CN112199863A - 一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，所述方法包括以下步骤：步骤一、建立三维数据模型大曲率部位的参数三次样条曲线方程；步骤二、推导出参数曲线插值切矢量递推方程。本发明创造采用插值的方式对参数曲线的局部位置做进一步的细化，为增材制造设备打印头沿不规则连续曲线运行的轨迹规划提供了一种解决方案。在使用过程中通过控制参数分割Δ_μ：μ₀<μ₁<…<μ_n，便可确定出相应数据点矢量P_i(i＝0,1,2,…,n)以及对应的切矢量P＇_i(i＝0,1,2,…,n)，构造参数三次样条插值曲线对目标曲线做进一步的趋近，从而提高模型在大曲率部位的增材打印质量。

Description

一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法

技术领域

本发明涉及一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，属于3D打印制造技术领域。

背景技术

增材制造(3D打印)作为一种快速成形技术，自上世纪80年代以来，逐步进入人们的视野。它是一项融合机械工程技术、计算机软件技术、三维模型技术、数据处理技术、激光技术等多种学科的技术。经过30年的发展，增材制造技术逐渐向高速化、精确化、准确化发展。与传统加工方式相比，增材制造技术以数字化模型为基础，通过分层打印、逐层叠加的方式构造物体，将三维实体加工变为由点到线、由线到面、由面到体的离散堆积成形过程，极大地降低了制造复杂度，突破了传统制造技术在形状复杂性方面的技术瓶颈，能快速制造出传统工艺难以加工、甚至无法加工的复杂形状及结构特征。

随着增材制造技术的发展，国内研究者的工作重点已经从起初的设备搭建、组装，逐渐向控制程序算法、前处理模式优化等方面延伸。在增材制造的前处理过程中，首先要建立产品的三维数据模型，然后对三维数据模型做分层切片处理，识别每层切片上的图形轮廓曲线，将其转化为增材打印所需的数控加工语句，供下位机的控制模块进行读取和执行。经切片处理后位于该切片图层内的模型轮廓往往是不规则的连续曲线，在增材打印中对于曲线部位传统的处理方法是采用微分原理，沿坐标轴方向等间距选取若干型值点，打印工作头依次途径各点以多段折线来逼近曲线，选取的间距越小所构建出的折线越接近原曲线的形状。但为保证加工精度而缩短间隔对整条曲线段进行加密必将产生大量的途径点位数据，给控制系统的运行造成一定负担。所以为保证增材打印质量，在应对过长或过复杂的曲线时只需要对曲率较大的部位进行加密(即采用较小的间距)，无需对整条曲线做相同的加密处理，从而使执行机构能够高精、高速的完成加工任务。在数控加工领域一般是采用参数曲线插补的方法来实现上述目的，通常样条曲线函数方程的阶次越高所描述的曲线就会越光滑，但研究表明当曲线的次数大于三次时，提高阶次对于曲线光滑程度的提高便不再明显。

因此，本发明创造将采用埃尔米特插值参数样条曲线的方式，探究一种针对不规则连续曲线的轨迹描述方法，在不过度增加线段数量、保证加工速度的前提下，提高增材制造打印模型中不规则曲线在大曲率位置的外观光滑程度。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，在不过度增加线段数量、保证加工速度的前提下，提高增材制造打印模型中不规则曲线在大曲率位置的外观光滑程度，以解决当曲线的次数大于三次时，提高阶次对于曲线光滑程度的提高便不再明显的问题。

步骤一、建立三维数据模型在分层切片图层上图形边界大曲率部位的参数三次样条曲线方程：构建参数曲线的密基多项式，根据所述幂基多项式推导出三次曲线的矩阵形式，即定义在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值多项式；

步骤二、细化该段曲线及相应的参数区间：为细化参数区间，更好地表达参数t，引入参数μ，使得t＝t(μ)，将所述参数三次埃尔米特插值定义在一个新的参数区间μ∈[μ_i,μ_i+1]内，推到得到三维数据模型大曲率部位的分段三次曲线函数方程，即参数三次样条曲线的参数细化方程；

步骤三、推导出参数曲线插值切矢量递推方程：通过构建分段三次样条曲线的二阶导数方程，利用在该段曲线段中的前一曲线段与后一曲线段的连接点位置曲率相等，来推导出该曲线段内任意一点切矢量的递推方程，进而实现利用给出的数据点来构造一条分段三次曲线函数；

步骤四、对目标位置进行插值：确定该段插值曲线的起点和终点，并确定对应的分割参数Δ_i，利用参数三次样条曲线的分段三次曲线方程在该段曲线段中的前一曲线段与后一曲线段的连接点位置的矢量值、切实量值相等，以分割参数Δ_i为步长，逐个递推完成该段曲线内的各加密点的插入。

进一步的，在步骤一中，具体的，将参数曲线的幂基多项式为：

即：

P(t)＝a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³，t∈[0,1] (1-2)

其中，a₀、a₁、a₂、a₃为待定系数矢量，t为确定系数矢量，将曲线段两端的端点0、1分别代入曲线方程和曲线导数方程，即P(0)、P(1)、P＇(0)、P＇(1)，

公式(1-2)对t求导可得P＇(t)：

P＇(t)＝a₁+2a₂t+a₃t² (1-3)

将t＝0，t＝1代入式(1-2)、式(1-3)得到

整理得到：

将式(1-4)代入式(1-2)得到：

P(t)＝[P(0)]+[P＇(0)]t+[-3P(0)+3P(1)-2P＇(0)-P＇(1)]t²+[2P(0)-2P(1)+P＇(0)+P＇(1)]t³

＝[P(0)+0·P(1)+0·P＇(0)+0·P＇(1)]+[0·P(0)+0·P(1)+P＇(0)+0·P＇(1)]t+[-3P(0)+3P(1)-2P＇(0)-P＇(1)]t²+[2P(0)-2P(1)+P＇(0)+P＇(1)]t³

将上式表述的三次曲线写为矩阵形式：

式(1-5)是在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值方程，将式(1-5)写为：

其中，

进一步的，在步骤二中，具体的，令

对目标曲线建立局部坐标系，将t转化为关于μ的函数，完成自变量的转变。

其中，μ∈[μ_i,μ_i+1]，为一个任意参数区间，将μ代入三次曲线方程则有

P(t)＝P(t(μ))，μ∈[μ_i,μ_i+1]

将细化后的区间端点值μ＝μ_i，μ＝μ_i+1代入，由于曲线段两端的端点位置函数值不变，则有

P(t(μ_i))＝P_i＝P(0)

P(t(μ_i+1))＝P_i+1＝P(1)

记P(t(μ_i))＝P_i，P(t(μ_i+1))＝P_i+1，

对转化为参数μ的曲线方程进行求导得到

再将细化后的区间端点值μ＝μ_i，μ＝μ_i+1代入上式，得到

同理，记

对上式整理得到

P＇(0)＝Δ_iP＇_i

P＇(1)＝Δ_iP＇_i+1

将计算得到的曲线端点矢量数值以及端点的切矢量数值

代入式(1-6)得到

即

其中，μ∈[μ_i，μ_i+1]，i＝0，1，2，…，n-1，由于

将式(1-8)简写为

通过给定一组有序的数据点得到对应向量P_i(i＝0,1,2,…,n)，构建出一条顺次穿过该组数据点的参数三次样条插值曲线P(μ)。

进一步的，在步骤三中，具体的，对式(1-9)求关于参数μ的第i段曲线的一阶导数和二阶导数，式(1-9)的一阶导数矢量为：

同理，求出式(1-9)的二阶导数矢量为

对于上式(1-10)有μ∈[μ_i,μ_i+1]，t＝t(μ)＝(μ－μ_i)/Δ_i，Δ_i＝(μ_i+1－μ_i)，将上式的下标i减1，得到第i－1段曲线的二阶导数矢量

对于上式(1-11)有μ∈[μ_i－1,μ_i]，t＝t(μ)＝(μ－μ_i－1)/Δ_i－1，Δ_i－1＝(μ_i－μ_i－1)，第i段曲线和第i-1段曲线，即前一曲线段和后一曲线段拥有一个共同边界点μ＝μ_i，由于原曲线连续使得二阶导数所求得的两段参数曲线段在相连的边界点处曲率值必定相等，因此联合方程式(1-10)和(1-11)就有

P″_i-1(μ_i)＝P″_i(μ_i)

即

对式(1-7)中的F₀(t)、F₁(t)、G₀(t)、G₁(t)进行求导得到

对于参数曲线段P_i(μ)有

对于参数曲线段P_i-1(μ)有

将μ＝μ_i分别代入式(1-14)和(1-15)，

对于式(1-14)在P_i(μ)参数曲线段上：t＝t(μ_i)＝0，

对于式(1-15)在P_i-1(μ)参数曲线段上：t＝t(μ_i)＝1，

将式(1-13)代入式(1-12)得到

再代入对应参数曲线段上的t值得到

对上式整理得到

由式(1-16)知在已知前两点的切矢量的情况下，便可以递推出第三点的切矢量，再代入式(1-9)即构建出参数三次样条插值曲线P(μ)，切矢量递推函数方程为

进一步的，在步骤四中，具体的，在切片图层的平面内建立坐标系，令该图层中的图形处于坐标系内，为使增材制造结果更趋近于三维数据模型，对图形的边界曲线的目标区域进行插值；首先确定该段插值曲线的起点和终点；然后确定分割参数Δ_i，在目标边界曲线上取得间隔相等的数值点，并以向量的方式加以表达；再利用埃尔米特插值建立该段曲线中各细化分段曲线的参数三次多项式，以便拟合获取目标曲线方程，即建立目标曲线的分段参数三次多项式方程；在获得目标曲线的分段参数三次多项式方程后，使用者便可根据自身需求在目标位置插入适当的加密点，在增材制造过程中令打印头沿这些插值点运行，以便使打印结果更加逼近于原始设计形状，提高产品的增材制造打印精度。

本发明的主要优点是：本发明创造采用埃尔米特插值获得参数三次多项式用以描述增材制造打印图层切片的图形边界曲线，以便操作者对图形大曲率边界部位进行插值加密，提高产品的打印质量。在使用过程中，首先要在打印切片图层内建立坐标系，利用曲率判定需要加密细化的图形曲线部位，再对该段曲线建立局部坐标系，通过在目标曲线区间取点，分段拟合出该段曲线的参数三次方程，并以分段参数方程为基础完成增材制造打印轨迹路径的插值加密，实现对目标曲线做进一步的趋近，提高模型在大曲率部位的增材打印质量，该方法适用于熔融沉积式增材制造中对曲线、尤其是样条类曲线的趋近。

附图说明

图1是参数样条曲线局部插值示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

样条曲线是经过一系列给定点的光滑曲线，曲线的形状可由这些点予以控制，常被用于数字化绘图和构造物体的表面，一般可分为插值样条和逼近样条两种。早期的样条曲线是由工程绘图人员利用压铁控制一根富有弹性的均质细木条或有机玻璃条，使其依次通过给定的给定型值点并沿自然弯曲状态画出的一条目标曲线。经过多年的发展目前样条曲线已经成为一种参数曲线，它提供一种统一、精确的数学表达式，通过适度牺牲参数曲线的简洁性来获得曲线函数的精确表达，所以采用三次样条曲线表达式能够趋近描述出任意阶次的曲线。将曲线大曲率部位的间隔缩短就相当于在目标曲线段的型值点间进行插值，该曲线插值函数在插值节点处不仅要与原曲线的函数值相同，还要求插值函数指定阶的导数值也与被插曲线函数的相应阶导数值相等，而埃尔米特插值恰好可以满足这一需求。所以本文将在参数曲线方程的基础上使用埃尔米特插值的方式来实现曲线在大曲率位置的节点插值加密。

一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，所述方法包括以下步骤：

步骤一、建立三维数据模型在分层切片图层上图形边界大曲率部位的参数三次样条曲线方程：构建参数曲线的密基多项式，根据所述的幂基多项式推导出三次曲线的矩阵形式，即定义在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值多项式；

步骤二、细化该段曲线及相应的参数区间：为细化参数区间，更好地表达参数t，引入参数μ，使得t＝t(μ)，将所述参数三次埃尔米特插值定义在一个新的参数区间μ∈[μ_i,μ_i+1]内，推到得到三维数据模型大曲率部位的分段三次曲线函数方程，即参数三次样条曲线的参数细化方程；

步骤三、推导出参数曲线插值切矢量递推方程：通过构建分段三次样条曲线的二阶导数方程，利用在该段曲线段中的前一曲线段与后一曲线段的连接点位置曲率相等，来推导出该曲线段内任意一点切矢量的递推方程，进而实现利用给出的数据点来构造一条分段三次曲线函数；

步骤四、对目标位置进行插值：确定该段插值曲线的起点和终点，并确定对应的分割参数Δ_i，利用参数三次样条曲线的分段三次曲线方程在该段曲线段中的前一曲线段与后一曲线段的连接点位置的矢量值、切实量值相等，以分割参数Δ_i为步长，逐个递推完成该段曲线内的各加密点的插入。

进一步的，在步骤一中，具体的，将参数曲线的幂基多项式为：

即：

P(t)＝a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³，t∈[0,1] (1-2)

其中，a₀、a₁、a₂、a₃为待定系数矢量，t为确定系数矢量，将曲线段两端的端点0、1分别代入曲线方程和曲线导数方程，即P(0)、P(1)、P＇(0)、P＇(1)，

公式(1-2)对t求导可得P＇(t)：

P＇(t)＝a₁+2a₂t+a₃t² (1-3)

将t＝0，t＝1代入式(1-2)、式(1-3)得到

整理得到：

将式(1-4)代入式(1-2)得到：

P(t)＝[P(0)]+[P＇(0)]t+[-3P(0)+3P(1)-2P＇(0)-P＇(1)]t²+[2P(0)-2P(1)+P＇(0)+P＇(1)]t³

＝[P(0)+0·P(1)+0·P＇(0)+0·P＇(1)]+[0·P(0)+0·P(1)+P＇(0)+0·P＇(1)]t+[-3P(0)+3P(1)-2P＇(0)-P＇(1)]t²+[2P(0)-2P(1)+P＇(0)+P＇(1)]t³

将上式表述的三次曲线写为矩阵形式：

式(1-5)是在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值，将式(1-5)写为：

其中，

进一步的，在步骤二中，具体的，式(1-6)是定义在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值，令

其中，μ∈[μ_i,μ_i+1]，为一个任意参数区间，将μ代入三次曲线方程则有

P(t)＝P(t(μ))，μ∈[μ_i,μ_i+1]

将细化后的区间端点值μ＝μ_i，μ＝μ_i+1代入，由于曲线段两端的端点位置函数值不变，则有

P(t(μ_i))＝P_i＝P(0)

P(t(μ_i+1))＝P_i+1＝P(1)

对转化为参数μ的曲线方程进行求导得到

再将细化后的区间端点值μ＝μ_i，μ＝μ_i+1代入上式，得到

对上式整理得到

P＇(0)＝Δ_iP＇_i

P＇(1)＝Δ_iP＇_i+1

将计算得到的曲线端点矢量数值以及端点的切矢量数值

代入式(1-6)得到

即

其中，μ∈[μ_i,μ_i+1]，i＝0,1,2,…,n-1，由于

将(1-8)简写为

通过给定一组有序的数据点得到对应向量P_i(i＝0,1,2,…,n)，构建出一条顺次穿过该组数据点的参数三次样条插值曲线P(μ)。

进一步的，在步骤三中，具体的，在实际应用过程中，数据点处的矢量P_i只需代入相应的参数μ即可获得，但对应的切矢量P＇_i却很难以直接给出。因此，可以通过构建参数三次样条曲线的二阶导数方程，利用该曲线段与下一曲线段的连接点位置曲率相等，来导出该曲线段内任意一点切矢量的递推公式，进而实现利用给出的数据点来插值构造一条分段三次曲线函数，如图1所示。在此利用累加弦长法对数据点进行参数化，ΔP_i为弦长矢量。

对式(1-9)求关于参数μ的第i段曲线的一阶导数和二阶导数，式(1-9)的一阶导数矢量为：

同理，求出式(1-9)的二阶导数矢量为

对于上式(1-10)有μ∈[μ_i,μ_i+1]，t＝t(μ)＝(μ－μ_i)/Δ_i，Δ_i＝(μ_i+1－μ_i)，将上式的下标i减1，得到第i－1段曲线的二阶导数矢量

对于上式(1-11)有μ∈[μ_i－1,μ_i]，t＝t(μ)＝(μ－μ_i－1)/Δ_i－1，Δ_i－1＝(μ_i－μ_i－1)，第i段曲线和第i－1段曲线拥有一个共同边界点μ＝μ_i，由于原曲线连续使得二阶导数所求得的两段参数曲线段在相连的边界点处曲率值必定相等，因此联合方程式(1-10)和(1-11)就有

P″_i-1(μ_i)＝P″_i(μ_i)

即

对式(1-7)中的F₀(t)、F₁(t)、G₀(t)、G₁(t)进行求导得到

对于参数曲线段P_i(μ)有

对于参数曲线段P_i-1(μ)有

将μ＝μ_i分别代入式(1-14)和(1-15)，

对于式(1-14)在P_i(μ)参数曲线段上：t＝t(μ_i)＝0，

对于式(1-15)在P_i-1(μ)参数曲线段上：t＝t(μ_i)＝1，

将式(1-13)代入式(1-12)得到

再代入对应参数曲线段上的t值得到

对上式整理得到

由式(1-16)知在已知前两点的切矢量的情况下，便可以递推出第三点的切矢量，再代入式(1-9)即构建出参数三次样条插值曲线P(μ)，切矢量递推函数方程为

在使用中，在局部坐标系中，如果是沿自变量方向对曲线进行等分，则Δ_i＝Δ_i-1。

进一步的，在步骤四中，具体的，在切片图层的平面内建立坐标系，令该图层中的图形处于坐标系内，为使增材制造结果更趋近于三维数据模型，对图形的边界曲线的目标区域进行插值；首先确定该段插值曲线的起点和终点；然后确定分割参数Δ_i，在目标边界曲线上取得间隔相等的数值点，并以向量的方式加以表达；再利用埃尔米特插值建立该段曲线中各细化分段曲线的参数三次多项式，以便拟合获取目标曲线方程，即建立目标曲线的分段参数三次多项式方程；在获得目标曲线的分段参数三次多项式方程后，使用者便可根据自身需求在目标位置插入适当的加密点，在增材制造过程中令打印头沿这些插值点运行，以便使打印结果更加逼近于原始设计形状，提高产品的增材制造打印精度。

综上所述，本发明创造采用插值的方式对参数曲线的局部位置做进一步的细化，为增材制造设备打印头沿不规则连续曲线运行的轨迹规划提供了一种解决方案。在使用过程中，首先要在打印切片图层内建立坐标系，利用曲率判定需要加密细化的图形曲线部位，再对该段曲线建立局部坐标系，令起点P₀的自变量参数值为0，终点P_n自变量参数值为1；然后确定分割参数Δ_i，通过控制分割参数Δ_i：μ₀<μ₁<…<μ_n，便可获得相应数据点矢量P_i(i＝0,1,2,…,n)以及对应的切矢量P＇_i(i＝0,1,2,…,n)；最终构造出参数三次样条插值曲线的分段方程，用于拟合实际的曲线，供使用者在该曲线分段参数三次方程的基础上，实现对目标曲线做进一步的趋近，提高模型在大曲率部位的增材打印质量，该方法适用于对曲线、尤其是样条类曲线的趋近。

Claims (5)

1.一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤一、建立三维数据模型在分层切片图层上图形边界大曲率部位的参数三次样条曲线方程：构建参数曲线的密基多项式，根据所述幂基多项式推导出三次曲线的矩阵形式，即定义在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值多项式；

步骤二、细化该段曲线及相应的参数区间：为细化参数区间，更好地表达参数t，引入参数μ，使得t＝t(μ)，将所述参数三次埃尔米特插值定义在一个新的参数区间μ∈[μ_i,μ_i+1]内，推到得到三维数据模型大曲率部位的分段三次曲线函数方程，即参数三次样条曲线的参数细化方程；

步骤三、推导出参数曲线插值切矢量递推方程：通过构建分段三次样条曲线的二阶导数方程，利用在该段曲线段中的前一曲线段与后一曲线段的连接点位置曲率相等，来推导出该曲线段内任意一点切矢量的递推方程，进而实现利用给出的数据点来构造一条分段三次曲线函数；

步骤四、对目标位置进行插值：确定该段插值曲线的起点和终点，并确定对应的分割参数Δ_i，利用参数三次样条曲线的分段三次曲线方程在该段曲线段中的前一曲线段与后一曲线段的连接点位置的矢量值、切实量值相等，以分割参数Δ_i为步长，逐个递推完成该段曲线内的各加密点的插入。

2.根据权利要求1所述的一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，其特征在于，在步骤一中，具体的，将参数曲线的幂基多项式为：

即：

P(t)＝a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³，t∈[0,1] (1-2)

其中，a₀、a₁、a₂、a₃为待定系数矢量，t为确定系数矢量，将曲线段两端的端点0、1分别代入曲线方程和曲线导数方程，即P(0)、P(1)、P＇(0)、P＇(1)，

公式(1-2)对t求导可得P＇(t)：

P＇(t)＝a₁+2a₂t+a₃t² (1-3)

将t＝0，t＝1代入式(1-2)、式(1-3)得到

整理得到：

将式(1-4)代入式(1-2)得到：

P(t)＝[P(0)]+[P＇(0)]t+[-3P(0)+3P(1)-2P＇(0)-P＇(1)]t²+[2P(0)-2P(1)+P＇(0)+P＇(1)]t³

＝[P(0)+0·P(1)+0·P＇(0)+0·P＇(1)]+[0·P(0)+0·P(1)+P＇(0)+0·P＇(1)]t+[-3P(0)+3P(1)-2P＇(0)-P＇(1)]t²+[2P(0)-2P(1)+P＇(0)+P＇(1)]t³

将上式表述的三次曲线写为矩阵形式：

式(1-5)是在t∈[0,1]上的参数三次埃尔米特插值方程，将式(1-5)写为：

其中，

。

3.根据权利要求1所述的一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，其特征在于，在步骤二中，具体的，令

Δ_i＝μ_i+1-μ_i

对目标曲线建立局部坐标系，将t转化为关于μ的函数，完成自变量的转变。

其中，μ∈[μ_i,μ_i+1]，为一个任意参数区间，将μ代入三次曲线方程则有

P(t)＝P(t(μ))，μ∈[μ_i,μ_i+1]

将细化后的区间端点值μ＝μ_i，μ＝μ_i+1代入，由于曲线段两端的端点位置函数值不变，则有

P(t(μ_i))＝P_i＝P(0)

P(t(μ_i+1))＝P_i+1＝P(1)

记P(t(μ_i))＝P_i，P(t(μ_i+1))＝P_i+1，

对转化为参数μ的曲线方程进行求导得到

再将细化后的区间端点值μ＝μ_i，μ＝μ_i+1代入上式，得到

同理，记

对上式整理得到

P＇(0)＝Δ_iP′_i

P＇(1)＝Δ_iP′_i+1

将计算得到的曲线端点矢量数值以及端点的切矢量数值

代入式(1-6)得到

即

其中，μ∈[μ_i，μ_i+1]，i＝0，1，2，…，n-1，由于

Δ_i＝μ_i+1-μ_i

将式(1-8)简写为

通过给定一组有序的数据点得到对应向量P_i(i＝0,1,2,…,n)，构建出一条顺次穿过该组数据点的参数三次样条插值曲线P(μ)。

4.根据权利要求1所述的一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，其特征在于，在步骤三中，具体的，对式(1-9)求关于参数μ的第i段曲线的一阶导数和二阶导数，式(1-9)的一阶导数矢量为：

同理，求出式(1-9)的二阶导数矢量为

对于上式(1-10)有μ∈[μ_i,μ_i+1]，t＝t(μ)＝(μ－μ_i)/Δ_i，Δ_i＝(μ_i+1－μ_i)，将上式的下标i减1，得到第i－1段曲线的二阶导数矢量

对于上式(1-11)有μ∈[μ_i－1,μ_i]，t＝t(μ)＝(μ－μ_i－1)/Δ_i－1，Δ_i－1＝(μ_i－μ_i－1)，第i段曲线和第i-1段曲线，即前一曲线段和后一曲线段拥有一个共同边界点μ＝μ_i，由于原曲线连续使得二阶导数所求得的两段参数曲线段在相连的边界点处曲率值必定相等，因此联合方程式(1-10)和(1-11)就有

P″_i-1(μ_i)＝P″_i(μ_i)

即

对式(1-7)中的F₀(t)、F₁(t)、G₀(t)、G₁(t)进行求导得到

对于参数曲线段P_i(μ)有

对于参数曲线段P_i-1(μ)有

将μ＝μ_i分别代入式(1-14)和(1-15)，

对于式(1-14)在P_i(μ)参数曲线段上：t＝t(μ_i)＝0，

对于式(1-15)在P_i-1(μ)参数曲线段上：t＝t(μ_i)＝1，

将式(1-13)代入式(1-12)得到

再代入对应参数曲线段上的t值得到

对上式整理得到

由式(1-16)知在已知前两点的切矢量的情况下，便可以递推出第三点的切矢量，再代入式(1-9)即构建出参数三次样条插值曲线P(μ)，切矢量递推函数方程为

。

5.根据权利要求1所述的一种基于参数样条曲线方程的增材制造打印轨迹推插值方法，其特征在于，在步骤四中，具体的，在切片图层的平面内建立坐标系，令该图层中的图形处于坐标系内，为使增材制造结果更趋近于三维数据模型，对图形的边界曲线的目标区域进行插值；首先确定该段插值曲线的起点和终点；然后确定分割参数Δ_i，在目标边界曲线上取得间隔相等的数值点，并以向量的方式加以表达；再利用埃尔米特插值建立该段曲线中各细化分段曲线的参数三次多项式，以便拟合获取目标曲线方程，即建立目标曲线的分段参数三次多项式方程；在获得目标曲线的分段参数三次多项式方程后，使用者便可根据自身需求在目标位置插入适当的加密点，在增材制造过程中令打印头沿这些插值点运行，以便使打印结果更加逼近于原始设计形状，提高产品的增材制造打印精度。

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