CN112560271B - 一种非概率可信贝叶斯结构可靠度分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非概率可信贝叶斯结构可靠度方法，在本方法中，区间变量通过区间中心值和区间半径两个参数描述，该参数同样通过区间来表达。考虑到样本数量的限制和模型更新的要求，通过引入贝叶斯更新的方法对参数进行更新从而实现变量区间的更新。在更新参数的过程中，引入了置信水平，从而使所计算得到的可靠度具有一定的可信度。本发明所提出的非概率方法与传统置信可靠度方法和一种具有非信息先验分布的概率可信贝叶斯可靠度方法进行了对比，验证了该方法的可行性和有效性。这种可靠度分析方法将来可用于结构优化设计和结构安全的可靠性评估中。

Description

一种非概率可信贝叶斯结构可靠度分析方法

技术领域

本发明涉及基于可靠度的结构优化设计和结构可靠度分析与评估的领域，特别考虑到当前结构可靠度的计算方法中难以实现模型更新和无法给出计算结果可信度的不足，在适应小样本问题的条件下，基于贝叶斯更新理论，为区间不确定性变量提出了新的量化方法，引入新的样本，根据贝叶斯公式建立后验联合分布，从而得到各个区间变量的区间中心值和区间半径的后验边缘分布；给定预定的置信水平，由所得到的后验边缘分布更新区间变量的两个参数，这样，系统中的不确定变量就以确定的置信水平通过区间进行量化，根据非概率集合理论计算系统的可靠度或者双指标安全系数，所述双指标是指置信水平和可靠度。

背景技术

结构可靠性的评估广泛应用于结构优化设计和结构安全度评价。结构可靠性是指目标结构在给定条件下的一段时间内的结构性能的描述，通常情况下使用结构在全域内安全的概率来表示。在传统的结构可靠性估计中，通常采用经验或者是大量的实验样本进行分析；但是随着工程结构系统的复杂性逐渐增大和实验成本的提高，传统概率可靠度计算方法难以满足工程需求，尤其是在航空航天结构的设计中。因此，非概率可靠度分析方法越来越受到广泛的关注和研究。

目前，区间非概率方法、凸模型和模糊集等非概率可靠度计算方法已逐步建立起来。对于区间方法，不确定变量通过区间进行描述。对于一个n维不确定性系统，利用不确定变量的n个区间构成的超结构，通过状态函数得到失效域，失效域的体积与整个结构的体积的比值就是结构的失效度，反之，安全域与整个结构的体积的比值即为结构非概率可靠度。目前，非概率区间理论的发展主要在一下几个方面：基于非概率可靠度的结构优化设计、不确定性传播分析和非概率可靠性分析等，非概率可靠性分析仍然是结构分析和设计中的热点课题。目前的非概率可靠性方法，在一定程度上克服了传统非概率可靠度方法的缺陷，在有限的样本或先验信息下能够对结构的安全性做出准确的评价。但是，这些方法得到的可靠度没有给出置信度的度量，更多的是通过工程实践经验对一些变量进行量化。另一方面，这些方法对于新样本的敏感性差，不能通过引入新样本对模型进行更新。

贝叶斯理论是根据先前经验获得的先验分布，通过新样本更新得到后验分布的一种统计方法。后验分布一方面受到先验分布的影响，另一方面又与新的样本有关。因此，贝叶斯理论就将新样本和先验分布结合起来，对不确定参数的分布函数进行更新。

发明内容

本发明要解决的技术问题为：克服传统概率置信可靠度过度依赖确定概率分布函数和样本数量的问题，解决当前发展的非概率可靠度方法所计算出的可靠度未能给出置信度的问题。同时，借助贝叶斯更新理论，根据有限的样本对模型中的不确定变量进行更新。本发明致力于不确定系统变量的更新，给出具有一定置信水平的区间来描述变量，然后根据非概率集合理论等方法进行可靠度的计算，确保计算出的可靠度具有高可信度，以适应工程的需要。

本发明考虑到航空航天结构中，能够获得的实验样本有限，为了能够充分利用有限的样本对目标结构的安全性做出评价用来指导结构设计与分析，本发明引入贝叶斯理论。根据更新的参数的分布函数，将置信估计方法引入可靠度的计算，使得所获得的可靠度具有明确的可信度评价。非概率集合理论将不确定变量用区间来描述，如果假设各个变量之间相互独立，那么不确定变量将构成超立方体，功能函数将超立方体分为安全域和失效域。安全域和超立方体的体积比即为目标结构的可靠度。

本发明解决上述问题采用技术方案为：一种非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：实现步骤如下：

第一步：对于目标系统，分析与系统结构安全有关的确定量和不确定量，用区间量化不确定变量，区间参数为区间中心值和区间半径，即：变量x＝[μ-r,μ+r]；

第二步：由已知数据或先验信息获得各个区间变量的区间半径和区间中心值的信息，从而用适当的区间依次描述各变量相应的区间参数；

第三步：引入新的样本，根据贝叶斯公式建立后验联合分布，从而得到各个区间变量的区间中心值和区间半径的后验边缘分布；

第四步：给定预定的置信水平，由第三步所得到的后验分布更新区间变量的两个参数。这样，系统中的不确定变量就以确定的置信水平通过区间进行量化。根据非概率集合理论计算系统的可靠度或者双指标安全系数，所述双指标是指置信水平和可靠度。

进一步地，所述第一步运用区间描述系统的不确定变量，其特征在于：

在非概率区间理论中，变量通过区间进行描述

X^I＝[I_L,I_U]＝[I_L,I_L+δ]

＝[I_U-δ,I_U]＝[μ-r,μ+r]

式中，X^I是系统的不确定变量，I_L,I_U和δ分别是区间的上下界和区间长度，μ和r分别是区间中心值和区间半径。不失一般性，本发明采用最后一种量化模型，X^I＝[μ-r,μ+r]，即区间参数为区间中心值和区间半径。

进一步地，所述第二步利用先验信息或数据量化各变量的区间中心值和区间半径，其特征在于：

先验信息通过工程实践的经验和先前的实验数据获得，据此可估计变量的区间参数，从而获得参数的先验区间，即：

μ＝[μ_L,μ_U],r＝[r_L,r_U]

式中，μ_L和μ_U分别是区间中心值先验区间的上下界，r_L和r_U分别是区间半径先验区间的上下界。

进一步地，所述第三步引入新样本，利用贝叶斯公式得到区间参数的后验概率分布，其特征在于：

贝叶斯理论是根据先前经验获得的先验分布，通过新样本更新得到后验分布的一种统计方法。假设变量θ的概率密度函数为p(θ)，后验分布表达式表示为

式中，x为样本向量。L(θ；x)是似然函数，p(θ)为先验分布。

根据第二步所获得的参数的先验区间，利用有限的新样本，在满足变量区间包含所有新样本的条件下，得到区间参数的后验联合概率密度函数，从而得到各个参数的概率分布。假设区间参数μ和r在各自的区间上取值是等可能的，那么μ和r的先验分布可表达如下：

则后验分布表达为

式中，S₁,S₂,…,S_n为样本，常数

积分区域Σ＝D∩Γ；其中，D＝{μ,r|μ_L≤μ≤μ_U,r_L≤r≤r_U}，Γ＝{μ,r|μ-r≤S_min,S_max≤μ+r}，其中S_max和S_min分别是样本的最大值和最小值，根据后验联合概率密度函数就可以计算出各参数的后验分布。积分区域Σ由参数的先验区间的上下界和新样本的最值决定。积分区域不同，区间参数的后验分布也将不同；当满足

时，联合密度函数表达如下：

相应的，μ和r的先验分布为：

在这种条件下，参数μ的分布不能随着引入新样本进行更新，如图1中的区域Σ₁所示。而对于图1中的区域Σ₂，参数的后验分布为

式中，常数c计算表达式如下：

进一步地，所述第四步给定置信水平，利用非概率集合理论，进行非概率可靠度和双指标安全系数的计算，其特征在于：

根据上述所得到的参数的后验概率密度函数，给定置信水平1-α，可以计算出相应的μ和r的更新值μ_1-α和r_1-α，计算方程如下：

求解出各个不确定变量的区间，根据系统的不确定性传播，求解结构非概率可靠度。本发明也将可靠度和置信水平同时引入安全系数的计算方法中，给出了一种双指标安全系数的计算方法，如下：

根据结构设计准则：

S_D≤[R]

式中，S_D为结构应力的设计值，[R]为材料的最小强度，也可以用R_min表示；假设可靠度为50％时的应力或强度作为特征量，用S_cha和R_cha表示；则有分项系数

安全系数ε将定义如下：

给定置信水平1-α和可靠度P_s，安全因数表达式如下：

有益效果

现有的非概率结构可靠度分析方法基本上只是给出了结构可靠度的计算方法，并没有对可靠度的可信度作出评价，也没有很好地解决模型更新的问题。本发明提出的非概率可信贝叶斯结构可靠度分析方法，从区间非概率可靠度分析方法出发，引入少量新样本，更新区间中心值和区间半径两个参数的分布函数，实现了模型更新。建立置信水平和结构可靠度的关系曲线，对所得可靠度的可信度进行评估，提高计算结果的说服力。引入双指标安全系数的计算方法，在满足结构安全性的前提下有效减小安全系数，对结构的减重优化设计等具有重要意义。

附图说明

图1.区间参数的后验分布的积分区域

图2.非概率可信贝叶斯可靠度分析方法的流程图；

图3.悬臂梁结构

图4.集中力P₂参数的后验分布积分区域

图5.极限弯矩M₀参数的后验分布积分区域

图6.更新模型和原始模型的非概率可信贝叶斯可靠度随可信度变化曲线

图7.更新模型和原始模型的双指标安全系数随可信度变化曲线

具体实施方式

本发明解决上述问题采用技术方案为：一种非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，如图2所示，其特征在于：实现步骤如下：

第一步：对于目标系统，分析与系统结构可靠度相关的确定量和不确定量，用区间量化不确定变量，区间参数为区间中心值和区间半径，即：变量x＝[μ-r,μ+r]。

第二步：由已知数据或先验信息获得各个区间变量的区间半径和区间中心值的信息，从而用适当的区间依次描述各变量相应的区间参数。

第三步：引入新的样本，根据贝叶斯公式建立后验联合分布，得到各个区间变量的区间中心值和区间半径的后验边缘分布。

第四步：给定预定的置信水平，由第三步所得到的后验分布更新区间变量的两个参数。这样，系统中的不确定变量就以确定的置信水平通过区间进行量化。根据非概率集合理论计算系统的可靠度或者双指标安全系数，所述双指标是指置信水平和可靠度。

进一步地，所述第一步运用区间描述系统的不确定变量，其特征在于：

在非概率区间理论中，变量通过区间进行描述

X^I＝[I_L,I_U]＝[I_L,I_L+δ]

＝[I_U-δ,I_U]＝[μ-r,μ+r]

式中，X^I是系统的不确定变量，I_L,I_U和δ分别是区间的上下界和区间长度，μ和r分别是区间中心值和区间半径。不失一般性，本发明采用最后一种量化模型，X^I＝[μ-r,μ+r]，即区间参数为区间中心值和区间半径。

进一步地，所述第二步利用先验信息或数据量化各变量的区间中心值和区间半径，其特征在于：

先验信息可以通过工程实践的经验和先前的实验数据获得，据此可估计变量的区间参数，从而获得参数的先验区间，即：

μ＝[μ_L,μ_U],r＝[r_L,r_U]

式中，μ_L和μ_U分别是区间中心值先验区间的上下界，r_L和r_U分别是区间半径先验区间的上下界。

进一步地，所述第三步引入新样本，利用贝叶斯公式得到区间参数的后验概率分布，其特征在于：

贝叶斯理论是根据先前经验获得的先验分布，通过新样本更新得到后验分布的一种统计方法。假设变量θ的概率密度函数为p(θ)，后验分布表达式可表示为

式中，x为样本向量。L(θ；x)是似然函数，p(θ)为先验分布。

根据第二步所获得的参数的先验区间，利用有限的新样本，在满足变量区间包含所有新样本的条件下，得到区间参数的后验联合概率密度函数，从而得到各个参数的概率分布。假设区间参数μ和r在各自的区间上取值是等可能的，那么μ和r的先验分布可表达如下：

则后验分布表达为

式中，S₁,S₂,…,S_n为样本，常数

积分区域Σ＝D∩Γ。其中，D＝{μ,r|μ_L≤μ≤μ_U,r_L≤r≤r_U}，Γ＝{μ,r|μ-r≤S_min,S_max≤μ+r}，其中S_max和S_min分别是样本的最大值和最小值，根据后验联合概率密度函数就可以计算出各参数的后验分布。积分区域Σ由参数的先验区间的上下界和新样本的最值决定。积分区域不同，区间参数的后验分布也将不同。并且将对计算结果产生较大的影响。当满足

时，联合密度函数可以表达如下：

相应的，μ和r的先验分布为：

在这种条件下，参数μ的分布不能随着引入新样本进行更新，如图1中的区域Σ₁所示。而对于图1中的区域Σ₂，参数的后验分布为

式中，常数c计算表达式如下：

进一步地，所述第四步给定置信水平，利用非概率集合理论，进行非概率可靠度和双指标安全系数的计算，其特征在于：

根据上述所得到的参数的后验概率密度函数，给定置信水平1-α，可以计算出相应的μ和r的更新值μ_1-α和r_1-α，计算方程如下：

求解出各个不确定变量的区间，根据系统的不确定性传播，求解结构非概率可靠度。本发明也将可靠度和置信水平同时引入安全系数的计算方法中，给出了一种双指标安全系数的计算方法，如下：

根据结构设计准则：

S_D≤[R]

式中，S_D为结构应力的设计值，[R]为材料的最小强度，也可以用R_min表示。假设可靠度为50％时的应力或强度作为特征量，用S_cha和R_cha表示。则有分项系数

安全系数ε将定义如下：

给定置信水平1-α和可靠度P_s，安全因数表达式如下：

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性本发明根据如图3所示的悬臂梁结构进行了非概率可信贝叶斯可靠度的分析和计算。悬臂梁分别在距离固定端b₁＝2.0m、b₂＝4.0m的位置受到集中力P₁和P₂的作用，且载荷P₁已知，为5KN。悬臂梁结构的极限弯矩M₀和和集中力P₂为不确定量，二者区间中心值和区间半径的先验估计如表1所示。引入三组集中力P₂和极限弯矩M₀的样本，列在表2中(样本容量依次为4，8，16)。根据样本信息和不确定变量的先验区间，可以确定各个变量的区间参数的后验分布的积分区域和后验分布的表达式。图4和图5分别给出了集中力P₂和极限弯矩M₀的区间参数后验分布的积分区域，给定可信度，就可以得到在一定可信水平下各变量的分布区间。根据系统中变量的关系，确定状态函数为

G＝M₀-M_max＝M₀-P₁b₁-P₂b₂

利用非概率集合理论可以得到悬臂梁结构的非概率结构可靠度。图6给出了原始模型和三种不同样本容量下的非概率可信贝叶斯可靠度计算结果随着可信水平的变化曲线。从图中的曲线可以看出，本发明提出的方法通过引入少量的样本就可以在给定的可信水平下是系统的结构可靠度显著的提高。在实际工程中，例如，对某型号飞机机翼的结构安全性分析与优化，假设机翼的强度是不确定的，根据先前数据获得强度的先验区间，再通过试验获得一些新的强度样本，通过更新得到区间参数的后验边缘分布函数。给定要求的结构可靠度，就可获得相应的置信水平，因此可以对该可靠度分析作出可信度评价，从而指导结构的优化设计，提高可靠度分析的可信度。

图7展示了本发明给出的双指标安全系数随着可信度的变化趋势并和原始模型的安全系数做了对比。可以看出，在保证结构安全性的条件下，通过引入少量的样本，结构的安全系数有所降低，这对于结构的减重优化设计具有重大意义。

表1.区间参数的先验值(

和

)

表2.集中力极限弯矩的样本数据

综上所述，本发明提出了一种非概率可信贝叶斯可靠度计算方法。对于不确定性系统，确定系统不确定性参数，然后利用区间中心值和区间半径两个参数量化各变量，再根据先验信息每个变量的两个区间参数的边界；借助贝叶斯理论，获得区间参数的后验分布函数，给定置信水平，得出区间半径和区间中心值的更新值，系统中所有的不确定量均由更新值构成的区间量化；根据系统的功能函数，借助非概率集合理论等计算出系统的结构可靠度和具有可靠度和置信度双指标的安全系数。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含区间不确定变量结构系统的可靠度估计和结构优化设计以及安全系数分析结构安全的领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (4)

1.一种非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，应用于航空航天中的结构安全性分析与评估领域，其特征在于：实现步骤如下：

第一步：对于目标系统，分析与系统结构安全相关的确定量和不确定变量，用区间量化不确定变量，区间参数为区间中心值和区间半径，所述区间变量表示为x＝[μ-r,μ+r]；其中，r为区间半径，μ为变量的区间中心值；

第二步：由已知数据或先验信息获得各个区间变量的区间半径和区间中心值的信息，从而用适当的区间依次描述各变量相应的区间参数；

第三步：引入新的样本，根据贝叶斯公式建立后验联合分布，从而得到各个区间变量的区间中心值和区间半径的后验边缘分布；

第四步：给定预定的置信水平，由第三步所得到的后验边缘分布更新区间变量的两个参数，这样，系统中的不确定变量就以确定的置信水平通过区间进行量化，根据非概率集合理论计算系统的可靠度或者双指标安全系数，所述双指标是指置信水平和可靠度；

所述第三步引入新样本，利用贝叶斯公式得到区间参数的后验概率分布，其特征在于：

假设变量θ的概率密度函数为p(θ)，后验分布表达式表示为

式中，x为样本向量，L(θ；x)是似然函数，p(θ)为先验分布；

根据所述第二步所获得的参数的先验区间，利用有限的新样本，在满足变量区间包含所有新样本的条件下，根据上述贝叶斯公式得到区间参数的后验联合概率密度函数，从而得到各个参数的概率分布，假设区间参数μ和r在各自的区间上取值是等概率的，那么μ和r的先验分布可表达如下：

则后验分布表达为

式中，S₁,S₂,…,S_n为样本，n为样本数量，常数

积分区域Σ＝D∩Γ；其中，D＝{μ,r|μ_L≤μ≤μ_U,r_L≤r≤r_U}，Γ＝{μ,r|μ-r≤S_min,S_max≤μ+r}，其中S_max和S_min分别是样本的最大值和最小值，根据后验联合概率密度函数就可以计算出各参数的后验分布；积分区域Σ由参数的先验区间的上下界和新样本的最值决定；积分区域不同，区间参数的后验分布也将不同；当满足

时，积分区域Σ＝D，联合概率密度函数表达如下：

相应的，μ和r的先验分布为：

在这种条件下，参数μ的分布不能随着引入新样本进行更新，设积分区域Σ₁

则参数的后验分布为

式中，常数c计算表达式如下：

所述第四步给定置信水平，利用非概率集合理论，进行非概率可靠度和双指标安全系数的计算，其特征在于：

将可靠度和置信水平同时引入安全系数的计算方法中，双指标安全系数的计算方法，如下：

根据结构设计准则：

S_D≤R_min

式中，S_D为结构应力的设计值，R_min为材料的最小强度；假设可靠度为50％时的应力或强度作为特征量，用S_cha和R_cha表示；则有分项系数

安全系数ε将定义如下：

给定置信水平1-α和可靠度P_s，安全因数表达式如下：

2.根据权利要求1所述的一种非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：所述第一步运用区间描述系统的不确定变量，其特征在于：

在非概率区间理论中，变量通过区间进行描述

X^I＝[I_L,I_U]＝[I_L,I_L+δ]

＝[I_U-δ,I_U]＝[μ-r,μ+r]

式中，X^I是系统的不确定变量，I_L,I_U和δ分别是区间的上下界和区间长度，μ和r分别是区间中心值和区间半径。

3.根据权利要求1所述的一种非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：所述第二步利用先验信息或数据量化各变量的区间中心值和区间半径，其特征在于：

先验信息通过工程实践的经验和先前的实验数据获得，据此可估计变量的区间参数，从而获得参数的先验区间，即：

μ＝[μ_L,μ_U],r＝[r_L,r_U]

式中，μ_L和μ_U分别是区间中心值先验区间的上下界，r_L和r_U分别是区间半径先验区间的上下界。

4.根据权利要求1所述的一种非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：所述第四步给定置信水平，利用非概率集合理论，进行非概率可靠度和双指标安全系数的计算，其特征在于：

根据上述所得到的参数的后验概率密度函数，给定置信水平1-α，计算出相应的μ和r的更新值μ_1-α和r_1-α，计算方程如下：

求解出各个不确定变量的区间，根据系统的不确定性传播，求解结构非概率可靠度。

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