CN111037550B - 一种冗余度机械臂运动控制的解决方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种冗余度机械臂运动控制的解决方法，该方法步骤为：根据给定的机械臂末端轨迹，对机械臂的运动控制问题进行建模，转化为线性时变方程；将机械臂的运动控制求解问题转化为对线性时变方程的求解问题，并对线性时变方程设计具有指数型变参的误差微分方程，建立指数型变参收敛微分神经网络模型；采用欧拉前向差分公式和BFGS拟牛顿法离散指数型变参收敛微分神经网络；对线性时变方程使用指数型离散变参收敛神经网络进行求解；将求解得到的结果传递到给定线性时变系统，解决给定的机械臂的运动控制问题。本发明能快速且高精度地求解给定的机械臂的运动控制问题，由于离散化后可输出离散化结果，适用于数字电路对离散输入的系统的控制。

Description

一种冗余度机械臂运动控制的解决方法

技术领域

本发明涉及冗余度机器人的运动控制技术领域，具体涉及一种冗余度机械臂运动控制的解决方法。

背景技术

许多实际工程问题都可以描述为一个在线时变线性系统(TVLS)，因此求解TVLS在控制理论和控制工程中具有十分重要的意义。其中，机械臂的运动控制问题的求解在科学领域和实际控制系统中都是一个非常常见的问题，它的求解是许多机器人控制应用的必不可少的过程步骤，而效率和精度是机械臂的运动控制的两个重要性能指标，因此求得更高效率和精度的解一直是个挑战。

越来越多的研究人员尝试利用神经动力学方法对在线类似于机械臂的运动控制的线性方程进行大量求解，经典的神经动力学方法是基于梯度的神经网络(gradient-based neural network，GNN)，该方法基于显式动力学方法，利用一个基于范数的误差函数和固定参数来衡量神经网络的收敛速度。当GNN应用于时变情况时，基于范数的误差函数在时间上不能收敛到零，也就是说，GNN方法不能快速准确地求解时变情况。

近年来，离散时间ZNN(DTZNN)模型因其分布式计算的特点和硬件实现的便利性而受到青睐。基于连续时间ZNN的原理，利用欧拉前向差分规则实现了对DTZNN的转换，特别是在求解线性方程的过程中，需要计算系数矩阵的反演，然而，在硬件电路的数字应用中，直接获得矩阵反演是比较困难的。为了更好的应用于硬件电路和近似矩阵的反演，Zhang等人设计了另一种基于Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)准牛顿法的DTZNN模型，迭代时变矩阵的反演。然而，离散时间ZNN方法需要把收敛参数，例如相应的电感参数和电容参数等，设置得足够大才能达到最佳的收敛性能，这使得在硬件系统上执行神经网络时，很难满足这一要求。此外，在实际系统中，电感参数或电容参数的往复是时变的，因此将系统参数设置为固定参数是不合理的。

发明内容

为了克服现有技术存在的缺陷与不足，本发明提供一种冗余度机械臂运动控制的解决方法，基于指数型变增益实现收敛的效率和精度，应用著名的欧拉前向差分方法离散连续方程，以及采用BFGS拟牛顿法估计时变矩阵的逆，能更快且更精确地求解出普通神经网络不能求解的机械臂的运动控制问题。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明提供一种冗余度机械臂运动控制的解决方法，包括下述步骤：

搭建冗余度机械臂作为被控对象，基于给定的机械臂末端轨迹，对机械臂的运动控制问题进行建模，并转化为线性时变方程；

将所述机械臂的运动控制问题转化为对线性时变方程的求解问题，并对线性时变方程设计一个具有指数型变参的误差微分方程，并建立指数型离散变参收敛神经网络模型；

将所述指数型离散变参收敛神经网络模型通过欧拉前向差分公式以及BFGS拟牛顿法进行离散化；

对所述线性时变方程采用离散化后的指数型离散变参收敛神经网络模型进行求解，得到冗余度机械臂各个关节的PWM电压信号；

将所述冗余度机械臂各个关节的PWM电压信号传递到给定机械臂的运动控制系统，驱动冗余度机械臂按照给定末端路径运动，完成冗余度机械臂的运动控制任务。

作为优选的技术方案，所述转化为线性时变方程的具体计算步骤为：

基于给定机械臂的运动控制问题，机械臂的末端位置与各个关节的关系方程具体描述为：

r(t)＝F(θ(t))

θ(t)＝[θ₁(t) … θ_n(t)]^T∈Rⁿ

其中，n表示机械臂的自由度，r(t)＝[x(t) y(t) z(t)]^T∈R³为机械臂末端位置，F(·):Rⁿ→R³为机械臂关节角度与末端位置的关系；

对所述机械臂的末端位置与各个关节的关系方程进行求导得到雅可比矩阵：

并对所述雅可比矩阵求伪逆，具体计算方式为：

J^T(θ(t))J(θ(t))X(t)＝J^T(θ(t))

令A(t)＝J^T(θ(t))J(θ(t))∈R^n×n和B(t)＝-J^T(θ(t))∈R^n×3，则获得线性时变方程如下：

A(t)X^*(t)+B(t)＝0,t∈[0,+∞)

其中，未知向量X^*(t)∈R^n×3是方程的无误差的实时的解，为雅可比矩阵的J^-1(θ(t))实时解，用于求解机械臂各个关节的控制值。

作为优选的技术方案，所述建立指数型离散变参收敛神经网络模型，具体计算步骤为：

定义一个新的向量值的、不定的、下无界的误差函数，表示为：

E(t):＝A(t)X(t)+B(t)∈R^n×3

其中，X(t)的初始状态为X₀:＝X(0)，为线性时变方程理论解X^*(t)＝-A^-1(t)B(t)对应的求解结果状矩阵，误差函数达到零时，得到线性时变方程的唯一理论解；

根据神经动力设计方法，结合硬件系统的时变特性，构建具有时变设计增益的神经网络，所述时变设计增益的误差函数E(t)的导数公式表示为：

g(t)＝t^p+p＞0,t∈[0,+∞)

其中，g(t)表示时变设计增益，p表示神经网络收敛速度的调节参数，

表示向量激活函数；

指数型离散变参收敛神经网络模型采用隐式动力学方程形式表示为：

其中，激活函数

表示一个单调递增的奇函数。

作为优选的技术方案，所述激活函数

采用linear-type、sigmoid-type、power-type或power-sigmoid-type激活函数中的任一种激活函数。

作为优选的技术方案，所述将所述指数型离散变参收敛神经网络模型通过欧拉前向差分公式以及BFGS拟牛顿法进行离散化，具体计算方式为：

采用欧拉前向差分规则构造指数型离散变参收敛神经网络模型的离散时间模型，表示为：

其中，κ:＝τg(t＝kτ)＞0，

第k次的迭代解X(t＝kτ)表示为X_k；

定义：X_k:＝X(t＝kτ)，A_k:＝A(t＝kτ)，B_k:＝B(t＝kτ)，

V_k:＝A^-1(t＝kτ)，E_k:＝E(t＝kτ)；

根据BFGS拟牛顿法，定义y_k＝A_k(X_k+1-X_k)，s_k＝X_k+1-X_k，

的递归迭代公式为：

其中，

表示时变的矩阵A(t)在t＝kτ时刻的近似逆矩阵，T记为矩阵或向量的转置；

对

进行递归迭代后，将近似逆矩阵

代入离散时间模型，得到离散化后的方程式为：

根据离散化后的方程式，得到每个时刻的雅可比矩阵逆的离散解，用于计算机械臂各个关节的角速度离散值。

作为优选的技术方案，所述得到冗余度机械臂各个关节的PWM电压信号，具体步骤为：

根据给定的机械臂末端轨迹，所述离散化后的指数型离散变参收敛神经网络模型进行求解后，得到每个时刻的雅可比矩阵逆的离散解，将所述雅可比矩阵逆的离散解代入到所述线性时变方程后，得到机械臂各个关节的角速度的离散值，最终输出机械臂各个关节的PWM电压信号。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

(1)本发明采用了时变参数收敛微分神经网络的技术方案，解决了定参神经网络无法解决机械臂运动在线求解的时变问题，达到了能在线求解时变的机械臂运动控制的技术效果。

(2)本发明采用了欧拉前向差分公式和BFGS拟牛顿法的离散方法，解决了连续的神经网络解无法直接应用于机械臂运动控制的技术问题，所求得的解能直接输出到机械臂，完成各个关节控制的技术效果。

(3)本发明构建具有时变设计增益的神经网络，解决了普通神经网络无法高效率、高精度地求解机械臂运动的技术问题，达到了高精度、高效率地逼近机械臂各个关节运动最优解的技术效果。

附图说明

图1为本实施例余度机械臂运动控制的解决方法的流程示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例

如图1所示，本实施例提供一种冗余度机械臂运动控制的解决方法，包括下述步骤：

S1：搭建一个冗余度机械臂作为被控对象，基于给定的机械臂末端轨迹，对机械臂的运动控制问题进行建模，并转化为线性时变方程；

步骤S1的具体实现步骤为：基于给定机械臂的运动控制问题，机械臂的末端位置与各个关节的关系具体描述为如下方程：

r(t)＝F(θ(t)) (1)

其中，θ(t)＝[θ₁(t) … θ_n(t)]^T∈Rⁿ，n为机械臂的自由度；r(t)＝[x(t) y(t) z(t)]^T∈R³为机械臂末端位置；F(·):Rⁿ→R³为机械臂关节角度与末端位置的关系；

对(1)式进行求导的方程如下：

其中

为雅可比矩阵，J^-1(θ(t))为J(θ(t))的逆；

而J(θ(t))并不是方阵不存在逆矩阵，需要计算其伪逆J^*(θ(t))，其中J^*(θ(t))可以由如下方程解得：

J^T(θ(t))J(θ(t))X(t)＝J^T(θ(t)) (3)

令A(t)＝J^T(θ(t))J(θ(t))∈R^n×n和B(t)＝-J^T(θ(t))∈R^n×3，则可以获得线性时变方程如下：

A(t)X^*(t)+B(t)＝0,t∈[0,+∞) (4)

其中未知向量X^*(t)∈R^n×3是方程的无误差的实时的解，为雅可比矩阵的J^-1(θ(t))实时解，用于式(2)求解机械臂各个关节的控制值；

S2：将步骤S1中的机械臂的运动控制问题转化为对线性时变方程的求解问题，并对线性时变方程设计一个具有指数型变参的误差微分方程，并建立指数型离散变参收敛神经网络模型；

步骤S2的具体实现步骤为：

设计定义了一个新的向量值的、不定的、下无界的误差函数(归零函数)，表示为：

E(t):＝A(t)X(t)+B(t)∈R^n×3 (5)

其中，X(t)的初始状态为X₀:＝X(0)，为线性方程(4)理论解X^*(t)＝-A^-1(t)B(t)对应的求解结果状矩阵，使方程(5)达到零(即E(t)＝0)等价于得到式(4)的唯一理论解X^*(t)，也就可以得到理论最优机械臂雅可比矩阵逆的解J^-1(θ(t))，并最后求解出机械臂各关节的控制量；

根据神经动力设计方法，结合硬件系统的时变特性，开发了一种具有时变设计增益g(t)的神经网络，具体地说，设计一个具有时变设计增益g(t)的误差函数E(t)的导数公式如下：

其中，g(t)＝t^p+p＞0,t∈[0,+∞)，p即为神经网络收敛速度的调节参数，

为向量激活函数，因此，指数型变参收敛微分神经网络可以用隐式动力学方程形式表示为：

此处，激活函数

是一个单调递增的奇函数，各种类型对应不同的映射函数，如linear-type，sigmoid-type、power-type和power-sigmoid-type激活函数等等，值得注意的是，power-sigmoid类型激活函数是由power-type和sigmoid-type组成的分段函数，使得递归神经网络模型具有较大的收敛速度，其中，power-sigmoid-type激活函数的具体如下所示：

其中，u∈R，μ为一个奇数且ξ≥1；

S3：对步骤S2中的指数型离散变参收敛神经网络通过欧拉前向差分公式以及BFGS拟牛顿法进行离散化；

步骤S3的具体实现方式为：

为了求解步骤S2中的指数型变增益递归神经网络的隐式动力学方程问题，需将其离散化，为了将隐式动力方程(7)离散为离散时间方程，本实施例利用了欧拉前向差分规则，如下所示：

其中，τ＞0和k(k＝0,1,2,...)分为采样间隔和迭代序号；

当

和

已知时：根据前面的公式，本实施例利用欧拉前向差分规则构造隐式动力学方程(7)的离散时间模型，鉴于时变参数矩阵和向量的导数已知(即，

和

已知)，离散模型可以列为如下形式：

其中，κ:＝τg(t＝kτ)＞0，

第k次的迭代解X(t＝kτ)记为X_k，为了下文的叙述，本实施例作以下定义：X_k:＝X(t＝kτ)，A_k:＝A(t＝kτ)，B_k:＝B(t＝kτ)，

V_k:＝A^-1(t＝kτ)，E_k:＝E(t＝kτ)；

由上式可知，若要迭代方程(10)的X_k，则需对时变矩阵进行反演(即

)计算，然而，直接求解实际应用中的矩阵反演是一项耗时的工作，为了有效地近似Hessian矩阵的逆，本实施例应用了BFGS拟牛顿法，因此，如果时变矩阵A(t)是正定对称阵(即A(t)是Hessia矩阵)，BFGS拟牛顿法用来估算逆矩阵的V_k，为了区分不同的连续反演矩阵V_k，

定义为时变的矩阵A(t)在t＝kτ时刻的近似逆矩阵，根据BFGS拟牛顿法，本实施例定义y_k＝A_k(X_k+1-X_k)，s_k＝X_k+1-X_k，同时

的递归迭代公式如下：

其中，T记为矩阵或向量的转置，对

进行递归迭代后，本实施例将近似逆矩阵

代入离散时间模型(10)，最终得到如下方程：

最终，根据离散后的迭代式(12)，本实施例获得每个时刻的雅可比矩阵逆的离散解，并可以用于进一步求解机械臂各个关节的角速度离散值

S4：对步骤S1获得的线性时变方程采用步骤S3中的指数型离散变参收敛神经网络进行求解，得到各个关节的PWM电压信号；

步骤S4的具体实现步骤为：

根据给定的机械臂末端路径，代入所提出的神经网络的离散方程(12)，直接求解步骤S3中得到的离散方程(12)，获得每个时刻的雅可比矩阵逆的离散解J^-1(θ(t))，将解得的J^-1(θ(t))代入式(2)获得机械臂各个关节的角速度的离散值

得到最终输出成PWM值；

S5、将步骤S4中求解得到的各个关节的PWM电压信号传递到给定机械臂的运动控制系统，控制各个关节所对应的驱动电机，驱动电机驱动冗余度机械臂按给定末端路径运动，完成冗余度机械臂的运动控制任务；

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种冗余度机械臂运动控制的解决方法，其特征在于，包括下述步骤：

搭建冗余度机械臂作为被控对象，基于给定的机械臂末端轨迹，对机械臂的运动控制问题进行建模，并转化为线性时变方程；

将所述机械臂的运动控制问题转化为对线性时变方程的求解问题，并对线性时变方程设计一个具有指数型变参的误差微分方程，并建立指数型离散变参收敛神经网络模型；

将所述指数型离散变参收敛神经网络模型通过欧拉前向差分公式以及BFGS拟牛顿法进行离散化；

对所述线性时变方程采用离散化后的指数型离散变参收敛神经网络模型进行求解，得到冗余度机械臂各个关节的PWM电压信号；

将所述冗余度机械臂各个关节的PWM电压信号传递到给定机械臂的运动控制系统，驱动冗余度机械臂按照给定末端路径运动，完成冗余度机械臂的运动控制任务。

2.根据权利要求1所述的冗余度机械臂运动控制的解决方法，其特征在于，所述转化为线性时变方程的具体计算步骤为：

基于给定机械臂的运动控制问题，机械臂的末端位置与各个关节的关系方程具体描述为：

r(t)＝F(θ(t))

θ(t)＝[θ₁(t)…θ_n(t)]^T∈Rⁿ

其中，n表示机械臂的自由度，r(t)＝[x(t) y(t) z(t)]^T∈R³为机械臂末端位置，F(·):Rⁿ→R³为机械臂关节角度与末端位置的关系；

对所述机械臂的末端位置与各个关节的关系方程进行求导得到雅可比矩阵：

并对所述雅可比矩阵求伪逆，具体计算方式为：

J^T(θ(t))J(θ(t))X(t)＝J^T(θ(t))

令A(t)＝J^T(θ(t))J(θ(t))∈R^n×n和B(t)＝-J^T(θ(t))∈R^n×3，则获得线性时变方程如下：

A(t)X^*(t)+B(t)＝0,t∈[0,+∞)

其中，未知向量X^*(t)∈R^n×3是方程的无误差的实时的解，为雅可比矩阵的J^-1(θ(t))实时解，用于求解机械臂各个关节的控制值，θ(t)表示中间参量，X(t)的初始状态为X₀:＝X(0)，为线性时变方程理论解X^*(t)＝-A^-1(t)B(t)对应的求解结果状矩阵。

3.根据权利要求1所述的冗余度机械臂运动控制的解决方法，其特征在于，所述建立指数型离散变参收敛神经网络模型，具体计算步骤为：

定义一个新的向量值的、不定的、下无界的误差函数，表示为：

E(t):＝A(t)X(t)+B(t)∈R^n×3

其中，X(t)的初始状态为X₀:＝X(0)，为线性时变方程理论解X^*(t)＝-A^-1(t)B(t)对应的求解结果状矩阵，误差函数达到零时，得到线性时变方程的唯一理论解；

根据神经动力设计方法，结合硬件系统的时变特性，构建具有时变设计增益的神经网络，所述时变设计增益的误差函数E(t)的导数公式表示为：

g(t)＝t^p+p＞0,t∈[0,+∞)

其中，g(t)表示时变设计增益，p表示神经网络收敛速度的调节参数，F(·):Rⁿ→R³表示向量激活函数；

指数型离散变参收敛神经网络模型采用隐式动力学方程形式表示为：

其中，激活函数F(·)表示一个单调递增的奇函数。

4.根据权利要求3所述的冗余度机械臂运动控制的解决方法，其特征在于，所述激活函数F(·)采用linear-type、sigmoid-type、power-type或power-sigmoid-type激活函数中的任一种激活函数。

5.根据权利要求1所述的冗余度机械臂运动控制的解决方法，其特征在于，所述将所述指数型离散变参收敛神经网络模型通过欧拉前向差分公式以及BFGS拟牛顿法进行离散化，具体计算方式为：

采用欧拉前向差分规则构造指数型离散变参收敛神经网络模型的离散时间模型，表示为：

其中，κ:＝τg(t＝kτ)＞0，第k次的迭代解X(t＝kτ)表示为X_k，激活函数F(·)表示一个单调递增的奇函数；

定义：X_k:＝X(t＝kτ)，A_k:＝A(t＝kτ)，B_k:＝B(t＝kτ)，

V_k:＝A^-1(t＝kτ)；

τ为欧拉差分公式中的采样时间，p表示神经网络收敛速度的调节参数，g(t)表示时变设计增益；

X_k:＝X(t＝kτ)为t×kτ时刻的雅可比矩阵的J^-1(θ(t))实时解，A_k:＝A(t＝kτ)为待求解雅可比矩阵伪逆方程系数A(t)＝J^T(θ(t))J(θ(t))∈R^n×n在t×kτ时刻的离散值，B_k:＝B(t＝kτ)为待求解雅可比矩阵伪逆方程系数B(t)＝-J^T(θ(t))∈R^n×3在t×kτ时刻的离散值，

为A_k:＝A(t＝kτ)在t×kτ时刻的导数值，

为B_k:＝B(t＝kτ)在t×kτ时刻的导数值，V_k:＝A^-1(t＝kτ)为A_k:＝A(t＝kτ)在t×kτ时刻的逆矩阵；

根据BFGS拟牛顿法，定义y_k＝A_k(X_k+1-X_k)，s_k＝X_k+1-X_k，

的递归迭代公式为：

其中，

表示时变的矩阵A(t)在t＝kτ时刻的近似逆矩阵，T记为矩阵或向量的转置；

对

进行递归迭代后，将近似逆矩阵

代入离散时间模型，得到离散化后的方程式为：

根据离散化后的方程式，得到每个时刻的雅可比矩阵逆的离散解，用于计算机械臂各个关节的角速度离散值。

6.根据权利要求1所述的冗余度机械臂运动控制的解决方法，其特征在于，所述得到冗余度机械臂各个关节的PWM电压信号，具体步骤为：

根据给定的机械臂末端轨迹，所述离散化后的指数型离散变参收敛神经网络模型进行求解后，得到每个时刻的雅可比矩阵逆的离散解，将所述雅可比矩阵逆的离散解代入到所述线性时变方程后，得到机械臂各个关节的角速度的离散值，最终输出机械臂各个关节的PWM电压信号。

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