CN113500602B - 多连杆机械手系统的分布式采样控制 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多连杆机械手系统的分布式跟踪问题的采样控制策略，旨在将多自主体系统的分布式跟踪问题从连续控制推广到采样控制。其技术要点是：首先选取李雅普诺夫函数，设计线性连续控制器使系统稳定，基于连续控制器结构，设计线性采样控制器，并重新进行稳定性分析使系统稳定；其次计算领导者与各跟随者之间的输出误差，得出其在有限时间之后可达到任意小的结论；最后针对有三个子连杆机械手的发明实施例，利用计算机仿真，得到系统状态、跟踪误差及控制信号的反应图，验证采样策略的有效性。在这一采样策略下，控制器结构简单，控制成本低，工作效率高的优点。本发明适用于多自主体系统的分布式采样控制的版权保护。

Description

多连杆机械手系统的分布式采样控制

技术领域

本发明是针对工业中多连杆机械手系统分布式跟踪问题的采样控制策略，属于自动控制技术领域。

背景技术

在各个实际领域中，多自主体系统较单一系统应用更广，其分布式跟踪问题也成了近年来人们关注的焦点。例如，无人机编队、卫星姿态校准和负载平衡等都是多自主体系统分布式跟踪的实际应用。对于控制器的设计，之前人们大都采用连续控制器，但连续控制器时时刻刻都在采样，控制成本较高。近年来，采样控制成为一种趋势并被应用到了各领域，例如，新兴工业中的自适应采样，汽车整车稳定中的双率采样等。与连续控制器相比，采样控制器结构简单，并且在采样控制下，各个体定期执行控制和测量的任务，能有效减少控制成本，提高工作效率。因此，如何利用采样控制达到多自主体系统分布式跟踪目的是研究人员亟待解决的问题。

发明内容

本发明提供了一种多连杆机械手系统分布式跟踪问题的采样控制策略，用以解决现有的连续控制器控制成本高的问题。主要包括以下五个方面内容：基于当前多连杆机械手系统构建多自主体系统的动力学模型；基于多自主体系统的动力学模型和反推法，构建线性连续控制器；基于连续控制器的结构，构建线性采样控制器，并进行系统稳定性分析；基于多自主体系统的动力学模型和线性采样控制器，计算输出跟踪误差；基于此采样控制器策略，选取一具有三个子连杆机械手的发明实施例，利用计算机进行仿真来证明控制策略的有效性。

第一方面，基于当前多连杆机械手系统构建多自主体系统的动力学模型，具体包括：

考虑包含电机的多连杆机械手系统，第个连杆机械手的动力学系统描述如下：

其中，分别表示第个连杆的位置、速度和加速度。表示第个电力 系统产生的转矩。第个连杆机械手系统的控制输入。引入坐标变换， 因此多连杆机械手系统可以转化为：

其中，是第个连杆机械手的输出。

第二方面，基于多自主体系统的动力学模型和反推法，构建线性连续控制器，具体包括：

第一步：进行坐标变换，选取合适的Lyapunov 函数，设计虚拟控制器，可求得；

第二步：与第一步同理，进行坐标变换 ，选取合适的Lyapunov函数，设计虚拟控制器，可求得；

第三步：进行坐标变换，选取合适的Lyapunov函数，设计实际连续控制器，得到；

第四步：选取Lyapunov函数 ，求导可得，基于 连续控制器，系统稳定性得证。

第三个方面，基于连续控制器的结构，构建线性采样控制器，并进行系统稳定性分析，具体包括：

第一步：基于连续控制器的结构， 设计线性采样控制器，重新对系统进行稳定性分析，可得到；

第二步：对不等式右端最后一 项进行化简，最终可得到，其证明又可分为三 小步：

首先，通过对进行变形，将转化为， 其次，通过对系统进行变形，取范数，求得，其中， 再利用微积分、比较原理等知识得到的具体表达式，进而可求得，最后通过选取适当的参数和采样周期，可得到结论；

第三步：将第二步结果代入，多次利用Young不等式，最后得到，系 统稳定性得证。

第四个方面，基于多自主体系统的动力学模型和线性采样控制器，计算输出跟踪误差，具体包括：

对坐标变换进行变形并取范数，可证得闭环系统状态有界，且输出跟踪误差满 足，其中可以被调到任意小，是一常数，即跟踪误差 在有限时间之后可以达到任意小。

第五个方面，基于此采样控制器策略，选取一例子进行仿真来证明控制策略的有效性，具体包括：

选取一带有三个子连杆机械手的系统，设计采样控制器，利用计算机进行仿真，得到系统状态、跟踪误差及控制信号的反应图。

本发明提供的多连杆机械手系统分布式跟踪问题的采样控制策略，通过线性设计采样控制器，使得每个子自主体都能够定期完成采样和测量的任务，降低控制的成本，提高系统工作效率。相比于连续控制器，采样控制器结构简单，更具有经济效益。

附图说明

为了更清楚的说明本发明的采样控制方案，下面对发明及实施例中所使用的附图作一简单介绍。显然，下面描述中的附图是本发明的一些实施例的附图，对于本领域其他研究人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他附图。

图1是单个连杆机械手的模型图，图2 是仿真中系统的通信拓扑结构图，图3是仿真中系统所有状态的反应图，图4是仿真中系统输出跟踪误差的反应图，图5是仿真中系统采样控制信号的反应图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例的技术方案进行清除、完整地描述。显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部，对于本领域其他研究人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下所获得的其他实施例，都是本发明保护的范畴。

现有的多连杆机械手系统的分布式跟踪问题采用的都是连续时间控制器，控制成本高，针对上述问题，本发明提供了一种多连杆机械手系统分布式跟踪问题的采样控制策略。下面将从五个方面对发明内容进行说明：第一部分是问题描述，第二部分是线性连续时间控制器设计及稳定性分析，第三部分是线性采样控制器设计及稳定性分析，第四部分是主要结论，第五部分是发明实施例仿真。

一、问题描述

考虑包含电机的多连杆机械手，其中单个连杆机械手的模型如图1所示。第个连 杆机械手的动力学系统描述如下：

(1)

其中，分别表示第个连杆的位置、速度和加速度。表示第个电力 系统产生的转矩。第个连杆机械手系统的控制输入。是机械惯量，是连接处的粘 性摩擦系数，是与负载重量和重力系数有关的正常数，是电枢电感，是电枢电阻，是反电动势系数。

此发明实施例的目标是设计合适的采样控制器使得各个子连杆机械手对领导机械手进行跟踪，且输出跟踪误差可以调到任意小。

引入坐标变换， 因此系统(1)可以转化为：

(2)

其中，和是未知常数。系统领导者输出用表示。

为方便理解，我们先进行符号说明。 定义为一个加权有向图，是 一个加权邻接矩阵，且。当节点与 相邻时，，否则，，并且我们假设。对角矩阵是领导者邻接矩阵，且当节点 与根0相邻时，，否则，。 且，记 为的 Laplacian算子。

下面是对本文中所需要的假设和引理的描述。

假设1. 包含一个有向生成树，其根是领导者。

假设2. 对于第 个跟随者，领导者输出和都是有界且可获得的，且存 在一个正常数使得。

引理1. 设存在一正定适当函数满足

其中，是实常数，且存在一有限时间使得

。

二、线性连续时间控制器设计及稳定性分析

Step 1. 引入如下坐标变换

。 (3)

定义，由假设1 可知，可逆。假设有以下形式：

。 (4)

其中。由(3)和(4)可知

。 (5)

由(5)可知

(6)

由假设2，(3)和(6)我们可以得到

(7)

其中，。

下面我们定义Lyapunov函数

。 (8)

由引理2，(7)和(8)得

(9)

最后的不等式可由Young不等式可得，其中，， 且是任意正实数，是常数。

选取虚拟控制器

(10)

其中，是设计参数。结合(8)和(9)可得

(11)

Step 2. 引入如下坐标变换将其代入(11)得

。 (12)

由Young不等式可得

(13)

其中，是任意正实数，是常数。设

其中，是常数。

结合(13)，(12)可化简为

(14)

其中，。

由(3)和(9)可得

。 (15)

结合(11)和(15)可得

(16)

由(6)，(16)和Young不等式有

(17)

其中，

下面定义Lyapunov函数

(18)

则由(14)和(17)可得

(19)

其中，最后的不等式可由Young不等式得，是任意正实数， 是常数。 选取虚拟控制器

(20)

则(19)可化简为

(21)

Step 3. 引入如下坐标变换，由Young不等式可得

（22）

其中，是任意正实数，是常数。令

(23)

其中，是任意正实数，是常数。

将(22)和(23)代入(21)可得

。 (24)

其中，。 由坐标变换可得

。 (25)

由的定义，(6)，(16)和(25)可得

(26)

其中，

下面定义Lyapunov函数

(27)

则由(24)，(26)及Young不等式可得

(28)

其中，最后的不等式可由Young不等式得，是任意正实数， 是常数。选取控制器

。 (29)

由Young不等式可得

(30)

其中，是任意正实数，是常数。令

(31)

将(29)-(31)代入(28)可得

(32)

其中，。

结合以上的控制器分布式设计过程，选取Lyapunov函数

则有

(33)

其中，，且，。

三、 线性采样数据控制器设计及性能分析

基于上述连续时间控制器，我们设计采样数据控制器如下：

。

将采样控制器重新带入，(33)变为

(34)

综合上述采样控制器，我们可以得到如下引理：

引理2. 对于系统(1)，如果假设1-2成立，基于上述采样控制器，我们可以得到

(35)

其中可以被调到任意小。

证明：Step 1. 由的定义，我们可以得到

(36)

其中， 是常数，且是维常数矩阵，是常数。由(36)得

(37)

其中，是正常数。

将系统(1)变形为

(38)

其中，

。

对取范数，有以下不等式成立

(39)

其中，。结合(38)和(39)有

(40)

结合上式，我们有

(41)

其中， 是常数。令

(42)

对(42)两边求导得

(43)

由比较原理及得

(44)

其中，，且对于有。

结合(41)，(42)和(44)有

(45)

将(45)代入(37)得

(46)

Step 3. 由定义及不等式(是任意实数) ，可知

(47)

其中，

都是正常数。将(40)代入(39)得

(48)

多次使用Young不等式得

将上述不等式代入(48)得

(49)

其中，

我们可以通过选适当的和使得可以任意小的同时有以下三个 条件成立：

因此，(49)变为

引理2证明结束。

将(35)带入(34)可得

(50)

其中，。

我们可以通过选适当的和使得可以达到任意小的同时满足。因此(50)变为

。 (51)

四、主要结论

结合采样控制器的设计以及稳定性分析，我们可以得到以下结论：

定理1. 对于系统(1)，如果假设1-2成立，基于上述采样控制器，我们可以得到：

1) 闭环系统所有状态全局有界；

2) 对任意初始值，在有限时间之后跟踪误差都 可以达到任意小。

证明：结合引理1，(51)表明闭环系统所有的解都是全局有界的. 因此，所有的 状态都是全局有界的。

由(3)可得

因此，

(52)

其中，是可逆矩阵对应于特征向量的非零特 征值。对(52)两边取2-范数，可得到

。 (53)

再由引理1及的定义，取，则存在有限时间使得

。

因此，

。

因此，跟踪误差在有限时间之后可以达到任意小。定理1证明结束。

五、发明实施例仿真

考虑带有三个连杆机械手的多自主体系统，其有向图的拓扑结构如图2所示， 由结构我们可以得出

。

因此有

。

取，则其 系统可描述为：

我们记领导者输出，输出跟踪误差为，。

选取适当的参数，，基于以上采样控制策略，我们可以得到如下采样 数据控制器：

选取及初始条件，我们可以得到相应 的状态图、跟踪误差图及控制信号的图像如图3-5所示。

从图3可得，闭环系统状态都是有界的；从图4我们可以得到在2.5s之后，跟踪误差可以调到任意小。

Claims (5)

1.一种多连杆机械手系统分布式跟踪问题的采样控制方法，其特征在于，包括：

基于当前多连杆机械手系统构建多自主体系统的动力学模型；

基于多自主体系统的动力学模型和反推法，构建线性连续控制器，反推法的具体步骤如下：

第一步：进行坐标变换选取合适的Lyapunov函数设计虚拟控制器/>可求得/>满足下式：

其中，ξ_i1是坐标变换之后的变量，a_ij、b_i是机械手之间的连接权重，y₀是系统领导者输出，α_i1是设计参数，ρ_i1是大于0的任意正实数，/>是常数；

第二步：与第一步同理，进行坐标变换选取合适的Lyapunov函数设计虚拟控制器/>可求得/>满足下式：

其中，ξ_i2是坐标变换之后的变量，ρ_i2＞0是任意正实数，ε_i1＞0，γ_ij1＞0是正实数，ξ_sj、k_ijs1是大于0的正实数，是常数；

第三步：进行坐标变换选取合适的Lyapunov函数/>设计实际连续控制器u_i＝-ρ_i3ξ_i3，得到/>满足下式：

其中，ξ_i3是坐标变换之后的变量，ρ_i3＞0是任意正实数，ε_is、γ_ijs3是大于0的正实数，β_is是大于0的任意正实数；

最后，选取Lyapunov函数求导可得/>其中，基于连续控制器u_i(t)＝-ρ_i3ξ_i3(t)，系统稳定性得证；

基于连续控制器的结构，构建线性采样控制器，并进行系统稳定性分析；

基于多自主体系统的动力学模型和线性采样控制器，计算输出跟踪误差。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，基于当前多连杆机械手系统构建多自主体系统的动力学模型，具体包括：

考虑包含电机的多连杆机械手系统，第i个连杆机械手的动力学系统描述如下：

其中，q_i，分别表示第i个连杆的位置、速度和加速度，τ_ri表示第i个电力系统产生的转矩，u_i是第i个连杆机械手系统的控制输入，/>是机械惯量，/>是连接处的粘性摩擦系数，/>是与负载重量和重力系数有关的正常数，/>是电枢电感，/>是电枢电阻，K_m是反电动势系数，引入坐标变换/>因此多连杆机械手系统可以转化为：

dx_i1＝x_i2dt，

y_i＝x_i1，i＝1，2，...，N，

其中，是未知常数，y_i是第i个连杆机械手输出。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，基于连续控制器的结构，构建线性采样控制器，并进行系统稳定性分析，具体步骤如下：

第一步：基于连续控制器u_i(t)＝-ρ_i3ξ_i3(t)的结构，设计线性采样控制器u_i(t)＝-ρ_i3ξ_i3(t_k)，重新对系统进行稳定性分析，可得到其中，t[t_k，t_k+1)，t_k＝kT，k＝0，1，…，T是采样周期；

第二步：对不等式右端最后一项进行化简，最终可得到/>其证明又可分为三小步：

首先，通过对ξ_i3(t)进行变形，将|ξ_i3(t)-ξ_i3(t_k)|转化为其次，通过对系统进行变形，取范数，求得/>其中x_i(t)＝(x_i(t)，x_i2(t)，x_i3(t))^T，再利用微积分、比较原理等知识得到/>满足下式：

其中，是大于0的实数，ρ_j3是大于0的正实数，/>是常数，/>进而可求得|ξ_i3(t)-ξ_i3(t_k)|满足下式：

其中，是大于0的实数，最后通过选取适当的参数和采样周期，可得到结论；

第三步：将第二步结果代入多次利用Young不等式，最后得到/>其中，系统稳定性得证。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，基于多自主体系统的动力学模型和线性采样控制器，计算输出跟踪误差，具体步骤如下：

对坐标变换ξ_i1进行变形并取范数，得到再利用引理1，可证得闭环系统状态有界，且输出跟踪误差满足/>其中β₁可以被调到任意小，ω是可逆矩阵对应于特征向量的非零特征值，即跟踪误差在有限时间之后可以达到任意小。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，基于此采样控制器方法，选取一例子进行仿真来证明控制方法的有效性，具体步骤如下：

选取一带有三个子连杆机械手的系统，设计采样控制器，利用计算机进行仿真，得到系统状态、跟踪误差及控制信号的反应图。