CN108334688B - 基于matlab的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法 - Google Patents

基于matlab的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法。根据三维弹性原理和Von‑Karman原理，采用中厚板的一阶剪切变形理论来描述功能梯度厚板的变形位移和应变关系；采用第二类Lagrange方程推导高速旋转功能梯度厚板的动力学方程，为对功能梯度材料板的动力学分析提供理论依据；采用有限元方法离散功能梯度厚板的变形场，有限元单元为20自由度矩形单元；在MATLAB中利用Newmark积分求解动力学方程，输入旋转功能梯度厚板的物理参数，可以实现功能梯度厚板外侧角点变形的实时显示。本方法计算精度高，计算速度快；输入功能梯度厚板的长、宽、高、转速、功能梯度材料参数等数据，运行主程序即可计算功能梯度厚板动力学行为。

Description

基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法
技术领域
本发明涉及多体系统动力学和计算机仿真领域，具体地说，是一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学计算方法。
背景技术
随着航天航空器、能源动力、汽车工业、智能机器人等领域的蓬勃发展，力学与机械、材料、电子、生物等多学科的交叉不断加深，功能梯度材料的研究受到了更多重视。在求解高速旋转的功能梯度叶片动力学问题时，建模理论十分关键，往往将叶片简化为板模型。Yoo采用几何约束法对作大范围运动薄板的动力刚度项进行修正，采用假设模态法对变形场进行离散。赵飞云、洪嘉振等基于连续介质力学理论，考虑了变形二次项，推导了高速旋转矩形柔性薄板的动力学方程。吴根勇、和兴锁等基于经典薄板理论建立了大范围运动层合板的动力学方程，计入了传统建模方法忽略的二次耦合变形量，研究了铺层数与外侧角点变形的关系。目前已有工作主要是使用经典薄板理论研究板的动力学问题，在解决中厚板动力学问题时，使用经典薄板理论会出现计算误差，尤其是在处理高速旋转功能梯度厚板时。在MATLAB计算过程中，计算精度和计算效率的提高也很重要。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法，建立的动力学模型基于厚板理论求解高速旋转功能梯度厚板运动过程中的动力学问题，基于MATLAB软件，采用Newmark法数值求解，此方法计算精度高，计算速度快；输入功能梯度厚板的长、宽、高、转速、功能梯度材料参数等数据，运行主程序即可计算功能梯度厚板动力学行为。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法，包含以下步骤：
步骤1，采用混合坐标法在三维浮动坐标系中建立作大范围运动功能梯度厚板的物理模型，设置功能梯度厚板的材料参数ρ(z)和E(z)、边界条件和运动方式；
步骤2，采用中厚板理论在浮动坐标系中描述功能梯度厚板上任意一点P的速度，根据P点的速度表达式得到功能梯度厚板系统的动能表达式T；
步骤3,采用一阶剪切变形理论和连续介质力学理论描述作大范围运动功能梯度厚板的变形场；
步骤4，根据得到的变形场表达式，得到功能梯度厚板系统的势能U；
步骤5，将上述内容建立的功能梯度厚板系统的动能和势能表达式代入到第二类拉格朗日方程，得到功能梯度厚板矩阵形式动力学方程；
步骤6，采用Newmark数值积分方法对上述动力学方程进行求解，采用20自由度4节点矩形单元离散功能梯度厚板的变形场，采用高斯积分对矩形单元形函数进行积分计算；
步骤7，在MATLAB中输入功能梯度厚板材料参数的具体数值，利用Newmark积分得到作大范围运动的功能梯度厚板的动力学计算结果，并且以曲线形式显示。
步骤1中建模过程说明如下：如图1所示坐标系O-XYZ为惯性坐标系，o-xyz为连体坐标系，三个方向的单位矢量分别为a1、a2、a3。板的长度为a，宽度为b，厚度为h，密度ρ(z)，弹性模量为E(z)，泊松比为μ。变形前板中面上一点P0(在连体坐标系下坐标为(x,y,z))变形后至P点。
功能梯度材料沿板的厚度方向呈幂函数分布：
Figure BDA0001561515230000021
其中，N(N≥0)为功能梯度指数，h为板厚度，z为功能梯度厚板所在三维连体坐标系中的纵坐标，下标‘c’、‘m’分别代表陶瓷材料和金属材料。
步骤2中旋转功能梯度厚板任意一点P的速度为
Figure BDA0001561515230000022
上式中u1、u2、u3为u在x、y、z三个方向上的位移分量，功能梯度材料厚板上连体坐标系相对于惯性系的速度矢量为v，角速度矢量为ω，v的三个分量为v1、v2、v3，ω的三个分量为ω1、ω2、ω3。
旋转功能梯度厚板系统的动能为：
Figure BDA0001561515230000031
步骤3中变形场表达式为：
Figure BDA0001561515230000032
Figure BDA0001561515230000033
分别为板中面上x和y方向上的变形，w1和w2分别为板中面内沿x和y方向的实际伸长量，
Figure BDA0001561515230000034
Figure BDA0001561515230000035
为二次耦合变形量。
Figure BDA0001561515230000036
分别为柔性厚板中面法线相对于y轴和x轴的转角。
步骤4中旋转功能梯度厚板系统的势能：
Figure BDA0001561515230000037
Figure BDA0001561515230000038
Figure BDA0001561515230000041
步骤5代入到第二类Lagrange方程得：
Figure BDA0001561515230000042
矩阵中各项为：
Figure BDA0001561515230000043
Figure BDA0001561515230000051
K33表达式中a01、a02、a03为基点加速度在浮动基下的分量：
Figure BDA0001561515230000052
上式中各常数阵为：
Figure BDA0001561515230000053
Figure BDA0001561515230000061
步骤6中采用20自由度矩形单元离散变形场，所用矩形单元自由度为
Figure BDA0001561515230000062
本发明与现有技术相比，其显著优点为：
(1)理论建模过程中，基于一阶剪切变形理论描述功能梯度厚板的变形场，并且考虑了变形耦合二次项，在描述中厚板的变形位移场时更加精确。
(2)采用20自由度4节点矩形单元，给出了矩形单元的形函数具体表达式。
(3)在求解动力学方程时采用Newmark隐式时间积分方法，可以有效的滤除系统虚假的高频响应，计算效率高，计算结果稳定收敛。
(4)可以对不同尺寸的功能梯度板进行数值计算，能够手动选择或者更改所需要的参数，并且对变形随着时间的变化图实现实时显示，便于对比不同参数对计算结果的影响，更好的对功能梯度厚板的参数进行设计和优化。
附图说明
图1为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的物理模型示意图。
图2为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的物理模型示意图。
图3为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的材料组成示意图。
图4为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的计算过程中有限元参数设置示意图。
图5为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的计算结果输出图。
图6为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的外侧角点变形随时间变化图。
图7为本发明所述一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法的实施例的外侧角点变形速度随时间变化图。
具体实施方式
下面结合实施例和附图对本发明进行进一步描述。
本发明实施例公开了一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法，包括：
(1)如图1和图2所示为本文实施例的物理模型示意图，图3为厚板沿厚度方向的材料分布示意图，首先对物理模型进行理论建模，得到以矩阵形式表达的动力学方程。
Figure BDA0001561515230000072
上式各个矩阵表达式为
Figure BDA0001561515230000071
其中单下划线项为二次耦合变形量，双下划线项为横向剪切项，考虑这些项是解决高速旋转厚板动力学问题的关键。
在MATLAB中使用高斯积分求得上式中的已知矩阵。
(2)表1为实施例的各项物理参数，在MATLAB中手动输入功能梯度板的参数数值。
表1功能梯度厚板的参数
Figure BDA0001561515230000081
(3)给定的角速度表达式为：
Figure BDA0001561515230000082
功能梯度厚板绕中心刚体以上式角速度规律运动，上式中计算总时间可以手动设定，输入不同的Ω值可以对不同转速的功能梯度厚板进行计算。
(4)通过Newmark隐式数值积分方法，实现基于MATLAB的旋转功能梯度厚板外侧角点变形的数值求解。通过如下语句调用Newmark积分函数：
T End＝40，time step＝0.01；[TY]＝new mark([0t End],Y0,time step，h)
计算截止时间T end和计算时间步长time step均可以手动设置。
(5)如图4所示为有限元设置模块，手动输入选择功能梯度厚板离散单元数，meshcase取不同值对应不同的单元数。
(6)点击主程序的运行按钮，示即可得到输出的如图5所外侧角点变形数据，以及对数据处理之后生成的外侧角点变形和变形速度随时间变化的曲线图，如图6和图7所示。

Claims (2)

1.一种基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法，其特征在于：包括
步骤1，采用混合坐标法在三维浮动坐标系中建立作大范围运动功能梯度厚板的物理模型，设置功能梯度厚板的材料参数ρ(z)和E(z)、边界条件和运动方式；
步骤2，采用中厚板理论在浮动坐标系中描述功能梯度厚板上任意一点P的速度，根据P点的速度表达式得到功能梯度厚板系统的动能表达式T；步骤2中的采用中厚板理论描述功能梯度厚板上任意一点P的速度为
Figure FDA0003485497720000011
上式中u1、u2、u3为u在x、y、z三个方向上的位移分量，功能梯度材料厚板上连体坐标系相对于惯性系的速度矢量为v，角速度矢量为ω，v的三个分量为v1、v2、v3，ω的三个分量为ω1、ω2、ω3，a1、a2、a3分别为x、y、z三个方向上的单位矢量；
根据P的速度得到功能梯度厚板系统的动能为
Figure FDA0003485497720000012
步骤3，采用一阶剪切变形理论和连续介质力学理论描述作大范围运动功能梯度厚板的变形场u；
步骤3中功能梯度厚板的变形场表达式为
Figure FDA0003485497720000021
(u1,u2,u3)为u在连体坐标系下三个方向上的分量，
Figure FDA0003485497720000022
和
Figure FDA0003485497720000023
分别为板中面上x和y方向上的变形，w1和w2分别为板中面内沿x和y方向的实际伸长量，
Figure FDA0003485497720000024
为二次耦合变形量，
Figure FDA0003485497720000025
分别为柔性厚板中面法线相对于y轴和x轴的转角；
步骤4，根据得到的变形场表达式，得到功能梯度厚板系统的势能U；
步骤5，将上述内容建立的功能梯度厚板系统的动能和势能表达式代入到第二类拉格朗日方程，得到功能梯度厚板矩阵形式动力学方程；
步骤6，采用Newmark数值积分方法对上述动力学方程进行求解，采用20自由度4节点矩形单元离散功能梯度厚板的变形场，采用高斯积分对矩形单元形函数进行积分计算；
步骤6中采用20自由度矩形单元离散功能梯度厚板的变形场，其中任意一个矩形单元的自由度为
Figure FDA0003485497720000026
采用Newmark数值积分方法求解动力学方程；
步骤7，在MATLAB中输入功能梯度厚板材料参数的具体数值，利用Newmark积分得到作大范围运动的功能梯度厚板的动力学计算结果，并且以曲线形式显示。
2.根据权利要求1所述的基于MATLAB的旋转功能梯度厚板动力学行为计算方法，其特征在于：所述步骤1中的功能梯度厚板材料参数表达式为
Figure FDA0003485497720000031
其中，N，N≥0为功能梯度指数，h为板厚度，z为功能梯度厚板所在三维连体坐标系中的纵坐标，下标‘c’、‘m’分别代表陶瓷材料和金属材料。
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