CN105930627B - 一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法，属于机械臂建模技术领域。其核心包括：运用悬臂梁模型和假设模态法建立了考虑臂杆空间柔性变形时机械臂运动学模型；推导了考虑臂杆空间柔性变形时系统的雅克比矩阵；以赫兹阻尼模型模拟软接触碰撞过程，并结合拉格朗日方程建立了机械臂末端受冲击时的动力学方程，最后推导了关节处于自由和完全受控两种状态时系统的响应方程。本发明解决了考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模问题，可分析柔性臂杆在三维空间中的运动规律，数值仿真结果表明在一定的外界冲击下，柔性臂杆在运动平面和垂直运动平面可产生大小相当的柔性变形。

Description

一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法

技术领域

本发明涉及一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法，属于机械臂建模技术领域。

背景技术

空间机械臂在人类探索太空的任务中扮演着十分重要的角色，而利用其进行目标捕获转移是空间机械臂研究和应用中的一项关键性技术。由于火箭发射载荷和成本的限制以及空间作业任务的性质，要求空间机械臂具有质量轻、负载能力大、能进行大跨度作业等特性，这使得机械臂具有臂杆细长、结构刚度低等特点，进而导致其在运动过程中产生较大的弯曲变形和较强的残余振动。由于上述特点，研究空间机械臂时其臂杆柔性因素不可忽略。同时空间机械臂在执行对接和捕获等任务时，其末端会与目标星产生直接接触，接触过程中产生的操作力不仅会引起机械臂基体姿态产生偏差，还可能加剧臂杆的振动，甚至可能使目标逃逸导致任务失败。因此，针对漂浮基空间柔性机械臂执行抓捕任务过程中的碰撞问题开展相关研究是十分必要的。通过分析研究可知空间柔性机械臂的柔性臂杆不仅在位于臂杆大范围刚性运动的平面内产生臂杆柔性变形，而且在垂直于该运动平面的也会产生臂杆柔性变形。但通过大量的调研发现其他研究者在研究柔性机械臂时均只考虑了运动平面内臂杆柔性变形。本发明以此作为研究的主要出发点，以漂浮基空间双连杆柔性机械臂作为研究对象，在对柔性臂杆的变形建模时将运动平面和垂直于运动平面的臂杆柔性变形同时纳入研究范畴。在考虑臂杆空间柔性变形条件下建立了关节处于自由和完全受控两种状态时在末端激励下系统的响应方程，分析了机械臂末端与目标物产生碰撞接触时的系统响应，该响应包含受冲击时柔性臂杆的变形与振动、关节处输出和等效力矩以及碰撞力变化过程、碰撞持续时间和碰撞处变形量等。本发明的研究结果可为柔性机械臂控制系统的设计提供相应输入，同时也可为臂杆选材和结构设计提供一定参考，从而提高机械臂的工作稳定性、控制精度以及系统可靠性。

发明内容

本发明的目的是针对漂浮基空间柔性机械臂执行在轨组装或抓捕等接触任务，提供一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法。

一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法，其特征在于所述方法的流程如图1所示，由以下步骤完成：

步骤一：基于悬臂梁模型和假设模态法建立考虑臂杆空间柔性变形时的机械臂的运动学模型，根据假设模态法写出柔性杆件上各点在自身坐标系下的线位移小变形和角位移小变形的表达式，再求解相邻坐标系间转换矩阵，包括关节运动矩阵和杆件空间柔性变形矩阵(见式(1～8))；

步骤二：求解考虑臂杆空间柔性变形时的漂浮基空间柔性机械臂系统的雅克比矩阵，选择系统的广义坐标，包括基座位姿、各杆件的关节角、各柔性臂杆的模态坐标(见式(9～31))；

步骤三：结合赫兹阻尼模型和拉格朗日方程推导机械臂在末端受碰撞时的动力学方程，并推导关节处于自由和完全受控两种状态时系统的响应方程，最后求解系统各部件(包含漂浮基座和柔性臂杆)的能量，包括动能和势能(见式(32～45))。

本发明的优点

本发明主要涉及一种考虑臂杆空间柔性的漂浮基空间机械臂建模方法，结合假设模态法、拉格朗日方程和赫兹阻尼碰撞模型建立空间柔性机械臂末端受冲击时系统动力学模型，其优势在于(1)在对柔性臂杆的变形建模时将运动平面和垂直于运动平面的臂杆柔性变形同时纳入研究范畴，即考虑了臂杆空间柔性变形；(2)在考虑臂杆空间柔性变形条件下建立了关节处于自由和完全受控两种状态时在末端激励下系统的响应方程，分析了机械臂末端与目标物产生碰撞接触时的系统响应。将此方法应用于空间双连杆漂浮基柔性机械臂，可采用数值仿真方法获得柔性臂杆的变形与振动、关节处输出和等效力矩以及碰撞力变化过程、碰撞持续时间和碰撞处变形量等(见实施例1)。

附图说明

图1建模流程图；

图2-A悬臂梁模型图；

图2-B悬臂梁前六阶振型函数图；

图3漂浮基双连杆柔性机械臂示意图；

图4机械臂碰撞前初始状态图；

图5-A接触过程中碰撞力随时间变化图；

图5-B接触过程中碰撞力与压缩量关系图；

图6-A碰撞力在关节处等效力矩；

图6-B关节控制力矩；

图7-A杆件1变形图；

图7-B杆件2变形图；

图8-A杆件1的y向模态坐标变化图；

图8-B杆件1的z向模态坐标变化图。

具体实施方式

本发明提供了一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法，下面结合附图对本发明作进一步说明。

一、考虑臂杆空间柔性变形的机械臂运动学模型

(1)对于柔性臂杆i，用假设模态法描述悬臂梁上在横坐标为x处变形的线位移和角位移分别为w_i(x,t)和θ_i(x,t)。其中

上式中，W_ij(x)和T_ij(t)分别是连杆i的第j阶振型函数和模态坐标函数，m_i是描述连杆i变形截取的最大模态数目。悬臂梁的振型函数形式如下：

上式中，e表示自然常数，λ_ij、ζ_j和h_△j均为常数，如表1所示，下标j表示振型函数的阶数。

表1梁的部分属性参数

悬臂梁变形模型见图2-A，其中前六阶振型函数图见图2-B。

(2)令ε_i(x)＝[ε_ix(x),ε_iy(x),ε_iz(x)]^T，φ_i(x)＝[φ_ix(x),φ_iy(x),φ_iz(x)]^T，二者分别表示由于臂杆柔性变形在点引起的线位移矢量和角位移矢量。由于一般忽略柔性臂杆的轴向变形，可知ε_ix(x)＝0，φ_ix(x)＝0，在自身坐标系H_i中。对于柔性长臂杆i上任意一点P_i，变形前位置矢量为变形后为

设Y_ij(x)、Z_ij(x)、θ_Yij(x)、θ_Zij(x)分别是连杆i在点P_i处y向和z向变形线位移分量以及角位移分量的j阶模态振型分量，δ_yij和δ_zij分别是连杆i在y向和z向的第j阶模态坐标分量，有

根据假设模态法有

本发明的研究对象模型见图3，结合上式可推导出连杆i的变形矩阵E_i为

关节运动矩阵A_i为

二、考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间柔性机械臂雅克比矩阵

(1)选取系统的广义坐标为基座位姿、各杆件的关节转角和各阶模态坐标，即系统的广义坐标q取为

上式中，基座位姿q_B＝[x_B y_B z_B α_B β_B γ_B]^T，各杆件关节角q_θ＝[θ₁ θ₂]^T，各杆件模态坐标

令

雅克比矩阵通常是指从广义坐标速度向机械臂末端空间运动速度转换的广义传动比。即

上式中，V_e为机械臂末端速度矢量，J_e′为机械臂系统的雅克比矩阵，J′_B是描述基座速度与机械臂末端速度之间映射关系的雅克比矩阵，J_θ为描述末端相对基座的速度与关节角速度之间映射关系的雅克比矩阵，J_δ为描述末端相对基座的速度与模态速度之间映射关系的雅克比矩阵。

(2)采用矢量积法求解系统的雅克比矩阵

惯性系下机械臂末端速度向量为

上式中v_e、v_B分别为机械臂末端速度和基座质心速度，和分别是机械臂末端相对基座的位姿和速度在惯性系下的描述，ω_B是基座角速度。

惯性系下机械臂末端角速度为

上式中ω_e是机械臂末端的角速度，是机械臂末端相对基座的角速度在惯性系下的描述。

从而可推导出

令

上式中E₃代表3×3的单位矩阵，S()表示将叉积转换矩阵运算，J_B是描述基座速度与机械臂末端速度之间映射关系的雅克比矩阵。

又因为有

上式中

可知有

令

分析可知末端相对基座的速度与关节角速度和模态速度之间有如下的映射关系

J_θ和J_δ具体求解过程见后续部分内容。

则可得

上式中J_e′＝[J′_B J_δ J_θ]。

下面讲述J_θ和J_δ的求解方法。

1)J_θ求解(关节转动)

对于转动关节θ_i，它的运动速度在末端抓手上产生的相对基座坐标系的角速度和线速度矢量在惯性系下的表示和分别为

式中上式中^IZ_i为i系中Z_i轴在惯性系中的方向余弦矢量，表示末端坐标系H_n′原点相对坐标系H_i的位置矢量在惯性系中的描述。

可得到，对于广义坐标θ_i的与之有关的雅克比矩阵的相关列为

则

2)J_δ的求解(臂杆柔性振动)

对于q_δyi＝[δ_yi1 … δ_yimi]^T(i＝1,2)，对于广义坐标δ_yij的其在末端抓手上产生的和分别为

式中表示末端坐标系H_n′原点相对坐标系H_i′的位置矢量在惯性系中的描述。

可得到，对于广义坐标δ_yij的与之有关的雅克比矩阵的相关列为

对于对于广义坐标δ_zij的其在末端抓手上产生的和分别为

可得到，对于广义坐标δ_zij的与之有关的雅克比矩阵相关列为

可知

则

三、结合赫兹阻尼模型和拉格朗日方程推导机械臂在末端受碰撞时的动力学方程

(1)关节处于自由和完全受控状态时系统的响应方程

系统动力学方程如下

上式即为系统的动力学模型，其中H(q)∈R^n×n为机械臂的惯量矩阵，为与广义坐标的位移和速度有关的非线性项，n为广义坐标总数目，τ_Bθ是系统控制力/力矩，F_e为末端操作力/力矩。

在实际碰撞过程中，空间机械臂的关节可能处于自由状态，也可能处于完全受控状态，也可能由于关节存在摩擦等原因介于自由和完全受控之间的状态。

若系统中所有关节处于自由状态，则机械臂关节控制力矩τ_θ＝0，有

若系统中所有关节处于完全受控状态，则机械臂关节各个时刻的速度和加速度项均是已知的，有

上式中已知H(q)∈R^n×n，且关节数目为n_θ，上式中矩阵H₁(q)和H₂(q)分别为矩阵的前n-n_θ列和后n_θ列，即H(q)＝[H₁(q),H₂(q)]。可知

上式中

若系统中所有关节处于锁死状态，此时任意时刻机械臂关节的速度和加速度项 故而可看作完全受控状态下的特例。有

(2)柔性杆动能

对于连杆i上点P_i，其在系统惯性系中的坐标为因此可得到点P_i的绝对速度为

上式中W_i为连杆i自身坐标系相对惯性系的转换矩阵。从而可得连杆i的动能为

上式中ρ_i为连杆i的线密度，且

(3)柔性杆势能

悬臂梁的拉伸应变能密度和剪切应变能密度分别为υ_σ＝σ²/2E，。其中σ和τ分别为正应力和剪应力，E和G分别为材料的弹性模量和切变模量。对于细长梁，弯曲时剪切应变能很小，通常忽略不计。由此可知悬臂梁的应变能为

而对于悬臂梁的正应力，有

且有I_z＝∫∫y²dA，I_y＝∫∫z²dA，I_yz＝∫∫yzdA。分析易知当坐标轴y或z位于截面对称轴上时，截面对坐标轴y与z的惯性积为零，即I_yz＝0。有M_z＝EI_z(d²y/dx²)，M_y＝EI_y(d²z/dx²)。且可得柔性杆i势能为

上式中

由于研究对象是空间机械臂，不考虑系统的重力势能。

(4)末端碰撞力

连续碰撞模型中碰撞力由两部分组成：一部分是由于两构件之间的相互切入而产生的弹性力；另部分是由于相对速度产生的阻尼力。其数学表达式如下

上式中k和λ表示撞击位置处局部接触刚度和阻尼系数，△表示接触嵌入深度即两物体沿接触面法线方向相对压入深度，表示接触点上的相对速度，n_λ表示指数系数(碰撞指数)，碰撞指数n_λ反映了材料的非线性程度，本文中为金属球面与金属球面的接触碰撞，故n_λ取1.5。

针对连续碰撞模型中的阻尼系数取值方式，很多学者进行了相关研究。研究表明各种模型均存在一定的误差，且其误差的大小与恢复系数c_r有关。由于本发明在研究中选取恢复系数c_r＝0.75，根据其它学者的研究结论知此时Herbert-McWhannell模型误差最小，所以本发明中选取阻尼系数的表达式为

阻尼系数表征碰撞能量的损失。上式中c_r表示碰撞过程中的恢复系数(回弹系数)，恢复系数是反映碰撞时物体变形恢复能力的参数，它只与碰撞物体的材料有关。表示碰撞前一时刻两碰撞点之间的相对速度。

实施例1：

根据本发明所提供的一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂运动学和动力学建模方法，以如图3～4所示的双连杆柔性机械臂为研究对象展开验证，机械臂的相关参数如表2所示。

表2柔性机械臂系统参数

表中，ρ_i为杆件i的线密度，m_b为基座的质量，l₁和l₂为杆件的长度，E_i为杆件i的弹性模量。

用说明书所述的方法推导双连杆柔性机械臂的运动学模型、动力学模型以及雅克比矩阵、柔性臂杆动能和势能的求解。设定碰撞过程中，关节始终处于锁死状态，机械臂碰撞初始时刻机械臂系统处于静止状态，其它参数如下：

基座惯性矩：^cI_Bxx＝80kg·m²,^cI_Byy＝75kg·m²,^cI_Bzz＝85kg·m²，^cI_Bxy＝^cI_Byz＝^cI_Bxz＝0kg·m²；

初始关节角：{30°,-30°}；

初始基座位姿：{0m,0m,0m,0°,0°,0°}；

目标小球的质量：20kg；

目标小球的初速度：大小0.05m/s，方向向量

碰撞处的接触刚度：k＝(1.40e+09)N·m^-1.5。

为了便于对碰撞参数的处理，假设机械臂末端固连一个半径为r₁的小球，球心为(x₁,y₁,z₁)。目标物为半径的小球，球心为(x₂,y₂,z₂)。

可知接触嵌入深度△表达式如下：

碰撞力单位方向矢量为

结合式和式可知末端碰撞力矢量为

F_e＝F_en_F (48)

利用说明书中阐述的理论，可通过数值仿真方法获得碰撞过程中碰撞力与时间以及碰撞处压入深度的关系分别如图5-A和图5-B所示，碰撞持续时间为4.45ms，碰撞力最大值为784.56N，最大嵌入深度为65.30um。碰撞过程中碰撞力在关节处等效力矩如图6-A所示，为保持关节始终处于静止状态，关节输出力矩如图6-B所示。碰撞过程中杆件变形以及杆件模态坐标变化规律见图7-A、图7-B、图8-A和图8-B。根据仿真实验结果得出如下结论：

1)空间机械臂与目标物之间碰撞影响因素较多，与碰撞初始速度、接触面材料和机械臂系统参数等相关，因此即使目标物质量较小且速度低，产生的碰撞力和其他作用力依然可能较大。

2)在末端处于软接触状态，为了保证机械臂关节处于完全受控状态，关节的输出力矩与末端碰撞力在关节处等效力矩大小几乎完全相等，方向相反。且存在需求输出力矩较大，超过关节处电机最大输出力矩和承受力矩的可能性。

3)末端激励导致柔性臂杆在运动平面的柔性变形和垂直于运动平面的柔性变形大小相当，研究柔性臂杆时应考虑臂杆的空间柔性变形，且起主导作用的模态为前两阶低阶模态。

Claims (1)

1.一种考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂建模方法，其特征在于所述方法由以下步骤完成：

步骤一，获取考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂的运动学模型：

(1)对于柔性臂杆i，用假设模态法描述臂杆在横坐标为x处变形的线位移和角位移，分别为w_i(x,t)和θ_i(x,t)，其中

上式中，下标j表示振型函数的阶数，W_ij(x)和T_ij(t)分别是臂杆i的第j阶振型函数和模态坐标函数，m_i是描述臂杆i变形截取的最大模态数目，臂杆的振型函数形式如下：

上式中，e表示自然常数，λ_ij、ζ_j和h_Δj均为常数；

(2)令ε_i(x)＝[ε_ix(x),ε_iy(x),ε_iz(x)]^T，φ_i(x)＝[φ_ix(x),φ_iy(x),φ_iz(x)]^T，二者分别表示由于臂杆柔性变形在点P_i引起的线位移矢量和角位移矢量，由于一般忽略柔性臂杆的轴向变形，可知ε_ix(x)＝0，φ_ix(x)＝0，在自身坐标系H_i中，对于柔性臂杆i上任意一点P_i，变形前位置矢量为变形后为二者关系如下

设Y_ij(x)、Z_ij(x)、θ_Yij(x)、θ_Zij(x)分别是臂杆i在点P_i处y向和z向变形线位移分量以及角位移分量的j阶模态振型分量，δ_yij和δ_zij分别是臂杆i在y向和z向的第j阶模态坐标分量，有

根据假设模态法有

可推导出臂杆i的变形矩阵E_i为

设c表示cos函数，s表示sin函数，则关节运动矩阵A_i为

步骤二，根据预设的系统广义坐标和所述运动学模型，获取考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂的雅克比矩阵：

(1)选取系统的广义坐标为基座位姿、各杆件的关节角和各阶模态坐标，即系统的广义坐标q取为

上式中，基座位姿q_B＝[x_B y_B z_B α_B β_B γ_B]^T，各杆件关节角q_θ＝[θ₁ θ₂]^T，各杆件模态坐标

令

雅克比矩阵通常是指从广义坐标速度向机械臂末端空间运动速度转换的广义传动比，即

上式中，V_e为机械臂末端速度矢量，J′_e为系统的雅克比矩阵，J′_B是描述基座速度与机械臂末端速度矢量之间映射关系的雅克比矩阵，J_θ是描述关节角速度与末端速度矢量之间映射关系的雅克比矩阵，J_δ是描述模态速度与末端速度矢量之间映射关系的雅克比矩阵；

(2)采用矢量积法求解系统的雅克比矩阵

惯性系下机械臂末端速度为

上式中v_e、v_B分别为机械臂末端速度和基座质心速度，和分别是机械臂末端相对基座的位姿和速度在惯性系下的描述，ω_B是基座角速度；

惯性系下机械臂末端角速度为

上式中ω_e是机械臂末端的角速度，是机械臂末端相对基座的角速度在惯性系下的描述；

从而可推导出

令

上式中E₃代表3×3的单位矩阵，S()是将一个矢量表示成斜对称矩阵形式的运算，J_B是描述基座速度与机械臂末端速度矢量之间映射关系的雅克比矩阵；

又因为有

上式中，^Iω_B是基座角速度在惯性系下的描述，

可知有

令

分析可知末端相对基座的速度与关节角速度和模态速度之间有如下的映射关系

则可得

上式中J′_e＝[J′_B J_δ J_θ]；

下面讲述J_θ和J_δ的求解方法；

1)J_θ的求解

对于转动关节θ_i，它的运动速度在末端产生的相对基座的角速度和线速度矢量在惯性系下的表示分别为和有

上式中^IZ_i为坐标系H_i中Z_i轴在惯性系中的方向余弦矢量，表示末端坐标系H_n′原点相对坐标系H_i的位置矢量在惯性系中的描述；

可得到，与有关的雅克比矩阵的相关列为

则

2)J_δ的求解

对于对于广义坐标δ_yij的运动速度其在末端产生的和分别为

上式中^IY为坐标系H_i中Y_i轴在惯性系中的方向余弦矢量；

可得到，与有关的雅克比矩阵的相关列为

对于对于广义坐标δ_zij的运动速度其在末端产生的和分别为

可得到，与有关的雅克比矩阵的相关列为

可知

则

步骤三，根据所述运动学模型和雅克比矩阵，获取考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂的动力学方程：

(1)柔性杆动能

对于臂杆i上点P_i，其在惯性系中的坐标为因此可得到点P_i的绝对速度为

上式中W_i为臂杆i自身坐标系H_i相对惯性系的转换矩阵,从而可得臂杆i的动能为

上式中ρ_i为臂杆i的线密度，且

(2)柔性杆势能

臂杆的拉伸应变能密度和剪切应变能密度分别为υ_σ＝σ²/2E，υ_τ＝τ²/2G,其中σ和τ分别为正应力和剪应力，E和G分别为材料的弹性模量和切变模量，臂杆弯曲时剪切应变能很小，通常忽略不计，由此可知臂杆的应变能为

而对于臂杆的正应力，有

且有I_z＝∫∫y²dA，I_y＝∫∫z²dA，I_yz＝∫∫yzdA，分析易知当坐标轴y或z位于截面对称轴上时，截面对坐标轴y与z的惯性积为零，即I_yz＝0，有M_z＝EI_z(d²y/dx²)，M_y＝EI_y(d²z/dx²)，且可得臂杆i的势能为

上式中

由于研究对象是空间机械臂，不考虑系统的重力势能；

(3)根据求解的系统动能与势能，利用拉格朗日法，可以获得考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂的动力学方程如下

上式中，H(q)∈R^n×n为机械臂的惯量矩阵，为与广义坐标的位移和速度有关的非线性项，n为广义坐标总数目，τ_Bθ是系统控制力/力矩，F_e为末端操作力/力矩；

步骤四，根据所述动力学方程，获取空间机械臂的关节处于不同状态时系统的碰撞响应方程：

(1)在实际碰撞过程中，空间机械臂的关节状态不确定，或者处于自由状态，或者处于完全受控状态，或者处于锁死状态；

若系统中所有关节处于自由状态，则机械臂关节控制力矩τ_θ＝0，有

若系统中所有关节处于完全受控状态，则机械臂关节各个时刻的速度和加速度项均是已知的，有

上式中已知H(q)∈R^n×n，且关节数目为n_θ，上式中矩阵H₁(q)和H₂(q)分别为矩阵的前n-n_θ列和后n_θ列，即H(q)＝[H₁(q),H₂(q)]，可知

上式中

若系统中所有关节处于锁死状态，此时任意时刻机械臂关节的速度和加速度项 有

(2)在处理考虑臂杆空间柔性变形的漂浮基空间机械臂的碰撞过程中，通过建立连续碰撞模型来获取碰撞力F_e的大小，连续碰撞模型中碰撞力由两部分组成：一部分是由于两构件之间的相互切入而产生的弹性力；另一部分是由于相对速度产生的阻尼力，其数学表达式如下

上式中k和λ表示撞击位置处局部接触刚度和阻尼系数，Δ表示接触嵌入深度即两物体沿接触面法线方向相对压入深度，表示接触点上的相对速度，n_λ表示碰撞指数，碰撞指数n_λ反映了材料的非线性程度。