CN110442971A - 一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法 - Google Patents
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Abstract
一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法，包括以下步骤：S1、基于不确定性参数和Chebyshev多项式代理模型，从预先构建的旋转圆柱壳确定性参数动力学模型中获取不确定性参数的插值点；S2、考虑不确定性参数的不确定性，依据不确定性参数的插值点，基于Chebyshev多项式代理模型和区间分析法，求解不确定性参数的幅频响应区间范围；确定性参数动力学模型是基于有限元法建立的旋转圆柱壳动力学方程和初应力刚度矩阵构建的。方法经济准确，计算量小，计算高效。
Description
技术领域
本发明涉及机械动力学技术领域，尤其涉及一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法。
背景技术
圆柱壳由于具有结构强度高、刚度大和质量轻等优点，在航空航天、海洋工程、管道、大型水坝和冷却塔等各个领域得到了广泛应用。在航空发动机、燃气轮机等大型旋转机械中，圆柱壳在航空发动机和燃气轮机等发动机中一般与盘、轴和叶片等耦合一起，圆柱壳属于薄壁件结构，特别是对其环境较苛刻的条件下，有必要对圆柱壳结构的振动特性进行研究。目前对圆柱壳固有特性分析大多是借用商用有限元软件，但商用有限元软件类似于一个“黑箱”，对结构的扩展性研究具有一定的局限性。
旋转圆柱壳属于薄壁件结构，振动特性较复杂，不确定性参数对振动特性相对较敏感，可见对其动力学不确定性分析十分重要。旋转圆柱壳不确定性参数与稳态响应无法用具体的函数表达式表示，如果使用传统的抽样法进行不确定性分析，会导致庞大的计算量或者用普通的计算机根本无法计算出结果，要想知道其函数关系，只能用近似的函数逼近来表达其对应关系。响应并关于确定性响应对称，所以泰勒展开法并不适用于响应的不确定性分析。函数逼近比较普遍的是离散数据曲线拟合，但这种逼近所需的样本数据较多，计算不经济。
因此，亟需一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法。
发明内容
(一)要解决的技术问题
为了解决现有技术的上述问题，本发明提供了一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法。方法经济准确，计算量小，计算高效。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法，包括以下步骤：
步骤S1、基于不确定性参数和Chebyshev多项式代理模型，从预先构建的旋转圆柱壳确定性参数动力学模型中获取不确定性参数的插值点。
步骤S2、考虑不确定性参数的不确定性，依据不确定性参数的插值点，基于Chebyshev多项式代理模型和区间分析法，求解所述不确定性参数的幅频响应区间范围。
确定性参数动力学模型是基于有限元法建立的旋转圆柱壳动力学方程。
作为本发明方法的一种改进，步骤S1包括，
多参数的Chebyshev多项式逼近表达式为
其中，u为Chebyshev级数中i1,i2,…,ig为零的个数；x1,x2,…,xg为函数f(x1,x2,…,xg)的自变量；g为不确定参数数目；Tn表示n阶Chebyshev多项式并且为正交多项式，Tn(x)＝cos(narccosx),-1≤x≤1,n＝0,1,2,…
其中，i1,i2,…,ig＝0,1,2,…
将多重积分转化为Gauss-Chebyshev数值积分：
令
则
其中(x1,x2,…,xm)为高斯积分的高斯点，各个维数上的高斯点数都为h，X是一维高斯点x1,x2,…,xm的张量积，X为
X即为Chebyshev多项式中多元参数的插值点数。
作为本发明方法的一种改进，确定性参数动力学模型的构建，包括有限元模型的建立，
采用8节点壳体单元；
获取壳体单元的应变位移关系矩阵
应变矩阵
其中，J-1 ij(i,j＝1,2,3)是雅克比矩阵J求逆后的第i行第j列的数，E为3×3阶单位矩阵；ξ，η为壳体中面上的曲面坐标，ζ为厚度方向的直线坐标，并且ξ，η，ζ∈[-1,1]；Ni是壳体单元的形函数，角节点i＝1、2、3和4，形函数四条边中点i＝5、6、7和8，形函数
获取壳体单元在整体坐标系下的应力
整体坐标系下材料的弹性矩阵D＝TTD′T (8)
式中，局部坐标系下壳体单元的材料弹性矩阵
其中，ε0为初应变；σ0为初应力；T为整体坐标系与局部坐标系之间的转换矩阵，TT表示T的转置；E为材料的弹性模量；μ为材料的泊松比；k为剪应力项系数，取1.2。
作为本发明方法的一种改进，确定性参数动力学模型的构建包括基于有限元模型获取旋转圆柱壳动力学方程，
ⅰ、依据大变形非线性板壳理论，获取壳体单元的拉伸和弯曲的应变能；
在大变形非线性壳体中，壳体单元的应变位移关系矩阵为
其中，BL＝GT；BNL＝AT，
获取壳体单元的拉伸和弯曲的应变能方程为
依据应力不受应变二次项变化，简化式10为
其中，
ⅱ、依据旋转圆柱壳点的绝对速度，获取壳体单元的动能方程；
旋转圆柱壳点的绝对速度
其中，r0为旋转圆柱壳点在整体坐标系下的位置坐标，rA为旋转圆柱壳点对应的弹性变性大小；Ωx、Ωy和Ωz分别为单元沿整体坐标系x轴、y轴和z轴的转速；u、v、w分别为圆柱壳点的三个线位移；
获取壳体单元的动能方程
简化式13
其中，ρ代表密度，代表单位的位移。
ⅲ、依据壳体单元的应变能方程和动能方程，获得旋转圆柱壳动力学方程；
将壳体单元的应变能方程和动能方程带入拉格朗日方程，获得
简化式15
当所受外力为零时，获得无阻尼圆柱壳运动微分方程为
式中，为质量矩阵；为陀螺矩阵；为结构刚度矩阵；为初应力刚度矩阵；为离心刚度矩阵；为离心力向量；
给圆柱壳结构施加边界条件，获得无外激励时的自由振动方程为
由于离心力的存在，使得圆柱壳发生一定的变形，根据静力学可得圆柱壳的平衡方程为
(K0+Kσ-Kc+Ks)a＝Fc (19)
式中，Ks为边界连接刚度矩阵。
作为本发明方法的一种改进，确定性参数动力学模型的构建包括初应力刚度矩阵的求解。
根据圆柱壳的平衡方程，采用Newton-Rapson法对初应力刚度矩阵进行迭代求解；
令R＝(K0+Kσ-Kc+Ks)a-Fc
非线性迭代为ai+1＝ai-J-1Ri (20)
非线性求解的雅克比矩阵
非线性迭代终止条件||Ri||∞＜ξe (22)
其中，|| ||∞表示向量的∞范数，ξe为求解精度；
采用有限差分法，对所述非线性求解的雅克比矩阵进行求解，包括：
令
根据向量求导法则获得
通过有限差分法获得
其中，δae(n)是一个小于10-5的常数。
作为本发明方法的一种改进，基于旋转圆柱壳动力学方程和初应力刚度矩阵，构建确定性参数动力学模型，包括
根据旋转圆柱壳动力学方程，确定旋转圆柱壳的振动微分方程。
粘性阻尼C采用瑞利阻尼，C＝αM+βK1
式中，
K1＝K+Kσ-Kc+Kspr
其中，C为阻尼矩阵；K为结构刚度矩阵；Kspr为边界连接刚度矩阵；为加速度向量，为速度向量，x为位移向量，P为离心力向量，F为外激励向量；ω1和ω2分别为圆柱壳的第1阶固有角频率和第2阶固有角频率；ξ1和ξ2分别为第1阶和第2阶的模态阻尼比。
依据圆柱壳平衡方程，结合离心力向量P和初应力刚度矩阵Kσ，转化式25
q＝x-a0 (27)
采用复数表示外激励和响应，转化式26
其中，F0为外激励幅值，ω为激励角频率，j为单位复数。
依据系统任意节点的稳态响应可用复数q＝Aeiωt表示，转化式28，获取确定性参数动力学模型：
(K+Kσ-Kc+Kspr-ωM+jω(C+G))A＝F0 (29)
求解确定性参数动力学模型，可得到确定性参数的稳态响应位移和相位信息A，复数A的模为稳态响应幅值。
作为本发明方法的一种改进，基于Chebyshev多项式代理模型和区间分析法，求解不确定性参数的幅频响应区间范围，包括
依据参数“不确定但有界”的特点，g维不确定性参数表示为
式中，a m和分别为不确定参数am的下界和上界；为不确定参数的中间值；为不确定性参数am的波动系数。
将不确定性参数区间转变为区间[-1,1]。
当外激励频率为ω时，考虑参数不确定性，旋转圆柱壳任意节点的稳态响应的区间取值范围为可知稳态响应的上下界可表示为
依据多参数的Chebyshev多项式逼近表达式，g个不确定参数的稳态响应为
将求解式31和式32，转化为求解式33的最值。
通过扫描法对多项式寻找最值，获取稳态响应的最值。
(三)有益效果
本发明的有益效果是：
1、运用Chebyshev正交多项式最佳一致逼近进行不确定分析，既经济又精确，还可以在大区间进行不确定性研究。这些不确定性参数对稳态响应影响程度大小不一，通过代理模型求解各参数对稳态响应的灵敏度，为灵敏度求解提供了可能，从而可以评估各不确定性参数对系统稳态响应影响程度，这样为实际工程结构的设计提供了参考。
2、旋转圆柱壳的转速存在不确定性时，采用Chebyshev多项式区间法和扫描法得到的幅频曲线完全吻合，验证了Chebyshev多项式区间法的准确性，并且扫描法计算机所耗的时间是Chebyshev多项式区间法的33倍，凸显了本文方法的高效性。
附图说明
本发明借助于以下附图进行描述：
图1为本发明具体实施方式中壳体单元的示意图；
图2为本发明具体实施方式中壳体单元的坐标转换关系图；
图3为本发明具体实施方式中旋转圆柱壳的几何关系示意图；
图4为本发明具体实施方式中初应力刚度矩阵求解迭代示意图；
图5为本发明具体实施方式中旋转圆柱壳几何形状和单点激励示意图；
图6为本发明具体实施方式中旋转圆柱壳柱坐标系下弹簧连接示意图；
图7为本发明具体实施方式中旋转圆柱壳幅频响应不确定性分析求解流程图；
图8为本发明具体实施方式中转速不确定时Chebyshev多项式区间法和扫描法得到的系统前行波幅频响应曲线对比图；
图9为本发明具体实施方式中转速不确定时Chebyshev多项式区间法和扫描法得到的系统后行波幅频响应曲线对比图。
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。
本发明提供了一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法，包括以下步骤：
步骤S1、基于有限元法建立的旋转圆柱壳动力学方程和初应力刚度矩阵构建旋转圆柱壳确定性参数动力学模型。
ⅰ、有限元模型的建立
将连续体离散为如图1所示的壳体单元，由三维实体单元蜕化而来的，具有实体单元的一些属性，由上下两个曲面及周边以壳体厚度方向的直线为母线的曲面围成。令ξ，η为壳体中面上的曲面坐标，ζ为厚度方向的直线坐标，并且设ξ，η，ζ∈[-1,1]；单元的局部坐标为(ξ，η，ζ)，ζ＝0时为单元的中面，ζ＝±1时为单元的上下表面，这些面都为曲面，ξ＝±1和η＝±1是由直线产生的四个平面。单元节点在中面上，一个单元共有8个节点，分别在中面的四个角点和四条边线的中点。
节点i(i＝1,2,…,8)在整体坐标系下的坐标为(xi,yi,zi)，则壳单元中面上任一点坐标值ξ和η在整体坐标下坐标(x，y，z)可通过插值表示为
其中，Ni是壳体单元的形函数；
角节点i＝1、2、3和4，形函数
四条边中点i＝5、6、7和8，形函数
由于壳体单元的每个节点有三个线位移和两个角位移；其中，三个线位移为整体坐标系下x，y，z方向位移ui,vi,wi，两个角位移由中面法线相垂直的两单位正交向量的转动角α，β确定，具体几何关系见图2。
将整体坐标系下单元内任意一点的位移表示为
其中，ai＝[ui vi wi θxi θyi θzi]T，(i＝1,2,…,8)；v3i为节点i厚度方向顶点相对底点的位置向量，l3i,m3i,n3i分别为节点i处的局部坐标系与整体坐标系坐标轴的夹角余弦，见图2。
获取壳体单元应变向量为ε＝GH，
式中，
单元应变向量ε转化为应变位移关系
应变矩阵
式中，
其中，J-1 ij(i,j＝1,2,3)是雅克比矩阵J求逆后的第i行第j列的数，E为3×3阶单位矩阵。
获取壳体单元在整体坐标系下的应力
整体坐标系下材料的弹性矩阵D＝TTD′T (8)
式中，局部坐标系下壳体单元的材料弹性矩阵
整体坐标系与局部坐标系之间的转换矩阵
其中，TT表示T的转置；ε0为初应变；σ0为初应力；E为材料的弹性模量；μ为材料的泊松比；k为剪应力项系数，取1.2。
ⅱ、基于有限元模型获取旋转圆柱壳动力学方程
依据大变形非线性板壳理论，获取壳体单元的拉伸和弯曲的应变能。
在大变形非线性壳体中，壳体单元的应变位移关系矩阵为
其中，BL＝GT；BNL＝AT，
获取壳体单元的拉伸和弯曲的应变能方程为
依据应力不受应变二次项变化，简化式10为
其中，
依据旋转圆柱壳点的绝对速度，获取壳体单元的动能方程。
旋转圆柱壳点的绝对速度
其中，r0为旋转圆柱壳点在整体坐标系下的位置坐标，rA为旋转圆柱壳点对应的弹性变性大小；Ωx、Ωy和Ωz分别为单元沿整体坐标系x轴、y轴和z轴的转速；u、v、w分别为圆柱壳点的三个线位移，如图3所示。
获取壳体单元的动能方程
简化式13
其中，ρ代表密度，代表单位的位移。
依据壳体单元的应变能方程和动能方程，获得旋转圆柱壳动力学方程。
将壳体单元的应变能方程和动能方程带入拉格朗日方程，获得
简化式15
当所受外力为零时，获得无阻尼圆柱壳运动微分方程为
式中，为质量矩阵；为陀螺矩阵；为结构刚度矩阵；为初应力刚度矩阵；为离心刚度矩阵；为离心力向量。
因被积函数表达式很复杂，所以求解质量矩阵、陀螺矩阵、结构刚度矩阵、初应力刚度矩阵和离心力向量比较困难，这里采用数值积分来代替函数的定积分。各矩阵在总体坐标中积分可转化为在自然坐标系中计算得到，这里采用减缩积分。
给圆柱壳结构施加边界条件，获得无外激励时的自由振动方程为
由于离心力的存在，使得圆柱壳发生一定的变形，根据静力学可得圆柱壳的平衡方程为
(K0+Kσ-Kc+Ks)a＝Fc (19)
式中，Ks为边界连接刚度矩阵。
ⅲ、旋转圆柱壳动力学方程中初应力刚度矩阵的求解
初应力刚度矩阵与变形量a有关，导致式19无法直接求解变形量a，因此式19为非线性方程组。
根据圆柱壳的平衡方程，采用Newton-Rapson法对初应力刚度矩阵进行迭代求解。
令R＝(K0+Kσ-Kc+Ks)a-Fc
非线性迭代为ai+1＝ai-J-1Ri (20)
非线性求解的雅克比矩阵
非线性迭代终止条件||Ri||∞＜ξe(22)
其中，|| ||∞表示向量的∞范数，ξe为求解精度；
采用有限差分法，对所述非线性求解的雅克比矩阵进行求解，包括：
令
根据向量求导法则获得
通过有限差分法获得
其中，δae(n)是一个小于10-5的常数。
具体迭代求解流程见图4。
ⅳ、基于旋转圆柱壳动力学方程和初应力刚度矩阵，构建确定性参数动力学模型。
在外激励作用下，旋转态的圆柱壳模型如图5、6。在动坐标系Oxyz下，圆柱壳的长为L、半径为R、厚度为t、转速为Ω，其中单点激励Q的位置为点(R,0,L)，方向沿着径向，其中单点激励为谐波激励。图5为旋转圆柱壳在动坐标系下的几何形状和单点激励示意图；图6为圆柱壳在局部坐标系下边界弹簧约束分布示意图，在动坐标系面Oxy这端每个节点施加边界条件。
根据旋转圆柱壳动力学方程，确定旋转圆柱壳的振动微分方程；
粘性阻尼C采用瑞利阻尼，C＝αM+βK1
式中，
K1＝K+Kσ-Kc+Kspr
其中，C为阻尼矩阵；K为结构刚度矩阵；Kspr为边界连接刚度矩阵；为加速度向量，为速度向量，x为位移向量，P为离心力向量，F为外激励向量；ω1和ω2分别为圆柱壳的第1阶固有角频率和第2阶固有角频率；ξ1和ξ2分别为第1阶和第2阶的模态阻尼比；
依据离心力向量P是常值，获取圆柱壳的平衡方程
(K+Kσ-Kc+Kspr)a0＝P
依据a0是由式迭代求解得到的定值，刚度矩阵最终也稳定，可知稳态求解过程中系统是线性处理的。因此转化式25
q＝x-a0 (27)
由于旋转圆柱壳的外激励为单频谐波激励，并且只需要求解系统的稳态响应，为提高计算效率，采用复数表示外激励和响应，转化式26
其中，F0为外激励幅值，ω为激励角频率，j为单位复数；
依据系统任意节点的稳态响应可用复数q＝Aeiωt表示，转化式28，获取确定性参数动力学模型：
(K+Kσ-Kc+Kspr-ωM+jω(C+G))A＝F0 (29)
求解确定性参数动力学模型，可得到确定性参数的稳态响应位移和相位信息A，复数A的模为稳态响应幅值。
步骤S2、基于不确定参数和Chebyshev多项式代理模型，从预先构建的旋转圆柱壳确定性参数动力学模型中获取不确定性参数的插值点。
在工程实际中，所建立的模型中往往是多参数不确定性，而多元多项式插值可解决多元函数的逼近，因此多元多项式的逼近具有重要的实际工程意义。多元多项式是由一元多项式演变而来的，在Chebyshev多项式中多元参数的插值点数是一维插值点的张量积组成。
多参数的Chebyshev多项式逼近表达式为
其中，u为Chebyshev级数中i1,i2,…,ig为零的个数；x1,x2,…,xg为函数f(x1,x2,…,xg)的自变量；g为不确定参数数目；Tn表示n阶Chebyshev多项式并且为正交多项式，Tn(x)＝cos(narccosx),-1≤x≤1,n＝0,1,2,…
其中，i1,i2,…,ig＝0,1,2,…
将多重积分转化为Gauss-Chebyshev数值积分：
令
则
其中(x1,x2,…,xm)为高斯积分的高斯点，各个维数上的高斯点数都为h，X是一维高斯点x1,x2,…,xm的张量积，X为
X即为Chebyshev多项式中多元参数的插值点数。
步骤S3、考虑不确定性参数的不确定性，依据不确定性参数的插值点，基于Chebyshev多项式代理模型和区间分析法，求解不确定性参数的幅频响应区间范围，如图7所示。
考虑实际状况下参数向量a具有不确定性，可用区间来表示不确定性参数的波动范围，对其具体的分布情况不做任何的假设，只需知道不确定性参数上下界，即参数具有“不确定但有界”特点。利用区间表示系统不确定性向量，g维不确定性参数可表示为
式中，a m和分别为不确定参数am的下界和上界；为不确定参数的中间值；为不确定性参数am的波动系数。
因此，通过式29来取得对应的配置点数，然后通过Chebyshev多项式求得代理模型。考虑到Chebyshev多项式逼近函数是在区间[-1,1]进行分析的，而旋转圆柱壳中的不确定性参数是任意区间的，所以可通过区间变换把不确定性参数区间转变为区间[-1,1]，为
通过式30可将不确定性参数am转化为标准区间[-1,1]，从而不确定性参数与稳态响应通过Chebyshev多项式建立映射关系。
当外激励频率为ω时，考虑参数不确定性，旋转圆柱壳任意节点的稳态响应的区间取值范围为可知稳态响应的上下界可表示为
依据多参数的Chebyshev多项式逼近表达式，g个不确定参数的稳态响应为
将求解式31和式32，转化为求解式33的最值；
通过扫描法对多项式寻找最值，获取稳态响应的最值。
仿真实验
圆柱壳的几何参数和材料参数见表1。
表1圆柱壳几何参数和材料参数
将圆柱壳轴向分4份、周向32份，共128个单元，考虑旋转圆柱壳的各参数不确定性，分析其稳态响应的不确定性。
外激励幅值F0＝10N，激励位置为(R,0,L)，方向沿着圆柱壳的径向，识振点位置为(R,0,L)，模态阻尼系数取0.5％。这里圆柱壳的边界条件为一端弹支、一端自由，当边界条件为一端固定、一端自由时，人工弹簧刚度值为1×1011N/m(N·m/rad)来等效固支，圆柱壳的转速为Ω＝10000r/min，由于转速的存在，使圆柱壳出现前行波和后行波，这里对模态阶数轴向波数m＝1、周向波数n＝5的旋转圆柱壳幅频响应进行不确定性分析。
由于转速的存在，旋转圆柱壳产生前后行波振动，考虑旋转圆柱壳的转速具有不确定性，对其前后行波幅频响应进行分析，利用Chebyshev多项式代理模型对其响应幅值进行不确定性分析，然后采用扫描法验证所提出模型的准确性和高效性。
旋转圆柱壳的转速存在不确定性时，将引起其振动响应的不确定，将转速用区间数学表示为
其中，βΩ为转速的波动系数。
一元Chebyshev多项式采用4阶展开，高斯积分点为4。转速的波动系数为2‰，分析前行波和后行波的稳态响应区间范围。
同时采用扫描法求其稳态响应的区间范围，可认为扫描法所得到的结果为准确值，把转速区间均分成101个点，分别对101个转速进行求解，最后得到稳态响应的最大值和最小值，然后比较本文方法与扫描法所得到的幅频响应曲线(见图8、9)以及比较两种方法耗时(见表2)。
表2 Chebyshev多项式区间法和扫描法CPU耗时对比
由图8、9可知，采用Chebyshev多项式区间法和扫描法得到的幅频曲线完全吻合，验证了Chebyshev多项式区间法的准确性。由表2可知，扫描法在整个求解过程所用的时间是11143.4s，而Chebyshev多项式区间法所用的时间是340.4s，扫描法所用的时间大约是本文方法的33倍，凸显了本文方法的高效性。
运用Chebyshev多项式区间法分析各参数不确定性对系统振动产生的影响，得到以下结论：
(1)杨氏模量和转速的不确定性均导致前后行波产生一个“共振带”，导致发生移频现象。共振区的稳态响应幅值的上边界与确定性共振处幅值相比，共振峰值基本不变，而最小幅值却变小，幅频响应的上下界并不是关于确定性响应对称的，尤其在共振区附近表现得更加明显，同时随着波动系数的增加，前后行波在共振区最小幅值会减小，而最大幅值依然基本不变。
(2)考虑模态阻尼系数和激励幅值为不确定性参数时，幅频响应上下边界关于确定性响应完全对称，各激励频率处的响应幅值与模态阻尼系数和外激励幅值呈单调性，并且前后行波的共振峰没有发生偏移，那是因为阻尼与外激励对系统的固有特性不受影响，不确定性参数使共振峰处波动较大，非共振区波动相对较小，主要是因为系统阻尼对共振峰处的幅值影响较大，而对于非共振峰处基本不影响，所以在实际工程中可通过增大阻尼可使系统在共振处明显减振。
(3)考虑杨氏模量和转速为不确定性参数时，系统前行波和后行波的幅频响应在幅值上升区时，随杨氏模量和转速的增大，稳态响应幅值均单调递减，在共振带时，系统稳态响应的幅值随着杨氏模量和转速的变化并不是单调函数，在幅值下降区时，随杨氏模量和转速的增大，稳态响应幅值均单调递增。
(4)边界三个平动连接刚度不确定性导致幅频响应区间范围较大，而两个转动连接刚度不确定性的幅频响应区间范围比较小，说明三个移动刚度对稳态响应较敏感，而转动刚度不太敏感。
需要理解的是，以上对本发明的具体实施例进行的描述只是为了说明本发明的技术路线和特点，其目的在于让本领域内的技术人员能够了解本发明的内容并据以实施，但本发明并不限于上述特定实施方式。凡是在本发明权利要求的范围内做出的各种变化或修饰，都应涵盖在本发明的保护范围内。
Claims (7)
1.一种旋转圆柱壳动力学特性不确定性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤S1、基于不确定性参数和Chebyshev多项式代理模型，从预先构建的旋转圆柱壳确定性参数动力学模型中获取不确定性参数的插值点；
步骤S2、考虑不确定性参数的不确定性，依据所述不确定性参数的插值点，基于Chebyshev多项式代理模型和区间分析法，求解所述不确定性参数的幅频响应区间范围；
所述确定性参数动力学模型是基于有限元法建立的旋转圆柱壳动力学方程。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S1包括，
多参数的Chebyshev多项式逼近表达式为
其中，u为Chebyshev级数中i1,i2,…,ig为零的个数；x1,x2,…,xg为函数f(x1,x2,…,xg)的自变量；g为不确定参数数目；Tn表示n阶Chebyshev多项式并且为正交多项式，Tn(x)＝cos(narccosx),-1≤x≤1,n＝0,1,2,…
其中，i1,i2,…,ig＝0,1,2,…
将多重积分转化为Gauss-Chebyshev数值积分：
令
则
其中(x1,x2,…,xm)为高斯积分的高斯点，各个维数上的高斯点数都为h，X是一维高斯点x1,x2,…,xm的张量积，X为
X即为Chebyshev多项式中多元参数的插值点数。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述确定性参数动力学模型的构建，包括有限元模型的建立，
采用8节点壳体单元；
获取壳体单元的应变位移关系矩阵
应变矩阵
式中，
其中，J-1 ij(i,j＝1,2,3)是雅克比矩阵J求逆后的第i行第j列的数，E为3×3阶单位矩阵；ξ，η为壳体中面上的曲面坐标，ζ为厚度方向的直线坐标，并且ξ，η，ζ∈[-1,1]；Ni是壳体单元的形函数，角节点i＝1、2、3和4，形函数四条边中点i＝5、6、7和8，形函数
获取壳体单元在整体坐标系下的应力
整体坐标系下材料的弹性矩阵D＝TTD′T (8)
式中，局部坐标系下壳体单元的材料弹性矩阵
其中，ε0为初应变；σ0为初应力；T为整体坐标系与局部坐标系之间的转换矩阵，TT表示T的转置；E为材料的弹性模量；μ为材料的泊松比；k为剪应力项系数，取1.2。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述确定性参数动力学模型的构建包括基于有限元模型获取旋转圆柱壳动力学方程，
ⅰ、依据大变形非线性板壳理论，获取壳体单元的拉伸和弯曲的应变能；
在大变形非线性壳体中，壳体单元的应变位移关系矩阵为
其中，BL＝GT；BNL＝AT，
获取壳体单元的拉伸和弯曲的应变能方程为
依据应力不受应变二次项变化，简化式10为
其中，
ⅱ、依据旋转圆柱壳点的绝对速度，获取壳体单元的动能方程；
旋转圆柱壳点的绝对速度
其中，r0为旋转圆柱壳点在整体坐标系下的位置坐标，rA为旋转圆柱壳点对应的弹性变性大小；Ωx、Ωy和Ωz分别为单元沿整体坐标系x轴、y轴和z轴的转速；u、v、w分别为圆柱壳点的三个线位移；
获取壳体单元的动能方程
简化式13
其中，ρ代表密度，代表单位的位移；
ⅲ、依据壳体单元的应变能方程和动能方程，获得旋转圆柱壳动力学方程；
将壳体单元的应变能方程和动能方程带入拉格朗日方程，获得
简化式15
当所受外力为零时，获得无阻尼圆柱壳运动微分方程为
式中，为质量矩阵；为陀螺矩阵；为结构刚度矩阵；为初应力刚度矩阵；为离心刚度矩阵；为离心力向量；
给圆柱壳结构施加边界条件，获得无外激励时的自由振动方程为
由于离心力的存在，使得圆柱壳发生一定的变形，根据静力学可得圆柱壳的平衡方程为
(K0+Kσ-Kc+Ks)a＝Fc (19)
式中，Ks为边界连接刚度矩阵。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述确定性参数动力学模型的构建包括初应力刚度矩阵的求解，
根据圆柱壳的平衡方程，采用Newton-Rapson法对初应力刚度矩阵进行迭代求解；
令R＝(K0+Kσ-Kc+Ks)a-Fc
非线性迭代为ai+1＝ai-J-1Ri (20)
非线性求解的雅克比矩阵
非线性迭代终止条件||Ri||∞＜ξe (22)
其中，|| ||∞表示向量的∞范数，ξe为求解精度；
采用有限差分法，对所述非线性求解的雅克比矩阵进行求解，包括：
令
根据向量求导法则获得
通过有限差分法获得
其中，δae(n)是一个小于10-5的常数。
6.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，基于旋转圆柱壳动力学方程和初应力刚度矩阵，构建确定性参数动力学模型，包括
根据旋转圆柱壳动力学方程，确定旋转圆柱壳的振动微分方程；
粘性阻尼C采用瑞利阻尼，C＝αM+βK1
式中，
K1＝K+Kσ-Kc+Kspr
其中，C为阻尼矩阵；K为结构刚度矩阵；Kspr为边界连接刚度矩阵；为加速度向量，为速度向量，x为位移向量，P为离心力向量，F为外激励向量；ω1和ω2分别为圆柱壳的第1阶固有角频率和第2阶固有角频率；ξ1和ξ2分别为第1阶和第2阶的模态阻尼比；
依据圆柱壳平衡方程，结合离心力向量P和初应力刚度矩阵Kσ，转化式25
q＝x-a0 (27)
采用复数表示外激励和响应，转化式26
其中，F0为外激励幅值，ω为激励角频率，j为单位复数；
依据系统任意节点的稳态响应可用复数q＝Aeiωt表示，转化式28，获取确定性参数动力学模型：
(K+Kσ-Kc+Kspr-ωM+jω(C+G))A＝F0 (29)
求解确定性参数动力学模型，可得到确定性参数的稳态响应位移和相位信息A，复数A的模为稳态响应幅值。
7.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，基于Chebyshev多项式代理模型和区间分析法，求解所述不确定性参数的幅频响应区间范围，包括
依据参数“不确定但有界”的特点，g维不确定性参数表示为
式中，a m和分别为不确定参数am的下界和上界；为不确定参数的中间值；为不确定性参数am的波动系数；
将不确定性参数区间转变为区间[-1,1]；
当外激励频率为ω时，考虑参数不确定性，旋转圆柱壳任意节点的稳态响应的区间取值范围为可知稳态响应的上下界可表示为
A(a)＝min{A(a):(K(a)+Kσ(a)-Kc(a)+Kspr(a)-ωM(a)+iω(C(a)+G(a)))A＝F0(a),a∈aI}
(31)
依据多参数的Chebyshev多项式逼近表达式，g个不确定参数的稳态响应为
将求解式31和式32，转化为求解式33的最值；
通过扫描法对多项式寻找最值，获取稳态响应的最值。
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2019
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