CN113050447B - 一种具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统H∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统H∞控制方法，首先在控制器端构造了观测器，建立了在传感器和控制器之间及控制器与执行器之间均存在数据包丢失的网络化Markov跳变系统的闭环系统模型，给出了闭环系统随机稳定的充分和必要条件，并在系统模态和数据包丢失转移概率部分未知条件下给出了控制器增益矩阵、观测器增益矩阵和最小扰动抑制性能指标的求解方法。

Description

一种具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统H∞控制方法

技术领域

本发明属于网络控制技术领域，尤其涉及具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统H∞控制方法。

背景技术

随着控制技术的发展，(Networked Control System，NCS)的应用范围变得越来越广泛，包括工业系统领域、航空航天领域、机器人制造领域、智能遥感领域等。数据包丢失是NCS的基本问题之一，数据包丢失不仅存在于传感器至控制器(Sensor to Controller,S/C)之间也存在于控制器至执行器(Controller to Actuator,C/A)之间。

数据包的丢失会影响系统的性能，甚至可能会导致系统的不稳定。NCS中对数据包丢失的研究已经出现了较多的技术。在现有的技术中，对数据包丢失的问题主要有三种处理方法。第一种方法是将数据包丢失建模成遵守伯努利概率分布的随机变量；第二种方法是把数据包丢失当作事件处理，把NCS建模为具有事件率约束的控制系统；第三种方法是把数据包丢失建模为有限模态的Markov链，把NCS建模为Markov跳变系统。目前针对NCS的H∞控制方法还不完善，关于同时具有S/C丢包及C/A丢包的NCS还需要进一步分析。现有技术存在的问题是：

1)多数技术仅考虑S/C丢包或C/A丢包，并假设系统的状态可测，缺乏基于观测器的同时考虑S/C丢包和C/A丢包的控制器设计方法；

2)多数技术考虑的被控对象是线性定常系统，缺乏对Markov跳变被控对象的研究与讨论；

3)多数技术假设系统模态的转移概率是已知的，缺乏系统模态及丢包的转移概率部分未知条件下观测器增益矩阵和控制器增益矩阵的设计方法；

解决上述技术问题的意义：

同时考虑S/C丢包和C/A丢包并设计出基于观测器的控制器对于推动网络化Markov跳变系统理论的应用有重要的实际意义；通过分析网络化Markov跳变系统运行状态随着丢包及系统模态的变化，建立网络化Markov跳变系统的数学模型，并在系统模态及丢包的转移概率部分未知条件下给出了控制器设计方法，可以建立起系统性能指标和转移概率信息量之间的联系，从而可以在系统性能和转移概率信息量之间选择折中方案。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统H∞控制方法，具体包括以下步骤：

步骤1：建立闭环系统数学模型：

用随机变量α(k)，β(k)分别描述传感器与控制器之间(S/C)的丢包和控制器与执行器之间(C/A)的丢包：当α(k)＝1(β(k)＝1)时，没有发生S/C(C/A)丢包；当α(k)＝0(β(k)＝0)时，发生了S/C(C/A)丢包；

被控对象为Markov跳变系统，其状态方程为：

其中x(k)是系统的状态，u(k)是控制输入，ω(k)是外部扰动，y(k)是系统输出；A_δ(k)，B_δ(k)，B_ωδ(k)，C_δ(k)，D_ωδ(k)是实常数矩阵；δ(k)从集合φ＝{1,2,…,g}中取值，g为一正整数，δ(k)的转移概率矩阵为Q＝[q_mn]，q_mn＝Pr{δ(k+1)＝n|δ(k)＝m}，

在控制器端构造观测器：

其中

是观测器的状态，

是观测器的输出，L是待确定的观测器增益矩阵，

是观测器接收到的系统输出，

是观测器的控制输入；

采用基于观测器的状态反馈控制律：

其中K是待定的控制器增益矩阵；

由于S/C丢包，在时刻k控制器得到的系统输出为：

由于C/A丢包，在时刻k作用在被控对象上的控制量为：

定义状态估计误差e(k)和增广向量ζ(k)：

由式(1)～(6)得到闭环系统表达式：

其中

步骤2：分析S/C丢包和C/A丢包对闭环系统参数的影响，将闭环系统建模为具有两个Markov链的控制系统：

1)当α(k)＝β(k)＝0，即同时发生了S/C丢包和C/A丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

F_δ(k),1＝[-E E]，

H_δ(k),1＝[C_δ(k) -C_δ(k)]，

E为单位矩阵；

2)当α(k)＝0,β(k)＝1，即发生了S/C丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k),2＝A_δ(k),1，

F_δ(k),2＝[E -E]，G_δ(k),2＝G_δ(k),1，H_δ(k),2＝H_δ(k),1，

3)当α(k)＝1,β(k)＝0，即发生了C/A丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k),3＝A_δ(k),1，E_δ(k),3＝E_δ(k),1，F_δ(k),3＝F_δ(k),1，G_δ(k),3＝G_δ(k),1，H_δ(k),3＝[0 -C_δ(k)]，

4)当α(k)＝β(k)＝1，即没有发生丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k),4＝A_δ(k),1，E_δ(k),4＝E_δ(k),2，F_δ(k),4＝F_δ(k),2，G_δ(k),4＝G_δ(k),1，H_δ(k),4＝H_δ(k),3，

随着不同情况的丢包，闭环系统(7)在(8)～(11)之间跳变，因为当前时刻数据包的丢失与上一时刻数据包的丢失有关，所以可以把闭环系统表示为：

其中{θ(k),k∈Z}是离散时间Markov链，在集合

中取值，θ(k)的转移概率矩阵为Π＝[π_ij]，π_ij＝Pr{θ(k+1)＝j|θ(k)＝i}，π_ij≥0，

步骤3：对系统模态δ(k)的转移概率矩阵Q和丢包θ(k)的转移概率矩阵Π存在部分未知元素的情况进行描述，并给出闭环系统随机稳定并具有H∞性能的充分条件：

集合φ可以表示为

其中

如果

不是空集，则

可以表示为

其中

代表矩阵Q第m行第s个已知元素的列下标，

可以表示为

其中

代表矩阵Q第m行第g-s个未知元素的列下标；集合

可以表示为

其中

如果

不是空集，则

可以表示为

其中

代表矩阵Π第i行第r个已知元素的列下标，

可以表示为

其中

代表矩阵Π第i行第4-r个未知元素的列下标；

其中μ>0是扰动抑制性能指标；

给出闭环系统(12)随机稳定且具有如式(13)所示的H∞性能的充分条件：

如果存在正定矩阵P_m,i>0，Y_m,i>0以及矩阵K，L，使得

Y_m,iP_m,i＝E,(27)

其中

对所有的

都成立，则闭环系统(12)是随机稳定的，且满足了式(13)中的扰动抑制性能指标；

步骤4：给出控制器增益矩阵K，观测器增益矩阵L及最小扰动抑制性能指标μ_min的求解算法：

第一步：给定μ＝μ₀和最大迭代次数R_max；

第二步：求解式(23)～式(26)及

得到一组可行解

令k＝0；

第三步：求解非线性最小化问题：

受约束于式(23)～式(26)及

令

K^k＝K,L^k＝L；

第四步：检查式(23)～式(27)是否满足，若满足则适当减小μ，即令μ＝μ-τ，τ为一正实数，令k＝k+1，转到第三步；若不满足，直接转到第三步；

第五步：若迭代次数大于R_max则终止迭代；迭代终止后检查μ：若μ＝μ₀，则此优化问题在给定的迭代次数内无解；若μ<μ₀，则μ_min＝μ+τ。

本发明的有益效果为：对同时具有S/C丢包和C/A丢包的网络化Markov跳变系统设计了观测器，并在系统模态δ(k)及丢包θ(k)的转移概率部分未知条件下，给出了控制器增益矩阵、观测器增益矩阵和最小扰动抑制性能指标的设计方法，从而在不需要知道全部转移概率的条件下获得满足系统性能要求的控制器。

附图说明

图1是本发明实施例提供的具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统的结构。

图2是本发明实施例提供的系统模态的跳变值。

图3是本发明实施例提供的系统丢包的跳变值。

图4是本发明实施例提供的闭环系统状态x₁及其估计值

图5是本发明实施例提供的闭环系统状态x₂及其估计值

图6是本发明实施例提供的闭环系统状态x₃及其估计值

具体实施方式

用随机变量α(k)，β(k)分别描述S/C丢包和C/A丢包：当α(k)＝1(β(k)＝1)时，没有发生S/C(C/A)丢包；当α(k)＝0(β(k)＝0)时，发生了S/C(C/A)丢包。在S/C及C/A之间均存在丢包的网络化Markov跳变系统的结构如图1所示。被控对象是Markov跳变系统，其状态方程为：

其中x(k)是系统的状态，u(k)是控制输入，ω(k)是外部扰动，y(k)是系统输出；A_δ(k)，B_δ(k)，B_ωδ(k)，C_δ(k)，D_ωδ(k)是具有恰当维数的实常数矩阵；δ(k)从集合φ＝{1,2,…,g}中取值，其转移概率矩阵为Q＝[q_mn]，q_mn＝Pr{δ(k+1)＝n|δ(k)＝m}，

在控制器端构造观测器：

其中

是观测器的状态，

是观测器的输出，L是待确定的观测器增益矩阵，

是观测器接收到的系统输出，

是观测器的控制输入；

采用基于观测器的状态反馈控制律：

其中K是待定的控制器增益矩阵；

由于S/C丢包，在时刻k控制器得到的系统输出为：

由于C/A丢包，在时刻k作用在被控对象上的控制量为：

定义状态估计误差e(k)和增广向量ζ(k)：

由式(1)～(6)得到闭环系统表达式：

其中

通过S/C丢包和C/A丢包对闭环系统参数的影响，闭环系统(7)可以表示为：

1)当α(k)＝β(k)＝0，即同时发生了S/C丢包和C/A丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

F_δ(k),1＝[-E E]，

H_δ(k),1＝[C_δ(k) -C_δ(k)]，

E为单位矩阵；

2)当α(k)＝0,β(k)＝1，即发生了S/C丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k),2＝A_δ(k),1，

F_δ(k),2＝[E -E]，G_δ(k),2＝G_δ(k),1，H_δ(k),2＝H_δ(k),1，

3)当α(k)＝1,β(k)＝0，即发生了C/A丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k),3＝A_δ(k),1，E_δ(k),3＝E_δ(k),1，F_δ(k),3＝F_δ(k),1，G_δ(k),3＝G_δ(k),1，H_δ(k),3＝[0 -C_δ(k)]，

4)当α(k)＝β(k)＝1，即没有发生丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k),4＝A_δ(k),1，E_δ(k),4＝E_δ(k),2，F_δ(k),4＝F_δ(k),2，G_δ(k),4＝G_δ(k),1，H_δ(k),4＝H_δ(k),3，

随着不同情况的丢包，闭环系统(7)在(8)～(11)之间跳变，因为当前时刻数据包的丢失与上一时刻数据包的丢失有关，所以可以把闭环系统表示为：

其中{θ(k),k∈Z}是离散时间Markov链，在集合

中取值，θ(k)的转移概率矩阵为Π＝[π_ij]，π_ij＝Pr{θ(k+1)＝j|θ(k)＝i}，π_ij≥0，

定义1：当ω(k)＝0时，如果对于任意初始模态

以及任意初始状态ζ(0)，存在一个正定矩阵R>0，使得

成立，则闭环系统(12)是随机稳定的。

注：有别于传统的点对点控制系统，式(2)中观测器的控制输入向量

与式(1)中被控对象的控制输入向量u(k)是不同的。

本发明的目标是设计观测器(2)和基于观测器的控制器(3)，使得闭环系统(12)能够在S/C之间及C/A之间均存在丢包的情况下随机稳定，并得到扰动抑制性能指标。具体来说，就是闭环系统(12)要满足以下的2个要求：

1)当ω(k)＝0时，闭环系统(12)是随机稳定的；

2)在零初始条件下，对所有的ω(k)≠0，系统输出y(k)满足：

其中μ>0是扰动抑制性能指标。

本发明将讨论闭环系统(12)随机稳定的充分和必要条件，并分别讨论系统模态δ(k)和丢包θ(k)的转移概率在全部已知和部分未知条件下的观测器(2)和控制器(3)的设计方法。

定理1：闭环系统(12)随机稳定，当且仅当存在正定矩阵P_m,i>0，P_n,j>0以及矩阵K，L使得下面的不等式对于所有的

都成立。

证明：

充分性：定义一个Lyapunov函数V(k)＝ζ^T(k)P_δ(k),θ(k)ζ(k)，其中P_δ(k),θ(k)>0。

令式(12)中ω(k)＝0，可以得到：

因此，如果(14)成立，则

对任意的正整数N≥0，可以得到

由定义1可得，闭环系统(12)是随机稳定的。

必要性：假设闭环系统(12)是随机稳定的，可以得到

令ζ(k)≠0考虑式(16)所示的函数：

其中Z_δ(t),θ(t)>0。从(15)可以得出

是有界的，并且

由于对任意的ζ(k)式(17)都成立，则有

因为Z_δ(t),θ(t)>0，所以从(17)可以得到P_δ(k),θ(k)>0。进一步可以得到：

令T→∞，则有Φ<0，证明结束。

定理1给出了闭环系统(12)随机稳定的充分和必要条件。定理2不仅给出了闭环系统随机稳定的充分条件，并且得到了在系统模态及丢包的转移概率全部已知的条件下控制器的设计方法。

定理2：如果存在正定矩阵P_m,i>0，Y_m,i>0以及矩阵K，L使得

Y_m,iP_m,i＝E， (19)

其中，

对所有的

都成立，那么闭环系统(12)是随机稳定的，同时满足了(13)中的扰动抑制性能指标。

证明：对任意的ω(k)≠0，由(12)可以得到

其中

令

运用Schur补引理，Ψ_m,i<0等价于(18)，因此由(18)-(20)可得

E{ΔV(k)}+y^T(k)y(k)-μ²ω^T(k)ω(k)<0 (21)

将式(21)从k＝0到k＝∞求和得到

所以闭环系统(12)是随机稳定的，且满足式(13)，证明结束。

定理2中得到的控制器增益矩阵K，观测器增益矩阵L是在转移概率全部已知的条件下给出的。但是，在实际操作中是很难得到所有转移概率的，因此设计转移概率部分未知条件下的控制器是很有必要的。定理3中考虑的转移概率是部分未知的，令集合φ中的g＝2，则有：

其中“？”代表的是未知的转移概率。为了表示方便，集合φ可以表示为

其中

如果

不是空集，则

可以表示为

其中

代表矩阵Q第m行第s个已知元素的列下标，

可以表示为

其中

代表矩阵Q第m行第2-s个未知元素的列下标。集合

可以表示为

其中

如果

不是空集，则

可以表示为

其中

代表矩阵Π第i行第r个已知元素的列下标，

可以表示为

其中

代表矩阵Π第i行第4-r个未知元素的列下标。

定理3：如果存在正定矩阵P_m,i>0，Y_m,i>0以及矩阵K，L，使得

Y_m,iP_m,i＝E,(27)

其中

对所有的

都成立，则闭环系统(12)是随机稳定的，且满足了式(13)中的扰动抑制性能指标。

证明：易知

运用Schur补引理，Ψ_m,i<0等价于：

再一次运用Schur补引理，如果(23)～(27)成立，则可以得到Ψ_m,i<0，证明结束。

定理3中的约束条件(23)～(26)是具有逆矩阵约束的矩阵不等式，可以利用锥补线性化(ConeComplementary Linearization,CCL)进行求解。控制器增益矩阵K，观测器增益矩阵L及最小扰动抑制性能指标μ_min的求解可以转化为非线性最小化问题：

受约束于式(23)～式(26)和式(22)

控制器增益矩阵K，观测器增益矩阵L及最小扰动抑制性能指标μ_min的求解算法为：

第一步：给定μ＝μ₀和最大迭代次数R_max；

第二步：求解式(23)～式(26)及式(22)，得到一组可行解

令k＝0；

第三步：求解非线性最小化问题：

受约束于式(23)～式(26)及式(22)，令

K^k＝K,L^k＝L；

第四步：检查式(23)～式(27)是否满足，若满足则适当减小μ，即令μ＝μ-τ，τ为一正实数，令k＝k+1，转到第三步；若迭代次数大于R_max则终止迭代；

第五步：迭代终止后检查μ：若μ＝μ₀，则此优化问题在给定的迭代次数内无解；若μ<μ₀，则μ_min＝μ+τ。

数值仿真

被控对象的参数为：

系统模态δ(k)∈{1,2}的转移概率矩阵为

丢包θ(k)∈{1,2,3,4}的转移概率矩阵为

根据定理3，可以得到控制器的增益矩阵K、观测器的增益矩阵L以及最小扰动抑制性能指标μ_min：

K＝[1.7899 -1.9200 0.8782]，

μ_min＝0.134。

闭环系统的初始状态为x₀＝[2 -1 1]^T，

扰动输入

图2为系统模态的跳变值，图3为数据丢包的跳变值，图4为闭环系统状态x₁及其估计值

曲线，图5为闭环系统状态x₂及其估计值

曲线，图6为闭环系统状态x₃及其估计值

曲线。

本发明对于同时具有S/C丢包和C/A丢包的网络化Markov跳变系统构造了观测器，在系统模态δ(k)和丢包θ(k)变化的情况下建立了闭环系统模型，在转移概率全部已知和部分未知条件下给出了观测器和控制器增益矩阵的设计方法，并得到了最小扰动抑制性能指标。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种具有数据包丢失的网络化Markov跳变系统H∞控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立闭环系统数学模型：

用随机变量α(k)，β(k)分别描述传感器与控制器之间的丢包和控制器与执行器之间的丢包：当α(k)＝1时，传感器至控制器之间没有发生丢包；当α(k)＝0时，传感器至控制器之间发生了丢包；当β(k)＝1时，控制器至执行器之间没有发生丢包；当β(k)＝0时，控制器至执行器之间发生了丢包；

被控对象为Markov跳变系统，其状态方程为：

其中x(k)是系统的状态，u(k)是控制输入，ω(k)是外部扰动，y(k)是系统输出；A_δ(k)，B_δ(k)，B_ωδ(k)，C_δ(k)，D_ωδ(k)是实常数矩阵；δ(k)从集合φ＝{1，2，…，g}中取值，g为一正整数，δ(k)的转移概率矩阵为Q＝[q_mn]，q_mn＝Pr{δ(k+1)＝n|δ(k)＝m}，

q_mn≥0，m，n∈φ；

在控制器端构造观测器：

其中

是观测器的状态，

是观测器的输出，L是待确定的观测器增益矩阵，

是观测器接收到的系统输出，

是观测器的控制输入；

采用基于观测器的状态反馈控制律：

其中K是待定的控制器增益矩阵；

由于传感器至控制器之间的丢包，在时刻k控制器得到的系统输出为：

由于控制器至执行器之间的丢包，在时刻k作用在被控对象上的控制量为：

定义状态估计误差e(k)和增广向量ζ(k)：

由式(1)～(6)得到闭环系统表达式：

其中

步骤2：分析传感器至控制器之间的丢包和控制器至执行器之间的丢包对闭环系统参数的影响，将闭环系统建模为具有两个Markov链的控制系统：

1)当α(k)＝β(k)＝0，即同时发生了传感器至控制器之间的丢包和控制器至执行器之间的丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

F_δ(k)，1＝[-E E]，

H_δ(k)，1＝[C_δ(k)-C_δ(k)]，

E为单位矩阵；

2)当α(k)＝0，β(k)＝1，即发生了传感器至控制器之间的丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k)，₂＝A_δ(k)，1，

F_δ(k)，2＝[E -E]，G_δ(k)，2＝G_δ(k)，1，H_δ(k)，2＝H_δ(k)，1，

3)当α(k)＝1，β(k)＝0，即发生了控制器至执行器之间的丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k)，3＝A_δ(k)，1，E_δ(k)，3＝E_δ(k)，1，F_δ(k)，3＝F_δ(k)，1，G_δ(k)，3＝G_δ(k)，1，H_δ(k)，3＝[0 -C_δ(k)]，

4)当α(k)＝β(k)＝1，即没有发生丢包，闭环系统(7)可以表示为：

其中

A_δ(k)，4＝A_δ(k)，1，E_δ(k)，4＝E_δ(k)，2，F_δ(k)，4＝F_δ(k)，2，G_δ(k)，4＝G_δ(k)，1，H_δ(k)，4＝H_δ(k)，3，

随着不同情况的丢包，闭环系统(7)在(8)～(11)之间跳变，因为当前时刻数据包的丢失与上一时刻数据包的丢失有关，所以可以把闭环系统表示为：

其中{θ(k)，k∈Z}是离散时间Markov链，在集合

中取值，θ(k)的转移概率矩阵为Π＝[π_ij]，π_ij＝Pr{θ(k+1)＝j|θ(k)＝i}，π_ij≥0，

步骤3：对系统模态δ(k)的转移概率矩阵Q和丢包θ(k)的转移概率矩阵Π存在部分未知元素的情况进行描述，并给出闭环系统随机稳定并具有H∞性能的充分条件：

集合φ可以表示为

其中

如果

不是空集，则

可以表示为

其中

代表矩阵Q第m行第s个已知元素的列下标，

可以表示为

其中

代表矩阵Q第m行第g-s个未知元素的列下标；集合

可以表示为

其中

如果

不是空集，则

可以表示为

其中

代表矩阵Π第i行第r个已知元素的列下标，

可以表示为

其中

代表矩阵Π第i行第4-r个未知元素的列下标；

其中μ＞0是扰动抑制性能指标；

给出闭环系统(12)随机稳定且具有如式(13)所示的H∞性能的充分条件：

如果存在正定矩阵P_m，i＞0，Y_m，i＞0以及矩阵K，L，使得

Y_m，iP_m，i＝E， (27)

其中

对所有的

部成立，则闭环系统(12)是随机稳定的，且满足了式(13)中的扰动抑制性能指标；

步骤4：给出控制器增益矩阵K，观测器增益矩阵L及最小扰动抑制性能指标μ_min的求解算法：

第一步：给定μ＝μ₀和最大迭代次数R_max；

第二步：求解式(23)～式(26)及

得到一组可行解

令k＝0；

第三步：求解非线性最小化问题：

受约束于式(23)～式(26)及

令

K^k＝K，L^k＝L；

第四步：检查式(23)～式(27)是否满足，若满足则适当减小μ，即令μ＝μ-τ，τ为一正实数，令k＝k+1，转到第三步；若不满足，直接转到第三步；

第五步：若迭代次数大于R_max则终止迭代；迭代终止后检查μ：若μ＝μ₀，则此优化问题在给定的迭代次数内无解；若μ＜μ₀，则μ_min＝μ+τ。

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