CN111290268A - 一种模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法 - Google Patents

一种模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法 Download PDF

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CN111290268A CN202010086407.6A CN202010086407A CN111290268A CN 111290268 A CN111290268 A CN 111290268A CN 202010086407 A CN202010086407 A CN 202010086407A CN 111290268 A CN111290268 A CN 111290268A
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Abstract

本发明提出了一种模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法。本发明把传感器至控制器时延及控制器至执行器时延分别建模为两个独立的Markov链，提出了不但依赖于传感器至控制器时延而且依赖于控制器端系统模态的状态反馈控制器；然后建立了闭环系统数学模型，并给出了闭环系统随机稳定的充分条件及控制器增益矩阵的求解方法；所设计的模态依赖的控制器比非模态依赖的控制器具有更好的性能。

Description

一种模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计 方法
技术领域
本发明涉及网络控制系统设计领域，尤其涉及一种模态依赖的网络化Markov跳变系统的 状态反馈控制器设计方法。
技术背景
网络控制系统(networked control system，NCS)具有易诊断、易扩展及成本低等优点， 被广泛应用于环境监测、工业控制、远程医疗等领域。然而由于网络的引入，数据在传输的过 程中不可避免地产生时延的现象，使得控制系统性能降低甚至可能导致系统不稳定。
NCS的时延包括存在于传感器和控制器之间(sensor to controller,S/C)的时延及存在于控 制器至执行器之间(controller to sensor,C/A)的时延。如何对S/C时延及C/A时延进行NCS 的控制器设计得到了关注并出现了大量的研究成果。目前关于网络化Markov跳变系统的模态 依赖的控制器设计问题还不完善，需要进一步研究。
现有技术存在的问题是：
(1)现有技术多数只针对线性被控对象设计了控制器，对Markov跳变被控对象进行控 制器设计的研究较少；
(2)现有技术所设计的控制器多数是模态独立的，缺少同时依赖于时延和系统模态的状 态反馈控制器设计方法；
(3)现有技术多数假设转移概率是已知的，如何在时延和系统模态的转移概率矩阵均部 分未知的条件下设计控制器需要进一步研究。
解决上述技术问题的意义：
对于网络化Markov跳变系统，在时延和系统模态的转移概率矩阵均部分未知的条件下设 计出同时依赖于时延和系统模态的状态反馈控制器，对于减小结论的保守性，提高闭环系统的 性能具有重要的理论和实际应用意义。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明对于提供了一种面向网络化Markov跳变系统的同时依 赖于时延和系统模态的状态反馈控制器方法，该方法具体的步骤包括：
第一步，利用两个独立的Markov链分别描述S/C网络时延τk及C/A网络时延γk，设计 依赖于S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure BDA0002382199930000011
的状态反馈控制器并建立闭环系统模型；
第二步，在时延τk转移概率矩阵Ξ和控制器端系统模态
Figure BDA0002382199930000012
多步转移概率矩阵
Figure BDA0002382199930000013
均 存在部分未知元素的条件下，给出闭环系统随机稳定的条件；
第三步，给出依赖于S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure BDA0002382199930000014
的状态反馈控制器增益矩阵的求 解算法。
3、作为一种优选方案：在第一步中：S/C时延τk及C/A时延γk分别在集合M＝{0,…,τ}， N＝{0,…,γ}中取值，τk的转移概率矩阵为Ξ＝[ωij]，ωij＝Pr{τk+1＝j|τk＝i}，ωij≥0，
Figure BDA0002382199930000021
Figure BDA0002382199930000027
γk的转移概率矩阵分别为Π＝[πrs]，πrs＝Pr{γk+1＝s|γk＝r}，πrs≥0，
Figure BDA0002382199930000022
Figure BDA0002382199930000028
被控对象为Markov跳变系统，其状态方程为：
Figure BDA0002382199930000023
其中xk为系统状态向量；uk为控制输入向量；
Figure BDA0002382199930000029
是实数矩阵；δk为系统的模态，在有 限集合W＝{1,…,D}中取值，D为正整数，δk的转移概率矩阵为Θ＝[ρpq]，ρpq＝Pr{δk+1＝q|δk＝p}, ρpq≥0，
Figure BDA00023821999300000210
所述模态依赖的状态反馈控制器同时依赖于所述的S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure BDA00023821999300000211
Figure BDA0002382199930000024
由于C/A时延γk的存在，在时刻k作用在被控对象上的控制量：
Figure BDA0002382199930000025
由式(1)、(3)及式(4)得到闭环系统的数学模型为：
Figure BDA0002382199930000026
作为一种优化方案：在第二步中：对时延τk的转移概率矩阵Ξ和系统模态δk的多步转移 概率矩阵
Figure BDA00023821999300000212
中存在部分未知元素的情况进行描述：
对于
Figure BDA00023821999300000213
令
Figure BDA00023821999300000214
其中
Figure BDA00023821999300000215
如果
Figure BDA00023821999300000216
不是空集，记为
Figure BDA00023821999300000217
其中
Figure BDA00023821999300000218
表示矩阵Ξ中第i行第a个已知元素的 列下标，
Figure BDA00023821999300000219
记为
Figure BDA00023821999300000220
其中
Figure BDA00023821999300000221
表示矩阵Ξ中第i行第τ-a个未知元素的列下标，a为不大于τ的正整数。
对于
Figure BDA00023821999300000222
令
Figure BDA00023821999300000223
其中
Figure BDA00023821999300000224
如 果
Figure BDA00023821999300000225
不是空集，记为
Figure BDA00023821999300000226
其中
Figure BDA00023821999300000227
表示矩阵Θi-j+1中第p行第b个已知 元素的列下标，
Figure BDA00023821999300000228
记为
Figure BDA00023821999300000229
其中
Figure BDA00023821999300000230
表示矩阵
Figure BDA00023821999300000231
中第p行第D-b 个未知元素的列下标，b为不大于D的正整数。
给出闭环系统(5)随机稳定的条件：
如存在正定矩阵Pi,r>0，Pj,q>0，Lj,q>0，S1>0,S2>0，Z>0，Y>0及矩阵Ki,r使得：
Figure BDA0002382199930000031
Figure BDA0002382199930000032
Figure BDA0002382199930000033
Figure BDA0002382199930000034
Pj,qLj,q＝I,ZY＝I (18)
其中
Figure BDA00023821999300000311
为转移概率Θi-j+1下p到q的转移概率，
Figure BDA0002382199930000035
Figure BDA0002382199930000036
Figure BDA0002382199930000037
Figure BDA0002382199930000038
Figure BDA0002382199930000039
Figure BDA00023821999300000310
对于所有i,j∈M,p,q∈W都成立，那么闭环系统(5)是随机稳定的。
作为一种优选：在第三步中，模态依赖的控制器增益矩阵的求解算法为：
步骤1设置最大迭代次数Rmax；
步骤2求解式(14)～式(17)，式(21)及式(22)，
Figure BDA0002382199930000041
Figure BDA0002382199930000042
得到一组可行解
Figure BDA0002382199930000043
令k＝0；
步骤3求解非线性最小化问题:
Figure BDA0002382199930000044
受约束于式(14)～式(17)， 式(21)及式(22)；令
Figure BDA0002382199930000045
步骤4检查式(14)～式(18)是否满足，若满足则算法结束；若不满足则转到步骤2，并令k＝k+1；
步骤5如果k超过最大迭代次数Rmax，则算法结束。
本发明的有益效果是，在时延及系统模态转移概率均存在部分未知元素时对闭环系统稳 定性进行分析，给出同时依赖于时延模态和控制器端系统模态的状态反馈控制器设计方法， 减小了结论的保守性，并使得闭环系统的性能优于模态独立的控制器所产生的性能。
附图说明
附图1：是本发明实施例提供的具有随机时延的NCS结构。
附图2：是本发明实施例提供的Boost变换器。
附图3：是本发明实施例提供的系统模态δk。
附图4：是本发明实施例提供的S/C时延τk
附图5：是本发明实施例提供的C/A时延γk。
附图6：是本发明实施例提供的闭环系统状态x1。
附图7：是本发明实施例提供的闭环系统状态x2。
附图8：是本发明实施例提供的闭环系统状态x3。
具体实施方式
如图1所示：被控对象为Markov跳变系统，其状态方程为：
Figure BDA0002382199930000046
其中xk为系统状态向量；uk为控制输入向量；
Figure BDA0002382199930000048
是实数矩阵；δk为系统的模态，在有 限集合W＝{1,…,D}中取值，D为正整数，δk的转移概率矩阵为Θ＝[ρpq]，ρpq＝Pr{δk+1＝q|δk＝p}, ρpq≥0，
Figure BDA0002382199930000047
采用两个独立的Markov链分别表示S/C时延τk及C/A时延γk：τk和γk分别在有限集 合M＝{0,…,τ}，N＝{0,…,γ}中取值，其转移概率矩阵分别为Ξ＝[ωij]，Π＝[πrs]。ωij和πrs分 别定义为ωij＝Pr{τk+1＝j|τk＝i},πrs＝Pr{γk+1＝s|γk＝r}，其中ωij≥0，πrs≥0，
Figure BDA0002382199930000051
Figure BDA0002382199930000052
τ和γ均为大于零的正整数。
由于时延τk的存在，控制器在时刻k得到的系统状态
Figure BDA00023821999300000512
为：
Figure BDA0002382199930000053
在时刻k，控制器可以得到S-C时延τk的信息及系统模态
Figure BDA00023821999300000513
信息，因此可以设计模态依 赖的状态反馈控制器是同时依赖于所述的S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure BDA00023821999300000514
的控制器：
Figure BDA0002382199930000054
由于时延γk的存在，在时刻k作用在被控对象上的控制量为：
Figure BDA0002382199930000055
由式(1)-(4)可得闭环系统状态方程为：
Figure BDA0002382199930000056
对于τk∈M,
Figure BDA00023821999300000515
当τk＝i,
Figure BDA00023821999300000516
时，为了书写的简洁，将τk和
Figure BDA00023821999300000517
分别记为i和p。 对于闭环系统(5)给出随机稳定的定义1：
定义1：如果对于任意初始状态x0及初始模态τ0∈M，
Figure BDA00023821999300000518
存在正定矩阵R使得不 等式
Figure BDA0002382199930000057
成立，那么闭环系统(5)随机稳定。
引理1：如果δk到δk+1的转移概率矩阵为Θ，那么
Figure BDA00023821999300000519
到
Figure BDA00023821999300000520
的转移概率矩阵为
Figure BDA00023821999300000521
引理2：
Figure BDA0002382199930000058
对于任意正定矩阵X>0及任意向量υ总是成 立的，其中θ和θ0为满足θ≥θ0≥1的标量。
定理1：如果存在正定矩阵Pi,r>0，Pj,q>0，S1>0,S2>0,Z>0及矩阵Ki,r使得
Figure BDA0002382199930000059
其中
Figure BDA00023821999300000522
为转移概率Θi-j+1下p到q的转移概率，
Figure BDA00023821999300000510
Figure BDA00023821999300000511
Figure BDA0002382199930000061
Figure BDA0002382199930000062
I为单位阵，
对于所有的i,j∈M,p,q∈W均成立，那么闭环系统(5)是随机稳定的。
证明：构造Lyapunov-Krasovskii泛函：
Figure BDA0002382199930000063
其中：
Figure BDA0002382199930000064
Figure BDA0002382199930000065
Figure BDA0002382199930000066
Figure BDA0002382199930000067
Figure BDA0002382199930000068
χm＝xm+1-xm,
沿着闭环系统(5)求解，可得：
Figure BDA0002382199930000069
由引理1可知，
Figure BDA00023821999300000614
至
Figure BDA00023821999300000615
的转移概率矩阵为
Figure BDA00023821999300000616
因此：
Figure BDA00023821999300000610
Figure BDA00023821999300000611
Figure BDA00023821999300000612
Figure BDA00023821999300000613
Figure BDA0002382199930000071
由引理2：
Figure BDA0002382199930000072
由式(7)～(11)可得：
Figure BDA0002382199930000073
其中
Figure BDA0002382199930000074
因此，若Λ<0，则：
Figure BDA0002382199930000075
对于任意T≥1，由式(13)可得：
Figure BDA0002382199930000076
由定义1，闭环系统(5)是随机稳定的。
对时延τk的转移概率矩阵Ξ和系统模态δk的多步转移概率矩阵
Figure BDA0002382199930000077
存在部分未知元 素的情况进行描述：
对于
Figure BDA0002382199930000078
令
Figure BDA0002382199930000079
其中
Figure BDA00023821999300000710
如果
Figure BDA00023821999300000711
不是空集，记为
Figure BDA00023821999300000712
其中
Figure BDA00023821999300000713
表示矩阵Ξ中第i行第a个已知元素的 列下标，
Figure BDA00023821999300000714
记为
Figure BDA00023821999300000715
其中
Figure BDA00023821999300000716
表示矩阵Ξ中第i行第τ-a个未知元素 的列下标，a为不大于τ的正整数。
对于
Figure BDA00023821999300000717
令
Figure BDA00023821999300000718
其中
Figure BDA00023821999300000719
如 果
Figure BDA00023821999300000720
不是空集，记为
Figure BDA00023821999300000721
其中
Figure BDA00023821999300000722
表示矩阵Θi-j+1中第p行第b个已知元素的列下标，
Figure BDA00023821999300000723
记为
Figure BDA00023821999300000724
其中
Figure BDA00023821999300000725
表示矩阵
Figure BDA00023821999300000726
中第p行第D-b 个未知元素的列下标，b为不大于D的正整数。
考虑到转移概率矩阵Ξ和
Figure BDA00023821999300000811
中存在部分未知元素的情况，给出定理2：
如果存在正定矩阵Pi,p>0，Pj,q>0，Lj,q>0，S1>0，S2>0，Z>0，Y>0和矩阵Ki,r满 足：
Figure BDA0002382199930000081
Figure BDA0002382199930000082
Figure BDA0002382199930000083
Figure BDA0002382199930000084
Pj,qLj,q＝I,ZY＝I, (18)
其中
Figure BDA0002382199930000085
Figure BDA0002382199930000086
Figure BDA0002382199930000087
Figure BDA0002382199930000088
Figure BDA0002382199930000089
Figure BDA00023821999300000810
对于所有i,j∈M,p,q∈W都成立，那么闭环系统(5)是随机稳定的。
证明：根据Schur引理，Λ<0等价于式(19)：
Figure BDA0002382199930000091
式(19)可以写为：
Figure BDA0002382199930000092
再次使用Schur引理，可得式(20)等价于式(14)：
Figure BDA0002382199930000093
因此，若式(14)成立，那么式(20)成立。因ωij≥0,πrs≥0,若式(14)～(18)成 立，那么Λ<0成立，即闭环系统(5)随机稳定。
定理2中的约束条件不是线性矩阵不等式，但可以用锥补线性化方法将其转化为具有线 性矩阵不等式约束的非线性最小化问题：
Figure BDA0002382199930000094
受约束于式(14)～式(17)，式(21)及式(22)。
Figure BDA0002382199930000095
Figure BDA0002382199930000096
进一步，给出模态依赖的控制器增益矩阵Ki,r的求解算法：
步骤1设置最大迭代次数Rmax；
步骤2求解式(14)～式(17)，式(21)式(22)，得到一组可行解
Figure BDA0002382199930000099
令k＝0；
步骤3求解非线性最小化问题:
Figure BDA0002382199930000097
受约束于式(14)～式(17)，式(21)式(22)；令
Figure BDA0002382199930000098
步骤4检查式(14)～式(18)是否满足，若满足则算法结束；若不满足则转到步骤2，令k＝k+1；
步骤5如果k超过最大迭代次数Rmax，则算法结束。
4应用验证
为说明所提方法的有效性，将发明的结果应用于如图2所示的PWM升压变换器。在图2中，es(t)为电源，L为电感，R为电阻，C为电容，s(t)为变换器的控制信号。随着开 关在位置1和位置2之间的切换，变换器为一Markov跳变系统，其状态空间表达式参数为：
Figure BDA0002382199930000101
Figure BDA0002382199930000102
两个独立的Markov链S/C网络时延τk∈M＝{0,1}，C/A网络时延γk∈N＝{0,1}。子系统 和τk的转移概率矩阵分别为：
Figure BDA0002382199930000103
根据定理2，求得模态依赖的控制器增益矩阵为：
K01＝[0.2461 -0.1355 -0.0162]，K02＝[0.1301 -0.0415 -0.0152]，
K11＝[0.2464 -0.1455 -0.0132]，K12＝[0.1304 -0.0345 -0.0456]。
利用传统的Lyapunov方法得到非模态依赖的控制器增益矩阵K＝[0.1301 -0.0215 -0.0365]。 系统初始状态为
Figure BDA0002382199930000104
系统模态δk、时延τk及时延γk的跳变值分别如图3、图4 及图5所示，闭环系统的状态x1、状态x2、状态x3的状态曲线分别如图6、图7及图8所示。在图6、图7、图8中，将使用本发明设计的控制器得到的实线曲线与现有的非模态依赖的 控制器得到的虚线曲线进行比较可见，在本发明所设计的控制器作用下的闭环系统比在传 统方法所得到的非模态依赖的控制器作用下的闭环系统具有更小的超调量和更短的收敛时 间。
以上描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了 解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理， 在不脱离本发明精神和范围的前提下本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落 入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等同物界定。

Claims (4)

1.一种模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法，具体的步骤包括：
第一步，利用两个独立的Markov链分别描述S/C网络时延τk及C/A网络时延γk，设计依赖于S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure FDA0002382199920000011
的状态反馈控制器并建立闭环系统模型；
第二步，在时延τk转移概率矩阵Ξ和控制器端系统模态
Figure FDA0002382199920000012
多步转移概率矩阵
Figure FDA0002382199920000013
均存在部分未知元素的条件下，给出闭环系统随机稳定的条件；
第三步，给出依赖于S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure FDA0002382199920000014
的状态反馈控制器增益矩阵的求解算法。
2.如权利要求1所述的模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法，其特征在于，在第一步中：S/C时延τk及C/A时延γk分别在集合M＝{0,…,τ}，N＝{0,…,γ}中取值，τk的转移概率矩阵为Ξ＝[ωij]，ωij＝Pr{τk+1＝j|τk＝i}，ωij≥0，
Figure FDA0002382199920000015
γk的转移概率矩阵为Π＝[πrs]，πrs＝Pr{γk+1＝s|γk＝r}，πrs≥0，
Figure FDA0002382199920000016
被控对象为Markov跳变系统，其状态方程为：
Figure FDA0002382199920000017
其中xk为系统状态向量；uk为控制输入向量；
Figure FDA0002382199920000018
是实数矩阵；δk为系统的模态，在有限集合W＝{1,…,D}中取值，D为正整数，δk的转移概率矩阵为Θ＝[ρpq]，ρpq＝Pr{δk+1＝q|δk＝p},ρpq≥0，
Figure FDA0002382199920000019
所述模态依赖的状态反馈控制器同时依赖于所述的S/C时延τk和控制器端系统模态
Figure FDA00023821999200000110
Figure FDA00023821999200000111
由于C/A时延γk的存在，在时刻k作用在被控对象上的控制量：
Figure FDA00023821999200000112
由式(1)、式(3)及式(4)得到式(5)：
Figure FDA00023821999200000113
式(5)为闭环系统的数学模型。
3.如权利要求1所述的模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法，其特征在于，在第二步中：
对时延τk的转移概率矩阵Ξ和系统模态δk的多步转移概率矩阵
Figure FDA00023821999200000114
存在部分未知元素的情况进行描述：
对于
Figure FDA00023821999200000115
令
Figure FDA00023821999200000116
其中
Figure FDA00023821999200000117
如果
Figure FDA0002382199920000021
不是空集，记为
Figure FDA0002382199920000022
其中
Figure FDA0002382199920000023
表示矩阵Ξ中第i行第a个已知元素的列下标，
Figure FDA0002382199920000024
记为
Figure FDA0002382199920000025
其中
Figure FDA0002382199920000026
表示矩阵Ξ中第i行第τ-a个未知元素的列下标，a为不大于τ的正整数；
对于
Figure FDA0002382199920000027
令
Figure FDA0002382199920000028
其中
Figure FDA0002382199920000029
如果
Figure FDA00023821999200000210
不是空集，记为
Figure FDA00023821999200000211
其中
Figure FDA00023821999200000212
表示矩阵Θi-j+1中第p行第b个已知元素的列下标，
Figure FDA00023821999200000213
记为
Figure FDA00023821999200000214
其中
Figure FDA00023821999200000215
表示矩阵
Figure FDA00023821999200000216
中第p行第D-b个未知元素的列下标，b为不大于D的正整数；
给出闭环系统(5)随机稳定的条件：
如存在正定矩阵Pi,r>0，Pj,q>0，Lj,q>0，S1>0,S2>0，Z>0，Y>0及矩阵Ki,r使得：
Figure FDA00023821999200000217
Figure FDA00023821999200000218
Figure FDA00023821999200000219
Figure FDA00023821999200000220
Pj,qLj,q＝I,ZY＝I (18)
其中
Figure FDA00023821999200000221
为转移概率Θi-j+1下p到q的转移概率，
Figure FDA00023821999200000222
Figure FDA0002382199920000031
Figure FDA0002382199920000032
Figure FDA0002382199920000033
Figure FDA0002382199920000034
Figure FDA0002382199920000035
对于所有i,j∈M,p,q∈W都成立，那么闭环系统(5)是随机稳定的。
4.如权利要求1所述的模态依赖的网络化Markov跳变系统状态反馈控制器设计方法，其特征在于，在第三步，模态依赖的控制器增益矩阵的求解算法为：
步骤1设置最大迭代次数Rmax；
步骤2求解式(14)～式(17)，式(21)及式(22)：
Figure FDA0002382199920000036
Figure FDA0002382199920000037
得到一组可行解
Figure FDA0002382199920000038
令k＝0；
步骤3求解非线性最小化问题:
Figure FDA0002382199920000039
受约束于式(14)～式(17)，式(21)及式(22)；令
Figure FDA00023821999200000310
步骤4检查式(14)～式(18)是否满足，若满足则算法结束；若不满足则转到步骤2，则令k＝k+1；
步骤5如果k超过最大迭代次数Rmax，则算法结束。
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