CN112765738B - 一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法，包括如下步骤：根据III阶模态振型分析确定叶轮和轴承所在节点的振动位移量值X_iIII；构建振动位移量值集合关于环形密封等效刚度K的函数；构造环形密封等效刚度K的评价函数并通过牛顿迭代法得出K的最优解K^※；构造环形密封间隙C和环形密封半径R的点集并计算，得到拟合函数f_k(R，C)；建立评价函数f_RC，求解f_RC极小值时对应的环形密封间隙C、环形密封半径R。本发明基于转子系统的模态分析，构建环形密封间隙C、环形密封半径R的评价函数，实现环形密封结构的参数设计与优化。

Description

一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法

技术领域

本发明涉及离心泵领域，具体涉及一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法。

背景技术

离心泵是应用最广泛的泵，不仅应用于石油、化工、水利等工农业领域，而且应用于航空、核能等高科技领域。离心泵中存在大量的环形间隙密封结构，如环形密封、级间密封以及平衡鼓等结构存在，这些环形间隙密封结构会对离心泵的轴系造成一定的影响，环形间隙密封结构参数的变化会引起此处流体激励力及其等效动力学特性的变化，进而改变整个离心泵转子系统的模态振型与动力学响应。目前对环形间隙密封结构的优化改造往往都从泄漏量和磨损角度进行，并根据叶轮结构和经验选择对应的环形间隙密封结构，但考虑到环形间隙密封结构的加入必然会影响转子系统振动特性，导致结构设计与预想出现较大偏差，因此，利用转子系统模态特性分析结果进行环形密封结构的参数设计与优化，具有一定的可行性与重要的工程应用价值。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法，用以环形间隙密封结构设计的优化。

为解决上述技术问题，本发明提供一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法，包括如下步骤：

步骤1、根据Ⅲ阶模态振型分析确定叶轮和轴承所在节点的振动位移量值X_iⅢ；

步骤2、构建振动位移量值集合关于K的函数；

步骤3、构造环形密封等效刚度K的评价函数并通过牛顿迭代法得出K的最优解K^※；

步骤4、构造环形密封间隙C、环形密封半径R的点集并计算，得到拟合函数f_k(R,C)；

步骤5、建立评价函数f_RC，求解f_RC极小值时对应的环形密封间隙C、环形密封半径R。

作为本发明一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法的改进，所述步骤1包括：

步骤1.1、根据多级离心泵转子系统与各转子部件的几何参数，建立n级离心泵转子系统Ⅲ阶模态振型，包括n个叶轮所在质量节点：节点1、节点2、……、节点n，轴承1所在质量节点为节点a，轴承2所在质量节点为节点b，环形密封等效刚度K依次取K₁、K₂、K₃…K_m共m组不同的值；

步骤1.2、以各阶环形密封等效刚度K₁、K₂、K₃…K_m为算例，分别进行n级离心泵转子系统模态分析，n个叶轮、轴承1和轴承2所在质量节点的Ⅲ阶的振动位移量为：

X_iⅢ＝(z_i1、z_i2……z_in、z_ia、z_ib)，

其中：i＝1，2，3…m；

z_i1为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点1的振动位移量值；

z_i2为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点2的振动位移量值；

…

z_in为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点n的振动位移量值；

z_ia为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点a的振动位移量值；

z_ib为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点b的振动位移量值。

作为本发明一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法的改进，所述步骤2包括：

构建n级离心泵转子系统上同一节点的Ⅲ阶模态振型下的n个叶轮所在质量节点的振动位移量值集合(z₁₁、z₂₁、z₃₁…z_m1)、(z₁₂、z₂₂、z₃₂…z_m2)、(z₁₃、z₂₃、z₃₃…z_m3)……(z_1n、z_2n、z_3n…z_mn)关于环形密封等效刚度K的函数分别为：f_Ⅲ1(k)、f_Ⅲ2(k)、f_Ⅲ3(k)……f_Ⅲn(k)，

构建2个轴承节点的振动位移量值集合(z_1a、z_2a、z_3a…z_ma)、(z_1b、z_2b、z_3b…z_mb)关于环形密封等效刚度K的函数分别为：f_Ⅲa(k)、f_Ⅲb(k)。

作为本发明一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法的进一步改进，所述步骤3包括：

步骤3.1、选取n个叶轮最大允许位移量C_yelunmax及2个轴承最大允许位移量C_bmax，C_yelunmax与C_bmax均为常数；

步骤3.2、构造环形密封等效刚度K的评价函数：

步骤3.3、求解环形密封等效刚度K的评价函数的最小值，得到K的最优解K^※：

给定初始点K₀，控制误差ε，并令n＝0，

1)计算f′(K_n)和f″(K_n)；

2)求

3)若|K_n+1-K_n|≤ε，则求得近似解K^※＝K_n+1，停止计算，否则进行4)；

4)令n←n+1，进行1)；

其中，K_n+1、K_n均为K的最优解的近似点，f′(K_n)为函数f(k)在k＝K_n处的一阶导数值，f″(K_n)为函数f(k)在k＝K_n处的二阶导数值，n为迭代次数。

作为本发明一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法的进一步改进，所述步骤4包括：

步骤4.1、对于n个叶轮的环形密封处间隙依次取n组不同的值，建立环形密封间隙C的取值点集M：

M＝{C₁、C₂、C₃、……、C_n}；

对于n个叶轮的环形密封半径R依次取n组不同的值：

R_n＝R_轮毂+C_nΔR，其中ΔR＝R_轮-R_轮毂，其中R_轮为叶轮半径，R_轮毂为轮毂半径，则：

N＝{R₁、R₂、R₃、……、R_n}；

步骤4.2、建立拟合函数f_k(R,C)如下：

其中

A₁、A₂、A₃、A₄为常数；A₁₀、A₁₁、A₁₂、A₁₃、A₁₄、A₁₅、A₁₆均为常数。

作为本发明一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法的进一步改进，所述步骤5包括：

步骤5.1、构建R、C、K的最优解的评价函数如下：

f_RC＝|f_k(R,C)-K^※|²；

步骤5.2、求解评价函数

极小值时对应的环形密封间隙C和环形密封半径R，过程如下：

1)取环形密封间隙C和半径R的初始值C₀和R₀；

2)给定初始点X⁰＝(R₀ C₀)^T，收敛精度ε，置n←0；

3)计算

和

4)求Xⁿ⁺¹＝Xⁿ+d^k；

5)检查收敛精度，若||Xⁿ⁺¹-Xⁿ||<ε，则X^※＝Xⁿ⁺¹，停止计算；否则，置n←n+1，返回步骤2)继续进行搜索；

6)得到环形密封间隙C、环形密封半径R，经n次迭代，当函数极小值f(X^※)＝0时，极小值点X^※＝(R_n+1C_n+1)，则环形密封间隙C、环形密封半径R分别为C_n+1和R_n+1；

其中，

为f(X)在近似点Xⁿ处的梯度，

为f(X)在Xⁿ点处的海赛矩阵，d^k是第k+1次搜索或迭代方向，Xⁿ⁺¹、Xⁿ均为初始点的下一个近似点。

本发明的有益效果主要体现在：

1、针对多级流程离心泵转子系统振动特点和环形间隙密封结构优化的研究不足，基于转子系统的模态分析，构建环形密封间隙C、环形密封半径R的评价函数，实现环形密封结构的参数设计与优化；

2、为了保证结构设计准确，基于转子系统的模态分析，反演轴系结构的振动失稳情况，进而对环形间隙密封结构进行优化。

附图说明

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。

图1是本发明一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法的流程示意图；

图2是本发明n级离心泵转子系统Ⅲ阶模态振型的节点分布示意图；

图3是本发明十级离心泵转子系统Ⅲ阶模态振型的节点分布示意图；

图4是本发明的多级离心泵环形密封结构局部示意图；

图5是本发明十级离心泵转子系统Ⅲ阶模态振型的部分周期的谐响应振动位移曲线图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行进一步描述，但本发明的保护范围并不仅限于此：

实施例1、一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法，如图1-5所示，先根据多组环形密封等效刚度K和振动的关系获得了求解环形密封等效刚度K的最优值的函数，并求解获得了环形密封等效刚度K的最优值(此时可使多级离心泵的振动最小)，然后建立环形密封等效刚度K的最优值构建评价函数f_RC，最终目的是通过评价函数f_RC可以找到最佳的环形密封结构参数，即环形密封间隙C和环形密封半径R，实现环形密封结构参数设计与优化，具体包括以下步骤：

步骤1、根据Ⅲ阶模态振型分析确定叶轮和轴承所在节点振动位移量值

步骤1.1、根据多级离心泵转子系统与各转子部件的几何参数，建立n级离心泵转子系统运动-受力模型(即Ⅲ阶模态振型)，包括n个叶轮所在质量节点和2个轴承节点，即将叶轮1标定为节点1，叶轮2标定为节点2，叶轮3标定为节点3……，叶轮n标定为节点n，轴承1所在质量节点标定为节点a，轴承2所在质量节点标定为节点b，共计n+2个节点的位置，如图2所示，该模型中，环形密封等效刚度K依次取m组不同的值，即K₁、K₂、K₃…K_m；

步骤1.2、以步骤1.1中确定各阶环形密封等效刚度K₁、K₂、K₃…K_m为算例，分别进行n级离心泵转子系统模态分析，n个叶轮所在质量节点(节点1、节点2、节点3……，节点n)和轴承1所在节点a、轴承2所在节点b的Ⅲ阶的振动位移量为：

X_iⅢ＝(z_i1、z_i2……z_in、z_ia、z_ib)，

其中：i＝1，2，3…m；

z_i1为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点1的振动位移量值；

z_i2为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点2的振动位移量值；

…

z_in为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点n的振动位移量值；

z_ia为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点a(轴承1)的振动位移量值；

z_ib为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点b(轴承2)的振动位移量值；

针对n级离心泵转子系统运动-受力模型时，K可取任意组，此处取m组，此处的K₁至K_m的取值必须在1e3至1e7之间，同时m必须大于15；

步骤2、振动位移量值集合关于K的函数

构建n级离心泵转子系统上同一节点的Ⅲ阶模态振型下的n个叶轮所在质量节点的振动位移量值集合(z₁₁、z₂₁、z₃₁…z_m1)、(z₁₂、z₂₂、z₃₂…z_m2)、(z₁₃、z₂₃、z₃₃…z_m3)……(z_1n、z_2n、z_3n…z_mn)关于K的函数为：f_Ⅲ1(k)、f_Ⅲ2(k)、f_Ⅲ3(k)……f_Ⅲn(k)，

构建2个轴承节点的振动位移量值集合(z_1a、z_2a、z_3a…z_ma)、(z_1b、z_2b、z_3b…z_mb)关于K的函数为：f_Ⅲa(k)、f_Ⅲb(k)；

步骤3、构造环形密封等效刚度K的评价函数并通过牛顿迭代法得出K的最优解

步骤3.1、根据转子系统与壳体结构参数，参照环形密封间隙经验值，在保证振动位移不会超过环形密封最大间隙值前提下，选取n个叶轮最大允许位移量C_yelunmax及2个轴承最大允许位移量C_bmax，C_yelunmax与C_bmax均为常数；

步骤3.2、构造基于转子系统Ⅲ阶模态分析结果的环形密封等效刚度K的评价函数如下：

其中，f_Ⅲn(k)、f_Ⅲa(k)、f_Ⅲb(k)均为环形密封等效刚度K的评价函数；

步骤3.3、根据牛顿迭代法，求解环形密封等效刚度K的评价函数的最小值，得到K的最优解K^※，求解过程如下：

给定初始点K₀，控制误差ε，并令n＝0，

1)计算f′(K_n)和f″(K_n)；

2)求

3)若|K_n+1-K_n|≤ε，则求得近似解K^※＝K_n+1，停止计算，否则进行4)；

4)令n←n+1，进行1)；

其中，K_n+1、K_n均为K的最优解的近似点，f′(K_n)为函数f(k)在k＝K_n处的一阶导数值，f″(K_n)为函数f(k)在k＝K_n处的二阶导数值，n为迭代次数)；

步骤4、构造环形密封结构参数的点集并计算，得到拟合二维函数f_k(R,C)

步骤4.1、分别建立环形密封间隙C的取值点集M和环形密封半径R的取值点集N

环形密封间隙C、环形密封半径R、叶轮半径R_轮、轮毂半径R_轮毂如图4所示；根据小扰动模型下环形密封动力学特性方法，对于n个叶轮的环形密封处间隙依次取n组不同的值，则：

M＝{C₁、C₂、C₃、……、C_n}；

环形密封处半径R依次取n组不同的值，即：R_n＝R_轮毂+C_nΔR，其中ΔR＝R_轮-R_轮毂，则：

N＝{R₁、R₂、R₃、……、R_n}；

步骤4.2、在设计工况及叶轮结构确定情况下，仅需设计环形密封间隙C和环形密封半径半径R，在环形密封间隙C的取值点集M和环形密封半径R的取值点集N中随机组合求取n²组对应的环形密封等效刚度K，则拟合函数f_k是与R及C相关的函数，拟合函数如下：

其中

A₁、A₂、A₃、A₄为常数；A₁₀、A₁₁、A₁₂、A₁₃、A₁₄、A₁₅、A₁₆均为常数。

步骤5、建立评价函数f_RC，求解其极小值时对应的环形密封间隙C、环形密封半径R

建立环形密封间隙C、环形密封半径R和环形密封等效刚度K最优解的评价函数f_RC，与步骤3.3相似，然后采用适用于二维函数的改进的牛顿型迭代优化方法，求解评价函数f_RC极小值时对应的环形密封间隙C和环形密封半径R；

步骤5.1、构建环形密封间隙C、环形密封半径R和环形密封等效刚度K的最优解的评价函数如下：

f_RC＝|f_k(R,C)-K^※|²，

其中拟合函数f_k(R,C)由步骤4.2确定，K为环形密封等效刚度，K^※为步骤3.3中的K的最优解；

步骤5.2、根据阻尼牛顿迭代优化方法，求解评价函数

极小值时对应的环形密封结构参数：环形密封间隙C和环形密封半径R。

求解过程如下：

1)根据设计经验，取环形密封间隙C和半径R的初始值C₀和R₀；

2)给定初始点X⁰＝(R₀ C₀)^T，收敛精度X，置n←0；

3)计算

和

4)求Xⁿ⁺¹＝Xⁿ+d^k；

5)检查收敛精度，若||Xⁿ⁺¹-Xⁿ||<ε，则X^※＝Xⁿ⁺¹，停止计算；否则，置n←n+1，返回步骤2)继续进行搜索；

6)得到环形密封间隙C、环形密封半径R，经n次迭代，当函数极小值f(X^※)＝0时，此时的极小值点X^※＝(R_n+1C_n+1)，则环形密封间隙C、环形密封半径R分别为C_n+1和R_n+1；

其中，

为f(X)在近似点Xⁿ处的梯度，

为f(X)在Xⁿ点处的海赛矩阵，d^k是第k+1次搜索或迭代方向，Xⁿ⁺¹、Xⁿ均为初始点的下一个近似点。

实验1：

按实施例1的过程，对具有十级离心泵转子系统进行环形密封结构设计，过程如下：

步骤1、根据Ⅲ阶模态分析确定叶轮和轴承所在节点振动位移量值。

步骤1.1、根据多级离心泵转子系统与各转子部件的几何参数，建立十级离心泵转子系统运动-受力模型，并标定所需10个叶轮和2个轴承所在共计12个节点的位置，如图3所示；该模型中，环形密封等效刚度K依次取17组不同的值，即K₁＝1×10³、K₂＝1×10⁴、K₃＝3×10⁴、K₄＝5×10⁴、K₅＝7×10⁴、K₆＝9×10⁴、K₇＝1×10⁵、K₈＝3×10⁵、K₉＝5×10⁵、K₁₀＝7×10⁵、K₁₁＝9×10⁵、K₁₂＝1×10⁶、K₁₃＝3×10⁶、K₁₄＝5×10⁶、K₁₅＝7×10⁶、K₁₆＝9×10⁶、K₁₇＝1×10⁷。

步骤1.2、以步骤1.1中确定各阶环形密封等效刚度K₁、K₂……K₁₇为算例分别进行十级离心泵转子系统模态分析：

1)、取Ⅲ阶环形密封等效刚度为K₁＝1×10³，进行十级离心泵转子系统模态分析，并提取步骤1.1中确定的12个节点，即10个叶轮所在质量节点(9、11、13、15、17、18、20、22、24、26)和2个轴承所在节点(4、29)的Ⅲ阶的振动位移，以米为量纲；

Ⅲ阶模态振型中12个节点的位移向量为：X_1Ⅲ＝(Z_{1 1}、Z_{1 2}……Z_{1 10}、Z_{1 11}、Z_{1 12})，

代入结果数据为X_1Ⅲ＝(-0.029356、-0.0099531、0.010745、0.027527、0.036659、0.033893、0.021446、0.0027144、-0.017699、-0.035079、-0.016782、-0.014833)。

2)、K₂＝1×10⁴算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_2Ⅲ＝(Z_{2 1}、Z_{2 2}……Z_{2 10}、Z_{2 11}、Z_{2 12})，

代入结果数据为X_2Ⅲ＝(-0.028604、-0.0096982、0.010469、0.026822、0.035720、0.033025、0.020897、0.0026449、-0.017246、-0.034181、-0.016353、-0.014453)。

3)、K₃＝3×10⁴算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_3Ⅲ＝(Z_{3 1}、Z_{3 2}……Z_{3 10}、Z_{3 11}、Z_{3 12})，

代入结果数据为X_3Ⅲ＝(-0.028922、-0.0098058、0.010586、0.02712、0.036116、0.033391、0.021129、0.0026743、-0.017437、-0.03456、-0.016534、-0.014613)。

4)、K₄＝5×10⁴算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_4Ⅲ＝(Z_{4 1}、Z_{4 2}……Z_{4 10}、Z_{4 11}、Z_{4 12})，

代入结果数据为X_4Ⅲ＝(-0.029204、-0.0099016、0.010689、0.027385、0.036469、0.033717、0.021335、0.0027004、-0.017607、-0.034898、-0.016696、-0.014756)。

5)、K₅＝7×10⁴算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_5Ⅲ＝(Z_{5 1}、Z_{5 2}……Z_{5 10}、Z_{5 11}、Z_{5 12})，

代入结果数据为X_5Ⅲ＝(-0.028772、-0.0097551、0.010531、0.02698、0.035929、0.033218、0.021019、0.0026604、-0.017347、-0.034381、-0.016448、-0.014538)。

6)、K₆＝9×10⁴算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_6Ⅲ＝(Z_{6 1}、Z_{6 2}……Z_{6 10}、Z_{6 11}、Z_{6 12})，

代入结果数据为X_6Ⅲ＝(-0.028570、-0.0096866、0.010457、0.02679、0.035677、0.032985、0.020872、0.0026418、-0.017225、-0.03414、-0.016333、-0.014436)。

7)、K₇＝1×10⁵算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_7Ⅲ＝(Z_{7 1}、Z_{7 2}……Z_{7 10}、Z_{7 11}、Z_{7 12})，

代入结果数据为X_7Ⅲ＝(-0.028691、-0.0097275、0.010501、0.026903、0.0035828、0.033124、0.020960、0.0026529、-0.017298、-0.034284、-0.016402、-0.014497)。

8)、K₈＝3×10⁵算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_8Ⅲ＝(Z_{8 1}、Z_{8 2}……Z_{8 10}、Z_{8 11}、Z_{8 12})，

代入结果数据为X_8Ⅲ＝(-0.028549、-0.0096795、0.010449、0.026771、0.0035651、0.032961、0.020856、0.0026398、-0.017212、-0.034115、-0.016321、-0.014425)。

9)、K₉＝5×10⁵算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_9Ⅲ＝(Z_{9 1}、Z_{9 2}……Z_{9 10}、Z_{9 11}、Z_{9 12})，

代入结果数据为X_9Ⅲ＝(-0.028621、-0.0097038、0.010475、0.026838、0.0035741、0.033044、0.020909、0.0026765、-0.017256、-0.034201、-0.016362、-0.014461)。

10)、K₁₀＝7×10⁵算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_10Ⅲ＝(Z_{10 1}、Z_{10 2}……Z_{10 10}、Z_{10 11}、Z_{10 12})，

代入结果数据为X_10Ⅲ＝(-0.02857、-0.0096866、0.010457、0.02679、0.0035677、0.032985、0.020872、0.0026418、-0.017225、-0.03414、-0.016333、-0.014436)。

11)、K₁₁＝9×10⁵算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_11Ⅲ＝(Z_{11 1}、Z_{11 2}……Z_{11 10}、Z_{11 11}、Z_{11 12})，

代入结果数据为X_11Ⅲ＝(-0.028527、-0.009672、0.010441、0.02675、0.0035623、0.032935、0.02084、0.0026378、-0.017199、-0.034088、-0.016308、-0.014414)。

12)、K₁₂＝1×10⁶算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_4Ⅲ＝(Z_{12 1}、Z_{12 2}……Z_{12 10}、Z_{12 11}、Z_{12 12})，

代入结果数据为X_4Ⅲ＝(-0.028465、-0.0096509、0.010418、0.026691、0.035546、0.032863、0.020795、0.0026320、-0.017161、-0.034014、-0.016273、-0.014382)。

13)、K₁₃＝3×10⁶算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_13Ⅲ＝(Z_{13 1}、Z_{13 2}……Z_{13 10}、Z_{13 11}、Z_{13 12})，

代入结果数据为X_13Ⅲ＝(-0.028555、-0.0096813、0.010451、0.026775、0.0035658、0.032967、0.02086、0.0026403、-0.017216、-0.034121、-0.016324、-0.014428)。

14)、K₁₄＝5×10⁶算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_14Ⅲ＝(Z_{14 1}、Z_{14 2}……Z_{14 10}、Z_{14 11}、Z_{14 12})，

代入结果数据为X_14Ⅲ＝(-0.028520、-0.0096695、0.010438、0.026743、0.0035614、0.032927、0.020835、0.0026371、-0.017195、-0.03408、-0.016304、-0.014410)。

15)、K₁₅＝7×10⁶算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_15Ⅲ＝(Z_{15 1}、Z_{15 2}……Z_{15 10}、Z_{15 11}、Z_{15 12})，

代入结果数据为X_15Ⅲ＝(-0.028494、-0.0096608、0.010429、0.026719、0.0035582、0.032897、0.020816、0.0026347、-0.017179、-0.034049、-0.016289、-0.014397)。

16)、K₁₆＝9×10⁶算例下，Ⅲ阶模态振型各节点的位移向量：X_16Ⅲ＝(Z_{16 1}、Z_{16 2}……Z_{16 10}、Z_{16 11}、Z_{16 12})，

代入结果数据为X_16Ⅲ＝(-0.028587、-0.0096923、0.010463、0.026806、0.0035698、0.033004、0.020884、0.0026433、-0.017235、-0.03416、-0.016343、-0.014444)。

17)、K₁₇＝1×10⁷算例下，X_17Ⅲ＝(Z_{17 1}、Z_{17 2}……Z_{17 10}、Z_{17 11}、Z_{17 12})，

代入结果数据为X_17Ⅲ＝(-0.028488、-0.0096587、0.010427、0.026712、0.035574、0.032890、0.020812、0.0026342、-0.017175、-0.034042、-0.016286、-0.014394)。

步骤2、构建振动位移量值集合关于K的函数

构建转子系统上同一节点的Ⅲ阶模态振型下步骤1.1确定的12个节点的振动位移量值集合关于K的函数：

(Z_{1 1}、Z_{2 1}、Z_{3 1}……Z_{16 1}、Z_{17 1})、(Z_{1 2}、Z_{2 2}、Z_{3 2}……Z_{16 2}、Z_{17 2})、(Z_{1 3}、Z_{2 3}、Z_{3 3}……Z_{16 3}、Z_{17 3})……(Z_{1 11}、Z_{2 11}、Z_{3 11}……Z_{16 11}、Z_{17 11})、(Z_{1 12}、Z_{2 12}、Z_{3 12}……Z_{16 12}、Z_{17 12})关于K的函数为f_Ⅲ1(k)、f_Ⅲ2(k)、f_Ⅲ3(k)……f_Ⅲ11(k)、f_Ⅲ12(k)；

拟合函数形式为：

表1

步骤3、构造环形密封等效刚度评价函数并通过牛顿迭代法得出K的最优解。

步骤3.1、根据转子系统与壳体结构参数，参照环形密封间隙经验值，在保证振动位移不会超过环形密封最大间隙值前提下，选取10个叶轮最大允许位移量C_yelunmax及2个轴承最大允许位移量C_bmax，C_yelunmax与C_bmax均为常数(如根据工程设计经验，某切焦泵对应参数分别为1e-4、2e-5，量纲为米)。

步骤3.2、构造基于转子系统Ⅲ阶模态分析结果的环形密封等效刚度K的评价函数如下：

将f_Ⅲ1(k)、f_Ⅲ2(k)、f_Ⅲ3(k)……f_Ⅲ10(k)、f_Ⅲ11(k)、f_Ⅲ12(k)代入上式并化简可得评价函数f_环形密封，即：

其中A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂……A₁₂、B₁₂、C₁₂详见表1。

步骤3.3、根据牛顿迭代法，求解评价函数最小值，得到K的最优解K^※，求解过程如下：

给定初始点K₀＝1.1086×10⁷，控制误差ε，并令n＝0，

1)计算f′(K_n)和f″(K_n)；

2)求

3)若|K_n+1-K_n|≤ε，则求得近似解K^※＝K_n+1，停止计算，否则进行4)；

4)令n←n+1，进行1)；

5)最终求得K^※＝1.3157×10⁷。

其中K_n+1、K_n均为K的最优解的近似点，f′(K_n)为函数f_环形密封在k＝K_n处的一阶导数值，f″(K_n)为函数f_环形密封在k＝K_n处的二阶导数值，n为迭代次数。

步骤4、构造环形密封结构参数的点集并计算，得到拟合函数f_k(R,C)

步骤4.1、分别建立环形密封参数间隙C和半径R的两个取值的的点集M和N

环形密封参数C、环形密封半径R、叶轮半径R_轮、轮毂半径R_轮毂如图4所示；根据小扰动模型下环形密封动力学特性方法，环形密封处间隙依次取10组不同的值，即C₁＝5×10^{- 5}m、C₂＝1×10^-4m、C₃＝1.5×10^-4m、C₄＝2×10^-4m、C₅＝2.5×10^-4m、C₆＝3×10^-4m、C₇＝3.5×10^-4m、C₈＝4×10^-4m、C₉＝4.5×10^-4m、C₁₀＝5×10^-4m，则M＝{5×10^-5、1×10^-4、1.5×10^-4、2×10^-4、2.5×10^-4、3×10^-4、3.5×10^-4、4×10^-4、4.5×10^-4、5×10^-4}；

环形密封处半径依次取10组不同的值，针对本10级模型泵，R₁＝7.92×10^-2m、R₂＝8.49×10^-2m、R₃＝9.05×10^-2m、R₄＝9.62×10^-2m、R₅＝0.102m、R₆＝0.108m、R₇＝0.113m、R₈＝0.119m、R₉＝0.125m、R₁₀＝0.130m；则N＝{7.92×10^-2、8.49×10^-2、9.05×10^-2、9.62×10^-2、0.102、0.108、0.113、0.119、0.125、0.130}。

步骤4.2、在设计工况及叶轮结构确定情况下，仅需设计环形密封间隙C和环形密封半径R，在环形密封间隙点集M和环形密封半径点集N中随机组合求取50组对应的环形密封等效刚度K，则拟合函数f_k是与R及C相关的函数，拟合函数如下：

其中

A₁、A₂、A₃、A₄为常数；A₁₀、A₁₁、A₁₂、A₁₃、A₁₄、A₁₅、A₁₆均为常数。

步骤5、建立评价函数f_RC，求解其极小值时对应的环形密封结构参数：环形密封间隙C和环形密封半径R：

建立评价函数f_RC，与步骤3.3相似，然后采用适用于二维函数的改进的牛顿型迭代优化方法，求解评价函数f_RC极小值时对应的环形密封间隙C和环形密封半径R；

步骤5.1、构建评价函数如下：

f_RC＝|f_k(R,C)-K^※|²，其中拟合函数f_k(R,C)由步骤4.2确定，

其中K为环形密封等效刚度，K^※＝1.3157×10⁷。

步骤5.2、根据阻尼牛顿迭代优化方法，求解评价函数

极小值时对应的环形密封间隙C和环形密封半径R。

求解过程如下：

1)取R₀＝0.1m，C₀＝2.5×10^-4，给定初始点X⁰＝(R₀ C₀)^T，收敛精度ε，置n←0；

2)计算

和

3)求Xⁿ⁺¹＝Xⁿ+d^k；

4)检查收敛精度。若||Xⁿ⁺¹-Xⁿ||<ε，则X^※＝Xⁿ⁺¹，停止计算；否则，置n←n+1，返回步骤2)继续进行搜索；

5)得到环形密封间隙C和环形密封半径R；经多次迭代，当函数极小值f(X^※)＝0时，此时的极小值点X^※＝(0.104 2×10^-4)，则环形密封间隙C和环形密封半径R分别取为0.104和2×10^-4，

其中

为f(X)在近似点Xⁿ处的梯度，

为f(X)在Xⁿ点处的海赛矩阵，d^k是第k+1次搜索或迭代方向，Xⁿ⁺¹、Xⁿ均为初始点的下一个近似点。

6、验证环形密封结构参数优化准确性。

步骤6.1、在十级离心泵转子系统中分别设置环形密封结构改进前的初始参数(R₀、C₀、K₀)和改进后的优化参数(R、C、K)进行谐响应模态分析，分别得到谐响应振动位移曲线，其中R₀＝0.1m、C₀＝2.5×10^-4、K₀＝1.1086×10^-7、R＝0.104m、C＝2×10^-4、K＝1.3157×10^-7。

如图5所示为选取了部分周期的谐响应振动位移曲线，通过设置改进后的优化参数得到的谐响应振动位移幅值明显低于设置改进前的初始参数得到的位移幅值，改进前该泵的振动约为5.83微米，改进设计后振动为5.3微米，环形密封结构参数优化后可以明显降低泵的振动位移幅值，保证结构设计准确，因此利用转子系统模态特性分析结果进行环形密封结构参数设计与优化，具有一定的可行性与重要的工程应用价值。

最后，还需要注意的是，以上列举的仅是本发明的若干个具体实施例。显然，本发明不限于以上实施例，还可以有许多变形。本领域的普通技术人员能从本发明公开的内容直接导出或联想到的所有变形，均应认为是本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤1、根据Ⅲ阶模态振型分析确定叶轮和轴承所在节点的振动位移量值X_iⅢ；

步骤2、构建振动位移量值集合关于环形密封等效刚度K的函数；

包括：

构建n级离心泵转子系统上同一节点的Ⅲ阶模态振型下的n个叶轮所在质量节点的振动位移量值集合(z₁₁、z₂₁、z₃₁…z_m1)、(z₁₂、z₂₂、z₃₂…z_m2)、(z₁₃、z₂₃、z₃₃…z_m3)……(z_1n、z_2n、z_3n…z_mn)关于环形密封等效刚度K的函数分别为：f_Ⅲ1(k)、f_Ⅲ2(k)、f_Ⅲ3(k)……f_Ⅲn(k)，

构建2个轴承节点的振动位移量值集合(z_1a、z_2a、z_3a…z_ma)、(z_1b、z_2b、z_3b…z_mb)关于环形密封等效刚度K的函数分别为：f_Ⅲa(k)、f_Ⅲb(k)；

步骤3、构造环形密封等效刚度K的评价函数并通过牛顿迭代法得出K的最优解K^※，包括：

步骤3.1、选取n个叶轮最大允许位移量C_yelunmax及2个轴承最大允许位移量C_bmax，C_yelunmax与C_bmax均为常数；

步骤3.2、构造环形密封等效刚度K的评价函数：

步骤3.3、求解环形密封等效刚度K的评价函数的最小值，得到K的最优解K^※：

给定初始点K₀，收敛精度ε，并令n＝0，

1)计算f′(K_n)和f″(K_n)；

2)求

3)若|K_n+1-K_n|≤ε，则求得近似解K^※＝K_n+1，停止计算，否则进行4)；

4)令n←n+1，进行1)；

其中，K_n+1、K_n均为K的最优解的近似点，f′(K_n)为函数f(k)在k＝K_n处的一阶导数值，f″(K_n)为函数f(k)在k＝K_n处的二阶导数值，n为迭代次数；

步骤4、构造环形密封间隙C和环形密封半径R的点集并计算，得到拟合函数f_k(R,C)；包括：

步骤4.1、对于n个叶轮的环形密封处间隙依次取n组不同的值，建立环形密封间隙C的取值点集M：

M＝{C₁、C₂、C₃、……、C_n}；

对于n个叶轮的环形密封半径R依次取n组不同的值：

R_n＝R_轮毂+C_nΔR，其中ΔR＝R_轮-R_轮毂，其中R_轮为叶轮半径，R_轮毂为轮毂半径，则：

N＝{R₁、R₂、R₃、……、R_n}；

步骤4.2、建立拟合函数f_k(R,C)如下：

其中

A₁、A₂、A₃、A₄为常数；A₁₀、A₁₁、A₁₂、A₁₃、A₁₄、A₁₅、A₁₆均为常数；

步骤5、建立评价函数f_RC，求解f_RC极小值时对应的环形密封间隙C、环形密封半径R；包括：

步骤5.1、构建R、C、K的最优解的评价函数如下：

f_RC＝|f_k(R,C)-K^※|²；

步骤5.2、求解评价函数

极小值时对应的环形密封间隙C和环形密封半径R，过程如下：

1)取环形密封间隙C和半径R的初始值C₀和R₀；

2)给定初始点X⁰＝(R₀ C₀)^T，收敛精度ε，置n←0；

3)计算

和

4)求Xⁿ⁺¹＝Xⁿ+d^k；

5)检查收敛精度，若||Xⁿ⁺¹-Xⁿ||<ε，则X^※＝Xⁿ⁺¹，停止计算；否则，置n←n+1，返回步骤2)继续进行搜索；

6)得到环形密封间隙C、环形密封半径R，经n次迭代，当函数极小值f(X^※)＝0时，极小值点X^※＝(R_n+1 C_n+1)，则环形密封间隙C、环形密封半径R分别为C_n+1和R_n+1；

其中，

为f(X)在近似点Xⁿ处的梯度，

为f(X)在Xⁿ点处的海赛矩阵，d^k是第k+1次搜索或迭代方向，Xⁿ⁺¹、Xⁿ均为初始点的下一个近似点。

2.根据权利要求1所述的一种基于模态分析的多级离心泵环形密封结构设计方法，其特征在于，所述步骤1包括：

步骤1.1、根据多级离心泵转子系统与各转子部件的几何参数，建立n级离心泵转子系统Ⅲ阶模态振型，包括n个叶轮所在质量节点：节点1、节点2、.......、节点n，轴承1所在质量节点为节点a，轴承2所在质量节点为节点b，环形密封等效刚度K依次取K₁、K₂、K₃…K_m共m组不同的值；

步骤1.2、以各阶环形密封等效刚度K₁、K₂、K₃…K_m为算例，分别进行n级离心泵转子系统模态分析，n个叶轮、轴承1和轴承2所在质量节点的Ⅲ阶的振动位移量为：

X_iⅢ＝(z_i1、z_i2……z_in、z_ia、z_ib)，

其中：i＝1，2，3…m；

z_i1为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点1的振动位移量值；

z_i2为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点2的振动位移量值；

…

z_in为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点n的振动位移量值；

z_ia为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点a的振动位移量值；

z_ib为当环形密封等效刚度分别为K₁、K₂、K₃…K_m为算例时Ⅲ阶模态振型中节点b的振动位移量值。

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