度对运动可靠性灵敏度。

图5各关节间隙对运动可靠性灵敏度。

图6各关节摩擦力对运动可靠性灵敏度。

具体实施方式

1.空间机械臂运动可靠性影响因素集和任务参数集

表1空间机械臂DH参数

如图1所示为本发明方法流程图。本发明以空间七自由度机械臂作为研究对象，机械臂的构型如图2所示，DH参数如表1所示。由于空间机械臂的运动可靠性影响因素众多，根据各因素对运动可靠性的影响机理和作用方式的不同，可以分为装配因素、传动因素、摩擦因素、润滑因素及空间机械臂固有参数和控制变量等几类。在此选取空间机械臂运动学参数偏差几何参数偏差Δα,Δa,Δd∈R^n×1、关节角度Δθ∈R^n×1、控制参数偏差(关节速度偏差关节加速度偏差)、关节间隙c∈R^n×1、关节摩擦F_f∈R^n×1作为空间机械臂运动可靠性参数集，分析各因素对运动可靠性的灵敏度。上述因素均为n(n＝7)维向量，且具备一定的可观性和可控性，是空间机械臂控制过程中经常考虑的因素，分析其对运动可靠性灵敏度对于优化空间机械臂控制策略具有重要的意义。

由于运动可靠性体现的是机械臂运动过程中的可靠程度，因此灵敏度分析也依托于典型在轨任务。在此定义典型轨迹跟踪任务如下：

机械臂初始构型：

[-0.8727,-2.9671,2.6180,-1.0472,2.2689,2.9671,0](rad)；

任务目标位姿：

[9.6m,0m,3m,-1rad,-0.5rad,-2rad]；

规划时间20s，基于带抛物线过渡的梯形函数规划末端速度，分析轨迹跟踪任务10s时刻各因素对运动可靠性的灵敏度。

2.基于末端位置精度的极限状态函数

在空间机械臂轨迹跟踪任务中，以末端位置精度作为运动精度指标，建立极限状态函数如下：

g(Θ)＝|P^A(Θ)-P^D(Θ)|＝ΔP(1)

极限状态函数表征的是在各类因素的影响下机械臂末端实际位置与理想位置的偏差。其中，P^A和P^D分别表示空间机械臂实际位置和理想位置，ΔP表示空间机械臂末端实际位置和理想位置的偏差。

表示影响空间机械臂运动可靠性影响因素集。各个因素的机械臂末端位置的影响具有极强的耦合性和非线性，通过分析各影响因素与末端位置精度的映射关系，得到极限状态函数的解析表达式。考虑到部分因素无法直接建立其与末端位置精度之间的影响关系，可以通过引入中间变量，实现对影响关系的传递。

首先分析关节间隙和关节摩擦对空间机械臂末端位置精度的影响。关节间隙和关节摩擦是引发空间机械臂关节柔性的主要因素，在不考虑关节传动误差基础上，关节i的柔性模型可表示如下：

其中，J_Li为负载力矩，F_fi表示关节摩擦力矩，N为关节减速器的减速比，K为线性扭转弹簧的刚度系数，表示关节输出轴位置和角加速度，θ_mi表示电机位置，c_i表示关节轴承间隙。关节间隙直接影响关节角度，在关节轴装配结构的约束下，关节角度可以用区间形式表示如下：

其中，r_i和r_i+1分别为关节i和i+1处间隙圆的半径，a_i表示两相邻关节间的连杆长度，θ_i表示关节i的理想关节角。一般认为关节间隙具有随机性，且在间隙圆中服从正态分布，则间隙影响下的实际关节角度可以表示为：

另一方面，空间机械臂的关节传动齿轮为行星齿轮系，该齿轮系具有大传动比、结构紧凑、能实现大功率传动的特点，对空间机械臂在轨装配、舱段转移等任务具有很高的适用性。行星齿轮的摩擦力服从Stribeck曲线，对于关节i，其摩擦力可用指数摩擦模型来表示：

其中，F_fi表示与关节角速度相关的摩擦力。f_ci为库伦摩擦力，f_si为静摩擦力，为Stribeck速度，η为经验系数，σ为粘性摩擦系数。

由上述分析可知，关节间隙直接影响关节角度，而关节摩擦受到关节速度的影响；同时这两类因素也会对关节角加速度造成影响。因此在关节i中，关节间隙和摩擦引发的关节角度、角速度、角加速度变化可以表示为：

式(6)能够反映出关节摩擦、关节间隙对关节角度、关节速度和关节角加速度的影响，但由于影响关系的非线性，无法直接给出f₁,f₂的显式方程。关节间隙和关节摩擦引发的关节速度和关节角速度偏差可以通过下式转化为末端的速度偏差，进而得到其造成的末端位置偏差。

其中ΔV表示机械臂末端速度偏差。对于关节角度偏差Δθ，除了包含上述分析中由于关节间隙造成的还包含零位误差和定位误差等，其对末端位置精度的影响可以和机械臂的几何参数偏差通过如下方式表征。

关节角度与机械臂几何参数共同构成机械臂的运动学参数(DH参数)，DH参数误差是通过坐标系间的变换矩阵来反映的。(j-1)^th和j^th连杆坐标系之间的变换矩阵偏差δT_j可以基于参数α_j-1,a_j-1,d_j,θ_j的偏差来构造。

其中，表示(j-1)^th和j^th连杆坐标系之间的名义变换矩阵。结合可以得到：

其中d_j＝[d_jxd_jyd_jz]^T和δ_j＝[δ_jxδ_jyδ_jz]^T分别表示j坐标系相对于j-1

坐标系的位置偏差和姿态偏差，且有：

进而可以得到基坐标系到末端坐标系间的变换矩阵产生偏差：

通过推导，建立机械臂末端位姿偏差与运动学参数误差间的映射关系：

其中Δα,Δa,Δd,Δθ∈R^n×1，为各连杆运动学参数构成的向量，M_i(i＝1,…,6)∈R^3×n，且有：

基于上述分析，可以将极限状态函数(1)转化为：

其中，

3.非线性响应面函数的构造

由式(12)可知，极限状态函数的形式非常复杂，且其中包含了隐式函数，直接用极限状态函数对各影响因素通过求偏导的方法求解灵敏度非常困难，为此，构造响应面函数逼近极限状态函数，实现对其的简化。

根据运动可靠性影响因素集的因素种类，构造响应面函数：

其中a,b_i,c_i为未知系数，x_i表示各个影响因素。通过求解未知系数，使得响应面函数与极限状态函数的偏差最小，从而替代极限状态函数表征各影响因素与末端位置精度的影响关系。

为了求解响应面函数的解析式，定义各影响因素的理想值如下：θ的理想值为 $\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}=\[-1.1287,-3.1119,2.5043,-1.0810,2.7001,3.0324,-0.3815\]\left(rad\right),$ 其取值服从正态分布，有θ_i～(μ_i,σ_i)，其中i＝1,...,n，各关节角度的标准差相同，为σ_i＝π/1800。各关节间隙圆半径为r_i＝5mm,i＝1,...,n，且各关节的间隙服从c_i～(0,σ_c)，根据正态分布的3σ原则，第i关节的标准差可以根据下式求解：

σ_c＝arcsin(r_i+r_i+1)/3a_i(14)

与关节摩擦相关的量较多，且实际运动过程中的摩擦变化非常复杂，为了求解各关节摩擦对运动可靠性的灵敏度，在此根据经验，定义如下：f_c＝10Nm，f_s＝5Nm，η＝1，σ＝0.0014，此时的关节速度序列为

几何参数误差的理想值如表1所示，其实际值也服从正态分布，分布期望为其理想值，a、d标准差为10^-3m，α的标准差为定义差值系数f＝3，构造2n+1组初始实验点其中横坐标的构造方法如下所示：

实验点的纵坐标可以通过代入到式(12)中进行求解。利用初始实验点，对响应面函数的未知系数进行求解，首先将响应面函数表示成如下形式：

其中，κ＝[a,b₁,…,b_n,c₁,…c_n]，令v＝[1xx²]^T∈R^(2n+1)×1，且有x＝[x₁…x_n]，当响应面函数逼近极限状态函数时，两函数的偏差取最小值。将2n+1个实验点代入到式(16)中，可以得到：

其中，i,j＝1,…,2n+1，V∈R^{(2n+1)×(2n+1)}称为回归系数矩阵：

极值条件为即

(V·κ-g)^TV＝0(19)

基于最小二乘原理，可以求得响应面函数系数κ如下：

κ＝(V^TWV)^-1V^TWg(20)

其中W∈R^{(2n+1)×(2n+1)}为权重矩阵，W＝diag(w₁...w_2n+1)，且有

至此，可以起求得响应面函数系数的初始解。为了确保响应面函数对极限状态函数的逼近程度最高，需要对响应面函数的系数进行迭代求解并进行收敛情况判别。为此，基于此时得到响应面函数的解析形式上标⁽¹⁾指代第一次迭代，定义初始(第一代)设计点为用于构造第二次迭代的实验点，其构造方法如下：

对于中的每个元素，

${\stackrel{\‾}{x}}_{Di}^{\left(1\right)}={\mathrm{\μ}}_i+{\mathrm{\σ}}_i{\mathrm{\λ}}_i^{\left(1\right)}{\mathrm{\β}}^{\left(1\right)}---\left(21\right)$

其中μ_i和σ_i表示第i个影响因素x_i的期望值和标准差，即x_i～(μ_i,σ_i)。定义如下：

β⁽¹⁾表示第一代的可靠度指标，其定义为响应面函数的数学期望与标准差的比值。

为了求解和将响应面函数在初始设计点处进行泰勒展开，并保留一阶项：

则和可以表示为：

基于式(25)可以得到β⁽¹⁾的值，进而结合式(21)，可以得到的值。在此基础上，求解第二代的实验中心点：

以此类推，可以构造第s代的实验点，并计算获得该代对应的响应面函数系数a^(s),b^(s),c^(s)及其对应的可靠度指标β^(s)。当相邻两次迭代之间的可靠度指标满足|β^(s+1)-β^(s)|＜ξ时则认为迭代收敛，ξ为迭代收敛阈值。迭代结束后，可以得到响应面函数的未知系数，且有其中ε为无穷小量。综上所述，求解响应面函数解析表达式的主要计算流程如图3所示。

迭代收敛后可以得到响应面函数的解析形式如下：

4.各影响因素对运动可靠性的灵敏度解算

在得到式(27)所示的响应面函数的同时，可以得到此时的运动可靠度指标为β＝0.8376。空间机械臂的运动可靠性可以通过以运动可靠度指标为自变量的函数来表征：

R＝Φ(β)(28)

其中，Φ(·)表示标准的正态分布函数。则影响因素x_i对运动可靠性灵敏度可以通过以下方式求解：

式(29)各乘项可分别求解如下：

其中，表示标准正态分布的概率密度函数。结合式(28)和(30)，可以得到各影响因素x_i对运动可靠性的灵敏度为：

至此，可以各影响因素对运动可靠性灵敏度的求解。其中各关节角度对运动可靠性的灵敏度如图4所示。从图中可以看出，各关节角度对机械臂运动可靠性的灵敏度各不相同，灵敏度为正表征对运动可靠性的影响是积极的，为负表征对运动可靠性的影响是消极的。同时，由图4可知关节6对机械臂运动可靠性的灵敏度最大，关节2对运动可靠性的灵敏度最小。

关节速度、关节角加速度以及机械臂的几何参数对运动可靠性灵敏度如表2所示。对于关节速度，可以发现关节2的灵敏度最大，关节5的灵敏度最小，则在进行控制时，优先提升关节2的速度控制精度能够有效提升运动可靠性。对于机械臂几何参数，各连杆参数的灵敏度也各不相同，虽然几何参数在机械臂运动过程中不可控，但可以通过参数标定等方法优先抑制灵敏度较大的参数误差，同样可以达到运动可靠性提升的效果。

表2关节控制变量与机械臂几何参数的灵敏度分析

关节间隙和关节摩擦力对空间机械臂运动可靠性的灵敏度如图5和图6所示。对于关节间隙灵敏度，关节1>关节3>关节5>关节6>关节7>关节4>关节2；对于关节摩擦力灵敏度，关节2>关节3>关节4>关节5>关节1>关节6>关节7。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (2)

1.一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法，其特征在于步骤如下：

1)获取空间机械臂运动可靠性影响因素集Θ；

2)建立以空间机械臂操作空间运动精度为表征的极限状态函数：

g(Θ)＝|P^A(Θ)-P^D(Θ)|

其中，P^A(Θ)和P^D(Θ)分别表示机械臂实际位姿和理想位姿，Θ＝[x₁...x_n]^T表示运动可靠性的影响因素集，n表示影响因素的个数；

3)构造非线性响应面函数：

其中，a,b,c表示响应面函数的常数系数，x_i表示第i个影响因素；通过使得非线性响应面函数逼近极限状态函数计算系数a,b,c的值；

4)基于响应面函数构造运动可靠度指标，求解各影响因素对运动可靠性的灵敏度：

定义运动可靠度指标β如下：

其中，和分别表示极限状态函数g的数学期望和标准差；基于运动可靠度指标，得到运动可靠性的表征：

R＝Φ(β)

其中，Φ(·)表示标准的正态分布函数；则影响因素x_i对运动可靠性灵敏度通过如下方式求解：

式中各乘项可分别求解如下：

其中，表示标准正态分布的概率密度函数，则各影响因素x_i对运动可靠性的灵敏度为：

。

2.根据权利要求1所述的一种空间机械臂参数对运动可靠性影响比重的确定方法，其特征在于：步骤2)中a,b,c的计算步骤如下：

21)通过初始实验点获取a,b,c的初始值

将未知系数a,b,c定义为向量形式κ＝[a,b₁,...,b_n,c₁,...c_n]，令v＝[1xx²]^T，其中x＝[x₁...x_n]，将响应面函数转化为如下形式：

假设Θ中的每一个影响因素均服从正态分布，且有x_i～(μ_i,σ_i)，构造2n+1个实验点其中：

称为中心实验点；该组实验点称之为初始第一代实验点，表示为上标⁽¹⁾表示第一代；基于这2n+1个实验点，可以得到响应面函数与极限状态函数的差值为：

其中，i,j＝1,...,2n+1，V∈R^{(2n+1)×(2n+1)}称为回归系数矩阵：

当响应面函数逼近极限状态函数时，两函数的偏差取最小值；S(κ)取极值的条件为即：

(V·κ-g)^TV＝0

基于最小二乘原理，求得响应面函数系数初始值κ⁽¹⁾：

κ⁽¹⁾＝(V^TWV)^-1V^TWg

其中W＝diag(w₁...w_2n+1)∈R^{(2n+1)×(2n+1)}为权重矩阵，且有

则响应面函数a,b,c的初始(第一代)值表示为：

22)构造设计点进行系数a,b,c的迭代求解

定义初始第一代设计点对于中的每个元素，

其中，μ_i和σ_i表示第i个影响因素x_i的期望值和标准差；i＝1～n；β⁽¹⁾表示初始第一代可靠度指标，其定义为响应面函数的数学期望与标准差的比值。

将响应面函数在初始设计点处进行泰勒展开，并保留一阶项：

则和表示为：

利用上式求得β⁽¹⁾的值，从而得到的值；基于初始设计点，求解第二代的实验中心点：

以此类推，构造第s代的实验点，并计算获得该代对应的响应面函数系数a^(s),b^(s),c^(s)及其对应的可靠度指标β^(s)；

23)建立迭代收敛指标实现系数a,b,c最优解求解

定义响应面函数迭代收敛指标如下：

当相邻两次迭代之间的可靠度指标满足|β^(s+1)-β^(s)|＜ξ时，认为响应面函数收敛，此时的响应面函数与极限状态函数间的偏差取最小值，有其中ξ为迭代收敛阈值，ε为无穷小量；

则第s+1次迭代得到的系数a^(s+1),b^(s+1),c^(s+1)为最优解。