CN111967142A - 一种考虑认知不确定性的性能退化实验建模与分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑认知不确定性的性能退化实验建模与分析方法，从可靠性科学原理出发，基于不确定理论构建了一种新的基于性能退化实验数据的确信可靠性建模与分析方法，建立了产品的退化方程、裕量方程和度量方程，分别合理客观的量化了时间、样品和应力维度的认知不确定性；给出了估计未知参数的不确定统计分析方法，其中考虑了不同应力水平下的数据权重的不同。

Description

一种考虑认知不确定性的性能退化实验建模与分析方法

技术领域

本发明属于性能退化实验数据的确信可靠性建模与分析技术领域，尤其涉及一种综合考虑性能退化实验在时间、样品和应力维数据量有限导致的认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法。

背景技术

性能退化实验(Performance Degradation Experiment，PDE)是一种认识产品性能退化规律并量化不确定性的重要手段。在实际中，受时间、技术和成本等因素的影响，性能退化实验中存在多种来源的不确定性，如时间维度、样品维度和应力维度的不确定性。当各维度的数据量，如时间维度性能检测次数、样品维度实验样品数量以及应力维度应力水平数目，有限时，会导致认知不全面，从而导致认知不确定性。

然而，在现有技术中，无论是精确概率模型，如退化路径模型和随机过程模型，还是非精确概率模型，如贝叶斯模型、区间-概率模型以及模糊-概率模型，还是现有的基于不确定理论的模型，都无法细致科学的分类并分别合理客观的量化PDE在时间、样品和应力维度的认知不确定性，而且目前尚未有研究对应力维度的认知不确定性进行研究。

发明内容

为了解决上述已有技术存在的不足，本发明提出一种综合考虑性能退化实验在时间、样品和应力维数据量有限导致的认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，本发明的具体技术方案如下：

一种考虑认知不确定性的性能退化实验建模与分析方法，其特征在于，考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度的数据量有限导致的认知不确定性，所建立的模型为考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度认知不确定性的不确定性能退化模型，即Uncertain Performance Degradation Model-considering epistemic uncertaintiesin Time,Unit and Stress dimensions，简称UPDM-TUS，所述方法包括以下步骤：

第一步：考虑时间、样品和应力维度认知的确信可靠性建模；

考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度的认知不确定性，建立产品的退化方程如下：

其中，Y(s，t)表示产品的性能退化过程，s表示外因，为性能退化实验中的归一化应力，t表示不可逆时间，Y₀表示产品的性能初值，

是Y₀中表征内因不确定性的不确定性因子，X(s，t)表示产品的性能退化量函数，I_Y是一个示性函数，当性能随时间递增时，I_Y＝1，当性能随时间递减时，I_Y＝-1，

是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，Z是内因，在实际性能退化实验中即产品内在属性，

是表征Z的不确定性的不确定性因子，

是表征认知性能随外因变化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F₂(t)是时间的单调递增函数，

是表征认知性能随时间退化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F＝F₁*F₂；具体地，

首先，

表示为：

e(s)＝exp(α₀+bs)＝aexp(bs) (2)

其中，α₀，a和b均为模型参数，且在此处皆是常数；

s为归一化应力，第l个归一化应力水平s_l为：

其中，S_l代表实际施加的第l个应力水平；S_L和S_U分别代表产品的工作应力水平下限和工作应力水平上限；

其次，F₂(t)＝Λ(t)＝t^β，Λ(t)为时间尺度转换函数，β为非线性系数，β＞0；

然后，不确定性因子

表示对时间维度的认知不确定性，考虑到

代表的是时间维度性能检测次数有限导致的认知性能随时间退化规律中的认知不确定性，在不确定理论中，采用刘过程来描述在连续时空下认知不确定性随时间的动态变化过程，基于刘过程采用如下公式来构建

其中，σ为常数，又称扩散系数；C_t代表刘过程，服从均值为0，标准差为t^β的正态不确定分布；N_u代表正态不确定分布；

再次，采用性能初值中的不确定性因子

和性能退化过程中的不确定性因子

来表征样品维度的认知不确定性：

1)在性能初值方面，样品维度的不确定性直接体现在不同样品的性能初值不同上，通过赋予性能初值Y₀一个正态不确定分布来表征性能初值中体现样品维度不确定性的不确定性因子

即

其中，

和

分别是Y₀的均值和标准差，记Y₀的不确定分布Φ(Y₀)为：

2)在性能退化过程方面，样品维度的不确定性体现在表征性能与应力关系且与产品内在属性相关的

上，即公式(2)，通过赋予参数a一个正态不确定分布来表征性能退化过程中体现样品维度不确定性的不确定性因子

即a～N_u(μ_a，σ_a)，μ_a＞0，σ_a＞0，其中，μ_a和σ_a分别是a的均值和标准差，记a的不确定分布Φ(a)为：

最后，基于不确定理论，采用一个与应力有关且服从正态不确定分布的不确定项来表征应力维度认知不确定性的不确定性因子

即

其中，σ_s为常数项，ξ_s是变量项，参数

与应力水平有关，在第l个应力水平下有

记ξ_s的不确定分布为：

由此，可得UPDM-TUS中的性能退化速率模型如下：

在给定s时，UPDM-TUS的性能退化速率模型e(s)服从正态不确定分布：

根据公式(1)，公式(7)和公式(9)，得到UPDM-TUS的性能退化量函数如下：

其中，X(s，t)是产品的性能退化量，在给定s时，X(s，t)是一个不确定过程；

在给定s和t时，UPDM-TUS的性能退化量函数X(s，t)服从正态不确定分布：

此外，公式(11)中的X(s，t)是一个具有独立增量的不确定过程，且其独立增量ΔX(s，t)服从正态不确定分布：

其中，Δx是性能退化增量，ΔΛ(t)是转化时间间隔，Δt是检测时间间隔，ΔΛ(t)＝(t+Δt)^β-t^β，

随后，可得到UPDM-TUS中产品性能的退化方程如下：

其中，Y(s，t)是产品的性能退化过程，在s给定时，是一个具有独立增量的不确定过程；

在给定s和t时，UPDM-TUS的退化方程Y(s，t)的不确定分布为：

当性能临界值Y_th已知时，得到UPDM-TUS中产品性能的裕量方程：

其中，M(s，t)是产品的性能裕量，在s给定时，是一个具有独立增量的不确定过程；

在给定s和t时，UPDM-TUS的裕量方程M(s，t)的不确定分布为：

由于UPDM-TUS的数理基础为不确定理论，因此其可靠度R应采用不确定测度来度量，表示M(s，t)大于0的信度，得到UPDM-TUS的度量方程：

R(s，t)＝M{M(s，t)＞0}＝1-γ(s，t) (18)

其中，M表示不确定测度，γ(s，t)是UPDM-TUS的不可靠度函数，代表公式(16)中M(s，t)首次穿越临界值0的时刻t_c所服从不确定分布，表示为：

根据公式(18)和公式(19)，得到UPDM-TUS的度量方程：

根据确信可靠性理论，得到UPDM-TUS中的确信可靠寿命：

其中，α是信度，T(α)是确信可靠寿命，R(·)是公式(20)所示的度量方程；

第二步：基于性能退化实验的不确定统计分析；

在UPDM-TUS中，未知参数向量为

其中，除

以外的其他参数均大于0，UPDM-TUS的未知参数向量θ的不确定统计分析算法分为表征性能初值的

和表征性能退化过程的θ₂＝(μ_a，σ_a，b，σ_s，σ，β)两部分并分别进行参数估计：

首先，给出性能退化实验的实验设置：

设x_lij表示第l个应力水平S_l下，第i个样品的第j个性能检测值，t_lij是对应的性能检测时间点，l＝1，2，…，k，i＝1，2，…，n_l，j＝1，2，…，m_li；其中，k代表实验施加的应力水平数；n_l代表S_l下的实验样品数量；m_li代表S_l下第i个样品的性能检测次数；当应力施加的方式为恒定应力时，总实验样品数量为

总性能检测次数为

当应力施加的方式为步进应力时，总实验样品数量为n＝n₁＝…＝n_l，总性能检测次数为

设

为不重合的转化时间间隔，Δx_lij是ΔΛ_lij内的性能退化增量，有Δx_lij＝I_Y×(x_li(j+1)-x_lij)；

步骤1：估计θ₁；

1)计算各应力水平下的数据权重；

首先要根据研究目标不同，确定不同实验应力水平下的性能退化实验数据在参数估计过程中的重要程度，赋予其相应的权重，赋予权重的原则为越接近研究所关注的应力水平，则其权重越大；

记第l个实验应力水平下的性能退化实验数据的权重为W_l，计算方法为：

a)当研究目标是探究产品性能在应力作用下随时间的退化规律并量化其不确定性时，则应力水平下的数据权重相同，即W₁＝…＝W_l＝…＝1/k；

b)当研究目标是关注某一具体应力水平下的性能退化规律并量化其不确定性时，数据权重同归一化后的实验应力和目标应力的距离呈反比；

I.当性能退化实验中施加的应力水平不包含目标应力水平时，则有：

其中，s₀和s_l分别表示目标应力水平S₀和第l个实验应力水平S_l的归一化取值，其计算见公式(3)；

II.当性能退化实验中施加的应力水平包含目标应力水平时，则有：

其中，将目标应力水平s₀记为s₁；

2)构建性能初值与信度间关系；

根据公式(14)可知在UPDM-TUS中性能初值Y₀是一个不确定变量，其不确定分布为公式(5)，而实验中所有样品的性能初值y_0h，h＝1，2，…，H，均是Y₀的观测值，令y_0h＝x_li1，l＝1，2，…，k，i＝1，2，…，n_l，且

将所有性能初值y_0h按升序排列，并获取每个y_0h对应的信度α_h：

α_h＝h/(H+1)，A＝0，B＝0 (24)

α_h＝(h-0.5)/H，A＝-0.5，B＝-0.5 (25)

α_h＝(h-0.3)/(H+0.4)，A＝-0.3，B＝-0.3 (26)

α_h＝(h-0.5)/(H+0.25)，A＝-0.5，B＝-0.375 (27)

3)基于加权最小二乘，估计θ_1p；

在获得数据权重W_l，性能初值数据y_0h及信度α_h后，采用加权最小二乘的方法，最小化UPDM-TUS中性能初值所服从不确定分布与信度之差平方的加权和：

其中，p代表采用第p个获取性能初值信度的公式；Q_1p代表第p个目标函数；

代表采用第p个信度公式得到的θ₁的估计结果；

4)获得θ₁的最终估计结果；

将公式(28)中的Q_1p看作θ_1p的函数，记为Q_1p(θ_1p)，则θ₁的最终估计结果为：

θ_lfinal＝arg min{Q_1p(θ_1p)} (29)

其中，θ_1final是

的最终估计结果；argmin{Q_1p(θ_1p)}代表当Q_1p取最小值时，所对应的θ_1p，p＝1，2，3，4；

步骤2：估计θ₂；

1)构建性能退化实验数据与信度间关系；

根据公式(13)可知，S_l下的第j个性能退化增量变量Δx_lj是服从正态不确定分布的不确定变量，Δx_l1j，…，Δx_lij，…，i＝1，2，…，n_l，皆为Δx_lj的观测值；

根据性能退化实验数据计算所有观测值Δx_lij并按升序排列，获得每个性能退化增量对应的信度α_lij：

α_lij＝i/(n_l+1)，A＝0，B＝0 (30)

α_lij＝(i-0.5)/n_l，A＝-0.5，B＝-0.5 (31)

α_lij＝(i-0.3)/(n_l+0.4)，A＝-0.3，B＝-0.3 (32)

α_lij＝(i-0.5)/(n_l+0.25)，A＝-0.5，B＝-0.375 (33)

2)基于加权最小二乘，估计θ_2p；

根据获得的数据权重W_l，性能退化增量Δx_lij及其信度α_lij，采用加权最小二乘的方法，最小化UPDM-TUS中性能退化增量所服从的正态不确定分布与获得信度之差的平方的加权和：

其中，p代表采用第p个获取性能退化增量信度的公式；Q_2p代表第p个目标函数；θ_2p＝(μ_ap，σ_ap，b_p，σ_sp，σ_p，β_p)代表采用第p个信度公式得到的UPDM-TUS的参数向量θ₂的估计结果；

3)获得θ₂的最终估计结果；

综上，将Q_2p看作θ_2p的函数，记为Q_2p(θ_2p)，而θ₂的最终估计结果为：

θ_2final＝arg min{Q_2p(θ_2p)}，p＝1，2，3，4 (35)

其中，θ_2final是θ₂的最终估计结果；argmin{Q_2p(θ_2p)}代表当Q_2p取最小值时，对应的

本发明的有益效果在于：

1.本发明细致科学的对性能退化实验在时间、样品和应力维度的认知不确定性进行了划分；

2.从可靠性科学原理出发，本发明基于不确定理论构建了一种新的基于性能退化实验数据的确信可靠性建模与分析方法，建立了产品的退化方程、裕量方程和度量方程，分别合理客观的量化了时间、样品和应力维度的认知不确定性；

3.本发明还给出了估计未知参数的不确定统计分析方法，其中考虑了不同应力水平下的数据权重的不同。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理解为对本发明进行任何限制，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。其中：

图1是本发明的技术研究框架图；

图2是本发明的恒定应力下的不确定统计分析算法流程图；

图3是本发明实施例的橡胶密封圈永久变形率退化数据；

图4是本发明实施例的橡胶密封圈永久变形率在温度作用下随时间的退化规律；

图5是本发明实施例的不确定性量化结果-橡胶密封圈永久变形率退化上下界(40℃)；

图6是本发明实施例的可靠性和寿命评价结果(25℃)。

具体实施方式

为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。

如图1-2所示，本发明考虑到应力维度的认知不确定性与应力水平变化相关，基于不确定理论，采用一个随应力水平变化的正态不确定变量来量化应力维度的认知不确定性，进而给出了UPDM-TUS中产品性能的退化方程解析式，并给出了其裕量方程和度量方程，提出了考虑不同应力水平下的数据权重不同的不确定统计分析方法来估计未知参数。

本发明中，如何具体量化应力维度的认知不确定性从而给出UPDM-TUS的退化方程解析式，并且估计所建立UPDM-TUS中的未知参数，是亟待解决的关键技术问题。本发明中常用的变量符号等如表1所示。

表1主要缩略词和变量符号表

对于性能退化实验在时间维度检测次数、样品维度样品数量和应力维度应力水平数有限的情况，会导致认知不完全，从而导致认知不确定性，而现有方法都无法很好的对其进行建模和分析，即会错误的认知产品性能退化规律，并且无法分别合理客观的量化各维度的认知不确定性，进而无法为决策者分别控制时间维、样品维和应力维的认知不确定性，并进行维修等决策提供有力的支持和依据，从而造成财产损失，甚至是人员伤亡。本发明提出的考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，则解决了上述问题。

为了方便理解本发明的上述技术方案，以下通过具体实施例对本发明的上述技术方案进行详细说明。

实施例1

本实施例的橡胶密封圈属于时间维度检测次数、样品维度样品数量和应力维度应力水平数均为有限的情况，这会导致认知不完全，从而导致认知不确定性，而现有方法都无法很好的对这一情况进行建模和分析，即无法正确的认知橡胶密封圈应力松弛在温度作用下随时间的退化规律，并且无法分别合理客观的量化时间维、样品维和应力维的认知不确定性，进而无法为决策者分别控制时间维、样品维和应力维的认知不确定性，并进行后续的维修等决策提供有力的支持和依据，从而造成财产损失，甚至是人员伤亡。本发明提出的考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，则能够解决了上述问题。

具体地，本实施例的基本实验信息如表2，表3和图3所示。

表2 UPDM-TUS橡胶密封圈的基本实验信息

实验信息	内容
		应力施加方式	恒定应力
性能参数类型	永久变形率(％)
		实验应力类型	温度(℃)
实验应力水平(℃)	40，60，80，100
		性能检测次数	5，5，5，5
实验样品数量	5，5，5，5

表3 UPDM-TUS橡胶密封圈实施例样品编号及性能检测时间

实验温度(℃)	受试样品编号	测试时间(小时)
			40	M101-M105	[0，30，100，200，350]
60	M106-M110	[0，20，80，170，300]
			80	M111-M115	[0，15，65，150，270]
100	M116-M120	[0，10，55，130，240]

由表2，表3和图3可知，本实施例中产品性能(即永久变形率)随时间呈递增趋势，且性能初值Y₀＝0。本实施例的实验应力水平为4个，初步判断属于应力水平数有限的情况；在各个应力水平下的样品数量分别为5，5，5和5，初步判断属于实验样品数量有限的情况；在各个应力水平下各样品的性能检测次数分别为5，5，5和5，初步判断属于性能检测次数有限的情况。因此采用UPDM-TUS对其进行确信可靠性建模与分析。

在本实施例中应力类型为温度，因此在公式(3)中选择阿伦尼斯模型进行归一化应力计算。但由于本实施例没有给出橡胶密封圈适用的温度范围。根据现有资料，已知橡胶密封圈的材料为丁腈橡胶，本实施例中橡胶密封圈的适用温度范围为-30℃到100℃。该范围可能并不完全准确，这仅是为了阐述所建立模型，在实际实验中应该通过可靠性强化实验来确定该范围。由此可以得到本实施例中的应力归一化结果，如表4所示。

表4 UPDM-TUS橡胶密封圈实施例的应力归一化结果

应力水平(℃)	-30	40	60	85	100
						归一化应力水平	0	0.6416	0.7754	0.8941	1

1.橡胶密封圈永久变形率的退化方程

首先，建立橡胶密封圈永久变形率的退化方程。

步骤1：估计θ₁

假设本实施例的研究目标是外推获得实际工作应力水平为25℃下的橡胶密封圈的性能退化规律并量化其不确定性。根据表2可知，本实施例的实验应力中不包含25℃，因此按公式(22)计算不同实验应力水平下的数据权重，结果见表5。

表5 UPDM-TUS橡胶密封圈实施例的各实验应力水平下的数据权重

应力水平(℃)	40	60	80	100
					数据权重	0.4995	0.2278	0.1536	0.1191

根据图3可知，本实施例各实验应力水平下各实验样品的性能初值皆为0，因此可得

步骤2：估计θ₂

首先，根据永久变形率退化数据计算性能退化增量，并将每个应力水平下所有实验样品在相同时间间隔内的性能退化增量按升序排列，根据公式(30)-公式(33)计算信度。

然后，根据获得的性能退化增量及其信度还有公式(34)，得到UPDM-TUS中未知参数向量θ_2p的初步估计结果及其目标函数值，结果如表6所示。

表6 UPDM-TUS橡胶密封圈实施例的θ_2p的估计结果

根据公式(35)得θ_2final＝θ₂₁，由此得到最终参数估计结果如表7所示。

表7 UPDM-TUS橡胶密封圈实施例的θ的最终估计结果

根据表7和公式(14)，得到本实施例中橡胶密封圈永久变形率的退化方程：

在公式(36)中，橡胶密封圈永久变形率退化的自变量为温度应力s和时间t，其中，温度应力s的取值范围为[-30℃,100℃]，而时间t的取值范围为[0,+∞]。

根据公式(36)，可得橡胶密封圈永久变形率在温度作用下随时间的退化规律：

F(s,t)＝0.2452×e^3.773s×t^0.2438 (37)

其结果如图4所示。

在公式(36)中，时间、样品和应力维度的认知不确定性分别体现如下：

(1)时间维度认知橡胶密封圈永久变形率随时间退化规律中的认知不确定性由2.410×10^-4×C_t这一项来表征，其中，C_t服从均值为0，标准差为t^0.2438的正态不确定分布，即C_t～N_u(0，t^0.2438)。

(2)样品维度认知橡胶密封圈样品间差异性中的认知不确定性由a×e^3.773s×t^0.2438来这一项表征，其中，a是一个服从均值为0.2452，标准差为0.3325正态不确定分布的不确定变量，即a～N_u(0.2452，0.3325)。

(3)应力维度认知橡胶密封圈永久变形率随温度变化规律中的认知不确定性由6.439×10^-4×ξ_s×t^0.2438这一项来表征，其中，ξ_s服从均值为0，标准差为s的正态不确定分布，即ξ_s～N_u(0，s)。

上述不确定性的量化可通过根据不确定仿真得到的橡胶密封圈永久变形率退化上下界来表示。首先根据公式(10)和表通过不确定仿真抽样得到每条退化轨迹的性能退化速率，然结合表的参数估计结果，得到基于UPDM-TUS的橡胶密封圈永久变形率退化轨迹仿真流程。

这里以40℃为例，采用上述方法仿真得到500条橡胶密封圈永久变形率退化轨迹，并且为了排除异常值的影响，在去掉5个最大值和5个最小值后取其上下界，从而得到橡胶密封圈永久变形率退化轨迹的上下界，结果如图5所示。

2.橡胶密封圈永久变形率的裕量方程

当给定橡胶密封圈永久变形率的失效临界值时，得到其裕量方程。设橡胶密封圈永久变形率的失效临界值为50％。根据表和公式(16)，即得到橡胶密封圈永久变形率的裕量方程如下：

公式(38)中橡胶密封圈永久变形率的裕量，服从正态不确定分布：

3.橡胶密封圈永久变形率的度量方程

当给定橡胶密封圈的工作温度时，得到其度量方程。

若假设橡胶密封圈的工作温度为25℃，根据公式(3)得其归一化应力水平为0.5295。根据公式(20)和公式(38)，得橡胶密封圈永久变形率的度量方程：

此外，根据公式(21)和公式(40)得到橡胶密封圈永久变形率在25℃下的确信可靠寿命。橡胶密封圈永久变形率在25℃下的可靠性和寿命评价结果如图6所示。

综上，本发明提出的考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，能够正确的认知橡胶密封圈应力松弛在温度作用下随时间的退化规律，并且分别合理客观的量化时间维、样品维和应力维的认知不确定性，进而为决策者分别控制时间维、样品维和应力维的认知不确定性，并进行后续的维修等决策提供有力的支持和依据，从而避免造成财产损失，避免造成人员伤亡。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种考虑认知不确定性的性能退化实验建模与分析方法，其特征在于，所建立的模型为考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度认知不确定性的不确定性能退化模型，即UPDM-TUS，所述方法包括以下步骤：

第一步：考虑时间、样品和应力维度认知的确信可靠性建模；

考虑性能退化实验在时间、样品和应力维度的认知不确定性，建立产品的退化方程如下：

其中，Y(s,t)表示产品的性能退化过程，s表示外因，为性能退化实验中的归一化应力，t表示不可逆的时间，Y₀表示产品的性能初值，

是Y₀中表征内因不确定性的不确定性因子，X(s,t)表示产品的性能退化量函数，I_Y是一个示性函数，当性能随时间递增时，I_Y＝1，当性能随时间递减时，

是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，Z是内因，在实际性能退化实验中即产品内在属性，

是表征Z的不确定性的不确定性因子，

是表征认知性能随外因变化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F₂(t)是时间的单调递增函数，

是表征认知性能随时间退化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F＝F₁*F₂；具体地，

首先，

表示为：

e(s)＝exp(α₀+bs)＝a exp(bs) (2)

其中，α₀，a和b均为模型参数，且在此处皆是常数；

s为归一化应力，第l个归一化应力水平s_l为：

其中，S_l代表实际施加的第l个应力水平；S_L和S_U分别代表产品的工作应力水平下限和工作应力水平上限；

其次，F₂(t)＝Λ(t)＝t^β，Λ(t)为时间尺度转换函数，β为非线性系数，β>0；

然后，不确定性因子

表示对时间维度的认知不确定性，考虑到

代表的是时间维度性能检测次数有限导致的认知性能随时间退化规律中的认知不确定性，在不确定理论中，采用刘过程来描述在连续时空下认知不确定性随时间的动态变化过程，基于刘过程采用如下公式来构建

其中，σ为常数，又称扩散系数；C_t代表刘过程，服从均值为0，标准差为t^β的正态不确定分布；N_u代表正态不确定分布；

再次，采用性能初值中的不确定性因子

和性能退化过程中的不确定性因子

来表征样品维度的认知不确定性：

1)在性能初值方面，样品维度的不确定性直接体现在不同样品的性能初值不同上，通过赋予性能初值Y₀一个正态不确定分布来表征性能初值中体现样品维度不确定性的不确定性因子

即

其中，

和

分别是Y₀的均值和标准差，记Y₀的不确定分布Φ(Y₀)为：

2)在性能退化过程方面，样品维度的不确定性体现在表征性能与应力关系且与产品内在属性相关的

上，即公式(2)，通过赋予参数a一个正态不确定分布来表征性能退化过程中体现样品维度不确定性的不确定性因子

即a～N_u(μ_a,σ_a),μ_a>0,σ_a>0，其中，μ_a和σ_a分别是a的均值和标准差，记a的不确定分布Φ(a)为：

最后，基于不确定理论，采用一个与应力有关且服从正态不确定分布的不确定项来表征应力维度认知不确定性的不确定性因子

即

其中，σ_s为常数项，ξ_s是变量项，参数

与应力水平有关，在第l个应力水平下有

记ξ_s的不确定分布为：

由此，可得UPDM-TUS中的性能退化速率模型如下：

在给定s时，UPDM-TUS的性能退化速率模型e(s)服从正态不确定分布：

根据公式(1)，公式(7)和公式(9)，得到UPDM-TUS的性能退化量函数如下：

其中，X(s,t)是产品的性能退化量，在给定s时，X(s,t)是一个不确定过程；

在给定s和t时，UPDM-TUS的性能退化量函数X(s,t)服从正态不确定分布：

此外，公式(11)中的X(s,t)是一个具有独立增量的不确定过程，且其独立增量ΔX(s,t)服从正态不确定分布：

其中，Δx是性能退化增量，ΔΛ(t)是转化时间间隔，Δt是检测时间间隔，ΔΛ(t)＝(t+Δt)^β-t^β，

随后，可得到UPDM-TUS中产品性能的退化方程如下：

其中，Y(s,t)是产品的性能退化过程，在s给定时，是一个具有独立增量的不确定过程；

在给定s和t时，UPDM-TUS的退化方程Y(s,t)的不确定分布为：

当性能临界值Y_th已知时，得到UPDM-TUS中产品性能的裕量方程：

其中，M(s,t)是产品的性能裕量，在s给定时，是一个具有独立增量的不确定过程；

在给定s和t时，UPDM-TUS的裕量方程M(s,t)的不确定分布为：

由于UPDM-TUS的数理基础为不确定理论，因此其可靠度R应采用不确定测度来度量，表示M(s,t)大于0的信度，得到UPDM-TUS的度量方程：

R(s,t)＝M{M(s,t)＞0}＝1-Υ(s,t) (18)

其中，M表示不确定测度，Υ(s,t)是UPDM-TUS的不可靠度函数，代表公式(16)中M(s,t)首次穿越临界值0的时刻t_c所服从不确定分布，表示为：

根据公式(18)和公式(19)，得到UPDM-TUS的度量方程：

根据确信可靠性理论，得到UPDM-TUS中的确信可靠寿命：

其中，α是信度，T(α)是确信可靠寿命，R(·)是公式(20)所示的度量方程；

第二步：基于性能退化实验的不确定统计分析；

在UPDM-TUS中，未知参数向量为

其中，除

以外的其他参数均大于0，UPDM-TUS的未知参数向量θ的不确定统计分析算法分为表征性能初值的

和表征性能退化过程的θ₂＝(μ_a,σ_a,b,σ_s,σ,β)两部分并分别进行参数估计：

首先，给出性能退化实验的实验设置：

设x_lij表示第l个应力水平S_l下，第i个样品的第j个性能检测值，t_lij是对应的性能检测时间点，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…，n_l，j＝1,2,…,m_li；其中，k代表实验施加的应力水平数；n_l代表S_l下的实验样品数量；m_li代表S_l下第i个样品的性能检测次数；当应力施加的方式为恒定应力时，总实验样品数量为

总性能检测次数为

当应力施加的方式为步进应力时，总实验样品数量为n＝n₁＝…＝n_l，总性能检测次数为

设

为不重合的转化时间间隔，Δx_lij是ΔΛ_lij内的性能退化增量，有Δx_lij＝I_Y×(x_li(j+1)-x_lij)；

步骤1：估计θ₁；

1)计算各应力水平下的数据权重；

首先要根据研究目标不同，确定不同实验应力水平下的性能退化实验数据在参数估计过程中的重要程度，赋予其相应的权重，赋予权重的原则为越接近研究所关注的应力水平，则其权重越大；

记第l个实验应力水平下的性能退化实验数据的权重为W_l，计算方法为：

a)当研究目标是探究产品性能在应力作用下随时间的退化规律并量化其不确定性时，则应力水平下的数据权重相同，即W₁＝…＝W_l＝…＝1/k；

b)当研究目标是关注某一具体应力水平下的性能退化规律并量化其不确定性时，数据权重同归一化后的实验应力和目标应力的距离呈反比；

I.当性能退化实验中施加的应力水平不包含目标应力水平时，则有：

其中，s₀和s_l分别表示目标应力水平S₀和第l个实验应力水平S_l的归一化取值，其计算见公式(3)；

II.当性能退化实验中施加的应力水平包含目标应力水平时，则有：

其中，将目标应力水平s₀记为s₁；

2)构建性能初值与信度间关系；

根据公式(14)可知在UPDM-TUS中性能初值Y₀是一个不确定变量，其不确定分布为公式(5)，而实验中所有样品的性能初值y_0h，h＝1,2,…,H，均是Y₀的观测值，令y_0h＝x_li1，l＝1,2,…,k,i＝1,2,…,n_l，且

将所有性能初值y_0h按升序排列，并获取每个y_0h对应的信度α_h：

α_h＝h/(H+1),A＝0,B＝0 (24)

α_h＝(h-0.5)/H,A＝-0.5,B＝-0.5 (25)

α_h＝(h-0.3)/(H+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3 (26)

α_h＝(h-0.5)/(H+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375 (27)

3)基于加权最小二乘，估计θ_1p；

在获得数据权重W_l，性能初值数据y_0h及信度α_h后，采用加权最小二乘的方法，最小化UPDM-TUS中性能初值所服从不确定分布与信度之差平方的加权和：

其中，p代表采用第p个获取性能初值信度的公式；Q_1p代表第p个目标函数；

代表采用第p个信度公式得到的θ₁的估计结果；

4)获得θ₁的最终估计结果；

将公式(28)中的Q_1p看作θ_1p的函数，记为Q_1p(θ_1p)，则θ₁的最终估计结果为：

θ_1final＝arg min{Q_1p(θ_1p)} (29)

其中，θ_1final是

的最终估计结果；argmin{Q_1p(θ_1p)}代表当Q_1p取最小值时，所对应的θ_1p，p＝1,2,3,4；

步骤2：估计θ₂；

1)构建性能退化实验数据与信度间关系；

根据公式(13)可知，S_l下的第j个性能退化增量变量Δx_lj是服从正态不确定分布的不确定变量，Δx_l1j,…,Δx_lij,…,i＝1,2,…,n_l，皆为Δx_lj的观测值；

根据性能退化实验数据计算所有观测值Δx_lij并按升序排列，获得每个性能退化增量对应的信度α_lij：

α_lij＝i/(n_l+1),A＝0,B＝0 (30)

α_lij＝(i-0.5)/n_l,A＝-0.5,B＝-0.5 (31)

α_lij＝(i-0.3)/(n_l+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3 (32)

α_lij＝(i-0.5)/(n_l+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375 (33)

2)基于加权最小二乘，估计θ_2p；

根据获得的数据权重W_l，性能退化增量Δx_lij及其信度α_lij，采用加权最小二乘的方法，最小化UPDM-TUS中性能退化增量所服从的正态不确定分布与获得信度之差的平方的加权和：

其中，p代表采用第p个获取性能退化增量信度的公式；Q_2p代表第p个目标函数；θ_2p＝(μ_ap,σ_ap,b_p,σ_sp,σ_p,β_p)代表采用第p个信度公式得到的UPDM-TUS的参数向量θ₂的估计结果；

3)获得θ₂的最终估计结果；

综上，将Q_2p看作θ_2p的函数，记为Q_2p(θ_2p)，而θ₂的最终估计结果为：

θ_2final＝arg min{Q_2p(θ_2p)},p＝1,2,3,4 (35)

其中，θ_2final是θ₂的最终估计结果；argmin{Q_2p(θ_2p)}代表当Q_2p取最小值时，对应的θ_2p。

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