CN109766637B - 基于Krigng代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Kriging代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法，包括以下步骤：1）确定设计变量和随机变量；2）基于拉丁超立方取样法，抽取样本点并计算对应样本点的有限元仿真响应值；3）构建初始Kriging代理模型；4）基于满足拟合精度的Kiging代理模型，进行桥式起重机结构的可靠性优化设计。本发明将代理模型技术、优化设计和可靠性设计融合在一起，可以以较快的速度、较低的计算成本获取既经济又可靠的起重机结构设计方案。

Description

基于Krigng代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法

技术领域

本发明属于起重机械技术领域，具体涉及一种桥式起重机结构的可靠性优化方法，适用于通用桥式起重机箱形结构的可靠性优化设计，也适用于其他类型起重机结构的可靠性优化设计。

背景技术

长期以来，起重机金属结构设计一直沿用经验类比的许用应力设计法。这种设计方法计算繁琐，劳动强度大，只限在少数几个候选方案中进行分析比较，一般很难得到近乎最优的设计方案。

随着计算机技术的快速发展，可以建立设计过程能自动择取最优方案的一种迅速有效的方法，即优化设计，这种设计方法将优化法与计算机技术相结合，成为一种解决复杂设计问题的有效工具。

由于作用在起重机结构上的载荷一般都具有随机性，而且材料特性以及结构本身的几何尺寸也都是不确定的，这些因素的随机性都会影响到结构的可靠性和质量的稳定性，因此，考虑不确定性因素的可靠性设计更符合实际。

但现有起重机结构的优化设计都是基于确定性的，未考虑其内部所存在的不确定性因素，这种确定性的优化设计会导致产生不可靠的产品。而单纯考虑不确定性因素的可靠性设计，因没有进行优化而使产品性能没能达到最优。因此，将可靠性与优化相结合的可靠性优化设计理念才是最合理的设计方法。

但将可靠性集成到优化过程中时，由于需要满足预定义的可靠性需求，而使基于有限元的可靠性优化设计需要消耗昂贵的计算成本而难以承受。而基于传统力学理论的半理论、半经验设计公式的起重机结构可靠性优化设计，由于这些半理论、半经验设计公式不但设计繁琐，而且包含很多来自经验的设计参数，进一步增加了设计的复杂性和额外的不确定性。

目前，一种可以替代仿真计算的代理模型技术以其快速而精准的计算速度而得到业界的认可，并已广泛而成功地应用于很多领域。

发明内容

本发明的目的是解决现有起重机结构设计计算繁琐，计算成本昂贵，计算速度难以承受，难以快速获取符合实际、满足性能需求，具有一定可靠性的最优设计方案的难题，提供一种基于Kriging代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法，以方便而有效地获取满足性能要求并具有一定可靠性的起重机结构最优设计方案。

本发明所述的基于Kriging代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法是按照以下步骤进行的。

1）确定设计变量和随机变量

以桥式起重机主、端梁截面尺寸，包括主梁腹板高度d ₁，主梁翼缘板厚度d ₂，主梁主腹板厚度d ₃，主梁副腹板厚度d ₄，主梁主、副腹板外侧间距d ₅，端梁腹板高度d ₆，端梁翼缘板厚度d ₇，端梁腹板厚度d ₈，端梁主、副腹板外侧间距d ₉，大车轮距d ₁₀和隔板厚度d ₁₁作为设计变量；取额定起升载荷p ₁，小车质量p ₂，泊松比p ₃、弹性模量p ₄及上述主、端梁截面尺寸作为随机变量。

2）抽取样本点并计算对应样本点的仿真响应值

根据步骤1）确定的设计变量和随机变量，应用拉丁超立方法在各变量的取值范围内抽取随机样本点，并应用有限元法计算对应各样本点的仿真响应值，所述仿真响应值包括主梁跨中最大静应力σ _max、主梁跨中最大垂直静变形f _v、主梁水平动刚度f _H和垂直动刚度f _V。

3）构建Kriging代理模型

根据步骤2）确定的样本点及其对应的仿真响应值，构建4个Kriging代理模型，应用拟合优度法检查每个代理模型的拟合精度是否满足工程精度要求，满足则执行步骤4），不满足则增加样本点并重新构建Kriging代理模型，直至满足所需拟合精度。

4）进行起重机结构的可靠性优化设计

根据步骤3）建立的Kriging代理模型，应用序列二次规划法及基于性能度量法的改进均值法进行桥式起重机结构可靠性优化设计。

其中，所述步骤1）中的设计变量具有双重特性，即在优化层作为设计变量的主、端梁截面尺寸是确定值，在可靠性分析层作为随机变量的主、端梁截面尺寸是以设计变量为均值，满足正态分布的随机变量。

设计变量为：d = [d ₁, …, d ₁₁] ^T = [µ(x ₁), …, µ(x ₁₁)] ^T 。

随机变量为：[X, Y] ^T = [x ₁, …, x ₁₁, y ₁, …, y ₄] ^T 。

^lower ≤d≤d ^upper ，p ^lower ≤p≤p ^upper 。

式中，d = [d ₁, …, d ₁₁] ^T 为设计变量向量，p = [p ₁, …, p ₄] ^T 为随机变量向量，X, Y分别为随机设计向量和随机参数向量，d _i =µ(x _i ) (i=1, …, 11)；p _j =µ(y _j ) (j=1,…, 4)，d ^lower 和d ^upper 是设计变量向量d的上下限，p ^lower 和p ^upper 是随机变量向量p的上下限。

其中，所述步骤2）中抽取随机样本点并计算对应各样本点的仿真响应值的具体方法是应用拉丁超立方法在步骤1）所述各变量的取值范围内分别抽取m个训练样本点和m个测试样本点，并计算各样本点所对应的有限元仿真响应值。

其中，所述步骤3）构建Kriging代理模型的具体方法是：根据步骤2）抽取的m个训练样本点及其对应的有限元仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)，构建输入参数为(d ₁, …, d ₁₁，p ₁,…, p ₄)，输出参数分别为仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)的4个初始Kriging代理模型。令迭代次数t = 1，计算并判断代理模型的拟合精度。

本发明按照下述步骤构建满足精度要求的Kriging代理模型。

i) 应用拟合优度指标分别计算每个代理模型的拟合优度指标，即按照下述公式用复相关系数R-squared描述相关度的拟合优度指标。

式中，y _i 为测试样本点i (i∈t×m)的有限元仿真响应值，ŷ _i 为测试样本点i的Kriging估计值，ӯ为测试样本点的有限元仿真计算响应均值，k为测试样本点的个数，R ²为拟合优度指标Fgi，越接近1说明拟合精度越高。

ii) 判断拟合优度R ²是否大于给定的拟合优度指标值Fgi_t，如果大于则进行步骤4）；否则令t = t + 1，进行步骤iii)。

iii) 在步骤i）所述各变量的取值范围内重新产生t×m个训练样本点和t×m个测试样本点及其对应各样本点的有限元仿真响应值。

iv) 基于步骤iii)产生的t×m个训练样本点及其对应各样本点的有限元仿真响应值重新构建输入参数为(d ₁, …, d ₁₁，p ₁, …, p ₄)，输出参数分别为仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)的4个Kriging代理模型，并返回步骤i)。

Kriging是一个需要训练样本构建模型结构并预测新样本点响应的非参数化的插值模型，其一般表达式为：

G _K (x) = µ + S(x)。

这里µ为响应均值，S(x)为均值等于零方差等于σ ²的高斯随机过程，G _K (x)是样本点x的Kriging预测响应。

输入点的x _i 和x _j 协方差表示为：

Cov_{(i, j)} =σ ² R_{(i, j)}。

这里R是相关矩阵，它的(i, j)矩阵元定义为：

。

这里Corr (x _i , x _j )是相关函数；a _p 和b _p 是Kriging模型参数。

对于n个观测数据，X = [x₁, …, x_n]，及G = [G(x₁), …, G(x_n)]，Kriging模型的对数似然函数为：

。

其中，A为n×1阶单位向量，μ和σ ²通过最大化似然函数获取。

。

。

这样，对于任意给定点x' 的Kriging模型响应值，可以用下式预估：

G _K (x') = µ + r ^T R^-1(G－Aµ)。

这里r是x' 和取样点X = [x₁, …, x_n]的相关向量，r的第i个元素可以表示为r(i) = Corr(x', x _i )。

其中，所述步骤4）进行起重机结构可靠性优化设计的具体方法是根据步骤3）建立的Kriging代理模型，采用双层循环机制，外层应用序列二次规划法进行优化迭代，内层采用基于性能度量法的改进均值法进行起重机结构的可靠度计算。

所构建的起重机结构可靠性优化设计的数学模型为：

Find：d = [d ₁, …, d ₁₁]= [µ(x ₁), …, µ(x ₁₁)]。

Min：f(d, p)。

S.T. R ₁ = prob(g ₁(X, Y)≤0) = prob((σ _max－[σ])≤0)≥R _{a, 1}；

R ₂ = prob(g ₂(X, Y)≤0) = prob((f _v－[f _v])≤0)≥R _{a, 2}；

R ₃ = prob(g ₃(X, Y)≤0) = prob((f _H－[f _H])≤0)≥R _{a, 3}；

R ₄ = prob(g ₄(X, Y)≤0) = prob((f _V－[f _V])≤0)≥R _{a, 4}；

g ₁(d)=d ₁/d ₅－3≤0；

g ₂(d)=d ₆/d ₉－3≤0。

^lower ≤d≤d ^upper ，p ^lower ≤p≤p ^upper 。

式中，d=µ(X)，p=µ(Y)，分别为设计变量向量均值和随机参数向量均值；X(X =[x ₁, …, x ₁₁])和Y(Y = [y ₁, …, y ₄])分别为随机设计向量和随机参数向量；f(d, p)是目标函数，这里为起重机结构重量；d ^lower 和d ^upper 是设计变量向量d的上下限，p ^lower 和p ^upper 是随机变量向量p的上下限；g _id (d)≤0 (id = 1, 2)和R _α,jp ≤prob(g _jp (X, Y)≤0) (jp=1, …,4)分别是确定性约束和非确定性约束；prob(g _jp (X, Y)≤0)是满足第jp ^th个功能函数(g _jp (X, Y)≤0)的概率函数，这个概率不能小于希望的概率R _α,jp 。

对于Q235钢，[σ]≈176Mpa为许用正应力；[f _v]为起重机主梁的垂直许用静刚度，根据起重机设计规范取L/700，L为主梁跨度；[f _H]和[f _V]分别为起重机主梁的水平和垂直许用静刚度，根据规范分别取1.5Hz和2Hz。

由于本发明采用了上述技术方案，利用Kriging代理模型代替高保真有限元仿真计算，并应用内层基于性能度量法的改进均值法计算可靠度和外层序列二次规划法进行优化迭代的双层循环机制，能够快速、有效地获取起重机结构的可靠性优化设计方案。

因此，与背景技术相比，本发明具有以下实质性特点。

1）由于利用Kriging代理模型代替起重机结构高保真的有限元仿真计算，避免了原有基于有限元仿真计算的可靠性优化设计高昂的计算成本，及难以承受的计算时间。

2）在可靠性分析层，通过使用基于性能度量法的改进均值法计算概率约束的α百分特性完成概率约束的可靠性分析，避免了传统基于取样分析法高成本的计算工作量。

3）由于在优化中考虑了存在于结构中的固有非确定性因素，因此应用本发明方法能够在众多方案中快速择取既经济又可靠的最佳设计方案。

附图说明

图1是基于Kriging代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法流程图。

图2是桥式起重机主梁截面图及起重机结构参数。

图3是基于不同样本点构建Kriging模型的拟合优度R ²值变化情况。

图4是目标函数的收敛曲线，图中(a)为Kriging-RBDO，(b)为FEA-RBDO。

图5是α百分特性收敛曲线图，图中(a)为Kriging-RBDO，(b)为FEA-RBDO。

图6是最优设计的应力分析结果，图中(a)为Kriging-RBDO，(b)为FEA-RBDO。

图7是最优设计的静变形分析结果，图中(a)为Kriging-RBDO，(b)为FEA-RBDO。

图8是最优设计的水平动刚度分析结果，图中(a)为Kriging-RBDO，(b)为FEA-RBDO。

图9是最优设计的垂直动刚度分析结果，图中(a)为Kriging-RBDO，(b)为FEA-RBDO。

具体实施方式

下述实施例仅为本发明的优选技术方案，并不用于对本发明进行任何限制。对于本领域技术人员而言，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

以下结合附图和实施例对本发明作进一步的详细描述。

设计一额定起升载荷为20吨、跨度31.5米、小车质量5879千克的桥式起重机金属结构，结构所用材料为Q235钢，其弹性模量为2.11×10⁵MPa, 屈服应力为σ _s =235MPa，泊松比v =0.3。

本实施例基于Kriging代理模型对桥式起重机的金属结构进行可靠性优化设计。

1）确定设计变量和随机变量。

为实现基于Kriging代理模型的起重机金属结构的可靠性优化设计，取桥式起重机主梁和端梁的截面尺寸，即：主梁腹板高度d ₁，主梁翼缘板厚度d ₂，主梁主腹板厚度d ₃，主梁副腹板厚度d ₄，主梁主、副腹板外侧间距d ₅，端梁腹板高度d ₆，端梁翼缘板厚度d ₇，端梁腹板厚度d ₈，端梁主、副腹板外侧间距d ₉，大车轮距d ₁₀和隔板厚度d ₁₁为设计变量；取额定起升载荷p ₁，小车质量p ₂，泊松比p ₃、弹性模量p ₄及上述主、端梁截面尺寸为随机变量。如图2和表1所示。

2）抽取样本点并计算对应样本点的仿真响应值。

根据步骤1）确定的设计变量和随机变量，应用拉丁超立方法在各变量的取值范围（如表1所示）内分别抽取100个训练样本点和100个测试样本点，并应用有限元法计算各样本点所对应的仿真响应值，即：主梁跨中最大静应力σ _max、主梁跨中最大垂直静变形f _v、主梁水平动刚度f _H和垂直动刚度f _V。

3）构建Kriging代理模型。

根据步骤2）确定的100个训练样本点及其对应的有限元仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)，构建输入参数为(d ₁, …, d ₁₁，p ₁, …, p ₄)，输出参数分别为仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)的4个初始Kriging代理模型。

根据工程需要，设定满足工程精度要求的拟合优度指标Fgi_t为0.95，按照发明内容步骤3）进行迭代，当t =8时，即当训练样本点数为800时，构建的 4个Kriging代理模型的拟合优度指标分别为0.9637，0.9578，0.9600和0.9734，均大于给定的拟合精度0.95。这4个拟合优度指标分别是用800个测试样本点计算的，说明样本点为800时所构建的4个Kriging代理模型的拟合精度已经达到工程精度要求，可以用这4个Kriging代理模型来替代原有限元仿真计算进行后续的可靠性优化设计。迭代中各组样本点的拟合优度变化情况如图3所示。

4）进行起重机结构的可靠性优化设计。

基于步骤3）所确定的样本点数为800时所建立的4个Kriging代理模型，采用双层循环机制，即外层应用序列二次规划法进行优化设计，内层采用基于性能度量法的改进均值法进行起重机金属结构的可靠性度计算，进行起重机金属结构的可靠性优化设计。

这里随机变量服从正态分布，即：x _i ～N(d _i ,λd _i ) (i=1, …, 11)，y _i ～N(p _j ,λp _j )(j=1, …, 4)，λ为变异系数，取5%。根据工程需要，4个目标可靠度指标R _a,1，R _a,2，R _a,3，R _a,4分别设为0.998，0.99，0.77，0.77。优化结果见表2和图4～5。

通过上述可靠性优化结果，得到以下几点结论。

1）如表2所示，基于Kriging代理模型的可靠性优化(Kriging-RBDO)和基于有限元的可靠性优化设计(FEA-RBDO)的优化结果中，结构总质量分别比初始设计的结构质量减小了17.26%和16.19%，但Kriging-RBDO的CPU计算时间仅为FEA-RBDO的5%。

2）由于采用了基于性能度量法的改进均值法，其可靠度是用α百分特性衡量的，即当α百分特性小于等于零时，就说明该可靠度指标已经达到了目标可靠度要求。从表3和图5可以看到，Kriging-RBDO和FEA-RBDO各自可靠性约束的α百分特性都小于或接近于零，说明它们的可靠性约束已经达到了目标可靠性要求。同时，为了验证各约束的可靠度，应用蒙特卡洛法随机抽取10⁵个样本点，计算Kriging-RBDO各约束的可靠度如表3所示，分别为1，0.990，0.76，0.999，均大于或接近于目标可靠度指标值0.998，0.99，0.77，0.77。

3）为了验证Kriging-RBDO优化结果的各性能指标，对其优化结果进行了有限元仿真分析，结果如表3和图6～9，可以看出其优化结果与FEA-RBDO基本吻合。

Claims (5)

1.一种基于Kriging代理模型的桥式起重机结构可靠性优化方法，其特征在于包括以下步骤：

1）确定设计变量和随机变量

以桥式起重机主、端梁截面尺寸，包括主梁腹板高度d ₁，主梁翼缘板厚度d ₂，主梁主腹板厚度d ₃，主梁副腹板厚度d ₄，主梁主、副腹板外侧间距d ₅，端梁腹板高度d ₆，端梁翼缘板厚度d ₇，端梁腹板厚度d ₈，端梁主、副腹板外侧间距d ₉，大车轮距d ₁₀和隔板厚度d ₁₁作为设计变量；取额定起升载荷p ₁，小车质量p ₂，泊松比p ₃、弹性模量p ₄及上述主、端梁截面尺寸作为随机变量；

2）抽取样本点并计算对应样本点的仿真响应值

根据步骤1）确定的设计变量和随机变量，应用拉丁超立方法在各变量的取值范围内抽取随机样本点，并应用有限元法计算对应各样本点的仿真响应值，所述仿真响应值包括主梁跨中最大静应力σ _max、主梁跨中最大垂直静变形f _v、主梁水平动刚度f _H和垂直动刚度f _V；

3）构建Kriging代理模型

根据步骤2）确定的样本点及其对应的仿真响应值，构建4个Kriging代理模型，应用拟合优度法检查每个代理模型的拟合精度是否满足工程精度要求，满足则执行步骤4），不满足则增加样本点并重新构建Kriging代理模型，直至满足所需拟合精度；

4）进行起重机结构的可靠性优化设计

根据步骤3）建立的Kriging代理模型，应用序列二次规划法及基于性能度量法的改进均值法进行桥式起重机结构可靠性优化设计。

2.根据权利要求1所述的优化方法，其特征在于所述设计变量具有双重特性，在优化层作为设计变量的主、端梁截面尺寸是确定值，在可靠性分析层作为随机变量的主、端梁截面尺寸是以设计变量为均值，满足正态分布的随机变量。

3.根据权利要求1所述的优化方法，其特征在于在所述各变量的取值范围内分别抽取m个训练样本点和m个测试样本点，并计算各样本点所对应的有限元仿真响应值。

4.根据权利要求1所述的优化方法，其特征在于所述Kriging代理模型的构建是根据抽取的m个训练样本点及其对应的有限元仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)，构建输入参数为(d ₁,…, d ₁₁，p ₁, …, p ₄)，输出参数分别为仿真响应值(σ _max，f _v，f _H，f _V)的4个初始Kriging代理模型，令迭代次数t = 1，计算并判断代理模型的拟合精度。

5.根据权利要求1所述的优化方法，其特征在于所述起重机结构的可靠性优化设计是根据建立的Kriging代理模型，采用双层循环机制，外层应用序列二次规划法进行优化迭代，内层采用基于性能度量法的改进均值法进行起重机结构的可靠度计算。

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