CN112906130A - 一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，包括以下技术特点：给出不确定环境下的安全裕度Z及其不确定分布的计算方法；判断安全裕度的类型和不确定变量的分布情况，分别计算可靠性指标β^U；求解结构可靠性R^U和失效信度F^U；根据可靠性指标β^U、结构可靠性R^U和失效信度F^U等指标来评估系统的结构可靠性。本发明基于不确定理论对结构可靠性进行评估，给出了不确定环境下的安全裕度、结构可靠性和失效信度的概念；给出不确定环境下具有线性安全裕度和正态不确定变量的可靠性指标，并将其几何性质用于不确定环境下具有非线性安全裕度和正态不确定变量的可靠性指标的计算方法，能够在小样本数据的条件下对结构可靠性进行相对精确地评估。

Description

一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法

技术领域

本发明属于结构的可靠性与适用性领域，涉及一种结构可靠性评估方法，尤其是基于小样本数据的结构可靠性评估方法。

背景技术

在现代工程结构中，大量结构的状态、产品质量中的参数严重缺乏数据信息。这已成为制约工程安全、质量及生产效益进一步提高的瓶颈。基于小样本数据的结构可靠性评估方法是当前可靠性领域的一个研究热点，也是解决此类问题的有效方法。

目前，基于概率方法以及模糊方法的结构可靠性理论得到了许多学者的广泛研究。虽然基于概率方法的结构可靠性理论相对完善，在工程领域得到了广泛的应用，然而由于工程中经常因信息不足不容易得到随机变量的概率分布，有效的解决方案是寻求经验丰富的工程师的主观意见。模糊理论作为一种度量专家信度的数学工具，许多学者将模糊理论应用于结构可靠性的研究，并取得了一定的进展，然而以下例子说明模糊理论并不适合对专家主观意见的建模。如某飞机结构件正常工作的时间“大约为10年”，若将运行时间其视为三角模糊变量(8,10,12)，基于可能性测度可以得到“该飞机结构件恰好运行10年的可能性测度为1”以及“该飞机结构件没有运行10年的可能性测度为1”的结论。以我们的常识则认为“恰好运行10年”的可能性几乎为零。另一方面，在可能性测度下“恰好为10年”及“不为10年”具有相同的可能性。这个自相矛盾的结论也说明，专家的主观不确定性不适合用模糊理论建模。

综上，已有方法均不适合对小样本结构可靠性进行评估。

发明内容

本发明的目的在于克服现有基于概率论的结构可靠性评估技术的不足之处，提供一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法。

本发明解决技术问题所采用的技术方案是：

一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，包括以下步骤：

步骤1、给出不确定环境下的安全裕度Z及其分布函数的计算方法；

步骤2、判断安全裕度Z的类型和不确定变量的分布情况，分别计算可靠性指标β^U；

步骤3、求解一般情形下的可靠性R^U和失效信度F^U；

步骤4、根据可靠性指标β^U、结构可靠性R^U和失效信度F^U来评估系统的结构可靠性。

而且，所述步骤1中安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n),其中ξ_i为定义在不确定性空间(Γ_i,L_i,Μ_i),i＝1,2,...,n上的不确定影响因子，则g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)为定义在乘积不确定空间(Γ,L,Μ)上的不确定变量，其中Γ＝Γ₁×L×Γ_n,L＝L₁×L×L_n，Μ＝Μ₁∧L∧Μ_n.

当结构可靠性的主要影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立，分别具有连续不确定分布

若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)随x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)的不确定分布可由下式得出：

当结构可靠性的主要影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立，分别具有连续不确定分布

若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)随x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)的逆不确定分布由下式得出：

而且，所述步骤2采用如下方法计算可靠性指标β^U：

当系统结构具有线性安全裕度和正态不确定变量时，即不确定变量ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立且具有正态不确定分布N(e₁,σ₁),N(e₂,σ₂),...,N(e_n,σ_n)，安全裕度具有如下形式:

Z＝g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)＝a₁ξ₁+a₂ξ₂+L+a_nξ_n+b,

其中a₁,a₂,...,a_n,b是给定的常数。记

和

可将ξ₁,ξ₂,...,ξ_n进行下列线性变换：

则η₁,η₂,...,η_n具有正态不确定分布N(0,1)，对应标准不确定变量空间。

线性安全裕度的可靠性指标β^U由以下公式求得：

β^U＝-Φ^-1(F^U)，β^U＝Φ^-1(R^U)，

其中，Φ是标准正态不确定分布N(0,1)，Φ^-1是相应的逆不确定分布,Y＝(y₁,y₂,...,y_n)为标准变量空间，

当系统结构具有非线性安全裕度和正态不确定性变量时，其可靠性指标β^U可由以下公式求得：

其中Y＝(y₁,y₂,...,y_n)为标准变量空间。

而且，所述步骤3中一般情况下结构可靠性为R^U＝M{g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)＞0}，其求解方法为：

求解式

的根，若安全裕度函数g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减；

在本式中ξ₁,ξ₂,...,ξ_n分别为具有不确定分布

且相互独立的不确定影响因子；

失效信度F^U＝M{g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)≤0}的求解方法为：

求解式

的根，若安全裕度函数g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减。

在本式中ξ₁,ξ₂,...,ξ_n分别为具有不确定分布

且相互独立的不确定影响因子；

或F^U＝1-R^U。

而且，所述步骤4的具体评估标准为：可靠性指标β^U越大或结构可靠性R^U越大或失效信度F^U越小，结构的可靠性越高。

本发明的优点和积极效果是：

本发明针对现有结构可靠性评估方法存在的不足和缺陷，将影响系统结构的因素视为不确定变量，基于不确定理论对结构可靠性进行评估，给出了不确定环境下的安全裕度、结构可靠性和失效信度的概念；此外，还给出了不确定环境下具有线性安全裕度和正态不确定变量的可靠性指标，并将其几何性质用于不确定环境下具有非线性安全裕度和正态不确定变量的可靠性指标的计算方法，能够在小样本数据的条件下对结构可靠性进行相对精确的评估。

附图说明

图1为随机和不确定情况下可靠性指标的几何解释示意图。

具体实施方式

下面通过具体实施例对本发明作进一步详述，以下实施例只是描述性的，不是限定性的，不能以此限定本发明的保护范围。

一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1、给出不确定环境下的安全裕度Z及其分布函数的计算方法。

在本步骤中，ξ_i为定义在不确定性空间(Γ_i,L_i,Μ_i),i＝1,2,...,n上的不确定影响因子，则安全裕度g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)为定义在乘积不确定空间(Γ,L,Μ)上的不确定变量，其中Γ＝Γ₁×L×Γ_n,L＝L₁×L×L_n，Μ＝Μ₁∧L∧Μ_n.

当结构可靠性的主要影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立，分别具有连续不确定分布

若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)随x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)的不确定分布可由下式得出：

当结构可靠性的主要影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立，分别具有连续不确定分布

若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)随x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)的逆不确定分布由下式得出：

步骤2、判断安全裕度的类型和不确定变量的分布情况，分别计算可靠性指标β^U。

在工程中，通常采用可靠性指标β^U来表示结构的可靠性，必要时给出相应的结构可靠性R^U或失效信度F^U。如图1所示为随机和不确定情况下可靠性指标β^U的几何解释。

在本步骤中，当系统具有线性安全裕度和正态不确定变量时，即不确定变量ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立且具有正态不确定分布N(e₁,σ₁),N(e₂,σ₂),...,N(e_n,σ_n)，安全裕度具有如下形式：

其中a₁,a₂,...,a_n,b是给定的常数。记作

和

可以得出以下结论：

结论1：线性安全裕度的可靠性指标β^U由以下公式求得：即

线性安全裕度的可靠性指标β^U还可以表示为：

所述结论1证明过程为：

由于不确定影响因素ξ_i具有正态不确定分布N(e_i,σ_i),n＝1,2,...,n，ξ_i的逆不确定分布为：

假设a₁＞0,a₂＞0,...,a_m＞0和a_m+1＜0,a_m+2＜0,...,a_n＜0，安全裕度g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，则安全裕度g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)具有逆不确定分布：

通过上式，可知g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)具有正态不确定分布

则有

和

因此

证毕。

结论2：若系统结构具有线性安全裕度和正态不确定影响因素，则失效信度F^U和可靠性指标β^U之间的关系为：F^U＝Φ(-β^U)和β^U＝-Φ^-1(F^U)，

其中Φ是标准正态不确定分布N(0,1)，Φ^-1是相应的逆不确定分布。

所述结论2证明过程为：

假设

其中η具有正态不确定分布N(0,1)。容易看出ξ具有正态不确定分布

所以ξ和g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)具有相同的不确定分布。则：

其中Φ是标准正态不确定分布N(0,1)。由于Φ是正则的不确定分布，则有

β^U＝-Φ^-1(F^U)，

其中Φ^-1是N(0,1)的逆函数。

证毕。

结论3：若系统结构具有线性安全裕度和正态不确定影响因素，则结构可靠性R^U和可靠性指标之间的关系为R^U＝Φ(β^U)和β^U＝Φ^-1(R^U)，

其中Φ是标准正态不确定分布N(0,1)，Φ^-1为相应的逆不确定分布。

所述结论3证明过程为：

由于Φ是标准正态不确定分布N(0,1)，因此有：

和

因此有：

则：

R^U＝1-F^U＝1-Φ(-β^U)＝Φ(β^U)，

其中Φ为标准正态不确定分布N(0,1)，则有

β^U＝Φ^-1(R^U)，

其中Φ^-1是N(0,1)的逆函数。

证毕。

至此，可知可靠性指标β^U与结构可靠性R^U之间存在着一对一的关系，可靠性指标β^U可以视作是不确定环境下结构可靠性的度量。当可靠性指标β^U越大，结构可靠性R^U越大，失效信度F^U越小。

结论4：记

其中ξ_i具有正态不确定分布N(e_i,σ_i),n＝1,2,...,n，则η₁,η₂,...,η_n具有正态不确定分布N(0,1)，称作标准化不确定变量空间。通过

的线性变换，线性安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)变为Z＝g'(η₁,η₂,...,η_n)。当不确定向量ξ₁,ξ₂,...,ξ_n线性映射到另一个不确定向量η₁,η₂,...,η_n时，可靠性指标β^U是不变的。

所述结论4的证明过程为：

因为不确定影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n具有正态不确定分布N(e₁,σ₁),N(e₂,σ₂),...,N(e_n,σ_n)，则

假设a₁＞0,a₂＞0,...,a_m＞0和a_m+1＜0,a_m+2＜0,...,a_n＜0。则安全裕度Z＝g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减。可靠性指标R^U可通过求

的根得出。由公式(1)，(5)和(6)，R^U可通过求

的根得出，即

由于η_i,i＝1,2,...,n具有标准正态分布N(0,1)，则其逆不确定分布为

由公式(1)和(4),有

根据公式(9)，g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)由ξ₁,ξ₂,...,ξ_n的函数转变到η₁,η₂,...,η_n的函数，记作g'(η₁,η₂,...,η_n)。函数g'(y₁,y₂,...,y_n)随着y₁,y₂,...,y_m严格递增，随着y_m+1,y_m+2,...,y_n严格递减。通过结论2和公式(8),g'的结构可靠性指标R'可通过求方程

的根求得。比较(7)和(9)，可知R^U和R'有相同的值。故安全裕度g和g'具有一致的可靠性指标。

证毕。

结论5：结论1中可靠性指标β^U的几何意义是标准化不确定变量空间中从原点到安全裕度的最小无穷范数，即

其中Y＝(y₁,y₂,...,y_n)为标准变量空间，

当具有非线性安全裕度和正态不确定变量时，若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)是非线性的，则不具有正态不确定分布，此时可靠性指标β^U的精确值不能由结论1直接得出。通常的解决办法是用线性函数逼近非线性函数，进而给出可靠性指标。通常非线性函数g(x₁,x₂,...,x_n)可由其在均值(e₁,e₂,...,e_n)处的一阶泰勒展开式近似，即

用ξ₁,ξ₂,...,ξ_n代替x₁,x₂,...,x_n，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)可近似表示为

根据结论1，可计算出可靠性指标β^U为：

但以上计算方法得到的可靠性指标β^U误差很大。

鉴于上述考虑，可靠性指标β^U由其几何性质重新定义。首先，通过公式(4)的线性变换，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)变为Z＝g'(η₁,η₂,...,η_n)。我们给出以下结论：

非线性安全裕度的可靠性指标β^U可表示为

其中η＝(η₁,η₂,...,η_n)。通过具体例子计算可知该可靠性指标可以达到较高的精度。

步骤3、求解一般情况下的结构可靠性R^U和失效信度F^U。

所述一般情况下结构可靠性R^U＝M{g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)＞0}的求解方法为：

求解式

的根，若安全裕度函数g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减；

在本式中ξ₁,ξ₂,...,ξ_n为具有不确定分布

且相互独立的不确定影响因子；

失效信度F^U＝M{g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)≤0}的求解方法为：

求解式

的根，若安全裕度函数g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减；

在本式中ξ₁,ξ₂,...,ξ_n分别为具有不确定分布

且相互独立的不确定影响因子；

或F^U＝1-R^U。

步骤4、根据可靠性指标β^U、结构可靠性R^U和失效信度F^U来评估结构的可靠性。

在本步骤中，所述具体评估标准为：可靠性指标β^U越大或结构可靠性R^U越大或失效信度F^U越小，结构的可靠性越高。

下面通过几个实施例对本发明的效果进行验证：

实施例1：

不确定环境下的应力强度干扰模型(线性安全裕度和正态不确定影响因素的情况)

在应力强度干扰模型中，考虑了两个独立的不确定影响因素，即载荷P和强度S，假设载荷P和强度S分别具有正态不确定性分布N(e_P,σ_P)和N(e_S,σ_S)。通过结论1可求得结构可靠性指标β^U为：

假设e_S＝3.5,e_P＝1.5,σ_S＝2,σ_P＝1.则可靠性指标β^U为：

通过结论3可求得结构可靠性为：

则F^U＝1-R^U≈0.2298。

也可按照结构可靠性一般计算方法计算结构可靠度和失效信度：

安全裕度可写为g(S,P)＝S-P。

则载荷P和强度S的逆不确定分布分别是

和

因R是

的根。假设e_S＝3.5,e_P＝1.5,σ_S＝2,σ_P＝1。计算得出R^U≈0.7702和F^U≈0.2298。

实施例2：

应力-强度干涉模型(非线性安全裕度和正态不确定影响因素的情况)

在应力-强度干涉模型中，假设ξ₁和ξ₂具有正态不确定分布N(e₁,σ₁)和N(e₂,σ₂)，如果安全裕度Z为

通过X₁＝e₁+σ₁η₁和X₂＝e₂+σ₂η₂线性变换，安全裕度Z为

Z＝g’(η₁,η₂)＝(e₁+σ₁η₁)³+(e₂+σ₂η₂)³-18。

当e₁＝10,e₂＝10,σ₁＝5,σ₂＝5时，g’(η₁,η₂)＝(10+5η₁)³+(10+5η₂)³-18。

则最优解为(1.5840,1.5840)，β^U＝1.5840。则结构可靠性R^U为：

即F^U＝1-R^U≈0.0535。

也可按照结构可靠性一般计算方法计算结构可靠度和失效信度：

假设ξ₁和ξ₂具有正态不确定分布N(e₁,σ₁)和N(e₂,σ₂)，安全裕度Z为：

则结构可靠性R^U可通过求

的根得出，其中

且

当e₁＝10,e₂＝10,σ₁＝5,σ₂＝5时，式

的根近似等于0.9465，即R^U≈0.9465,F^U≈0.0535。

以上所述的仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1、给出不确定环境下的安全裕度Z及其分布函数的计算方法；

步骤2、判断安全裕度Z的类型和不确定变量的分布情况，分别计算可靠性指标β^U；

步骤3、求解一般情形下的结构可靠性R^U和失效信度F^U；

步骤4、根据可靠性指标β^U、结构可靠性R^U和失效信度F^U来评估结构的可靠性水平。

2.根据权利要求1所述的一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤1中安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n),其中ξ_i为定义在不确定性空间(Γ_i,L_i,Μ_i),i＝1,2,...,n上的不确定影响因子，则g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)为定义在乘积不确定空间(Γ,L,Μ)上的不确定变量，其中Γ＝Γ₁×L×Γ_n,L＝L₁×L×L_n，Μ＝Μ₁∧L∧Μ_n.

当结构可靠性的主要影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立，分别具有连续不确定分布

若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)随x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)的不确定分布可由下式得出：

当结构可靠性的主要影响因素ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立，分别具有连续不确定分布

若安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)随x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减，安全裕度Z＝g(ξ₁,ξ₂,K,ξ_n)的逆不确定分布由下式得出：

3.根据权利要求2所述的一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤2采用如下方法计算可靠性指标β^U：

当系统结构具有线性安全裕度和正态不确定变量时，即不确定变量ξ₁,ξ₂,...,ξ_n相互独立且具有正态不确定分布N(e₁,σ₁),N(e₂,σ₂),...,N(e_n,σ_n)，安全裕度具有如下形式:

Z＝g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)＝a₁ξ₁+a₂ξ₂+L+a_nξ_n+b,

其中a₁,a₂,...,a_n,b是给定的常数，记

和

可将ξ₁,ξ₂,...,ξ_n进行下列线性变换：

则η₁,η₂,...,η_n具有正态不确定分布N(0,1)，对应着标准不确定变量空间，

线性安全裕度的可靠性指标β^U由以下公式求得：

β^U＝-Φ^-1(F^U)，β^U＝Φ^-1(R^U)，

其中Φ是标准正态不确定分布N(0,1)，Φ^-1是相应的逆不确定分布,Y＝(y₁,y₂,...,y_n)为标准变量空间，

当系统结构具有非线性安全裕度和正态不确定性变量时，其可靠性指标β^U可由以下公式求得：

其中Y＝(y₁,y₂,...,y_n)为标准变量空间。

4.根据权利要求2所述的一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤3中一般情况下结构可靠性为R^U＝M{g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)＞0}，其求解方法为：

求解式

的根，若安全裕度函数g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减；

在本式中ξ₁,ξ₂,...,ξ_n分别为具有不确定分布

且相互独立的不确定影响因子；

失效信度F^U＝M{g(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n)≤0}的求解方法为：

求解式

的根，若安全裕度函数g(x₁,x₂,...,x_n)随着x₁,x₂,...,x_m严格递增，随x_m+1,x_m+2,...,x_n严格递减

在本式中ξ₁,ξ₂,...,ξ_n分别为具有不确定分布

且相互独立的不确定影响因子；

或F^U＝1-R^U。

5.根据权利要求1所述的一种基于小样本数据的结构可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤4的具体评估标准为：可靠性指标β^U越大或结构可靠性R^U越大或失效信度F^U越小，结构可靠性越高。

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