CN107515965A - 一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，属于加速试验技术领域，具体步骤为：针对某批次产品，首先收集及预处理受试样本的试验数据；然后将不确定过程引入到加速退化建模中来，对各加速退化过程进行建模，同时构造加速模型来表征加速应力与退化模型之间的关系，然后对各加速应力下各样本ADT数据的累积信度进行不确定性量化；利用累积信度并结合最小二乘原则，对加速模型和退化过程中的未知参数进行估计；最后根据首穿时分布，给出该批次产品的确信可靠度及确信可靠寿命的评估结果。本发明避免了传统评估方法无法量化小样本引起的认知不确定性，从而给产品投产带来较大风险的问题。
Description
技术领域
本发明属于加速试验技术领域，具体是一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法。
背景技术
加速退化试验(Accelerated Degradation Testing,ADT)技术被广泛应用于高可靠长寿命产品的寿命与可靠性评估。如现有技术文献[1]：Nelson W B.加速试验：统计模型，试验计划及数据分析(Accelerated testing:statistical models,test plans,anddata analysis)[M],New York:John Wiley&Sons,1990.文献[2]：Meeker W Q,Escobar LA.可靠性数据的统计分析方法(Statistical methods for reliability data)[M],NewYork:John Wiley&Sons,1998.)的记载，在试验中，采用严酷的试验条件来加速产品性能退化的过程，从而在有限的时间和资源约束下获得较为丰富的失效/退化数据，具有比传统可靠性试验更高的试验效率；
国内外在研究ADT建模评估方法方面，通常采用基于概率理论的退化路径模型，如文献[3]：Meeker W Q,Escobar L A,Lu C J.加速退化试验：建模与分析(Accelerateddegradation tests:modeling and analysis)[J].Technometrics,1998,40(2):89-99.)或者随机过程模型，如文献[4]：Ye Z-S,Xie M.高可靠产品退化过程的随机建模与分析(Stochastic modelling and analysis of degradation for highly reliableproducts)[J].Applied Stochastic Models in Business and Industry,2015,31(1):16-32.)，如维纳、伽马或者逆高斯过程，开展正常使用条件下的寿命与可靠性评估。
然而，这些方法仅适用于大样本，即试验中样本量较多的情况。但在实际工程应用中，受试产品通常较为昂贵，使得在研发后期仅能投入少量的样本用于加速退化试验。因此，ADT仅能提供关于产品总体的少量信息，这直接导致在进行寿命与可靠性评估时，所需要的知识是十分匮乏的，从而导致认知不确定性。如果ADT获得的少量信息分布在总体均值附近，则评估结果较为准确；如果这些信息分布在总体尾部附近，则评估结果会显著趋于保守或激进，因此在ADT数据建模时，应当考虑小样本引起的认知不确定性问题。
为了表征和降低小样本引起的认知不确定性问题，工程上可采用引入专家经验的方法，专家们根据所具备的知识及经验来给出其关于物理量或者评估结果的信度水平，然后，通过贝叶斯理论，采用先验分布，如文献[5]：Xu A,Tang Y.线性退化模型的客观贝叶斯分析(Objective Bayesian Analysis for Linear Degradation Models)[J].Communications in Statistics-Theory and Methods,2012,41(21):4034-4046.)。例如，Peng等提出一种基于逆高斯过程的贝叶斯退化建模方法来表征认知不确定性；文献[6]：Peng W W,Li Y F,Yang Y J,et al.从贝叶斯的角度采用逆高斯过程模型进行退化分析(Inverse Gaussian process models for degradation analysis:A Bayesianperspective)[J].Reliability Engineering&System Safety,2014,130:175-189.)。GuanQ.等提出一种基于维纳过程的恒定应力ADT贝叶斯方法，文献[7]：Guan Q,Tang Y,Xu A.基于维纳过程模型的加速退化试验客观贝叶斯分析(Objective Bayesian analysisaccelerated degradation test based on Wiener process models)[J].AppliedMathematical Modelling,2016,40(4):2743-2755.)。而当信息缺乏以至于无法构造先验分布时，研究者会选择采用区间理论，文献[8]：刘乐,李晓阳,姜同敏.采用区间分析的加速退化试验评估方法[J].北京航空航天大学学报,2015,(12):2225-2231.)或者模糊集理论，如文献[9]：Gonzalez-Gonzalez D S,Alejo R J P,Cantu-Sifuentes M,et al.采用非线性模糊回归方法估计退化过程的可靠度(A non-linear fuzzy regression forestimating reliability in a degradation process)[J].Applied Soft Computing,2014,16:137-147.)来分析ADT数据以量化认知不确定性。
然而，清华大学的刘宝碇教授指出，采用概率或者模糊理论对专家信度的建模会得到与事实不符的结论，如文献[10]：Liu B.为什么需要不确定理论？[J].Journal ofUncertain Systems,2012,6(1):3-10.)。因此，刘宝碇在2007年提出了不确定性理论，用于对小样本甚至无样本条件下专家信度的建模，如文献[11]：Liu B.不确定理论(Uncertainty Theory)[M],Second,Springer-Verlag Berlin Heidelberg,2007:205-234.)。目前该理论已成为对人的不确定性建模的数学分支，并成功应用于不确定风险分析，如文献[12]：Liu B.不确定风险分析和不确定可靠性分析(Uncertain Risk Analysisand Uncertain Reliability Analysis)[J].Journal of Uncertain Systems,2010,4(3):163-170.)和可靠性分析(文献[13]：Zeng Z,Wen M,Kang R.确信可靠度：产品可靠度的新度量(Belief reliability:a new metrics for products’reliability)[J].FuzzyOptimization and Decision Making,2013,12(1):15-27.等领域。
考虑到不确定变量随时间的动态变化现象，刘宝碇提出了不确定过程(Uncertainprocess)，它可用于描述产品的退化过程；不确定过程是一个随时间变化的不确定变量序列。随后，刘宝碇给出了不确定过程的独立增量性证明和极值定理，从而为获取不确定过程的首穿时分布获取提供依据，如文献[14]：应用于保险风险模型中的不确定过程的极大值定理(Extreme value theorems of uncertain process with application toinsurance risk model)[J].Soft Computing,2013,17(4):549-556.)。此外，刘宝碇给出了描述不确定过程的不确定分布，并证明了不确定分布的充要条件及不确定过程的逆不确定分布形式，其他的一些学者从不确定差分方程的角度来研究不确定过程，如文献[15]：不确定理论中的一些研究问题(Some Research Problems in Uncertainty Theory)[J].Journal of Uncertain Systems,2009,3(1):3-10.)，并给出了不确定差分方程的存在性和唯一性定理。
从目前国内外研究情况可以看出，基于概率理论的加速退化数据建模的研究较为成熟，但需要基于大样本量才能够有较为合理的可靠性与寿命评估结果。然而实际ADT中，所采用的样本量通常较少，需要借助专家经验来量化认知不确定性，而如何基于不确定性理论研究专家信度对ADT建模及寿命与可靠性评估结果的影响，还缺乏相关的研究。
发明内容
在可靠性与系统工程中，针对加速退化试验中样本量小，无法全面表征产品实际寿命与可靠性水平的问题，本发明提出了一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，借助专家信度来表征ADT中的认知不确定性，该方法基于不确定理论，充分利用小样本信息和专家信度，最终给出正常使用条件下的确信可靠度及确信寿命。
具体步骤如下：
步骤一、针对某批次产品，选择受试样本，并获取每个加速应力下每个受试样本在每个检测点的性能退化值；
其中，加速应力水平数目为K个，集合为{1,2,...,i,...K}；在第i个加速应力水平下有ni个受试样本，集合为{1,2,...,j,...ni}；对第i个加速应力水平下第j个受试样本进行mij次性能检测，对应mij个性能退化值，集合为{1,2,...,k,...mij}；
设xijk为第i个加速应力水平下第j个受试样本的第k个性能退化检测值；tijk为该性能退化值对应的检测时间点。
步骤二、针对每个加速应力水平下每个受试样本的每个性能退化值，进行归一化处理；
根据第i个加速应力水平下第j个受试样本的所有性能退化检测值的递增趋势或递减趋势，对性能退化检测值xijk的归一化处理分为以下两种：
1)若性能退化检测值呈现递减趋势，采用下式进行归一化处理：
其中，yijk为第i个加速应力水平下第j个受试样本的第k个性能退化检测值的归一化值；xij1为第i个加速应力水平下第j个样本的第1个性能退化检测值；
2)若性能退化检测值呈现递增趋势，采用下式进行归一化处理：
步骤三、针对每个加速应力水平下的性能退化过程，进行不确定过程建模，并构造加速模型来表征加速应力与性能退化过程之间的关系；
首先，采用如下不确定过程来表征每个加速应力水平下的性能退化过程：
Xτ＝eτ+t-1/2σCτ
其中，Xτ表示产品性能退化过程；e和σ分别表示偏移和扩散系数，τ表示时间t的单调增函数，满足τ＝tβ，β为非负的非线性系数；Cτ表示在每一时刻t，均服从正态不确定分布Cτ～N(0,τ)的不确定过程；
然后，采用如下公式对加速应力进行正则化：
其中，s0'为正常应力水平，si'为第i个实际加速应力水平，sH'为最高加速应力水平，si则是第i个正则后的加速应力水平；
最后，建立表征加速应力与性能退化过程之间的加速模型，如下，
ei＝exp(α0+α1si)
其中，ei表示第i个加速应力水平下的退化率，即偏移系数，α0和α1为常数；
步骤四、对各加速应力下各样本ADT数据的累积信度进行不确定性量化，得到不确定变量观测值集合中各元素的累积信度；
具体如下：
步骤401、根据不确定过程的公式，可知第i个加速应力水平下各样本在第k个检测点的性能退化值yik是一个服从正态不确定分布的不确定变量；
步骤402、获取第i个加速应力水平下所有受试样本在第k个检测点下的归一化性能退化值，构成不确定变量yik的观测值集合；
步骤403、将不确定变量yik的观测值集合中的元素从小到大排序；
步骤404、借鉴经验函数和近似中位秩公式，获取不确定变量yik的观测值集合中各元素的累积信度αijk；
公式如下：
αijk＝(j-0.3)/(Nik+0.4)
其中，Nik为不确定退化变量yik中不重复元素的个数，元素个数的最大值为ni；αijk∈[0,1]。
步骤五、利用累积信度并结合最小二乘原则，对加速模型和退化过程中的未知参数进行估计；
未知参数集为θ＝{α0,α1,σ,β}；
针对不确定变量yik的观测值集合中各元素的累积信度αijk结合最小二乘原则，计算未知参数的公式如下：
其中，Q为目标函数，Φ(yijk)为归一化值yijk在不确定分布中所对应的实际信度；具体为：不确定过程Xτ在每一时刻t都是一个不确定变量，并服从正态不确定分布
利用Matlab程序，最小化目标函数Q，即可得到未知参数集θ＝{α0,α1,σ,β}的估计值。
步骤六、根据首穿时分布和未知参数估计值，计算该批次产品的确信可靠度及确信可靠寿命的评估结果。
具体步骤如下：
首先、将产品性能退化过程Xτ首次穿越失效阈值ω的时间tω定义为产品的失效时间，服从不确定分布，即首穿时分布Υ(z)；
如下所示；
其中，z是失效阈值ω的时间tω的最大值；
然后、根据不确定过程的极值定理得到：
然后、根据首穿时分布Υ(z)公式得到确信可靠度RB；
计算公式如下，
其中，确信可靠度RB表示产品在t时刻存活的不确定测度；将未知参数集θ的估计值及s0＝0代入确信可靠度RB的公式中，即得到正常应力水平下产品的确信可靠度曲线；
最后、根据产品的确信可靠度计算确信可靠寿命BL(α)，得到正常应力水平下的确信可靠寿命曲线；
其中，确信可靠寿命BL(α)是指确信可靠度RB(t)低于某一信度α时所对应的寿命下确界值。
本发明方法的优点和积极效果在于：
(1)一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，首次将不确定过程引入到加速退化建模中来，基于不确定性理论，依据信度给出小样本下根据ADT数据获得的可靠度与寿命评估结果，避免传统评估方法无法量化小样本引起的认知不确定性，从而给产品投产带来较大风险的问题。
(2)一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，首次给出了不确定统计方法来估计不确定过程模型和加速模型参数，基于最小二乘原则，最小化累积信度和不确定分布所对应的实际信度之差的平方和，从而有效地估计加速退化不确定模型参数，保证可靠度与寿命评估工作的顺利开展。
(3)一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，采用确信可靠度指标来表征产品在t时刻存活的不确定测度，能够在小样本情况下通过结合专家信度来考核产品的可靠性水平，是一种较好的可靠性测度指标。
附图说明
图1为本发明基于不确定过程的加速退化建模评估方法原理图；
图2为本发明基于不确定过程的加速退化建模评估方法流程图；
图3为本发明实施例中应力松弛恒定应力加速退化试验的ADT数据图；
图4为本发明实施例中正常应力下的确信可靠度曲线图；
图5为本发明实施例中正常应力下的确信可靠寿命曲线图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方法进行详细说明。
本发明一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，通过专家信度来量化小样本状态下产品认知不充分引起的认知不确定性问题，基于不确定性理论量化该风险，通过产品存活的不确定测度给出产品的确信可靠性指标。
本发明基于以下理论框架和假设：
定义Γ为非空集合，是Γ上的σ代数。表示一个可测空间，中的每个元素Λ都是可测集。从而，在上定义不确定性测度满足如下公理：
公理1：(规范性)对于全集Γ，
公理2：(对偶性)对于任意事件Λ，
公理3：(次可加性)对于任意可数事件序列Λ1,Λ2,...，有
公理4：(乘积测度)定义为一个不确定空间，k＝1,2,…，乘积测度是一个不确定测度，满足
其中，Λk是从中任意选取的事件，k＝1,2,…。
定义1：一个不确定变量是从一个不确定空间到实数集的函数ξ，从而{ξ∈B}表示实数任意布尔集B的事件，即
ξ-1(B)＝{γ∈Γ|ξ(γ)∈B}
定义2：对于任意实数x，一个不确定变量ξ的不确定分布Φ定义为
对于一个规则不确定分布Φ(x)，当且仅当对于任意α∈[0,1]，有则逆函数Φ-1(α)表示ξ的逆不确定分布。
定理1：定义ξ1,ξ2,...,ξn为独立不确定变量，并分别具有规则不确定分布Φ1,Φ2,...,Φn。若f(ξ1,ξ2,...,ξn)是关于ξ1,ξ2,...,ξn的严格增函数，并关于ξm+1,ξm+2,...,ξn的严格减函数，那么
ξ＝f(ξ1,ξ2,...,ξn)
具有如下逆不确定分布
定义3：定义为一个不确定空间，T为一个有序集(如时间)。一个不确定过程是从到实数集的函数Xt(γ)，从而{Xt∈B}是每个时刻t实数任意布尔集B的事件。
定义4：定义Xt为一个不确定过程Xt，那么对于每个γ∈Γ，函数Xt(γ)被称为Xt的一个样本轨迹。
定义5：若对于每个时刻t，不确定变量Xt有不确定分布Φt(x)，那么不确定过程Xt具有不确定分布Φt(x)。
定义6：若Xt1,Xt2-Xt1,Xt3-Xt2,...,Xtk-Xtk-1为独立不确定变量，其中t1,t2,...,tk是满足t1＜t2＜...＜tk的任意时刻，那么不确定过程Xt具有独立增量。
在上述不确定性理论框架下，本发明所研究的产品性能退化过程，具有下列假设：
产品的性能退化过程总体趋势具有单调性，即退化过程不可逆。
加速试验中产品退化的机理保持一致。
产品在同一加速应力下，性能退化参数的采样时刻相同。
假设产品的性能退化过程可采用下式不确定过程来描述。
Xτ＝eτ+t-1/2σCτ (1)
其中，Xτ表示产品性能退化过程，e和σ分别表示偏移和扩散系数，τ表示时间t的单调增函数，如τ＝tβ，β为非负的非线性系数；Cτ表示每一时刻t服从正态不确定分布Cτ～N(0,τ)的不确定过程。进而，不确定过程Xτ在每一时刻t都是一个不确定变量，其不确定分布为，
考虑到ADT中退化过程与加速应力有关，假设加速应力si与退化率ei满足如下加速模型，
ei＝exp(α0+α1si) (3)
其中，α0和α1表示常数，si是第i个正则化后的加速应力水平。
其中，s0'为正常应力水平，si'为第i个实际加速应力水平，sH'为最高加速应力水平，si则是第i个正则后的加速应力水平；s0＝0。
如图1所示，原理如下：首先收集及预处理试验数据；然后进行加速退化不确定建模，需要对各加速退化过程进行建模，同时构造加速模型来表征加速应力与性能退化过程之间的关系，然后依赖于ADT数据的累积信度量化认知不确定性，估计模型参数。最后根据首穿时分布，给出可靠度和寿命评估结果。
具体步骤如图2所示，包括以下步骤：
步骤一、针对某批次产品，选择受试样本，并获取各个加速应力下每个受试样本在每个检测点的性能退化值；
本发明主要研究恒定应力加速退化试验(CSADT)的数据分析方法，设xijk为第i个加速应力水平下第j个受试样本的第k个性能退化检测值；tijk为该性能退化值对应的检测时间点。
i＝1,2,...K；j＝1,2,...,ni；k＝1,2,...,mij。其中，K为加速应力水平数目，ni为第i个应力水平下受试样本个数，mij为第i个应力水平下第j个样本的检测次数。
步骤二、针对每个加速应力水平下每个受试样本的每个性能退化值，进行归一化处理；
为了消除初值xij1的影响，对采集到的退化数据进行归一化处理；根据第i个加速应力水平下第j个受试样本的所有性能退化检测值的递增趋势或递减趋势，对性能退化检测值xijk的归一化分为以下两种：
1)若性能退化检测值呈现递减趋势，采用下式进行归一化处理：
其中，yijk为第i个加速应力水平下第j个受试样本的第k个性能退化检测值的归一化值；xij1为第i个加速应力水平下第j个样本的第1个性能退化检测值；
2)若性能退化检测值呈现递增趋势，采用下式进行归一化处理：
经过上述两种变换后得到的性能退化数据，都呈现出从零开始的递增退化趋势。
步骤三、针对每个加速应力水平下的性能退化过程，进行不确定过程建模，并构造加速模型来表征加速应力与性能退化过程之间的关系；
首先，在小样本状态下，采用式(1)描述每个加速应力水平下的性能退化过程；
然后，加速模型式(3)的选取依赖于试验应力条件，如温度应力下的阿伦尼乌斯模型、电应力下的幂律模型等，从对加速应力进行归一化处理。
最后，建立表征加速应力与性能退化过程之间关系的加速模型，如下，
ei＝exp(α0+α1si)
其中，ei表示第i个加速应力水平下的退化率，即偏移系数，α0和α1为常数；
步骤四、对各加速应力下各样本的ADT数据的累积信度进行不确定性量化，得到不确定变量的观测值集合中各元素的累积信度；
在小样本状态下，ADT试验获取的退化数据无法完全代表产品的总体信息，从而引起对产品可靠性与寿命评估的认知不确定性问题；针对此问题，本发明采用了一种客观获取累积信度的方法，从而在各加速应力条件下对退化数据开展认知不确定性量化，具体方法如下：
步骤401、根据不确定过程公式(1)，可知第i个加速应力水平下各样本在第k个检测点的性能退化值yik是一个服从正态不确定分布的不确定变量；
步骤402、获取第i个加速应力水平下所有受试样本在第k个检测点下的归一化性能退化值，构成不确定变量yik的观测值集合；
步骤403、将不确定变量yik的观测值集合中的元素从小到大排序；
步骤404、借鉴经验函数和近似中位秩公式，获取不确定变量yik的观测值集合中各元素的累积信度αijk；
采用修正方程表征专家对各元素的累积信度，如分配等间距的平均秩次法，公式如下：
αijk＝(j-0.3)/(Nik+0.4)
其中，j＝1,2,...,Nik；Nik为不确定退化变量yik中不重复元素的个数，元素个数的最大值为ni；αijk∈[0,1]。
当加速退化试验中各加速应力下仅有一个样本时，即ni＝Nik＝1，那么αijk＝0.5满足最大不确定性定理。
步骤五、利用累积信度并结合最小二乘原则，对加速模型和退化过程中的未知参数进行估计；
未知参数集为θ＝{α0,α1,σ,β}；
基于最小二乘原则，在各加速应力下对所有样本的各性能退化值，最小化累积信度αijk和性能退化值在不确定分布式(2)中所对应的实际信度Φ(yijk)之差的平方和，即输出目标函数Q：
其中，Q为目标函数，Φ(yijk)为归一化值yijk在不确定分布中所对应的实际信度；具体为：不确定过程Xτ在每一时刻t都是一个不确定变量，并服从正态不确定分布
利用Matlab程序，最小化目标函数Q即可得到未知参数集θ＝{α0,α1,σ,β}的估计值。
步骤六、根据首穿时分布和未知参数估计值，计算该批次产品的确信可靠度及确信可靠寿命的评估结果。
加速退化试验的目的是估计产品在正常应力水平s0下的可靠性与寿命指标，本发明提出的结合信度的不确定退化过程建模方法，为小样本状态下产品的可靠性与寿命评估提供依据。考虑产品性能退化是呈递增趋势，当退化过程首次穿越失效阈值时可认定产品失效，那么基于首穿时分布即可计算得到产品的可靠度与寿命指标。
具体步骤如下：
首先、为了量化产品存活的不确定测度，需要给出产品性能退化过程Xτ首次穿越失效阈值ω的时间tω所服从的不确定分布，即首穿时分布Υ(z)；
其中，z是失效阈值ω的时间tω的最大值；
Xτ是独立增量过程，由极值定理可知
由式(1)可知，τ是关于时间t的单调递增函数，τ＝tβ，从而式(6)可表示为
然后、根据首穿时分布Υ(z)式(7)得到确信可靠度RB；
计算公式如下，
其中，确信可靠度RB表示产品在t时刻存活的不确定测度；将未知参数集θ的估计值及s0＝0代入确信可靠度RB式(8)，得到正常使用条件下产品的确信可靠度曲线；
最后、根据产品的确信可靠度计算确信可靠寿命BL(α)，得到正常应力水平下的确信可靠寿命曲线；
其中，确信可靠寿命BL(α)是指确信可靠度RB(t)低于某一信度α时所对应的寿命下确界值。将未知参数集θ的估计值及s0＝0代入确信可靠寿命BL(α)式(9)，得到正常使用条件下产品的确信可靠寿命曲线。
实施例：
基于上述理论，对某电连接器的应力松弛加速退化试验数据开展可靠性与寿命评估工作，试验信息如表1所示。由表可知，每个应力下的试验样本量仅为6个，从而从样本推断总体时存在信息的缺乏，即可靠性与寿命评估中存在认知不确定性，因此基于不确定性理论结合信度开展可靠度及寿命评估。
表1电连接器应力松弛的恒定应力加速退化试验信息
| 类别 | 取值 |
| 加速应力水平(温度/℃) | 65,85,100 |
| 正常应力水平(温度/℃) | 40 |
| 各加速应力下的样本数目 | 6,6,6 |
具体步骤如下：
步骤一、试验数据收集及预处理。
原始恒定应力加速退化数据为递减趋势，因而采用下式进行归一化处理：
则可得到变换后的ADT数据如图3所示，失效阈值ω＝30，表示应力松弛退化到初值的30％，即认为失效。
步骤二、加速退化不确定建模，获取各加速应力下各个样本的ADT数据的累积信度，估计模型参数；
1.加速退化不确定建模；
假设产品性能退化服从如下不确定过程：
Xt＝et+t-1/2σCt
考虑到施加的加速应力为温度应力，因而采用阿伦尼乌斯模型来表征加速应力与性能退化过程之间的关系：
ei＝exp(α0+α1si)
其中，由表1可知，si'＝273.15+[65,85,100]，s0'＝273.15+40，sH'＝273.15＝100，则易知s0-3＝[0,0.4598,0.7814,1]。
2.获取累积信度；
分别对第i个应力下第k个监测点的不确定退化变量yik＝[yi1k,yi2k,...,yijk,...]进行从小到大排序，然后根据平均秩次法分别分配累积信度。如当Nik＝5时，αijk分别为[0.1296,0.3148,0.5,0.6852,0.8704]；当Nik取最大为6时，αijk分别为[0.1094,0.2656,0.4219,0.5781,0.7344,0.8906]。
3.采用不确定统计方法估计模型参数；
基于最小二乘原则，在各加速应力下对各个样本的各个性能退化量yijk，最小化累积信度αijk和性能退化量在不确定分布式(2)中所对应的实际信度Φ(yijk)之差的平方和，即输出目标函数Q
利用Matlab程序，最小化Q得到未知参数集θ＝{α0,α1,σ,β}的估计值如表2所示。
表2加速退化不确定模型的参数估计结果
| 参数 | α0 | α1 | σ | β | Q |
| 估计值 | -2.0934 | 1.8835 | 0.4974 | 0.4572 | 2.7311 |
步骤三、根据首穿时分布，给出确信可靠度评估结果。
将表2中参数集θ＝{α0,α1,σ,β}的估计值及s0＝0代入下式
即可得到正常使用条件下产品的确信可靠度曲线，如图4所示。
将表2中参数集θ＝{α0,α1,σ,β}的估计值代入确信可靠寿命式中
即可得到正常使用条件下产品的确信可靠寿命曲线，如图5所示。
Claims (6)
1.一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，其特征在于，具体步骤如下：
步骤一、针对某批次产品，选择受试样本，并获取每个加速应力下每个受试样本在每个检测点的性能退化值；
步骤二、针对每个加速应力水平下每个受试样本的每个性能退化值，进行归一化处理；
步骤三、针对每个加速应力水平下的性能退化过程，进行不确定过程建模，并构造加速模型来表征加速应力与性能退化过程之间的关系；
首先，采用如下不确定过程来表征每个加速应力水平下的性能退化过程：
Xτ＝eτ+t-1/2σCτ
其中，Xτ表示产品性能退化过程；e和σ分别表示偏移和扩散系数，τ表示时间t的单调增函数，满足τ＝tβ，β为非负的非线性系数；Cτ表示在每一时刻t，均服从正态不确定分布Cτ～N(0,τ)的不确定过程；
然后，采用如下公式对加速应力进行正则化：
其中，s0'为正常应力水平，si'为第i个实际加速应力水平，sH'为最高加速应力水平，si则是第i个正则后的加速应力水平；
最后，建立表征加速应力与性能退化过程之间的加速模型，如下，
ei＝exp(α0+α1si)
其中，ei表示第i个加速应力水平下的退化率，即偏移系数，α0和α1为常数；
步骤四、对各加速应力下各样本ADT数据的累积信度进行不确定性量化，得到不确定变量观测值集合中各元素的累积信度；
步骤五、利用累积信度并结合最小二乘原则，对加速模型和退化过程中的未知参数进行估计；
未知参数集为θ＝{α0,α1,σ,β}；
步骤六、根据首穿时分布和未知参数估计值，计算该批次产品的确信可靠度及确信可靠寿命的评估结果。
2.如权利要求1所述的一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，其特征在于，所述的步骤一中，加速应力水平数目为K个，集合为{1,2,...,i,...K}；在第i个加速应力水平下有ni个受试样本，集合为{1,2,...,j,...ni}；对第i个加速应力水平下第j个受试样本进行mij次性能检测，对应mij个性能退化值，集合为{1,2,...,k,...mij}；
设xijk为第i个加速应力水平下第j个受试样本的第k个性能退化检测值；tijk为该性能退化值对应的检测时间点。
3.如权利要求1所述的一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，其特征在于，所述的步骤二中，针对性能退化检测值xijk的归一化处理分为以下两种：
1)若性能退化检测值呈现递减趋势，采用下式进行归一化处理：
<mrow>
<msub>
<mi>y</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
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<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
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<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mi>k</mi>
</mrow>
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</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mfrac>
<mo>&times;</mo>
<mn>100</mn>
<mi>%</mi>
</mrow>
其中，yijk为第i个加速应力水平下第j个受试样本的第k个性能退化检测值的归一化值；xij1为第i个加速应力水平下第j个样本的第1个性能退化检测值；
2)若性能退化检测值呈现递增趋势，采用下式进行归一化处理：
<mrow>
<msub>
<mi>y</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
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<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mi>k</mi>
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<mo>-</mo>
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<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
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<mn>1</mn>
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</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mfrac>
<mo>&times;</mo>
<mn>100</mn>
<mi>%</mi>
<mo>.</mo>
</mrow>
4.如权利要求1所述的一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，其特征在于，所述的步骤四具体如下：
步骤401、根据不确定过程的公式，可知第i个加速应力水平下各样本在第k个检测点的性能退化值yik是一个服从正态不确定分布的不确定变量；
步骤402、获取第i个加速应力水平下所有受试样本在第k个检测点下的归一化性能退化值，构成不确定变量yik的观测值集合；
yik＝[yi1k,yi2k,...,yijk,...yinik]
步骤403、将不确定变量yik的观测值集合中的元素从小到大排序；
步骤404、借鉴经验函数和近似中位秩公式，获取不确定变量yik的观测值集合中各元素的累积信度αijk；
公式如下：
αijk＝(j-0.3)/(Nik+0.4)
其中，Nik为不确定退化变量yik中不重复元素的个数，元素个数的最大值为ni；αijk∈[0,1]。
5.如权利要求1所述的一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，其特征在于，所述的步骤五中，针对不确定变量yik的观测值集合中各元素的累积信度αijk结合最小二乘原则，计算未知参数的公式如下：
<mrow>
<mi>Q</mi>
<mo>=</mo>
<munder>
<mi>min</mi>
<mi>&theta;</mi>
</munder>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>K</mi>
</munderover>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</munderover>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>j</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<msub>
<mi>N</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msub>
</munderover>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>(</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
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</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
其中，Q为目标函数，Φ(yijk)为归一化值yijk在不确定分布中所对应的实际信度；具体为：不确定过程Xτ在每一时刻t都是一个不确定变量，并服从正态不确定分布
利用Matlab程序，最小化目标函数Q，即可得到未知参数集θ＝{α0,α1,σ,β}的估计值。
6.如权利要求1所述的一种基于不确定过程的加速退化建模评估方法，其特征在于，所述的步骤六具体步骤如下：
首先、将产品性能退化过程Xτ首次穿越失效阈值ω的时间tω定义为产品的失效时间，服从不确定分布，即首穿时分布Υ(z)；
如下所示；
其中，z是失效阈值ω的时间tω的最大值；
然后、根据不确定过程的极值定理得到：
然后、根据首穿时分布Υ(z)公式得到确信可靠度RB；
计算公式如下，
其中，确信可靠度RB表示产品在t时刻存活的不确定测度；将未知参数集θ的估计值及s0＝0代入确信可靠度RB的公式中，即得到正常应力水平下产品的确信可靠度曲线；
最后、根据产品的确信可靠度计算确信可靠寿命BL(α)，得到正常应力水平下的确信可靠寿命曲线；
<mrow>
<mi>B</mi>
<mi>L</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<munder>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mi>f</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>&le;</mo>
<mi>t</mi>
<mo>&le;</mo>
<mi>z</mi>
</mrow>
</munder>
<msub>
<mi>R</mi>
<mi>B</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>z</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
其中，确信可靠寿命BL(α)是指确信可靠度RB(t)低于某一信度α时所对应的寿命下确界值。
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