CN107766686B - 基于matlab计算fgm薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法 - Google Patents

基于matlab计算fgm薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，在热力学理论和柔耦合动力学理论的基础上建立了考虑热效应的一次近似刚柔耦合动力学模型，在此模型下进行动力学响应的仿真。此外，本发明利用MATLAB建立图形用户界面，使得本领域内技术人员在进行动力学响应研究的过程中能够更加简单地修改不同参数进行研究，其响应结果也能够更加直观的展现在图形用户界面中。

Description

基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法
技术领域
本发明属于多体系统动力学建模领域，具体是一种基于MATLAB的旋转功能梯度材料(Functional Gradient Materials,FGM)薄板刚柔耦合动力学建模方法。
背景技术
MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境的商业数学软件，基于MATLAB对多体系统进行动力学建模并计算和分析系统的动力学响应被学者们广泛的应用。
功能梯度材料是性能在几何空间上连续变化的非均质材料，比传统材料更能够满足高温、高载等极端条件，在航天航空领域具有广泛的应用前景。热环境对航空发动机部件的影响已经引起了工程界的高度重视，因此结合功能梯度材料建立考虑热效应和相应结构耦合的动力学模型十分有必要。
方建士在《旋转薄板的一种高次动力学模型与频率转向》一文中对中心刚体-柔性薄板结构建立了既适用于小变形问题也适用于大变形问题的高次耦合动力学模型，并对其频率转向特性进行了研究，但是他的研究为考虑不同材料以及高温的实际工况。Li在《Freevibration analysis of rotating functionally graded rectangular plates》文中提出了一种比以往文献中所用方法精度更高且考虑大范围运动的功能梯度板动力学模型，并且研究了频率转向和模态耦合的现象，在他的研究没有涉及到多物理场的耦合问题。
发明内容
本发明以多体系统动力学与热力学为理论基础，提供了一种基于MATLAB的动力学建模的方法，目的在于分析温度场中作大范围转动功能梯度薄板的刚柔耦合动力学响应。
实现本发明目的的技术解决方案为：该方法包括以下步骤：
(1)设定算例几何参数、材料参数以及环境参数；
(2)在浮动坐标系中描述系统的运动；
(3)采用假设模态法对变形进行离散；
(4)由第二类拉格朗日方程建立动力学方程，其中，在系统的弹性势能中计及热应变，从而得到功能梯度薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；
(5)调用ode45函数求解动力学方程；
(6)输出动力学响应数据进行进一步分析。
系统作大范围转动时，将定轴转动角速度ω规律设为：
Figure BDA0001495948890000011
式中T＝30s。
假设功能梯度材料参数按体积含量的幂指数分布，假设如下
ρ(z)＝ρm+(ρc-ρm)V (2)
E(z)＝Em+(Ec-Em)V (3)
α(z)＝αm+(αc-αm)V (4)
式中V为体积分数
Figure BDA0001495948890000021
以上各式中，h为功能梯度板厚度，N为体积分数指数，ρc、ρm分别表示陶瓷组分和金属组分的密度，Ec、Em分别表示陶瓷组分和金属组分的杨氏模量，αc、αm分别表示陶瓷组分和金属组分的热膨胀系数。
步骤(3)中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为：
Figure BDA0001495948890000022
式中
M33＝W33 (7)
Figure BDA0001495948890000023
K33＝Kf33-ω2W33+ω2D11 (9)
Figure BDA0001495948890000024
D11＝∫∫∫Vρ(z)·x·H1dV (11)
Figure BDA0001495948890000025
Figure BDA0001495948890000026
S13＝∫∫∫Vρ(z)·x·φ3dV (14)
Figure BDA0001495948890000027
以上各式中φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；
ΔT(z)＝T(z)-T0 (16)
Figure BDA0001495948890000031
式中，T0为参考温度，Tc、Tm分别为陶瓷和金属材料界面处温度，Kc、Km分别表示陶瓷组分和金属组分的热传导系数，
Figure BDA0001495948890000032
本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)、本发明基于MATLAB建立图形用户界面(GUI)从而使得本技术领域内的技术人员在进行研究时能够更加方便的更改参数设置以及更加直观的获取温度场中做大范围转动功能梯度薄板末端角点变形示意图。(2)、在刚-柔耦合动力学理论的基础上建立了考虑热效应的刚柔耦合动力学模型，在此模型下进行动力学响应的仿真。(3)、本发明针对具有热应力缓和作用的功能梯度材料，为工程应用提供了一定的指导作用。
附图说明
图1是中心刚体-FGM柔性薄板模型的图。
图2是打开simulation.fig文件的图。
图3是GUI界面的图。
图4是参数初始化的图。
图5是实施例旋转功能梯度薄板末端角点变形曲线的图。
图6是初始化界面并修改温度参数的图。
图7是修改温度参数后转功能梯度薄板末端角点变形曲线的图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步介绍。
本发明基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，包括以下步骤：
(1)对如图1(a)所示的中心刚体-柔性FGM薄板(Hub-FGM Plate)系统，设定FGM薄板的几何参数，材料参数以及温度参数；
(2)用混合坐标法在浮动坐标系中描述Hub-FGM Plate系统的大范围旋转运动；
(3)采用假设模态法对FGM薄板在大范围旋转运动下产生的变形进行离散；
(4)由第二类拉格朗日方程建立Hub-FGM Plate系统的刚-柔耦合动力学方程。其中，在系统的弹性势能中计入热应变，从而得到FGM薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；
(5)调用MATLAB内嵌ode45函数求解动力学方程，求解得到FGM薄板外侧角点变形值；
(6)输出FGM薄板自由端角点变形随时间变化示意图。
所述步骤(1)中几何参数分别为FGM薄板的长a、宽b以及厚度h；材料参数分别为密度ρ(z)，弹性模型为E(z)，热膨胀系数为α(z)，热传导系数为K(z)，分别如下：
ρ(z)＝ρm+(ρc-ρm)V (1)
E(z)＝Em+(Ec-Em)V (2)
α(z)＝αm+(αc-αm)V (3)
式中z为厚度方向坐标，Ec、ρc、αc和Kc分别为陶瓷组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数，Ec、ρc、αc和Kc分别为金属组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数；V为体积分数
Figure BDA0001495948890000041
上式中，N为体积分数指数。
温度参数为沿厚度方向呈梯度分布的温度场T(z)和某点处相对参考温度T0的温度差ΔT(z)，分别如下：
ΔT(z)＝T(z)-T0 (5)
Figure BDA0001495948890000042
式中，Tc、Tm分别为陶瓷和金属材料界面处温度。
Figure BDA0001495948890000043
所述步骤(2)中的大范围旋转运动描述如图1(b)中，坐标系O-XYZ为惯性坐标系，o-xyz为连体坐标系，o-xyz坐标系三个方向的单位矢量分别为a1、a2、a3。板的长度为a，宽度为b，厚度为h，密度ρ(z)，弹性模型为E(z)，热膨胀系数为α(z)，热传导系数为K(z)，泊松比为μ。变形前板中面上一点P0(在连体坐标系下坐标为(x，y)变形后至P点，变形位移矢量为u(u1，u2，u3)。P点在惯性基下的速度矢量Vp可表示为
VP＝Vo+ωA×(ρ0+u)+VPA (1)
式中，Vo、ωA分别为连体坐标系相对于惯性坐标系的速度、角速度矢量。ρ0为点P0在连体坐标系中位置矢量，u为P0在连体坐标系中的变形矢量，VPA为P点相对连体坐标系的速度矢量。各矢量在连体坐标系的分量分别为Vo＝[v1,v2,v3]T，ωA＝[ω1,ω2,ω3]T，ρ0＝[x,y]T，u＝[u1,u2,u3]T，
Figure BDA0001495948890000051
最后可得速度矢量Vp在连体坐标系的分量为：
Figure BDA0001495948890000052
薄板上任意一点的变形位移可表示为
Figure BDA0001495948890000053
式中，w1和w2分别为P0沿x方向和y方向的面内伸长量，wc1和wc2分别为横向弯曲变形引起的沿x方向和y方向的面内缩短量。
所述步骤(3)中采用假设模态法对变形场进行离散，w1、w2、u3分别可表示为
Figure BDA0001495948890000054
式中，
Figure BDA0001495948890000055
和
Figure BDA0001495948890000056
分别为薄板纵向振动和横向振动的模态函数的行矢量，
Figure BDA0001495948890000057
和
Figure BDA0001495948890000058
分别为纵向振动和横向振动的模态坐标列矢量，N1、N2、N3分别为对应的模态截断数。为了方便起见，下述的表达式中将略去自变量x，y，t。
将式(4)代入到式(3)，得变形位移及其速度为
Figure BDA0001495948890000059
Figure BDA0001495948890000061
式中，H1(x,y)、H2(x,y)为耦合变形量，下标中“,”表示对坐标求偏导。
所述步骤(4)中动力学方程省略由横向变形引起的纵向缩短量wc1和wc2相关的高阶项，如w1wc1、
Figure BDA0001495948890000062
以及
Figure BDA0001495948890000063
等等。
假设柔性薄板绕y轴作定轴转动，浮动坐标系的基点o点加速度为零，则有
Figure BDA0001495948890000064
仅考虑柔性薄板的横向振动时，步骤(4)中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为：
Figure BDA0001495948890000065
式中
M33＝W33 (9)
Figure BDA0001495948890000066
K33＝Kf33-ω2W33+ω2D11 (11)
Figure BDA0001495948890000067
D11＝∫∫∫Vρ(z)·x·H1dV (13)
Figure BDA0001495948890000068
Figure BDA0001495948890000069
S13＝∫∫∫Vρ(z)·x·φ3dV (16)
Figure BDA00014959488900000610
以上各式中φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；
大范围旋转运动规律为：
Figure BDA00014959488900000611
式中t为时间，Ω为均匀转速运动角速度，T＝30s。
本发明实施例公开了一种基于MATALB计算温度场中旋转功能梯度薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，具体如下：
(1)本实施例中功能梯度薄板采用如表1中几何参数以及材料参数，取体积分数指数N＝1，模态截断数m＝4,n＝2，旋转角速度ω＝5rad/s，陶瓷和金属材料界面处温度Tc＝10K,Tm＝0K，并将上述各参数设定为默认值。
表1本实施例采用功能梯度薄板几何参数及材料参数表
Figure BDA0001495948890000071
(2)按照图2打开simulation.fig文件后GUI界面如图3所示；
(3)点击初始化按钮，如图4所示；
(4)点击运行按钮，等待一定运算时间后，温度场中旋转功能梯度薄板末端角点变形如图5坐标内曲线所示；
(5)点击初始化按钮如图6所示；
(6)在陶瓷界面温度Tc框内修改温度大小为10K，重复步骤(4)则可得到不同温度场中旋转功能梯度薄板末端角点变形曲线如图7所示。图中，纵坐标为功能梯度薄板末端角点变形值，横坐标为时间，随着时间的增加，功能梯度薄板末端角点变形值发生改变，并伴随着一定的振荡现象，这种现象是由温度所引起的。改变功能梯度薄板上下表面温度，即Tc和Tc，振荡效果也不一样。
本发明基于前人的研究，考虑了在高温高速运转的实际工况，基于MATLAB对中心刚体-功能梯度薄板(Hub-FGM Plate)系统进行了动力学计算，并输出了该系统板末端角点变形随时间变化的示意图，以便科技人员的研究与应用。

Claims (3)

1.一种基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，其特征在于包括以下步骤：
(1)对于中心刚体-柔性FGM薄板Hub-FGM Plate系统，设定FGM薄板的几何参数、材料参数以及温度参数；
(2)采用混合坐标法在浮动坐标系中描述Hub-FGM Plate系统的大范围旋转运动；
(3)采用假设模态法对FGM薄板在大范围旋转运动下产生的变形进行离散；
(4)由第二类拉格朗日方程建立Hub-FGM Plate系统的刚-柔耦合动力学方程，其中，在系统的弹性势能中计入热应变，从而得到FGM薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；
(5)调用MATLAB内嵌ode45函数求解动力学方程，求解得到FGM薄板外侧角点变形值；
(6)输出FGM薄板自由端角点变形随时间变化示意图；
步骤(2)中所述的大范围旋转运动描述中，坐标系O-XYZ为惯性坐标系，o-xyz为连体坐标系，o-xyz坐标系三个方向的单位矢量分别为a1、a2、a3；板的长度为a，宽度为b，厚度为h，密度ρ(z)，弹性模型为E(z)，热膨胀系数为α(z)，热传导系数为K(z)，z为厚度方向坐标，泊松比为μ；变形前板中面上一点P0变形后至P点，P0在连体坐标系下坐标为(x，y)，变形位移矢量为u(u1，u2，u3)，P点在惯性基下的速度矢量Vp表示为
VP＝Vo+ωA×(ρ0+u)+VPA (1)
式中，Vo、ωA分别为连体坐标系相对于惯性坐标系的速度、角速度矢量，ρ0为点P0在连体坐标系中位置矢量，u为P0在连体坐标系中的变形矢量，VPA为P点相对连体坐标系的速度矢量，各矢量在连体坐标系的分量分别为Vo＝[v1,v2,v3]T，ωA＝[ω1,ω2,ω3]T，ρ0＝[x,y]T，u＝[u1,u2,u3]T，
Figure FDA0002928037660000011
最后得到速度矢量Vp在连体坐标系的分量为：
Figure FDA0002928037660000012
薄板上任意一点的变形位移表示为
Figure FDA0002928037660000013
式中，w1和w2分别为P0沿x方向和y方向的面内伸长量，wc1和wc2分别为横向弯曲变形引起的沿x方向和y方向的面内缩短量；
步骤(4)中所述的动力学方程省略由横向变形引起的纵向缩短量wc1和wc2相关的高阶项；设柔性薄板绕y轴作定轴转动，浮动坐标系的基点o点加速度为零，则有
Figure FDA0002928037660000021
仅考虑柔性薄板的横向振动时，步骤(4)中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为：
Figure FDA0002928037660000022
式中
M33＝W33 (9)
Figure FDA0002928037660000023
K33＝Kf33-ω2W33+ω2D11 (11)
Figure FDA0002928037660000024
D11＝∫∫∫Vρ(z)·x·H1dV (13)
Figure FDA0002928037660000025
Figure FDA0002928037660000026
S13＝∫∫∫Vρ(z)·x·φ3dV (16)
Figure FDA0002928037660000027
以上各式中φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；ΔT(z)为某点处相对参考温度T0的温度差；
大范围旋转运动规律为：
Figure FDA0002928037660000028
式中t为时间，Ω为均匀转速运动角速度，T＝30s。
2.根据权利要求1所述的仿真方法，其特征在于：步骤(1)中所述的几何参数分别为FGM薄板的长a、宽b以及厚度h；材料参数分别为密度ρ(z)、弹性模型为E(z)、热膨胀系数为α(z)，分别如下：
ρ(z)＝ρm+(ρc-ρm)V (1)
E(z)＝Em+(Ec-Em)V (2)
α(z)＝αm+(αc-αm)V (3)
式中z为厚度方向坐标，Ec、ρc、αc和Kc分别为陶瓷组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数，Em、ρm、αm和Km分别为金属组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数；V为体积分数
Figure FDA0002928037660000031
上式中，N为体积分数指数；
温度参数为沿厚度方向呈梯度分布的温度场T(z)和某点处相对参考温度T0的温度差ΔT(z)，分别如下：
ΔT(z)＝T(z)-T0 (5)
Figure FDA0002928037660000032
式中，Tc、Tm分别为陶瓷和金属材料界面处温度；
Figure FDA0002928037660000033
3.根据权利要求1所述的仿真方法，其特征在于：步骤(3)中所述的采用假设模态法对变形场进行离散，w1、w2、u3分别表示为
Figure FDA0002928037660000034
式中，
Figure FDA0002928037660000035
和
Figure FDA0002928037660000036
分别为薄板纵向振动和横向振动的模态函数的行矢量，
Figure FDA0002928037660000037
和
Figure FDA0002928037660000038
分别为纵向振动和横向振动的模态坐标列矢量，N1、N2、N3分别为对应的模态截断数；
将式(4)代入到式(3)，得变形位移及其速度为
Figure FDA0002928037660000041
Figure FDA0002928037660000042
式中，H1(x,y)、H2(x,y)为耦合变形量，下标中“,”表示对坐标求偏导。
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