CN111967140B - 一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法，综合考虑性能退化实验在时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性，通过本发明的技术方案，建立了产品的退化方程、裕量方程和度量方程，分别合理客观的量化了时间维度的随机不确定性以及样品和应力维度的认知不确定性；给出了一种获取度量方程(可靠度)数值解的仿真方法；给出了估计未知参数的随机不确定统计分析方法，分别对模型中考虑随机和认知不确定性的参数进行了估计，其中考虑了异常值的处理以及不同应力水平下的数据权重的不同。
Description
技术领域
本发明属于基于性能退化实验数据的确信可靠性建模与分析技术领域，涉及一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法，尤其涉及一种综合考虑性能退化实验在时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法。
背景技术
根据可靠性科学原理，产品性能在内因和外因作用下沿不可逆时间退化，而且受到各种不确定性的影响。性能退化实验(Performance Degradation Experiment，PDE) 是一种认识产品性能退化规律并量化不确定性的重要手段。在实际中，受时间、技术和成本等因素的影响，性能退化实验中存在多种来源的不确定性，如时间维度、样品维度和应力维度的不确定性。当各维度的数据量，如时间维度性能检测次数、样品维度实验样品数量以及应力维度应力水平数目，充足时，在该维度体现为随机不确定性，而当各位的数据量有限时，则会导致认知不全面，从而导致认知不确定性。
然而，在现有技术都存在一些问题。首先，是基于概率论建立的精确概率模型，如退化路径模型和随机过程模型，这类模型过于追求不确定性的概率解释，仅考虑了随机不确定性，而忽视认知不确定性，根据概率论中的大数定律，这类模型不适用于数据量有限导致认知不确定性的情况。其次，是非精确概率模型，如贝叶斯模型、区间-概率模型以及模糊-概率模型等。这类模型采用贝叶斯理论、区间分析理论和模型理论等量化认知不确定性，但是这类模型的数学基础存在问题，没有公理系统，或公理系统不完备自洽，而且对认知不确定性的量化过于主观。最后，是现有的基于不确定理论的模型，这类模型仅适用于仅存在数据量有限导致认知不确定性的情况，而无法量化性能退化实验中同时存在的随机和认知不确定性。
发明内容
为了解决上述已有技术存在的不足，本发明从可靠性科学原理出发，基于机会理论，提出了一种综合考虑性能退化实验在时间维度随机不确定性以及样品和应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，本发明的具体技术方案如下：
一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法，其特征在于，考虑性能退化实验在时间维度随机不确定性以及样品和应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，所建立的模型为时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性的随机不确定性能退化模型，即Random Uncertain Performance Degradation Model-considering epistemic uncertainties in Time,Unit and Stress dimensions，简称RUPDM-TUS，所述方法包括以下步骤：
第一步：考虑时间维度随机和样品、应力维度认知的确信可靠性建模；
由于考虑性能退化实验在时间维度的随机不确定性和样品、应力维度的认知不确定性，故产品的退化方程为：
其中，Y(s,t)表示产品的性能退化过程，s表示外因，为性能退化实验中的归一化应力，t为时间，Y0表示产品的性能初值，
是Y0中表征内因不确定性的不确定性因子， X(s,t)表示产品的性能退化量函数，IY是一个示性函数，当性能随时间递增时，IY＝1，当性能随时间递减时，IY＝-1，
是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，Z是内因，在实际性能退化实验中即产品内在属性，
是表征Z的不确定性的不确定性因子，
是表征认知性能随外因变化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F2(t)是时间的单调递增函数，
是表征认知性能随时间退化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F＝F1*F2；具体地，
首先，
是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，又称e(s)，统一表示为：
其中，α0，a和b均为模型参数；
s为归一化应力，第l个归一化应力水平sl为：
其中，Sl为第l个实际施加的应力水平；SL和SU分别为产品的工作应力水平下限和工作应力水平上限；
其次，F2(t)＝Λ(t)＝tβ，Λ(t)为时间尺度转换函数，β为非线性系数，通常β>0；
然后，不确定性因子
表示对时间维度的随机不确定性，考虑到
代表的是时间维度性能检测次数充足时的认知性能随时间退化规律中的随机不确定性，在概率论中采用维纳过程来描述在连续时空下随机不确定性随时间的动态变化过程，基于维纳过程构建
其中，Wt代表维纳过程，σ为扩散系数，此处为常数项；Np表示正态概率分布，0为均值，tβ为方差；
再次，采用性能初值中的不确定性因子
和性能退化过程中的不确定性因子
表征样品维度的认知不确定性：
1)在性能初值方面，样品维度的不确定性直接体现在不同样品的性能初值不同上，通过赋予性能初值Y0一个正态不确定分布来表征性能初值中体现样品维度不确定性的不确定性因子
即
其中，Nu表示正态不确定分布，
和
分别是Y0的均值和标准差，记Y0的不确定分布Φ(Y0)为：
2)在性能退化过程方面，样品维度的不确定性体现在表征性能与应力关系且与产品内在属性相关的
上，即公式(2)，通过赋予与材料密切相关的参数a一个正态不确定分布来表征性能退化过程中体现样品维度不确定性的不确定性因子
即 a～Nu(μa,σa),μa>0,σa>0，其中，μa和σa分别是参数a的均值和标准差，记a的不确定分布为：
最后，基于不确定理论，采用一个与应力有关且服从正态不确定分布的不确定项来表征应力样品维度认知不确定性的不确定性因子
即
其中，σs为常数项，ξs是变量项，参数
与应力水平有关，在第l个应力水平下有
记ξs的不确定分布为：
由此，得到RUPDM-TUS中的性能退化速率模型为：
在给定s时，RUPDM-TUS的性能退化速率模型e(s)服从正态不确定分布：
根据上述分析，RUPDM-TUS中产品的性能退化量函数为：
其中，X(s,t)是产品的性能退化量，由于公式(11)中即含有随机变量，又含有不确定变量，因此将X(s,t)看作一个随机不确定过程，所服从分布函数为机会分布；
令(Ω,A,Pr)×(Γ,Λ,Μ)为机会空间，其中(Ω,A,Pr)是概率空间，(Γ,Λ,Μ)是不确定空间，在给定s和t时，对不确定空间(Γ,Λ,Μ)的非空集Γ的任意元素γ，X(s,t|γ) 是一个随机变量，其概率分布函数F(x|γ)为：
其中，
为标准的正态概率分布函数；
对所有的γ，公式(12)中的F(x|γ)是一个从不确定空间(Γ,Λ,Μ)到实数集[0,1]的函数，是一个不确定变量，根据随机不确定变量的机会测度和机会分布的定义，公式(11) 中X(s,t)的机会分布Φ(ch)(x)是该不确定变量的期望，即：
其中，Φ(ch)表示机会分布，Ch表示机会测度，E[·]代表F(x|γ)的期望，Pr为概率测度；
RUPDM-TUS的性能退化增量ΔX(s,t)的机会分布为：
Φ(ch)(Δx)＝Ch{ΔX(s,t)≤Δx}＝E[F(Δx|γ)] (14)
其中，Δx是性能退化增量，F(Δx|γ)是在给定s和Δt时，对不确定空间(Γ,Λ,Μ)的非空集Γ的任意元素γ，随机变量ΔX(s,t)是X(s,t)的独立增量，ΔX(s,t)服从的概率分布函数，对所有的γ，F(Δx|γ)是一个不确定变量；
得到RUPDM-TUS中的产品性能的退化方程：
其中，Y(s,t)是产品的性能退化过程，在给定s时，是一个随机不确定过程；
当产品的性能临界值Yth已知时，得到产品性能的裕量方程：
其中，M(s,t)是产品的性能裕量，在给定s时，是一个随机不确定过程；
在RUPDM-TUS中，可靠度R表述为性能裕量大于0的机会，采用机会测度来度量，得到RUPDM-TUS的度量方程：
R(s,t)＝Ch{M(s,t)＞0}＝1-Υ(s,t) (17)
其中，Ch是机会测度，R(s,t)是产品的可靠度，Υ(s,t)是RUPDM-TUS的不可靠度函数；
在机会理论中，Υ(s,t)代表公式(16)所示随机不确定过程M(s,t)首次穿越给定临界值0的时刻tc所服从的机会分布，在给定s时，对不确定空间(Γ,Λ,Μ)的非空集Γ的任意元素γ，tc(γ)是一个随机变量，得到tc(γ)的概率分布函数Υ(s,t|γ)为：
其中，IY是一个示性函数，当性能随时间递增时，IY＝1，当性能随时间递减时，IY＝-1；
对所有的γ，公式(18)中的Υ(s,t|γ)看作是一个从不确定空间(Γ,Λ,Μ)到实数集 [0,1]的函数，是一个不确定变量，而RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会分布Φ(ch)(x)看作是该不确定变量的期望，即：
M表示不确定测度，根据公式(17)和公式(19)，得到RUPDM-TUS的度量方程：
R(s,t)＝1-E[Υ(s,t|γ)] (20)
根据确信可靠性理论，得到RUPDM-TUS中的确信可靠寿命：
其中，α是信度，T(α)是确信可靠寿命；R(·)是公式(20)所示的度量方程；
考虑到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)比较复杂，无法直接给出其机会分布的解析式，采用仿真的方法来近似获取R(s,t)的机会分布，具体为：
(1)在给定应力水平s和时间t的情况下，采用不确定仿真的方法获得不确定变量Υ(s,t|γ)的不确定分布；
(2)根据公式(19)计算获得的Υ(s,t|γ)的期望，得到在给定应力水平s和时刻t下的RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会测度；
(3)根据公式(20)得到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)的机会测度；
(4)取不同的时间t，重复(1)–(3)，得到给定性能临界值和应力水平下的度量方程的数值解；
第二步：随机不确定统计分析方法；
在RUPDM-TUS中，未知参数向量为
其中，除
以外的其他未知参数均大于0，既含有表征随机不确定性的参数，也含有表征认知不确定性的参数，采用分步估计的方法，将θ分为四部分进行估计：(1)估计性能初值的参数
(2)估计非线性系数θ2＝β以及各应力水平下各样品的性能退化速率eli，(3)估计性能退化速率模型参数θ3＝(μa,σa,b,σs)，(4)估计θ4＝σ；
首先，给出性能退化实验的实验设置：
设xlij表示第l个应力水平Sl下，第i个样品的第j个性能检测值，tlij是对应的性能检测时间点，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…，nl，j＝1,2,…,mli；其中，k代表实验施加的应力水平数；nl代表Sl下的实验样品数量；mli代表Sl下第i个样品的性能检测次数，当应力施加的方式为恒定应力时，总实验样品数量为
总性能检测次数为
当应力施加的方式为步进应力时，总实验样品数量为n＝n1＝…＝nl，总性能检测次数为
设
为不重合的转化时间间隔，Δxlij是ΔΛlij内的性能退化增量，有Δxlij＝IY×(xli(j+1)-xlij)；
RUPDM-TUS在恒定应力下的随机不确定统计分析步骤为：
步骤1：估计θ1；
1)计算各应力水平下的数据权重；
首先要根据研究目标不同，确定不同实验应力水平下的性能退化实验数据在参数估计过程中的重要程度，赋予其相应的权重，赋予权重的原则是越接近研究所关注的应力水平则其权重越大；
记第l个实验应力水平下的性能退化实验数据的权重为Wl，计算方法为：
a)当研究目标是探究产品性能在应力作用下随时间的退化规律并量化其不确定性时，则应力水平下的数据权重相同，即W1＝…＝Wl＝…＝1/k；
b)当研究目标是关注某一具体应力水平下的性能退化规律并量化其不确定性时，数据权重同归一化后的实验应力和目标应力的距离呈反比；
I.当性能退化实验中施加的应力水平不包含目标应力水平时，则有：
其中，s0和sl分别表示目标应力水平S0和第l个实验应力水平Sl的归一化取值，其计算见公式(3)；
II.当性能退化实验中施加的应力水平包含目标应力水平时，则有：
其中，将目标应力水平s0记为s1；
2)构建性能初值与信度间关系；
根据公式(5)可知性能初值Y0是一个正态不确定变量，而实验中所有样品的性能初值y0h，h＝1,2,…,H，均是Y0的观测值，令y0h＝xli1，l＝1,2,…,k,i＝1,2,…,nl，且
将所有性能初值y0h按升序排列，并获取每个y0h对应的信度αh：
αh＝h/(H+1),A＝0,B＝0 (24)
αh＝(h-0.5)/H,A＝-0.5,B＝-0.5 (25)
αh＝(h-0.3)/(H+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3 (26)
αh＝(h-0.5)/(H+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375 (27)
3)基于加权最小二乘，估计θ1p；
在获得数据权重Wl，性能初值数据y0h及信度αh后，采用加权最小二乘的方法，最小化RUPDM-TUS中性能初值所服从不确定分布与信度之差平方的加权和：
其中，p代表采用第p个获取性能初值信度的公式；Q1p代表第p个目标函数；
代表采用第p个信度公式得到的θ1的估计结果；
4)获得θ1的最终估计结果；
将公式(28)中的Q1p看作θ1p的函数，记为Q1p(θ1p)，则θ1的最终估计结果为：
θ1final＝arg min{Q1p(θ1p)} (29)
其中，θ1final是
的最终估计结果；argmin{Q1p(θ1p)}代表当Q1p取最小值时对应的θ1p，p＝1,2,3,4；
步骤2：估计θ2和eli；
1)初步估计；
首先，针对在第l个应力水平(Sl)下的第i个样品的所有性能退化实验数据xlij
进行初步拟合，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…,nl，
其中，Y0li是Sl下第i个样品的性能初值，记Y0li＝xli1；eli是Sl下第i个样品的性能退化速率；βli是Sl下第i个样品的非线性系数，将根据公式(30)得到的各应力水平下各样品下的性能退化速率和非线性系数的初步估计分别记为e′li和β′li；
基于获得的β′li和数据权重Wl，对非线性系数β进行初步估计：
其中，β′为β的初步估计结果；
2)处理异常值；
根据β′对性能检测时间进行转化，记转化时间
对Sl下的第i个样品，通过对起始退化数据点(Λ(tli1),xli1)和剩余每个退化数据点(Λ(tlij),xlij)进行线性拟合：
得到一系列斜率数据，记为slpli(j-1)；
采用基于概率论的方法来进行异常值检测，若根据公式(32)得到的slpli(j-1)满足公式(33)，则其对应的数据点(Λ(tlij),xlij)为异常数据点：
其中，
和FDli分别是Sl下第i个样品的所有slpli(j-1)的中位数和四分位点，kL和kU是与数据所服从的概率分布类型相关的已知参数：若服从均匀概率分布，则kL＝kU＝1；若服从正态概率分布，则kL＝kU＝2；若服从指数概率分布，则kL＝4.3，kU＝1＝0.7；采用AIC标准选择最适合的概率分布类型：
AIC＝-2×M1+2×M2 (34)
其中，M1是最大对数似然值；M2是独立的分布参数的数量，对均匀概率分布和正态概率分布，M2＝2；对指数概率分布，M2＝1；AIC越小，则表示数据越符合该种概率分布；
采用如下公式进行异常数据处理：
得到处理后的性能退化实验数据
3)获得θ2和eli的最终估计结果；
基于处理后的性能退化实验数据
采用公式(30)进行拟合，得到eli和βli的最终估计结果，记为e″li和β″li；将公式(31)中的β′li替换为β″li，得到β的最终估计结果，记为β″；
步骤3：估计θ3；
1)构建性能退化速率与信度间关系；
a)基于公式(9)和公式(10)可知，RUPRDM-TUS在Sl下的性能退化速率变量 e(sl)是服从正态不确定分布的不确定变量，而步骤2获得的 e″l1,…,e″l2,…,i＝1,2,…,nl皆可看作e(sl)的观测值；
b)将步骤2得到的Sl下的所有e″li按升序排列；
c)获取e″li的对应信度α″li：
α”li＝i/(nl+1),A＝0,B＝0 (36)
α”li＝(i-0.5)/nl,A＝-0.5,B＝-0.5 (37)
α”li＝(i-0.3)/(nl+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3 (38)
α”li＝(i-0.5)/(nl+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375 (39)
2)基于加权最小二乘，估计θ3p；
基于数据权重Wl，e″li及其信度α″li，采用加权最小二乘的方法进行参数估计，最小化e″li所服从的正态不确定分布与信度之差的平方的加权和：
其中，p代表采用第p个获取性能退化速率信度的公式；Q3p代表第p个目标函数；
θ3p＝(μap,σap,bp,σsp)代表采用第p个公式得到的RUPDM-TUS的参数向量θ3的估计结果；
3)获得θ3的最终估计结果；
采用如下公式获得θ3的最终估计结果：
θ3final＝arg min{Q3p(θ3p)},p＝1,2,3,4 (41)
其中，θ3final代表θ3的最终估计结果；argmin{Q3p(θ3p)}代表当Q3p取最小值时的θ3p；
步骤4：估计θ4；
根据上述θ1-θ3的估计结果，得到不确定变量e(sl)的不确定分布函数，进而得到期望E[e(sl)]，将E[e(sl)]和β″带入如下对数似然函数中：
其中，
基于公式(42)进行极大似然估计，得到σ的估计结果。
本发明的有益效果在于：
1.本发明对性能退化实验在时间维度的随机不确定性和样品和应力维度的认知不确定性进行了划分；
2.从可靠性科学原理出发，本发明基于机会理论构建了一种新的基于性能退化实验数据的确信可靠性建模与分析方法，建立了产品的退化方程、裕量方程和度量方程，分别合理客观的量化了时间维度的随机不确定性和样品和应力维度的认知不确定性；
3.本发明给出了一种获取度量方程(可靠度)数值解的仿真方法；
4.本发明给出了估计未知参数的随机不确定统计分析方法，分别对模型中考虑随机和认知不确定性的参数进行了估计，其中考虑了异常值的处理以及不同应力水平下的数据权重的不同。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理解为对本发明进行任何限制，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。其中：
图1是本发明的技术研究框架图；
图2是本发明的度量方程R(s,t)的随机不确定仿真流程图；
图3是本发明的恒定应力下的随机不确定统计分析图；
图4是本发明实施例的电池容量退化数据；
图5是本发明实施例的电池容量在放电速率作用下随时间的退化规律；
图6是本发明实施例的不确定性量化-电池容量退化上下界(5C)；
图7是本发明实施例的可靠性和寿命评价结果(1C)。
具体实施方式
为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明的实施例及实施例中的特征可以相互组合。
在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。
如图1所示，本发明分别采用概率论中的维纳过程和不确定理论中的正态不确定变量来量化时间维度的随机不确定性和样品、应力维度的认知不确定性，然后采用综合概率论和不确定理论的机会理论建立了产品性能的退化方程、裕量方程和度量方程，并基于不确定仿真的原理提出了一种获取度量方程数值解的仿真方法，随后综合概率统计分析和不确定统计分析提出了分步估计模型未知参数的随机不确定统计分析方法。本发明中常用的变量符号等如表1所示。
表1主要变量符号表
RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)比较复杂，无法直接给出其机会分布的解析式，采用仿真的方法来近似获取R(s,t)的机会分布，具体如图2、表2和表3所示。
表2 RUPDM-TUS的R(s,t)的随机不确定仿真所用变量
(1)在给定应力水平s和时间t的情况下，采用不确定仿真的方法获得不确定变量Υ(s,t|γ)的不确定分布；如表3所示。
在给定应力水平s和时间t时，公式(19)中的Υ(s,t|γ)是不确定变量a，ξs以及Y0的函数，是一个不确定变量，由于这些不确定变量对Υ(s,t|γ)的单调性难以判断，采用如下思路进行不确定仿真的方法来获取其不确定分布。例如，求解f(δ)的不确定分布，即{f(δ)≤x}，其中δ＝(δ1,δ2,…)，是由一组不确定变量组成的向量，f为可测函数，需要将x在f的值域上离散化，每次只求解L＝{f(δ)≤c}(c为常数)，再扩充到整个值域上，从而获得不确定分布。
根据上述思路，在给定s和t下，将Υ(s,t|γ)中的不确定变量为a，ξs以及Y0，所服从不确定分布分别，即公式(6)，公式(8)和公式(5)，分别记为Φ1＝Φ(a)，Φ2＝Φ(ξs) 和Φ3＝Φ(Y0)，并且置f(δ)＝Υ(s,t|γ)。则采用不确定仿真的方法求解L＝{Υ(s,t|γ)≤c}的具体详细流程，就如表3所述。
表3 RUPDM-TUS的不确定仿真求解L
(2)根据公式(19)计算获得的Υ(s,t|γ)的期望，得到在给定应力水平s和时刻t下的RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会测度；
(3)根据公式(20)得到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)的机会测度；
(4)取不同的时间t，重复(1)–(3)，得到给定性能临界值和应力水平下的度量方程的数值解；
随机不确定统计分析方法如图3所示。对于性能退化实验在时间维度检测次数充足时的随机不确定性，以及样品维度样品数量和应力维度应力水平数有限导致的认知不确定性，现有方法都无法很好的对其进行建模和分析，即会错误的认知产品性能退化规律，并且无法分别合理客观的量化时间维的随机不确定性和样品、应力维的认知不确定性，进而无法为决策者分别控制各维度的不确定性，并进行维修等决策提供有力的支持和依据，从而造成财产损失，甚至是人员伤亡。本发明提出的考虑性能退化实验在时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，能够解决上述问题。
下面通过具体实施例来说明本发明方法的有效性。
实施例1
本实施例的锂离子电池属于时间维度检测次数充足主要体现为随机不确定性，而样品维度样品数量和应力维度应力水平数均为有限导致的认知不确定性，针对这一情况，现有方法都无法很好进行建模和分析，即无法正确的认知锂离子电池容量在放电速率作用下随时间的退化规律，并且无法分别合理客观的量化时间维的随机不确定性和样品、应力维的认知不确定性，进而无法为决策者分别控制各维度的不确定性，并进行后续的维修等决策提供有力的支持和依据，从而造成财产损失，甚至是人员伤亡。本发明提出的方法，解决了上述问题。本实施例的基本实验信息如表4和图4所示。
表4 RUPDM-TUS锂离子电池的基本实验信息
| 实验信息 | 内容 |
| 应力施加方式 | 步进应力 |
| 性能参数类型 | 电池容量(％) |
| 实验应力类型 | 放电速率(C) |
| 实验应力水平(C) | 2.3，3.151，5 |
| 性能检测次数 | 100，67，33 |
| 实验样品数量 | 3 |
根据表4和图4可得，本实施例中锂离子电池的容量退化随时间呈递增趋势，而且是线性退化过程。本实施例的实验应力水平为3个，初步判断属于应力水平数有限的情况；实验样品数量为3个，初步判断属于实验样品数量有限的情况；在各个实验应力水平下各实验样品的性能检测次数分别为100，67和33，初步判断属于性能检测次数充足的情况。采用RUPDM-TUS对其进行确信可靠性建模与分析研究。
本实施例中应力类型为放电速率，因此在公式(3)中选择幂律模型进行归一化应力计算。根据现有资料和相关文献，确定该实施例中放电速率范围为0.5C到10C。由此可以得到应力归一化结果，如表5所示。
表5 RUPDM-TUS锂离子电池实施例的应力归一化结果
| 应力水平(C) | 0.5 | 2.3 | 3.151 | 5 | 10 |
| 归一化应力水平 | 0 | 0.5094 | 0.6145 | 0.7686 | 1 |
1.锂离子电池容量的退化方程
首先，将本实施例中的步进应力性能退化实验数据转化为性能初值为0的恒定应力性能退化实验数据，然后基于RUPDM-TUS在恒定应力下的随机不确定统计分析算法，估计未知模型参数，步骤如下：
步骤1：估计θ1
假设本实施例的研究目标是外推实际工作应力水平为1C下的锂离子电池的容量退化规律并量化其不确定性。而根据表4可知，本实施例的实验应力中不包含1C，因此按公式(22)来计算不同实验应力水平下的数据权重，其结果见表6。
表6 RUPDM-TUS锂离子电池实施例的各实验应力水平下的数据权重
| 应力水平(C) | 2.3 | 3.151 | 5 |
| 数据权重 | 0.4458 | 0.3235 | 0.2307 |
其次，由于转化后各应力水平下各实验样品的性能初值皆为0，可得
步骤2：估计θ2和eli
首先，根据图4可知本实施例中实际数据为线性退化数据，因此非线性系数β＝1。
其次，根据公式(32)-公式(34)进行异常值检测。其中，根据AIC标准选择出的各应力水平下各样品下用于公式(33)的kL和kU的结果如表7所示：
表7 RUPDM-TUS锂离子电池实施例的[kL，kU]的结果
| 样品|应力水平(C) | 2.3 | 3.151 | 5 |
| 样品1 | [4.3，0.7] | [2，2] | [4.3，0.7] |
| 样品2 | [2，2] | [4.3，0.7] | [2，2] |
| 样品3 | [1，1] | [2，2] | [2，2] |
随后，根据表7的结果和公式(35)进行异常值处理，并得到各应力水平下各样品的性能退化速率最终估计结果e″li，如下表8所示：
表8 RUPDM-TUS锂离子电池实施例的性能退化速率的最终估计结果
| 样品|应力水平(C) | 2.3 | 3.151 | 5 |
| 样品1 | 9.577e-04 | 4.105e-03 | 0.02111 |
| 样品2 | 2.729e-03 | 9.975e-03 | 0.02448 |
| 样品3 | 3.182e-03 | 6.797e-03 | 0.02459 |
步骤3：估计θ3
首先，将Sl下的所有e″li按升序排列，然后按公式(36)-公式(39)来获取对应信度。
然后，根据公式(10)和公式(40)即可得RUPDM-TUS中未知参数向量θ3p的初步估计结果及其目标函数值，如表9。
表9 RUPDM-TUS锂离子电池实施例的θ3p的估计结果
最后，根据公式(41)可知，θ3final＝θ31。
步骤4：估计θ4
根据表中θ3的最终估计结果，计算得到性能退化速率不确定变量e(sl)的期望 E[e(sl)]，并带入公式(42)，根据极大似然估得到θ4＝σ的估计结果为0.0353。
由此得到锂离子电池实施例中，RUPDM-TUS的最终参数估计结果如表10所示。
表10 RUPDM-TUS锂离子电池实施例的θ的最终估计结果
根据表10表和公式(15)，可得到本实施例中锂离子电池的退化方程如下：
在公式(43)中，锂离子电池容量退化的自变量为放电速率s和时间t，其中，放电速率s的取值范围为[0.5C,10C]，而时间t的取值范围为[0,+∞]。
根据公式(43)，可得锂离子电池容量在放电速率作用下随时间的退化规律：
F(s,t)＝3.028×10-5×e8.583s×t (44)
其结果如图5所示。
在公式(43)中，时间、样品和应力维度的不确定性分别体现如下：
(1)时间维度认知锂离子电池容量随时间退化规律中的认知不确定性由
0.353×Wt这一项来表征，其中，Ct服从均值为0，方差为t的正态概率分布，
即Wt～Np(0,t)。
(2)样品维度认知锂离子电池样品间差异性中的认知不确定性由a×e8.583s×t来这一项表征，其中，a是一个服从均值为3.028×10-5，标准差为3.472×10-8正态不确定分布的不确定变量，即a～Nu(3.028×10-5,3.472×10-8)。
(3)应力维度认知锂离子电池容量随放电速率变化规律中的认知不确定性由5.701×10-3×ξs×t这一项来表征，其中，ξs服从均值为0，标准差为s的正态不确定分布，即ξs～Nu(0,s)。
上述不确定性的量化可通过根据随机不确定仿真得到的锂离子电池容量退化上下界来表示。采用单位时间内性能退化增量累加的方式，首先根据公式(10)和公式(43) 通过不确定仿真抽样得到每条退化轨迹的性能退化速率，此时退化方程(43)中仅含有时间维度的随机不确定性，是一个带漂移项的维纳过程，然后通过蒙特卡洛仿真抽样得到性能退化增量依时间累加，即可得到锂离子电池容量退化轨迹仿真流程。
这里以放电速率1C为例，采用上述方法仿真得到500条锂离子电池容量退化轨迹，并且为了排除异常值的影响，在去掉5个最大值和5个最小值后取其上下界，从而得到锂离子电池容量退化轨迹的上下界，结果如图6所示。
2.锂离子电池容量的裕量方程
当给定锂离子电池容量的失效临界值时，可以得到其裕量方程。设锂离子电池容量的失效临界值为30％。随后，根据表10和公式(16)，得到本实施例中锂离子电池容量的裕量方程：
3.锂离子电池容量的度量方程
当给定锂离子电池的工作放电速率时，还可以得到其度量方程。若假设锂离子电池的实际工作应力水平为1C，其归一化应力水平根据公式(3)可得为0.2314。
根据RUPDM-TUS的度量方程(公式(20))，表2，图2以及表3所示的随机不确定仿真方法，得到本实施例中度量方程的数值解。由于在本实施例中不含有不确定变量Y0，而且根据公式(9)和公式(10)，不确定变量a和ξs可以在给定应力水平Sl时，合并为一个不确定变量e(sl)，因此在表所示不确定仿真中，根据本实施例得到的公式(19) 中的Υ(s,t|γ)仅是不确定变量e(sl)的函数。
此外，还可根据度量方程数值解和公式(21)得到锂离子电池容量在25℃下的确信可靠寿命。锂离子电池容量在1C下的可靠性和寿命评价结果如图7所示。
图7的结果理解为：当可靠度R＝0.9时，其确信可靠寿命为16012个循环，代表锂离子电池在实际工作应力为1C下，在16012个循环这一时刻，其电池容量的裕量大于0的机会为0.9；当可靠度R＝0.5时，其确信可靠寿命为128396个循环，代表锂离子电池在实际工作应力为1C下，在128396个这一时刻，其电池容量的裕量大于0的机会为0.5。
综上，本发明提出的考虑性能退化实验在时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性的确信可靠性建模与分析方法，能够正确的认知锂离子电池容量在放电速率作用下随时间的退化规律，并且分别合理客观的量化时间维的随机不确定性和样品、应力维的认知不确定性，进而为决策者分别控制各维度的不确定性，并进行后续的维修等决策提供有力的支持和依据，从而避免造成财产损失，避免人员伤亡。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (1)
1.一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法，其特征在于，所述方法的建模分析对象为锂离子电池，所建立的模型为时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性的随机不确定性能退化模型，即RUPDM-TUS，所述方法包括以下步骤：
第一步：考虑时间维度随机和样品、应力维度认知的确信可靠性建模；
由于考虑性能退化实验在时间维度的随机不确定性和样品、应力维度的认知不确定性，故产品的退化方程为：
其中，Y(s,t)表示产品的性能退化过程，s表示外因，为性能退化实验中的归一化应力，t为时间，Y0表示产品的性能初值，
是Y0中表征内因不确定性的不确定性因子，X(s,t)表示产品的性能退化量函数，IY是一个示性函数，当性能随时间递增时，YY＝1，当性能随时间递减时，IY＝-1，
是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，Z是内因，在实际性能退化实验中即产品内在属性，
是表征Z的不确定性的不确定性因子，
是表征认知性能随外因变化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F2(t)是时间的单调递增函数，
是表征认知性能随时间退化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F＝F1*F2；具体地，
首先，
是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，又称e(s)，统一表示为：
其中，α0，a和b均为模型参数；
s为归一化应力，第l个归一化应力水平sl为：
其中，Sl为第l个实际施加的应力水平；SL和SU分别为产品的工作应力水平下限和工作应力水平上限；
其次，F2(t)＝Λ(t)＝tβ，Λ(t)为时间尺度转换函数，β为非线性系数，通常β>0；
然后，不确定性因子
表示对时间维度的随机不确定性，考虑到
代表的是时间维度性能检测次数充足时的认知性能随时间退化规律中的随机不确定性，在概率论中采用维纳过程来描述在连续时空下随机不确定性随时间的动态变化过程，基于维纳过程构建
其中，Wt代表维纳过程，σ为扩散系数，此处为常数项；Np表示正态概率分布，0为均值，tβ为方差；
再次，采用性能初值中的不确定性因子
和性能退化过程中的不确定性因子
表征样品维度的认知不确定性：
1)在性能初值方面，样品维度的不确定性直接体现在不同样品的性能初值不同上，通过赋予性能初值Y0一个正态不确定分布来表征性能初值中体现样品维度不确定性的不确定性因子
即
其中，Nu表示正态不确定分布，
和
分别是Y0的均值和标准差，记Y0的不确定分布Φ(Y0)为：
2)在性能退化过程方面，样品维度的不确定性体现在表征性能与应力关系且与产品内在属性相关的
上，即公式(2)，通过赋予与材料密切相关的参数a一个正态不确定分布来表征性能退化过程中体现样品维度不确定性的不确定性因子
即a～Nu(μa,σa),μa>0,σa>0，其中，μa和σa分别是参数a的均值和标准差，记a的不确定分布为：
最后，基于不确定理论，采用一个与应力有关且服从正态不确定分布的不确定项来表征应力样品维度认知不确定性的不确定性因子
即
其中，σs为常数项，ξs是变量项，参数
与应力水平有关，在第l个应力水平下有
记ξs的不确定分布为：
由此，得到RUPDM-TUS中的性能退化速率模型为：
在给定s时，RUPDM-TUS的性能退化速率模型e(s)服从正态不确定分布：
根据上述分析，RUPDM-TUS中产品的性能退化量函数为：
其中，X(s,t)是产品的性能退化量，由于公式(11)中即含有随机变量，又含有不确定变量，因此将X(s,t)看作一个随机不确定过程，所服从分布函数为机会分布；
令
为机会空间，其中
是概率空间，
是不确定空间，在给定s和t时，对不确定空间
的非空集Γ的任意元素γ，X(s,t|γ)是一个随机变量，其概率分布函数F(x|γ)为：
其中，
为标准的正态概率分布函数；
对所有的γ，公式(12)中的F(x|γ)是一个从不确定空间
到实数集[0,1]的函数，是一个不确定变量，根据随机不确定变量的机会测度和机会分布的定义，公式(11)中X(s,t)的机会分布Φ(ch)(x)是该不确定变量的期望，即：
其中，Φ(ch)表示机会分布，Ch表示机会测度，E[·]代表F(x|γ)的期望，Pr为概率测度；
RUPDM-TUS的性能退化增量ΔX(s,t)的机会分布为：
Φ(ch)(Δx)＝Ch{ΔX(s,t)≤Δx}＝E[F(Δx|γ)] (14)
其中，Δx是性能退化增量，F(Δx|γ)是在给定s和Δt时，对不确定空间
的非空集Γ的任意元素γ，随机变量ΔX(s,t)是X(s,t)的独立增量，ΔX(s,t)服从的概率分布函数，对所有的γ，F(Δx|γ)是一个不确定变量；
得到RUPDM-TUS中的产品性能的退化方程：
其中，Y(s,t)是产品的性能退化过程，在给定s时，是一个随机不确定过程；
当产品的性能临界值Yth已知时，得到产品性能的裕量方程：
其中，M(s,t)是产品的性能裕量，在给定s时，是一个随机不确定过程；
在RUPDM-TUS中，可靠度R表述为性能裕量大于0的机会，采用机会测度来度量，得到RUPDM-TUS的度量方程：
R(s,t)＝Ch{M(s,t)>0}＝1-Υ(s,t) (17)
其中，Ch是机会测度，R(s,t)是产品的可靠度，Υ(s,t)是RUPDM-TUS的不可靠度函数；
在机会理论中，Υ(s,t)代表公式(16)所示随机不确定过程M(s,t)首次穿越给定临界值0的时刻tc所服从的机会分布，在给定s时，对不确定空间
的非空集Γ的任意元素γ，tc(γ)是一个随机变量，得到tc(γ)的概率分布函数Υ(s,t|γ)为：
其中，IY是一个示性函数，当性能随时间递增时，IY＝1，当性能随时间递减时，IY＝-1；
对所有的γ，公式(18)中的Υ(s,t|γ)看作是一个从不确定空间
到实数集[0,1]的函数，是一个不确定变量，而RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会分布Φ(ch)(x)看作是该不确定变量的期望，即：
R(s,t)＝1-E[γ(s,t|γ)] (20)
根据确信可靠性理论，得到RUPDM-TUS中的确信可靠寿命：
其中，α是信度，T(α)是确信可靠寿命；R(·)是公式(20)所示的度量方程；
考虑到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)比较复杂，无法直接给出其机会分布的解析式，采用仿真的方法来近似获取R(s,t)的机会分布，具体为：
(1)在给定应力水平s和时间t的情况下，采用不确定仿真的方法获得不确定变量Υ(s,t|γ)的不确定分布；
(2)根据公式(19)计算获得的Υ(s，t|γ)的期望，得到在给定应力水平s和时刻t下的RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会测度；
(3)根据公式(20)得到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)的机会测度；
(4)取不同的时间t，重复(1)–(3)，得到给定性能临界值和应力水平下的度量方程的数值解；
第二步：随机不确定统计分析方法；
在RUPDM-TUS中，未知参数向量为
其中，除
以外的其他未知参数均大于0，既含有表征随机不确定性的参数，也含有表征认知不确定性的参数，采用分步估计的方法，将θ分为四部分进行估计：(1)估计性能初值的参数
估计非线性系数θ2＝β以及各应力水平下各样品的性能退化速率eli，(3)估计性能退化速率模型参数θ3＝(μa,σa,b,σs)，(4)估计θ4＝σ；
首先，给出性能退化实验的实验设置：
设xlij表示第l个应力水平Sl下，第i个样品的第j个性能检测值，tlij是对应的性能检测时间点，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…，nl，j＝1,2,…,mli；其中，k代表实验施加的应力水平数；nl代表Sl下的实验样品数量；mli代表Sl下第i个样品的性能检测次数，当应力施加的方式为恒定应力时，总实验样品数量为
总性能检测次数为
当应力施加的方式为步进应力时，总实验样品数量为n＝n1＝…＝nl，总性能检测次数为
设
为不重合的转化时间间隔，Δxlij是ΔΛlij内的性能退化增量，有Δxlij＝IY×(xli(j+1)-xlij)；
具体的，锂离子电池的实验设置为：应力施加方式为步进应力，性能检测类型为电池容量，应力类型为放电速率，应力水平为3个，分别为2.3，3.151，5，每个应力水平下的样品数量均为3，在应力水平2.3时性能检测次数为100次，在应力水平3.151时性能检测次数为67次，在应力水平5时性能检测次数为33次；
RUPDM-TUS在恒定应力下的随机不确定统计分析步骤为：
步骤1：估计θ1；
1)计算各应力水平下的数据权重；
首先要根据研究目标不同，确定不同实验应力水平下的性能退化实验数据在参数估计过程中的重要程度，赋予其相应的权重，赋予权重的原则是越接近研究所关注的应力水平则其权重越大；
记第l个实验应力水平下的性能退化实验数据的权重为Wl，计算方法为：
a)当研究目标是探究产品性能在应力作用下随时间的退化规律并量化其不确定性时，则应力水平下的数据权重相同，即W1＝…＝Wl＝…＝1/k；
b)当研究目标是关注某一具体应力水平下的性能退化规律并量化其不确定性时，数据权重同归一化后的实验应力和目标应力的距离呈反比；
I.当性能退化实验中施加的应力水平不包含目标应力水平时，则有：
其中，s0和sl分别表示目标应力水平S0和第l个实验应力水平Sl的归一化取值，其计算见公式(3)；
II.当性能退化实验中施加的应力水平包含目标应力水平时，则有：
其中，将目标应力水平s0记为s1；
计算得到不同实验应力水平下锂离子电池的数据权重为：应力水平为2.3、3.151、5时，数据权重分别为0.4458、0.3235、0.2307；
2)构建性能初值与信度间关系；
根据公式(5)可知性能初值Y0是一个正态不确定变量，而实验中所有样品的性能初值y0h，h＝1,2,…,H，均是Y0的观测值，令y0h＝xli1，l＝1,2,…,k,i＝1,2,…,nl，且
将所有性能初值y0h按升序排列，并获取每个y0h对应的信度αh：
αh＝h/(H+1),A＝0,B＝0 (24)
αh＝(h-0.5)/H,A＝-0.5,B＝-0.5 (25)
αh＝(h-0.3)/(H+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3 (26)
αh＝(h-0.5)/(H+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375 (27)
3)基于加权最小二乘，估计θ1p；
在获得数据权重Wl，性能初值数据y0h及信度αh后，采用加权最小二乘的方法，最小化RUPDM-TUS中性能初值所服从不确定分布与信度之差平方的加权和：
其中，p代表采用第p个获取性能初值信度的公式；Q1p代表第p个目标函数；
代表采用第p个信度公式得到的θ1的估计结果；
4)获得θ1的最终估计结果；
将公式(28)中的Q1p看作θ1p的函数，记为Q1p(θ1p)，则θ1的最终估计结果为：
θ1final＝argmin{Q1p(θ1p)} (29)
其中，θ1final是
的最终估计结果；argmin{Q1p(θ1p)}代表当Q1p取最小值时对应的θ1p，p＝1,2,3,4；
依据以上方法得到锂离子电池的θ1估计结果为
步骤2：估计θ2和eli；
1)初步估计；
首先，针对在第l个应力水平(Sl)下的第i个样品的所有性能退化实验数据xlij进行初步拟合，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…,nl，
其中，Y0li是Sl下第i个样品的性能初值，记Y0li＝xli1；eli是Sl下第i个样品的性能退化速率；βli是Sl下第i个样品的非线性系数，将根据公式(30)得到的各应力水平下各样品下的性能退化速率和非线性系数的初步估计分别记为e′li和β′li；
基于获得的β′li和数据权重Wl，对非线性系数β进行初步估计：
其中，β′为β的初步估计结果；
2)处理异常值；
根据β′对性能检测时间进行转化，记转化时间
对Sl下的第i个样品，通过对起始退化数据点(Λ(tli1),xli1)和剩余每个退化数据点(Λ(tlij),xlij)进行线性拟合：
得到一系列斜率数据，记为slpli(j-1)；
采用基于概率论的方法来进行异常值检测，若根据公式(32)得到的slpli(j-1)满足公式(33)，则其对应的数据点(Λ(tlij),xlij)为异常数据点：
其中，
和FDli分别是Sl下第i个样品的所有slpli(j-1)的中位数和四分位点，kL和kU是与数据所服从的概率分布类型相关的已知参数：若服从均匀概率分布，则kL＝kU＝1；若服从正态概率分布，则kL＝kU＝2；若服从指数概率分布，则kL＝4.3，kU＝1＝0.7；采用AIC标准选择最适合的概率分布类型：
AIC＝-2×M1+2×M2 (34)
其中，M1是最大对数似然值；M2是独立的分布参数的数量，对均匀概率分布和正态概率分布，M2＝2；对指数概率分布，M2＝1；AIC越小，则表示数据越符合该种概率分布；
采用如下公式进行异常数据处理：
得到处理后的性能退化实验数据
3)获得θ2和eli的最终估计结果；
基于处理后的性能退化实验数据
采用公式(30)进行拟合，得到eli和βli的最终估计结果，记为e″li和β″li；将公式(31)中的β′li替换为β″li，得到β的最终估计结果，记为β″；
依据以上方法得到锂离子电池的θ2和eli估计结果；
步骤3：估计θ3；
1)构建性能退化速率与信度间关系；
a)基于公式(9)和公式(10)可知，RUPRDM-TUS在Sl下的性能退化速率变量e(sl)是服从正态不确定分布的不确定变量，而步骤2获得的e″l1,…,e″l2,…,i＝1,2,…,nl皆可看作e(sl)的观测值；
b)将步骤2得到的Sl下的所有e″li按升序排列；
c)获取e″li的对应信度α″li：
α”li＝i/(nl+1),A＝0,B＝0 (36)
α”li＝(i-0.5)/nl,A＝-0.5,B＝-0.5 (37)
α”li＝(i-0.3)/(nl+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3 (38)
α”li＝(i-0.5)/(nl+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375 (39)
2)基于加权最小二乘，估计θ3p；
基于数据权重Wl，e″li及其信度α″li，采用加权最小二乘的方法进行参数估计，最小化e″li所服从的正态不确定分布与信度之差的平方的加权和：
其中，p代表采用第p个获取性能退化速率信度的公式；Q3p代表第p个目标函数；θ3p＝(μap,σap,bp,σsp)代表采用第p个公式得到的RUPDM-TUS的参数向量θ3的估计结果；
3)获得θ3的最终估计结果；
采用如下公式获得θ3的最终估计结果：
θ3final＝argmin{Q3p(θ3p)},p＝1,2,3,4 (41)
其中，θ3final代表θ3的最终估计结果；argmin{Q3p(θ3p)}代表当Q3p取最小值时的θ3p；
依据以上方法得到锂离子电池的θ3估计结果；
步骤4：估计θ4；
根据上述θ1-θ3的估计结果，得到不确定变量e(sl)的不确定分布函数，进而得到期望E[e(sl)]，将E[e(sl)]和β″带入如下对数似然函数中：
其中，
基于公式(42)进行极大似然估计，得到σ的估计结果；
依据以上方法得到锂离子电池的θ4估计结果；
步骤5：建立锂离子电池容量的退化方程：
在公式(43)中，锂离子电池容量退化的自变量为放电速率s和时间t，其中，放电速率s的取值范围为[0.5C,10C]，而时间t的取值范围为[0,+∞]；
建立锂离子电池容量在放电速率作用下随时间的退化规律：
F(s,t)＝3.028×10-5×e8.583s×t (44)
建立锂离子电池容量的裕量方程：
建立锂离子电池的度量方程，根据度量方程数值解和公式(21)得到锂离子电池容量在25℃下的确信可靠寿命。
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