CN113189939A - 一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法 - Google Patents

Abstract

本说明书实施例公开了一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法，该方案包括：该方法在机床坐标系中约束速度，加速度和加加速度，在工件坐标系中约束弓高误差。然后将最优进给速度规划问题转化为一个最优控制问题，并且说明其最优解为“bang‑bang”控制。最后，采用迭代控制向量参数法求解此最优控制问题的最优解，且该解满足“bang‑bang”控制。本发明能够在充分考虑摇篮式机床的整个加工过程包括运动约束和几何误差约束在内的各项约束，并且以最短的时间完成整个切削任务，从而能充分利用机床的性能。

Description

一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法

技术领域

本申请涉及数控机床技术领域，尤其涉及一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法。

背景技术

数控加工目前已广泛应用于制造业，其加工质量与加工效率是影响数控加工竞争力的关键因素，因此如何在机床性能约束和工件精度约束下尽量缩短加工时间是至关重要的。在五轴数控加工中，由于机床相比三轴机床多了两个旋转轴，从而在速度规划中必须要考虑工件坐标系与机床坐标系之间的非线性变换。而这种变换无疑使得最优时间下的进给速度规划问题更加困难，所以五轴机床下的的最优进给速度规划问题仍然具有挑战性。

传统的五轴折线段路径在转角处不连续，从而导致进给速度波动，加工质量差等缺点。为了克服这些缺点，一些CNC商业软件利用参数曲线(例如样条曲线、圆弧曲线)来表示光滑的刀具路径。因此，对于五轴参数刀具路径的最优时间进给速度规划的研究是非常必要的。最优时间进给速度规划(Minimum Time Feedrate Planning，MTFP)的目标是：在由机床性能和几何精度(即各个轴的运动约束和几何误差约束)决定的约束下，驱动刀具沿预定的路径进行切削，并且以最短的时间完成整个切削任务。而这些约束与各轴的平滑运动、加工稳定性和质量密切相关。现有技术中，有的虽然能够严格遵守运动学约束和几何精度约束，但是其求解方法的迭代次数与刀具路径的复杂性密切相关，从而鲁棒性差且计算效率低。有的将刀具路径离散成一些采样点，从而仅仅对采样点进行了约束，导致各轴运动曲线会超过预先设定的界限。

因此，如何在充分考虑摇篮式机床的整个加工过程包括运动约束和几何误差约束在内的各项约束，并且以最短的时间完成整个切削任务，从而充分利用机床的性能是需要解决的技术问题。

发明内容

本说明书实施例提供一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法，能够在充分考虑摇篮式机床的整个加工过程包括运动约束和几何误差约束在内的各项约束，并且以最短的时间完成整个切削任务，从而充分利用机床的性能是需要解决的技术问题。

为解决上述技术问题，本说明书实施例是这样实现的：

本说明书实施例提供的一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法，包括：

步骤S1、输入工件坐标系WCS下C²连续的六维参数曲线R(β)＝[P(β)，O(β)]；其中β表示归一化参数且β∈[0，1]；P是机床的刀位点路径曲线，P＝[P_x，P_y，P_z]；O为对应刀位点的刀轴方向，O＝[O_i，O_j，O_k]；

步骤S2、将所述WCS下C²连续的六维参数曲线R(β)映射到机床坐标系MCS中，得到参数刀具路径Q(β)＝[X(β)，Y(β)，Z(β)，A(β)，C(β)]；其中X表示所述机床坐标系中的X轴，Y表示所述机床坐标系中的Y轴，Z表示所述机床坐标系中的Z轴，A表示所述机床坐标系中的第一回转坐标轴，C表示所述机床坐标系中的第二回转坐标轴；

步骤S3、将参数区间[0，1]划分为N个子区间：

步骤S4、获取初始控制向量

和初始目标函数值V₀；

步骤S5、预设收敛系数γ；

步骤S6、令第一迭代参数V₁＝V₀，第二迭代参数

步骤S7、对于所述N个子区间中的每个子区间k进行如下操作：

根据第k个子区间中各轴l的速度、加速度、加加速度曲线和弓高误差曲线，计算得到所述第k个子区间中各轴l的速度v的最大值v_l(β_{vl max k})、各轴l的速度v的最小值v_l(β_{vl min k})、各轴l的加速度a的最大值a_l(β_{al max k})、各轴l的加速度a的最小值a_l(β_{al min k})、各轴l的加加速度j的最大值j_l(β_{jl max k})、各轴l的加加速度j的最小值j_l(β_{jl min k})和弓高误差d的最大值d(β_{d max k})；

其中，轴l＝X，Y，Z，A，C，k＝1，2，...，N；

步骤S8、在步骤S7的基础上，利用迭代法求解如下公式(21、)表示的非线性规划问题，得到最优控制向量

其中，V₁表示目标函数值，d(·)≤δ表示弓高误差约束。

优选的，所述步骤S1中所述六维参数曲线为NURBS曲线或B-样条曲线。

优选的，所述步骤S2具体包括：

优选的，所述步骤S6中所述收敛系数的初始值如下：

优选的，所述步骤S8的具体内容包括：

步骤S81、求解所述公式(21)表示的非线性规划问题，得到新的目标函数值V₀和新的控制变量

判断是否|V₁-V₀|≤γ；

步骤S82、如果|V₁-V₀|≤γ则得到最优控制向量

停止迭代；

如果|V₁-V₀|＞γ，利用得到的新的目标函数值V₀和新的控制变量

转入步骤S83，重新进行迭代；

步骤S83、令V₁＝V₀，并利用求解得到的新的控制变量

计算各个区间的各轴l的速度v的最大值v_l(β_{vl max k})、各轴l的速度v的最小值v_l(β_{vl min k})、各轴l的加速度a的最大值a_l(β_{al max k})、各轴l的加速度a的最小值a_l(β_{al min k})、各轴l的加加速度j的最大值j_l(β_{jl max k})、各轴l的加加速度j的最小值j_l(β_{jl min k})和弓高误差d的最大值d(β_{d max k})；

重新求解所述公式(21)表示的非线性规划问题，得到新的控制变量

和新的目标函数值V₀；

步骤S84、转入步骤S82。

本说明书中提供的至少一个实施例能够达到以下有益效果：本发明能够在充分考虑摇篮式机床的整个加工过程包括运动约束和几何误差约束在内的各项约束，并且以最短的时间完成整个切削任务，从而能充分利用机床的性能。

具体实施方式

为使本说明书一个或多个实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本说明书一个或多个实施例的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本说明书的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本说明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本说明书一个或多个实施例保护的范围。

下面先对本发明的技术构思进行简要说明：本说明书实施例提供一种完整的、新颖的五轴参数路径最优进给速度规划方法。该方法在机床坐标系(Machine CoordinateSystem，MCS)中约束速度，加速度和加加速度，在工件坐标系(Workpiece CoordinateSystem，WCS)中约束弓高误差(Chord Error)。然后将最优进给速度规划问题转化为一个最优控制问题，并且说明其最优解为“bang-bang”控制。最后，采用迭代控制向量参数法(Iteration Control Vector Parametrization Method，ICVP)求解此最优控制问题的最优解，该解满足“bang-bang”控制。

下面具体对本发明技术方案进行描述。

问题建立及描述

将进给速度规划问题转换成最优控制问题，同时在MCS中约束速度，加速度和加加速度(jerk)，在WCS中约束弓高误差。由于该方法的输入是WCS下的六维参数曲线，因此先给出WCS与MCS之间的转换公式。其次，给出具体的运动约束以及弓高误差约束的数学表达式。最后，得到最优进给速度规划问题，并将其转换为时间最优的控制问题。

WCS和MCS之间的转换

主要考虑工作台回转式(工作台上有两个回转轴，也称为摇篮式)机床，两个回转轴分别为A轴、C轴。A轴绕着MCS的X轴旋转运动，而C轴绕着MCS的Z轴旋转运动。两个回转轴加上三个线性轴(X，Y，Z轴)共同组成机床坐标系(MCS)。MCS不随着工作台的改变而改变。而工件坐标系(WCS)则是用来描述工件实际形状的坐标系，是严格固定在固定在机床工作台上的，随着工作台的运动而运动。选用摇篮式机床的原因是目前市面上大多数数控加工中心都采用这种类型，其主要优点是施加在主轴上的负载较少，从而能有效减少刀具振动，提高加工精度。

该方法的输入是WCS下C²连续的六维参数曲线：R(β)＝[P(β)，O(β)]，β∈[0，1]。例如NURBS或者B-样条。其中

是刀位点路径曲线，O＝[O_i，O_j，O_k]描述了对应刀位点的刀轴方向(单位为方向向量)。在加工时，机床在MCS下驱动各轴运动加工，所以需要在MCS下考虑运动约束。而最终的工件质量效果是在WCS下呈现，所以需要在WCS下约束几何误差，也就是弓高误差。因此，同样需要得到输入参数曲线在MCS下的表达形式来描述运动约束。将曲线R(β)映射到MCS中：Q＝[X，Y，Z，A，C]，这个映射变换R→Q被称为逆运动学变换。

逆运动学变换是基于所选机床的配置而决定的。对于摇篮式机床，具体的变换为如下形式(假设WCS和MCS的原点重合，并且在变换过程中不存在奇异点)：

运动约束以及弓高误差约束

经过变换之后，就能得到输入曲线在WCS下的表达形式R(β)和在MCS下的表达形式Q[β]。这样就能得到MCS中的运动约束和WCS中的弓高误差约束。根据微分链式法则，MCS下曲线的速度ν、加速度a以及加加速度j可由如下形式表示：

考虑到机床的驱动力和扭矩性能有限制，以及减少加工时的振动和平滑生成的轨迹的目的，五个轴的速度，加速度，加加速度需要被约束：

其中，v_B＝[v_xB，v_yB，v_zB，v_aB，v_cB]^T、a_B＝[a_xβ，a_yB，a_zB，a_aB，a_cB]^T和j_B＝[j_xB，j_yB，j_zB，j_aB，j_cB]^T分别为速度、加速度、加加速度边界约束向量。对于各个轴，运动约束可由如下形式表示：

其中，l＝X，Y，Z，A，C并且

这样运动约束可以被表示为关于

和u的不等式。

对于弓高误差约束，由于弓高误差描述的是工件的实际加工精度，是在WCS下在曲线

上的弓高误差限制。

在WCS中，输入的刀位点参数曲线路径的曲率为：

并且曲率半径为

通过弓高误差公式，可得：

其中τ是插补周期，δ是给定的弓高误差上界；v_feed代表了进给速度并由如下公式所得：

定义参数值β处的弓高误差为d(β)，得到弓高误差约束：

这样弓高误差约束可以被描述为关于

的不等式。

时间最优的控制问题

对于时间最优的进给速度规划(Minimun Time Feedrate Planning，MTTP)问题，其目标是计算参数速率

以最小化沿着刀具路径R(β)切削的加工时间，并且在此过程中满足运动约束和几何约束。所以MTFP问题可以表述为：

由于上述问题是时间相关的(time dependent)的，很难直接解出答案，为了便于计算，需要把这个问题转化成一个等价的时间无关(equivalent time independent)的最优控制问题，然后用非线性优化求解。

通过定义一个状态变量

来构建一个线性系统：

其中

是控制变量，根据线性系统(9)可得，u的积分为

并且

的积分为

之后，运动约束(4)和弓高误差约束(7)均可以表示成关于控制变量u的不等式。

最后，初始控制问题(8)可以被转换成以下等价的时间无关的最优控制问题：

其中X₀＝X₁＝[0，0]^T，由于这个最优控制问题的系统是线性的，所以其最优解为“bang bang”控制，即在任何时候都至少有一个约束(速度、加速度、加加速度约束或者弓高误差约束)达到界限。

迭代控制向量参数法

在这一节，提出迭代控制向量参数法(Iteration Control VectorParametrization，ICVP)来解决上一节提到的最优控制问题(10)。该方法分为三个步骤：首先根据刀位点路径的几何特征将参数区间[0，1]分成若干个子区间；将问题(10)转换成一个可解的非线性规划问题并且计算其初始解；在满足运动约束和弓高误差约束的情况下迭代计算最优解直到收敛。

参数区间分段

首先将参数区间[0，1]密集地划分为N₁个相等的子区间：

对于每一个子区间，使用一个常数值来近似控制变量u，那么近似的控制变量u(β)，β∈[0，1]可表示为：

在不考虑刀位点路径几何特征的情况下，上述子区间是平凡的。当一个子区间[β_k-1，β_k]包含一个曲率极大值点时，并不能通过控制采样点β_k-1，β_k的运动性能(速度、加速度和加加速度)来控制这个曲率极大值点的运动性能，因为该点处的速度通常会被最小化且运动曲线为非线性的，很难仅靠一个常数控制量

来描述这种状态。因此应当将刀位点路径在WCS下所有的曲率极大值点加入到上述采样点(11)中以使得进给速度满足各轴的运动约束和弓高误差约束。假设刀位点路径有N₂个曲率极大值点，将这些点(采样点和曲率极大值点)按照从小到大的方式重新排列得到N个子区间：

0＝β₀＜β₁＜...＜β_N-1＜β_N＝1 (13)

其中N＝N₁+N₂。对于每个新的子区间[β_k-1，β_k]，给定一个常数控制量

来描述速率信息。这样，要求的解就是这个分段常值控制函数u(β)。

对于正则曲线，总是存在有限数量的曲率极大值点，并且这些点满足方程κ′(β)＝0。然而，曲率表达式(5)通常情况下是高度非线性的，很难直接求解。因此，采用下面的近似离散方法来计算它们。

离散方法

对于离散方法，在(11)的每个子区间[β_i-1，β_i]中均匀采样m个点。然后从这m个点中选出曲率最大的点

如果

并且

则选择这个点作为曲率极大值点。之后遍历(11)中所有的子区间来得到所有的曲率极大值点。但是直观上讲，这种方法太粗糙，计算出的曲率极大值点

与实际的曲率极大值点

之间可能存在误差

一般情况下，当前的工业CNC插补软件的输出是一系列离散插补点，两个点之间间隔一个插补周期，因此这些插补点已经蕴含了进给速度信息，所以只要将(11)中的各个子区间离散到插补层级，那么误差ε就可以被忽略。现在，需要确定合适的离散数量m。假设τ是插补周期、V_feed是机床的进给速度上界、S是刀位点路径的总弧长长度。本实施例技术方案利用V_feed的一半来近似计算两个插补点的弧长长度：

这样离散数量m可由如下公式确定：

其中，N₁是(11)中的整个参数区间的初始离散数量。

非线性优化求解

现在，通过上一节提到的分段常数控制函数u(β)将最优控制问题转换成非线性规划问题。根据之前得到的微分关系(9)可得，

曲线是分段二次的，这样就可以给出

和

的具体表达式。

令Δβ_k＝β_k-β_k-1以及Ξ＝{1，2，...，N}。通过线性系统(9)和控制函数u(β)，可以得点β_k处的

和

值：

那么问题(10)中的约束均可被表示为关于控制变量

的不等式。

当忽略MCS下的加加速度约束时，最小化加工时间等价于最大化各点处的进给速度。受此结论启发，将初始的最优控制问题转换成以下形式。

其中，

在点β_k处各轴的速度、加速度以及加加速度分别为：

其中l＝X，Y，Z，A，C。

上述非线性规划问题可用传统的基于梯度的优化技术如序列二次规划(Sequential Quadratic Programming，SQP)进行数值求解，从而可以得到问题(10)的初始解

最优解计算

在上一小节，将最优控制问题转换成非线性规划问题，但是这个非线性规划仅仅约束采样点，而不是整个参数空间。并且运动曲线(各轴的速度，加速度，加加速度)关于参数β是非线性的。只约束采样点并不能保证整个参数空间满足运动约束。因此，还需约束每个子区间运动曲线的最大值点和最小值点。

将通过迭代计算得到最优解。从上一小节可以得到初始控制量

对于各个子区间[β_k-1，β_k]，根据微分关系(9)和

计算得到

和

根据公式(4)和(7)，区间[β_k-1，β_k]各轴的速度、加速度、加加速度曲线以及弓高误差曲线可以计算得到。可以得到这个子区间的各轴速度的最大值和最小值({v_l(β_{vl max k})，v_l(β_{vl min k})})、各轴加速度的最大值和最小值({a_l(β_{al max k})，a_l(β_{al min k})})、各轴加加速度的最大值和最小值({j_l(β_{jl max k})，j_l(β_{jl min k})})以及弓高误差的最大值(d(β_{d max k}))，其中k∈Ξ并且1＝X，Y，Z，A，C。将这些参数加入到约束中，从而得到一个新的非线性规划问题：

可以通过求解这个非线性规划问题得到一个新的控制向量

设置一个收敛系数γ。如果从问题(21)求解得到的目标函数值V₁减去问题(17)求解得到的目标函数值V₀的绝对值小于γ：|V₁-V₀|≤γ，那么就得到了最优解。如果不是，令V₀＝V₁，并且将

带入到公式(19)、(20)、(4)和(7)中，得到新的各轴速度(速度、加速度以及加加速度)曲线和弓高误差曲线。然后计算各个区间的运动曲线的最大值和最小值以及弓高误差的最大值，并将其带入到非线性规划中，重新求解问题(21)。新的目标函数值V₁和控制变量

可以被计算得到。如果|V₁-V₀|≤γ满足，那么最优解为

如果不满足，重复上述步骤，直到|V₁-V₀|≤γ满足。整个过程见表1中的方法1。

对于收敛系数γ，可以首先计算得到问题(17)的解所对应的目标函数值V₀。之后，令

即每次迭代计算后求得的解所对应的目标函数的变化小于V₀的一百万分之一时，认为非线性规划问题(21)的目标函数收敛。而对于方法1中的步骤10，由于各个区间的运动曲线和弓高误差曲线是非线性的，很难直接计算出这些曲线的最大值和最小值。为了简便计算，可以采用牛顿迭代法或者提到的离散方法来求解出这些最大值和最小值。

在非线性规划(21)中，目标函数可以改写为：

其中

以及矩阵Q等于：

因此，这个非线性规划问题其实是一个带有非线性约束的二次规划问题。

并且方法1里的While循环在多次迭代后是收敛的。

表1：本发明实施例技术方案中的ICVP方法的伪代码

实验结果：

最优进给速度规划方法在Matlab平台下实现，在RAM 16G、Intel、Windows 10的环境下实现。使用发动机叶轮加工曲线和S-试件曲线来验证方法的可行性。最后结果显示由方法计算得到的进给速度满足“bang-bang”控制。MCS下五个轴的运动约束在表1中给出。插补周期τ设置为0.002秒。弓高误差上界δ设置为0.125μm。在例子中，各轴的速度和加速度在刀具路径的起点和终点都被设置为零。

表2：五个轴的运动约束

本发明能够在充分考虑摇篮式机床的整个加工过程包括运动约束和几何误差约束在内的各项约束，并且以最短的时间完成整个切削任务，从而能充分利用机床的性能。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims (5)

1.一种用于摇篮式机床的全局最优进给速度规划方法，其特征在于，包括：

步骤S1、输入工件坐标系WCS下C²连续的六维参数曲线R(β)＝[P(β)，O(β)]；其中β表示归一化参数且β∈[0，1]；P是机床的刀位点路径曲线，P＝[P_x，P_y，P_z]；O为对应刀位点的刀轴方向，O＝[O_i，O_j，O_k]；

步骤S2、将所述WCS下C²连续的六维参数曲线R(β)映射到机床坐标系MCS中，得到参数刀具路径Q(β)＝[X(β)，Y(β)，Z(β)，A(β)，C(β)]；其中X表示所述机床坐标系中的X轴，Y表示所述机床坐标系中的Y轴，Z表示所述机床坐标系中的Z轴，A表示所述机床坐标系中的第一回转坐标轴，C表示所述机床坐标系中的第二回转坐标轴；

步骤S3、将参数区间[0，1]划分为N个子区间：

步骤S4、获取初始控制向量

和初始目标函数值V₀；

步骤S5、预设收敛系数γ；

步骤S6、令第一迭代参数V₁＝V₀，第二迭代参数

步骤S7、对于所述N个子区间中的每个子区间k进行如下操作：

根据第k个子区间中各轴l的速度、加速度、加加速度曲线和弓高误差曲线，计算得到所述第k个子区间中各轴l的速度v的最大值v_l(β_{vl max k})、各轴l的速度v的最小值v_l(β_{vl min k})、各轴l的加速度a的最大值a_l(β_{al max k})、各轴l的加速度a的最小值a_l(β_{al min k})、各轴l的加加速度j的最大值j_l(β_{jl max k})、各轴l的加加速度j的最小值j_l(β_{jl min k})和弓高误差d的最大值d(β_{d max k})；

其中，轴l＝X，Y，Z，A，C，k＝1，2，...，N；

步骤S8、在步骤S7的基础上，利用迭代法求解如下公式(21)表示的非线性规划问题，得到最优控制向量

其中，V₁表示目标函数值，d(·)≤δ表示弓高误差约束。

2.根据权利要求1所述的应用于五轴数控的全局最优进给速度规划方法，其特征在于，所述步骤S1中所述六维参数曲线为NURBS曲线或B-样条曲线。

3.根据权利要求1所述的应用于五轴数控的全局最优进给速度规划方法，其特征在于，所述步骤S2具体包括：

4.根据权利要求1所述的应用于五轴数控的全局最优进给速度规划方法，其特征在于，所述步骤S6中所述收敛系数的初始值如下：

5.根据权利要求1所述的应用于五轴数控的全局最优进给速度规划方法，其特征在于，所述步骤S8的具体内容包括：

步骤S81、求解所述公式(21)表示的非线性规划问题，得到新的目标函数值V₀和新的控制变量

判断是否|V₁-V₀|≤γ；

步骤S82、如果|V₁-V₀|≤γ则得到最优控制向量

停止迭代；

如果|V₁-V₀|＞γ，得到新的目标函数值V₀和新的控制变量

转入步骤S83，重新进行迭代；

步骤S83、令V₁＝V₀，并利用求解得到的新的控制变量

计算各个区间的各轴l的速度v的最大值v_l(β_{vl max k})、各轴l的速度v的最小值v_l(β_{vl min k})、各轴l的加速度a的最大值a_l(β_{al max k})、各轴l的加速度a的最小值a_l(β_{al min k})、各轴l的加加速度j的最大值j_l(β_{jl max k})、各轴l的加加速度j的最小值j_l(β_{jl min k})和弓高误差d的最大值d(β_{dmax k})；

重新求解所述公式(21)表示的非线性规划问题，得到新的控制变量

和新的目标函数值V₀；

步骤S84、转入步骤S82。