CN109977498A - 一种基于hoc计算fgm梯形梁动力学响应的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，假设功能梯度梯形梁的物性参数为梁厚度方向坐标的幂函数，考虑FGM梯形梁横向弯曲变形和纵向伸长变形，且在纵向位移中计及由于横向变形而引起的纵向缩短项，即非线性耦合变形量。采用假设模态法描述变形，运用第二类Lagrange方程推导得到系统刚柔耦合动力学方程。通过仿真算例对系统的动力学特性进行研究，结果表明材料梯度指数，附加质量块的位置、大小以及转动惯量，梁高比，梁宽比以及梯形梁变截面位置都会对系统的动力学特性产生较大影响。本发明建立的仿真程序，能为在旋转机械领域工作的工程技术人员，如抓取重物的大型旋转机械臂，卫星天线系统提供一定的工程设计基础。

Description

一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法

技术领域

本发明属于多体系统动力学建模领域，具体涉及一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法。

背景技术

传统的FGM材料，在特定工况下满足特定要求，设计两种或者两种以上性态不同的材料，按照某种规律分布使它们复合在一起，这样使得构件中间部分材料特性和性能不会发生突变，而是连续变化，构件两侧则是由不同的材料构成，目的是为了实现不同的需求。功能梯度材料较传统各项同性材料有诸多优点，例如耐高温性、耐高压型、耐低温性等。因此对于FGM梯形梁的动力学建模与分析是十分有必要且必须的。

陈思佳在《中心刚体-变截面梁系统的动力学特性研究》一文中建立了高层次刚柔耦合动力学方程，对作大范围旋转运动的中心刚体-楔形梁以及中心刚体-梯形梁模型的动力学行为进行了研究，研究表明梁宽度变化、梁高度变化、梯形梁中间截面位置都对系统的动力学特性有很大影响，但是他的研究没有考虑不同材料特性。黎亮在《中心刚体-功能梯度材料梁系统的动力学特性》采用假设模态法离散变形位移场，运用第二类Lagrange方程建立了中心刚体-FGM梁的高次刚-柔耦合模型，针对FGM梁材料特性不同分布规律，不同功能梯度指数情况下的横向弯曲固有频率以及动力学响应进行了研究，但是他的研究没有考虑柔性梁的截面变化情况。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，解决了传统一次近似刚-柔耦合动力学模型中无法计算大变形的问题，为合理选择FGM梯形梁的截面参数提供了一定的理论依据。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，包括以下步骤：

步骤1、设定FGM梯形梁的几何参数、材料参数，建立中心刚体-FGM梯形梁系统，转入步骤2；

步骤2、采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梯形梁系统中的FGM梯形梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场，转入步骤3；

步骤3、采用假设模态法对FGM梯形梁的大范围旋转运动变形位移场进行离散，转入步骤4；

步骤4、运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梯形梁系统的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、采用全区间积分的阿当姆斯预报校正法求解高次刚-柔耦合动力学方程，输出大范围旋转运动的FGM梯形梁末端横向弯曲变形示意图。

本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)本发明基于高次刚-柔耦合模型，较以往传统的零次近似模型，一次近似模型具有更高的精确度。

(2)本发明使用了具有耐热性的功能梯度材料，在工程上具有很广泛的应用前景，能为相关工作者提供一定的技术支持。

附图说明

图1为本发明基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法的流程图。

图2为中心刚体-FGM梯形梁系统的示意图。

图3为FGM梯形梁的结构参数图。

图4为FGM梯形梁变形示意图。

图5为实施例1中FGM梯形梁的梁末端横向弯曲变形示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施案例对本发明进行进一步的介绍，本实施案例只是本发明所对应的某一具体实施案例，在该多体系统动力学工作的学者，在没有实质性的进展前提下所获得的其他实施案例，都属于本发明保护的范围。

结合图1和图3，一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，包括以下步骤：

步骤1、设定FGM梯形梁的几何参数、材料参数，建立中心刚体-FGM梯形梁系统，转入步骤2。

其中中心刚体-FGM梯形梁系统，中心刚体为圆盘，半径为R，转动惯量大小为J_oh；假设FGM梯形梁由陶瓷和金属组成，材料特性沿着柔性梁厚度方向按幂律规律分布，因此梁的密度和弹性模量都是随厚度变化而变化的，不考虑外界其他因素的影响；FGM梯形梁在未发生形变前任一垂直于中轴线的平面，发生形变后仍然为垂直于中轴线的平面，因此忽略了扭转效应和剪切效应；假设FGM梯形梁变截面位置处没有应力集中，整个柔性梁应力连续。FGM梯形梁中近中心刚体端的梁的梁宽b₂、梁高h₂、梁长c，远离中心刚体端的梁的梁宽b₁、梁高h₁、梁长L-c，材料参数为：近中心刚体端的梁的密度ρ₂(y)、弹性模量E₂(y)，远离中心刚体端的梁的密度ρ₁(y)、弹性模量E₁(y)，分别如下

式中y为厚度方向坐标，k为体积分数指数，E_c、ρ_c分别为陶瓷组分的杨氏模量、密度，E_m、ρ_m分别为金属组分的杨氏模量、密度。作用在中心刚体上的力矩τ使中心刚体-FGM梯形梁系统绕着O_oZ_o轴转动，惯性坐标系O₀-X₀Y₀，浮动坐标系o-xy，ox轴与O₀X₀轴的夹角为θ。

步骤2、采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梯形梁系统中的FGM梯形梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场。图4为FGM梯形梁上任一点P₀变形后截面放大图。中性面上的C₀点和FGM梯形梁上任一点P₀变形后分别移动到C点和P点，功能梯度梯形梁上任一点P₀变形后的矢径在惯性坐标系O₀-X₀Y₀的表达式r为

式中，Θ为浮动坐标系o-xy相对于惯性坐标系O₀-X₀Y₀的方向余弦矩阵，R为中心刚体的半径，变形前P₀在浮动坐标系中的坐标为[x,y]^T，w₁(x,t)为轴线轴向变形量，w₂(x,t)为横向弯曲变形量，w_c(x,t)为横向位移引起的梁的纵向缩短量，即非线性耦合变形量，w_c(x,t)表示为

将式(3)对时间t进行求导，得到P点的速度为

系统的动能T有两部分组成，一部分是柔性附件的动能另一部分为中心刚体的转动动能其表达式为

式中，ρ(y)为FGM梯形梁任一点的密度。

功能梯度梯形梁上任意一点P_o处的轴向正应变ε_xx可以通过非线性应变-位移关系得出

因为中心刚体-FGM梯形梁系统是做大范围平面运动，不考虑重力所做的功，系统的势能只包含FGM梯形梁的形变所引起的变形势能V，该项为

式中，E(y)为FGM梯形梁任一点的杨氏模量，转入步骤3。

步骤3、采用假设模态法对FGM梯形梁的大范围旋转运动变形位移场进行离散。其中FGM梯形梁的轴向变形量w₁(x,t)和横向变形量w₂(x,t)可以表示为

式中，Φ_x(x)∈R^1×N，为梁的轴向振动的模态函数的行矢量，Φ_y(x)∈R^1×N，为梁的横向振动的模态函数的行矢量，A(t)∈R^N×1，为轴向振动的模态坐标列矢量，B(t)∈R^N×1为横向振动的模态坐标列矢量，上述模态函数Φ_x(x)、Φ_y(x)可表示为

模态坐标A(t)、B(t)可表示为

其中，φ_xi(x)为FGM梯形梁轴向振动的模态函数，我们取为简支梁的模态函数

φ_yi(x)为FGM梯形横向振动的模态函数，我们取为悬臂梁的模态函数

φ_yi(x)＝(cosβ_ix-chβ_ix)+γ_i(sinβ_ix-shβ_ix),i＝1,2,…,N (40)

其中，

于是，可以得到由横向弯曲变形引起的纵向缩短项w_c的模态函数表达式

其中，H(x)∈R^N×N为耦合形函数，可以用如下公式表示

将式(5)和式(6)代入式(34)和式(36)，可以得到FGM梯形梁系统离散后的动能T和变形势能V表达式

步骤4、运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梯形梁系统的高次刚-柔耦合动力学方程。取广义坐标q＝(θ,A^T,B^T)^T，运用第二类Lagrange方程

式中，Q_τ＝[τ,0,0]^T是外驱动力矩所对应的广义力，可以得到中心刚体-FGM梯形梁系统的动力学方程

式中，

M₂₂＝M_x (11)

M₂₁＝(M₁₂)^T＝-M_xyB (13)

相关的常系数矩阵表示如下

Y＝∫∫∫_Vρ(y)y²Φ_y′(x)dV (21)

其中ρ₁，ρ₂，J_ob，Y，S_x，S_y，M_x，M_y，M_xy，C，K₁，K₂，K₃，E₁₀，E₁₁，E₁₂，E₂₀，E₂₁，E₂₂为相关常系数矩阵，式中，t为时间，τ₀为大范围旋转运动外力矩，T＝6s。

实施例1本发明实施案例公开了一种基于HOC的计算FGM梯形梁的刚柔耦合动力学仿真方法，具体方法如下：

步骤1、设定中心刚体几何参数，FGM梯形梁的截面参数和材料参数，建立如图2的中心刚体-FGM梯形梁系统，中心刚体几何参数、FGM梯形梁的截面参数和材料参数，如表1所示。设置仿真时间T＝2s，作用在中心刚体上的外力矩可表示为

转入步骤2。

表1中心刚体几何参数、FGM梯形梁的截面参数和材料参数

步骤2、采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梯形梁系统中的FGM梯形梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场，考虑FGM梯形梁横向弯曲变形和纵向伸长变形，且在纵向位移中计及由于横向变形而引起的纵向缩短项，即非线性耦合变形量，转入步骤3。

步骤3、采用假设模态法对FGM梯形梁的大范围旋转运动变形位移场进行离散，其中FGM梯形梁轴向振动的模态函数取为简支梁的模态函数，横向振动的模态函数取为悬臂梁的模态函数，可以得到离散后的系统的动能和势能表达式，转入步骤4。

步骤4、运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梯形梁系统的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、采用全区间积分的阿当姆斯预报校正法求解高次刚-柔耦合动力学方程，输出大范围旋转运动的FGM梯形梁末端横向弯曲变形示意图。

Claims (5)

1.一种基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、设定FGM梯形梁的几何参数、材料参数，建立中心刚体-FGM梯形梁系统，转入步骤2；

步骤2、采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梯形梁系统中的FGM梯形梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场，转入步骤3；

步骤3、采用假设模态法对FGM梯形梁的大范围旋转运动变形位移场进行离散，转入步骤4；

步骤4、运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梯形梁系统的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、采用全区间积分的阿当姆斯预报校正法求解高次刚-柔耦合动力学方程，输出大范围旋转运动的FGM梯形梁末端横向弯曲变形示意图。

2.根据权利要求1所述的基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，其特征在于：所述步骤1中FGM梯形梁的几何参数为：FGM梯形梁中近中心刚体端的梁的梁宽b₂、梁高h₂、梁长c，远离中心刚体端的梁的梁宽b₁、梁高h₁、梁长L-c，材料参数为：近中心刚体端的梁的密度ρ₂(y)、弹性模量E₂(y)，远离中心刚体端的梁的密度ρ₁(y)、弹性模量E₁(y)，分别如下

式中y为厚度方向坐标，k为体积分数指数，E_c、ρ_c分别为陶瓷组分的杨氏模量、密度，E_m、ρ_m分别为金属组分的杨氏模量、密度。

3.根据权利要求1所述的基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，其特征在于：所述步骤2，FGM梯形梁上任一点P₀变形后的矢径在惯性坐标系O₀-X₀Y₀中的表达式r为

式中，Θ为浮动坐标系o-xy相对于惯性坐标系O₀-X₀Y₀的方向余弦矩阵，R为中心刚体的半径，变形前P₀在浮动坐标系中的坐标为[x,y]^T，w₁(x,t)为轴线轴向变形量，w₂(x,t)为横向弯曲变形量，w_c(x,t)为横向位移引起的梁的纵向缩短量，即非线性耦合变形量，θ为ox轴与O₀X₀轴的夹角，w_c(x,t)表示为

4.根据权利要求1所述的基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，其特征在于：所述步骤3采用假设模态法描述FGM梯形梁的变形，轴向变形w₁和横向变形w₂表示为

式中，Φ_x(x)∈R^1×N，为梁的轴向振动的模态函数的行矢量，Φ_y(x)∈R^1×N，为梁的横向振动的模态函数的行矢量，A(t)∈R^N×1，为轴向振动的模态坐标列矢量，B(t)∈R^N×1为横向振动的模态坐标列矢量，于是有

式中，H(x)∈R^N×N为耦合形函数，其表达式为

5.根据权利要求1所述的基于HOC计算FGM梯形梁动力学响应的方法，其特征在于：所述步骤4中，取广义坐标q＝(θ,A^T,B^T)^T，运用第二类Lagrange方程

式中，Q_τ＝[τ,0,0]^T是外驱动力矩所对应的广义力，可以得到中心刚体-FGM梯形梁系统的动力学方程

式中，

M₂₂＝M_x (11)

M₂₁＝(M₁₂)^T＝-M_xyB (13)

相关的常系数矩阵表示如下

Y＝∫∫∫_Vρ(y)y²Φ_y′(x)dV (21)

其中ρ₁，ρ₂，J_ob，Y，S_x，S_y，M_x，M_y，M_xy，C，K₁，K₂，K₃，E₁₀，E₁₁，E₁₂，E₂₀，E₂₁，E₂₂为相关常系数矩阵；

大范围旋转运动规律为：

式中，t为时间，τ₀为大范围旋转运动外力矩。