CN104537151A - 一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，属于机械臂建模技术领域。在建立空间机械臂运动学方程、动力学方程以及能量方程的基础上，计算出空间机械臂末端的等效质量；利用单体之间的连续碰撞Hertz阻尼模型，推导出单体碰撞产生的碰撞力、碰撞持续时间及压缩量；进而，结合空间机械臂末端等效质量和单体连续碰撞Hertz阻尼模型，建立空间机械臂连续碰撞动力学模型，计算出空间机械臂碰撞过程中的碰撞力、碰撞持续时间及最大压缩量。本发明解决了空间机械臂连续碰撞动力学建模问题，其建模过程简单易懂，能够显式的表示出碰撞过程中的碰撞力、碰撞持续时间及最大压缩量。

Description

一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，属于机械臂建模技术领域。

背景技术

空间机械臂执行在轨组装或者抓捕等接触任务时，一般经历三个阶段：预碰撞、接触碰撞及碰撞后控制。预碰撞阶段不仅要完成机械臂末端抓捕位姿的调整，通常还需要进行机械臂构型及轨迹的优化，以实现机械臂碰撞脉冲最小化或者碰撞对基座扰动最小等目标，而这些目标的设定需要以碰撞动力学为基础；对于碰撞后的稳定控制，需要预先知道碰撞对机械臂造成的影响，比如关节角速度的突变、基座角动量的变化等，同样需要以碰撞动力学作为支撑，由此可以看出空间机械臂在完成含接触碰撞的任务时，接触碰撞阶段的碰撞动力学建模十分重要。

目前针对空间机械臂碰撞动力学建模多为离散模型，是在碰撞作用时间极短且将碰撞作用视为碰撞脉冲的假设条件下建立的，此类模型的特点是建模方法较为简单，但是只能求得碰撞脉冲及碰撞作用引起的系统变化，无法求得碰撞力的显示表达式。当机械臂与相对柔性环境接触碰撞时，有时需要求得碰撞过程持续的时间、碰撞力大小变化及压入深度等，此时离散碰撞动力学模型已经不能满足要求，因此，一些学者针对连续碰撞动力学模型进行了研究，但多数停留在单体之间的碰撞，针对多体系统间的连续碰撞相关文献较少。为了解决上述问题，本发明提供了一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，其建模过程简单易懂，能够显式的表示出碰撞过程中的碰撞力、持续时间及压缩量。

发明内容

本发明的目的是针对空间机械臂执行轨组装或者抓捕等接触任务，提供一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，以求解出碰撞过程中的碰撞力、碰撞持续时间及最大压缩量。

一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法由以下步骤完成：

步骤一、采用拉格朗日方法建立空间机械臂动力学模型，消去基座变量，推导出只含有关节角变量的空间机械臂动力学方程(见式(2))；

步骤二、建立空间机械臂运动学模型以及能量方程，结合所建立的空间机械臂动力学方程推导出空间机械臂末端等效质量表达式(见式(7))；

步骤三、建立单体之间的连续碰撞Hertz阻尼模型，并推导出单体连续碰撞过程中的碰撞力、碰撞时间以及压缩量的表达式(见式(10～12))，其中阻尼系数的选取按照图1、图2所示的精度比较图选择；

步骤四、结合空间机械臂末端等效质量和单体连续碰撞动力学模型，建立空间机械臂连续碰撞动力学模型，并计算碰撞过程中的碰撞力、碰撞时间及最大压缩量。

本发明的优点 

本发明主要涉及一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，结合机械臂末端等效质量和单体连续碰撞模型，建立完整的空间机械臂连续碰撞动力学模型，其优势在于建模方法简单，可根据不同的实际情况选择相应的模型，能够计算出空间机械臂多体系统碰撞过程中的碰撞力、碰撞持续时间及压缩量的变化(见实例1)。

附图说明

图1-A七种连续模型精度比较图(0～1)；

图1-B七种连续模型精度比较图(0.75～1)；

图2是本发明实施例1中的七自由度空间机械臂模型；

图3是本发明实施例1中的碰撞力随时间的变化图；

图4是本发明实施例1中的压缩量随时间的变化图；

具体实施方式

本发明提供了一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，下面结合附图对本发明作进一步说明。

一、空间机械臂动力学方程的建立

采用拉格朗日法建立空间机械臂动力学一般方程为：

$H\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_b\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_b\\ c_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_b\\ {\mathrm{\τ}}_m\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{J_b}^T\\ {J_m}^T\end{array}\right]F_e---\left(1\right)$

消去变量可得：

$H^{*}\stackrel{\·\·}{q}+c^{*}(q,\stackrel{\·}{q})={\mathrm{\τ}}_m+J^{*T}{F}_e---\left(2\right)$

其中，为空间机械臂相对关节的惯性张量， 为关节速度依赖项，q为关节角度，τ_m为关节力矩，F_e 为空间机械臂末端外力，J^*为空间机械臂广义雅克比矩阵；

二、空间机械臂末端等效质量的建立

又知空间机械臂能量方程在关节空间的表示为：

$E_k=\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{q}}^T{H}^{*}\stackrel{\·}{q}---\left(3\right)$

而由运动学知识可知空间机械臂末端速度与关节角速度之间的关系为：

${\stackrel{\·}{x}}_e=J^{*}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中，为雅克比矩阵的广义逆。

将(5)式代入到(3)式，可得：

其中，M＝(J^*H^*-1J^*T)^-1为描述空间机械臂末端在操作空间的惯性特性矩阵。如果空间机械臂与目标物碰撞时，只存在线速度，那么需将M中的雅克比矩阵J^*替换为相应的速度雅克比矩阵则在单位方向n上的等效质量为：

$m_e=\frac{1}{n^T{M}_v^{-1}n}---\left(7\right)$

其中， $M_v={\left(J_v^{*}{H}^{*-1}{J}_v^{*T}\right)}^{-1};$

三、单体连续碰撞动力学建模方法

两单体间经典的碰撞力模型为Hertz阻尼模型： 

$F_N=k{\mathrm{\δ}}^{\mathrm{\α}}+\mathrm{\λ}{\mathrm{\δ}}^{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}---\left(8\right)$

其中，为阻尼力，λ为阻尼系数，k为刚度系数，δ为碰撞压缩量，α为常量，当两碰撞体接触表面为球面时取1.5；

由式(8)推得单体间碰撞系统的一般方程为：

$m\stackrel{\·\·}{\mathrm{\δ}}+\mathrm{\λ}{\mathrm{\δ}}^{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+k{\mathrm{\δ}}^{\mathrm{\α}}=0---\left(9\right)$

其中，m₁、m₂分别为两物体的质量，通过积分运算可得碰撞过程中的压缩变形量δ随两碰撞物体的相对速度的变化关系为：

${\mathrm{\δ}}^{\mathrm{\α}+1}=\frac{\mathrm{\α}+1}{c^2}[c(\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)})-\mathrm{\ω}\ln |\frac{c\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+\mathrm{\ω}}{c{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}+\mathrm{\ω}}\left|\right]---\left(10\right)$

其中， 为碰撞初始时刻的相对速度；

当压缩变形量δ＝0时，上式化简得：

$e^{\mathrm{\μ}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}=a(c\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+\mathrm{\ω})---\left(11\right)$

其中， $a=\frac{e^{\mathrm{\μ}{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}}{|c{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}+\mathrm{\ω}|},\mathrm{\μ}=\frac{c}{\mathrm{\ω}}=\frac{\mathrm{\λ}}{k}.$ 解方程(11)，可得 $\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}$ 或 $\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(+)},$ 即为两物体分离时的相对速度，将代入式(10)，可求得碰撞过程中的最大压缩量；

结合(10)、(11)两式可推导出两物体碰撞持续的时间：

$t={\∫}_{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}^{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(+)}}\mathrm{dt}={\left(\frac{m}{k}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{\α}+1}}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}^2}{\mathrm{\α}+1}\right)}^{\frac{\mathrm{\α}}{\mathrm{\α}+1}}{\∫}_{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(+)}}^{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}\frac{d\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}{(\mathrm{\μ}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+1){[-\mathrm{\μ}(\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)})+\ln |\frac{\mathrm{\μ}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+1}{\mathrm{\μ}{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}+1}\left|\right]}^{\frac{\mathrm{\α}}{\mathrm{\α}+1}}}---\left(12\right)$

由以上推导可以发现，当物体的质量、刚度、碰撞初始时刻的相对速度已知后，碰撞接触时间、最大压缩量及接触力只跟阻尼系数λ有关，λ的表达式比较经典的有以下几种：

1)Hunt and Crossley

$\mathrm{\λ}=\frac{3(1-c_r)}{2}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(13\right)$

2)Herbert and McWhannell

$\mathrm{\λ}=\frac{6(1-c_r)}{{({2c}_r-1)}^2+3}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(14\right)$

3)Lee and Wang

$\mathrm{\λ}=\frac{3(1-c_r)}{4}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(15\right)$

4)Lankarain and Nikravesh

$\mathrm{\λ}=\frac{3(1-{c_r}^2)}{4}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(16\right)$

5)Gonthier

$\mathrm{\λ}=\frac{1-{c_r}^2}{c_r}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(17\right)$

6)Flores

$\mathrm{\λ}=\frac{8(1-c_r)}{{5c}_r}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(18\right)$

7)Zhiying and Qishao

$\mathrm{\λ}=\frac{3(1-{c_r}^2)e^{2(1-c_r)}}{4}\frac{k}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}---\left(19\right)$

λ具体选哪种模型可根据图1、图2选取，黑色对角线为参考线，离该线越近模型越精确；

四、空间机械臂连续碰撞动力学模型

应用建立的空间机械臂末端等效质量的概念，将等效质量替换单体连续碰撞模型中的质量如m₁，即可建立空间机械臂碰撞动力学模型，进而求得空间机械臂碰撞过程中的碰撞力变化、碰撞持续时间以及最大压缩量。

实施例1：

根据本发明所提供的一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，以如图2所示的七自由度空间机械臂为研究对象展开验证，机械臂的D-H参数以及动力学参数如表1、表2所示。

表1 空间机械臂D-H参数表

表2 空间机械臂动力学参数

用说明书所述的方法建立七自由度空间机械臂动力学模型、运动学模型及能量方程。设定机械臂碰撞时的参数如下：

空间机械臂关节角度：Θ＝[-50°,-170°,150°,-60°,130°,170°,0°]；

碰撞方向：n＝[-0.5267,0.7355,0.4262]^T；

碰撞目标物质量：m_o＝20kg；

碰撞时相对速度大小：v＝0.05m/s；

材料恢复系数：c_r＝0.8；

材料刚度系数：k＝7.5631×10⁹；

采用说明书中的λ的选择方法，选择Herbert and McWhannell模型，则可得 碰撞力的显示表达式为：

$F=k{\mathrm{\δ}}^{\mathrm{\α}}[1+\frac{6(1-c_r)}{{(2c_r-1)}^2+3}\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}^{(-)}}]---\left(20\right)$

利用说明书中的式(10)～(12)，可计算出空间机械臂碰撞过程中的碰撞力、压缩量变化，分别如图3、图4所示，最大碰撞力为1004N，碰撞持续时间约为1.7ms，最大压缩量为0.0253mm。

Claims (2)

1.一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，其特征在于：所述方法由以下步骤完成：

步骤一、采用拉格朗日方法建立空间机械臂动力学模型，消去基座变量，推导出只含有关节角变量的空间机械臂动力学方程；

步骤二、建立空间机械臂运动学模型以及能量方程，结合所建立的空间机械臂动力学方程推导出空间机械臂末端等效质量表达式；

步骤三、建立单体之间的连续碰撞Hertz阻尼模型，并推导出单体连续碰撞过程中的碰撞力、碰撞时间以及压缩量的表达式；

步骤四、结合空间机械臂末端等效质量和单体连续碰撞动力学模型，建立空间机械臂连续碰撞动力学模型，计算碰撞过程中的碰撞力、碰撞时间及最大压缩量。

2.根据权利要求1所述的一种基于等效质量的空间机械臂连续碰撞动力学建模方法，其特征在于：

在步骤四中结合空间机械臂末端等效质量和单体连续碰撞动力学模型，建立空间机械臂连续碰撞动力学模型，计算碰撞过程中的碰撞力、碰撞时间及最大压缩量，其过程为：

采用拉格朗日法建立空间机械臂动力学方程：

其中，为空间机械臂相对关节的惯性张量， 为关节速度依赖项，q为关节角度，τ_m为关节力矩，F_e为空间机械臂末端外力，J^*为空间机械臂广义雅克比矩阵；

建立空间机械臂运动学方程和能量方程：

结合式(2)和式(3)：

其中，为雅克比矩阵的广义逆，M＝(J^*H^*-1J^*T)^-1；

由式(4)推导出空间机械臂末端等效质量为：

其中， 为广义的速度雅克比矩阵，n为单位方向矢量；

两单体间经典的碰撞力模型为Hertz阻尼模型：

其中，为阻尼力，λ为阻尼系数，k为刚度系数，δ为碰撞压缩量，α为常量，当两碰撞体接触表面为球面时取1.5；

由式(6)推得单体间碰撞系统的一般方程为：

其中，m₁、m₂分别为两物体的质量，通过积分运算可得碰撞过程中的压缩变形量δ随两碰撞物体的相对速度的变化关系为：

其中，为碰撞初始时刻的相对速度；

当压缩变形量δ＝0时，上式化简得：

其中，解方程(9)，可得或 即为两物体分离时的相对速度，将代入式(8)，可求得碰撞过程中的最大压缩量；

结合(8)、(9)两式可推导出两物体碰撞持续的时间：

以上各式中λ的选取需根据输入条件从以下模型中选取：

1)Hunt and Crossley

2)Herbert and McWhannell

3)Lee and Wang

4)Lankarain and Nikravesh

5)Gonthier

6)Flores

7)Zhiying and Qishao

应用建立的空间机械臂末端等效质量的概念，用等效质量替换单体碰撞模型中的质量如m₁，即可求得太空机械臂碰撞过程中的碰撞力变化、碰撞持续时间以及最大压缩量。