CN111857172A - 基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器 - Google Patents

基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器 Download PDF

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CN111857172A CN202010802861.7A CN202010802861A CN111857172A CN 111857172 A CN111857172 A CN 111857172A CN 202010802861 A CN202010802861 A CN 202010802861A CN 111857172 A CN111857172 A CN 111857172A
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Abstract

本发明公开了基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器，该控制器是基于如下步骤实现的：1）构造考虑外部扰动和未知参数的四旋翼动力学模型；2)基于模糊逻辑系统的逼近器，使其逼近理想状态下四旋翼系统模型的控制输入；3)引入切换控制补偿模糊系统估计的输入与理想输入之间的误差,获得精确的实际控制输入；4)将动态面控制与积分滑模控制相结合，设计出四旋翼自适应模糊动态面积分滑模控制器。本发明能够实现跟四旋翼飞行轨迹满足预设跟踪误差指标，在存在参数不确定和外界扰动的情况下，提高了控制系统的鲁棒性，最终保证闭环系统的所有信号最终一致有界。

Description

基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器
技术领域
本发明属于四旋翼无人飞行器控制领域，具体涉及基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器。
背景技术
四旋翼无人飞行器由于其外形新颖，结构简单，成本低廉，性能卓越的优势，独特的飞行控制方式(通过控制四只旋翼的转速，来实现飞行控制)得到越来越多的科研人员的青睐。然而，四旋翼无人飞行器是一种典型的欠驱动系统，它只有四个输入作用，却有六个运动自由度。相对全驱动系统而言，欠驱动系统的控制设计更为复杂。同时它还具有强耦合性，非线性，多变量，存在参数不确定性等特点，给四旋翼飞行的稳定控制增加了难度。因此，基于四旋翼动力学模型进行先进控制器的设计具有重要的现实意义。
为了保证四旋翼无人机平稳地飞行，现阶段提出了多种控制策略。常见的控制策略有自适应PID控制，反馈线性化，反步法控和滑模控制等。但这些方法各有各的局限性。自适应PID控制的参数调整依赖经验，且鲁棒性较差；反馈线性化方法适用于线性系统，对于四旋翼非线性控制有很大的局限性；反步法在推导控制率的过程中因多次微分会导致微分爆炸的问题；传统的积分滑模控制虽然保证了控制器的鲁棒性，但是无法满足期望的动态性能指标。
发明内容
为了解决现有技术中的不足，本发明旨在提供一种方法紧凑，使用效果好的能够提高鲁棒性的基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器，可保证四旋翼无人飞行器能在外界扰动和内部参数不确定的情况下，控制器还能满足预设的跟踪性能，控制误差能在预设的条件内，并且具有良好的鲁棒性。
为实现上述目的，本发明提供了如下的技术方案：
基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器，是基于以下步骤实现的：
1)构造考虑外部扰动和未知参数的四旋翼动力学模型；
2)设计基于模糊逻辑系统的逼近器，使其逼近理想状态下四旋翼无人飞行器系统模型的控制输入；
3)引用切换控制，来补偿模糊系统估计的输入与理想输入之间的误差,得到更为精确的实际控制输入；
4)将动态面与积分滑模控制相结合，设计出四旋翼无人飞行器的自适应模糊动态面积分滑模控制器。
具体的，步骤1)构造含参数不确定性及外部扰动的四旋翼无人飞行器的动力学模型，如公式(1)所示；
Figure BDA0002628022360000021
其中
Figure BDA0002628022360000022
为状态变量，代表实际位置信息和姿态角信息；Uχ，(χ＝1,2,3,4)是四个控制输入；dN，(N＝1,2,...,6)为外部扰动，并有如下定义：
Figure BDA0002628022360000023
其中m为四旋翼的质量；Ωχ，(χ＝1,2,3,4)是飞行器四个旋翼的转速；lk是四旋翼几何中心到旋翼之间的距离(m)；Jx，Jy和Jz分别为四旋翼关于X，Y和Z轴的转动惯量；aμ，(μ＝1,2,...,11)为四旋翼数学模型的参数，这些参数在实际过程中存在不确定性，本发明在设计控制器的过程中，加入模糊系统对这些不确定项进行逼近，以保证系统的跟踪性能和鲁棒性。这些参数部分定义如下：
Figure BDA0002628022360000024
其中x，y和z分为是四旋翼飞行时的位置分量(m)；
Figure BDA0002628022360000025
θ和φ分别为四旋翼的翻滚角，俯仰角和偏航角(rad)；C(.)和S(.)代表的是cos(.)和sin(.)函数；Jx，Jy和Jz分别为OX,OY和OZ轴的转动惯量；Jr表示每个转子的转动惯量；
Figure BDA0002628022360000031
为四个旋子的转速差；dx，dy，dz，dφ，dθ和
Figure BDA0002628022360000032
是相应的空气阻力系数。
步骤2)采用四旋翼无人飞行器的模糊逻辑系统的逼近器为：
y(x)＝αTξ(x) (4)
其中，α∈Rn为可调权值向量，ξ(x)＝[ξ1(x),ξ2(x),...,ξN(x)]T为模糊基函数向量；模糊基函数选择为：
Figure BDA0002628022360000033
其中，μFli(xi)为选用的高斯基函数作为模糊隶属度函数；则对紧密集Ω∈Rn内的任意连续函数f(x)，都可以用模糊逻辑系统对其进行逼近，
f(x)＝α*Tξ(x)+ε(x) (6)
其中α*是权值向量α的最优值，ε(x)是逼近器的逼近误差，满足条件
Figure BDA0002628022360000034
Figure BDA0002628022360000035
是逼近误差的最大值且
Figure BDA0002628022360000036
步骤3)引用切换控制,来补偿模糊系统估计的输入与理想输入u*之间的误差。当采用模糊系统逼近控制输入时，根据上述模糊逼近理论，存在最优模糊系统ufz来逼近理想输入u*，
u*＝ufz(S,α)+ε＝αTξ+ε (7)
其中ε是逼近器的逼近误差，α为可调权值向量，ξ为模糊基函数，满足|ε|＜E，且E为模糊系统估计误差的上界。为了使控制输入更加精确，采用切换控制率uvs来补偿u*和ufz之间的差值，
Figure BDA0002628022360000037
其中
Figure BDA0002628022360000038
为E估计值，S为预选的积分滑模面，则总的控制控制输入为：
u＝ufz+uvs (9)
步骤4)四旋翼自适应模糊动态面积分滑模控制器设计，包含如下步骤：
第一步：对于四旋翼位置系统方程，
Figure BDA0002628022360000041
定义位置误差：
ei＝xi-xid(i＝1,3,5) (11)
其中xid为x，y和z的预设位置轨迹，xi分别为x，y和z实际的位置轨迹。对ei进行求导，
Figure BDA0002628022360000042
定义虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000043
则
Figure BDA0002628022360000044
其中cj为正常数，
Figure BDA0002628022360000045
为x，y和z的预设位置轨迹的导数。
为了解决多次求导引起的“微分爆炸”的问题，让虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000046
通过下面的一阶滤波器得到新的状态变量x(i+1)d(i＝1,3,5)，作为xi+1(i＝1,3,5)的参考变量，
Figure BDA0002628022360000047
其中x(i+1)d是滤波器的输出，
Figure BDA0002628022360000048
是滤波器的误差，τj为滤波器时间常数。定义以下积分滑模面：
Figure BDA0002628022360000049
其中ki和ki+1是任意正常数。
假设滑模控制是在理想的状态下，则Sj对时间的导数为,
Figure BDA00026280223600000410
引入三个新的变量作为新的控制输入，
Figure BDA0002628022360000051
则
Figure BDA0002628022360000052
假设上述方程的扰动dj(j＝1,2,3)和参数aj(j＝1,2,3)都是已知的，则可以得到理想状态下的控制输入，
Figure BDA0002628022360000053
因为实际情况下方程中的扰动dj(j＝1,2,3)和参数aj(j＝1,2,3)难以测量，理想情况下的控制输入难以得到，所以采用模糊系统的逼近能力对理想的控制输入
Figure BDA0002628022360000054
进行估计。
Figure BDA0002628022360000055
其中αj为可调权值向量；ξj为模糊基函数；εj是模糊系统估计误差，满足|εj|＜Ej(j＝1,2,3)，且Ej为模糊系统估计误差的上界。其中
Figure BDA0002628022360000056
为模糊系统估计的输入。采用切换控制率vjvs(j＝1,2,3)来补偿理想控制输入
Figure BDA0002628022360000057
和模糊系统估计的控制输入vjfz之间的差值，
Figure BDA0002628022360000058
其中
Figure BDA0002628022360000059
是Ei的估计值，Sj为预选的积分滑模面，估计误差为
Figure BDA00026280223600000510
Sj为预选的积分滑模面，则可以得到实际的控制率为，
vj＝vjfz+vjvs(j＝1,2,3) (22)
选择李雅普诺夫函数
Figure BDA00026280223600000511
其中ηj和ρj为正常量，
Figure BDA00026280223600000512
是αj的估计值，
Figure BDA00026280223600000513
为可调权值向量的估计误差。对上式求导则，
Figure BDA0002628022360000061
且
Figure BDA0002628022360000062
所以
Figure BDA0002628022360000063
将上式(26)代入式(24)中，
Figure BDA0002628022360000064
则得到自适应率如下所示，然后代入切换控制率(21)，
Figure BDA0002628022360000065
上式(27)则变为
Figure BDA0002628022360000066
为了使李雅普诺夫函数
Figure BDA0002628022360000067
切换控制的自适应率选择如下：
Figure BDA0002628022360000068
则满足条件
Figure BDA0002628022360000069
由上式(17)可知，方程组中存在4个位置量x7，x9，x11和U1。通常情况下，x11d会作为参考信号提前给出。本发明的动态面积分滑模控制器会让x11快速地收敛为x11d。因此，上式(17)中的x11会被作为已知量并且被x11d所替代。这样未知变量就减少为三个。这三个未知变量由下式表示，
Figure BDA0002628022360000071
其中a＝cos(x11d),b＝sin(x11d)，由上式(32)得到翻滚角和俯仰角的参考轨迹x7d和x9d，以及四旋翼动力学模型中控制输入U1。
第二步：对于四旋翼姿态角系统方程，
Figure BDA0002628022360000072
定义姿态角误差：
eI＝xI-xId(I＝7,9,11) (34)
其中xId为翻滚角φ，俯仰角θ和偏航角
Figure BDA0002628022360000073
的预设姿态角轨迹，xI为翻滚角φ，俯仰角θ和偏航角
Figure BDA0002628022360000074
实际的姿态角轨迹。对eI进行求导，
Figure BDA0002628022360000075
定义虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000076
则
Figure BDA0002628022360000077
其中cJ为正常数，
Figure BDA0002628022360000078
为φ，θ和
Figure BDA0002628022360000079
的预设姿态角轨迹的导数。
为了解决多次求导引起的“微分爆炸”的问题，让虚拟控制量
Figure BDA00026280223600000710
通过下面的一阶滤波器得到新的状态变量x(I+1)d(I＝7,9,11)，作为xI+1(I＝1,3,5)的参考变量，
Figure BDA0002628022360000081
其中x(I+1)d是滤波器的输出，
Figure BDA0002628022360000082
是滤波器误差，τj为滤波器时间常数。定义以下积分滑模面：
Figure BDA0002628022360000083
其中kI和kI+1是任意正常数。假设滑模控制是在理想的状态下，则SJ对时间的导数为,
Figure BDA0002628022360000084
将公式(33)带入公式(39)中，则
Figure BDA0002628022360000085
假设上述方程的扰动dJ(J＝1,2,3)和参数aσ(σ＝4,5,...,11)都是已知的，则可以得到理想状态下的控制输入，
Figure BDA0002628022360000086
因为实际情况下方程中的扰动dJ(J＝1,2,3)和参数aσ(σ＝4,5,...,11)难以测量，理想情况下的控制输入难以得到，所以采用模糊系统的逼近能力对理想的控制输入
Figure BDA0002628022360000087
进行估计。
Figure BDA0002628022360000088
其中αJ为可调权值向量；ξJ为模糊基函数；εJ是模糊系统估计误差，满足|εJ|＜EJ(J＝4,5,6)；EJ为模糊系统估计误差的上界。其中
Figure BDA00026280223600000813
为模糊系统估计的控制输入。采用切换控制率Unvs(n＝2,3,4)来补偿理想控制输入
Figure BDA0002628022360000089
和模糊系统估计的控制输入Unfz之间的差值，
Figure BDA00026280223600000810
其中
Figure BDA00026280223600000811
是Ei的估计值，估计误差为
Figure BDA00026280223600000812
SJ为预选的积分滑模面。则可以得到实际的控制率为，
Un＝Unfz+Unvs(n＝2,3,4) (44)
选择李雅普诺夫函数
Figure BDA0002628022360000091
其中ηJ和ρJ为正常量，
Figure BDA0002628022360000092
是αJ的估计值，
Figure BDA0002628022360000093
为可调权值向量的估计误差。对上式求导则，
Figure BDA0002628022360000094
且
Figure BDA0002628022360000095
所以
Figure BDA0002628022360000096
将上式(48)代入式(46)中，
Figure BDA0002628022360000097
则得到自适应率如下所示，然后代入切换控制率(43)，
Figure BDA0002628022360000098
上式(49)则变为
Figure BDA0002628022360000099
为了使李雅普诺夫函数
Figure BDA0002628022360000101
切换控制的自适应率选择如下：
Figure BDA0002628022360000102
则满足条件
Figure BDA0002628022360000103
本发明的有益效果为：
本发明能够通过模糊逻辑系统对含扰动和不确定参数的理想控制输入进行逼近；引入切换控制，能够使控制输入更加精确，满足预设跟踪性能指标；动态面与积分滑模方法相结合，保证控制律简明的前提下，提高了控制器的鲁棒性，最终保证了闭环系统的所有误差信号最终一致有界。
附图说明
图1为本发明的四旋翼无人飞行器的结构图；
图2为正常情况下四旋翼预设轨迹与实际轨迹的3D轨迹跟踪图；
图3为正常情况下x轴的轨迹跟踪和跟踪误差图；
图4为正常情况下y轴的轨迹跟踪和跟踪误差图；
图5为正常情况下z轴的轨迹跟踪和跟踪误差图；
图6为正常情况下偏航角
Figure BDA0002628022360000105
的轨迹跟踪和跟踪误差图；
图7为正常情况下翻滚角φ和俯仰角θ的变化；
图8为正常情况下四个控制输入；
图9为15％参数不确定情况下的3D轨迹跟踪图与预设轨迹的对比图；
图10为30％参数不确定情况下的3D轨迹跟踪图与预设轨迹的对比图；
图11为50％参数不确定情况下的3D轨迹跟踪图与预设轨迹的对比图；
图12为参数不确定的不同情况下x的跟踪误差对比图；
图13为参数不确定的不同情况下y的跟踪误差对比图；
图14为参数不确定的不同情况下z的跟踪误差对比图；
图15为参数不确定的不同情况下
Figure BDA0002628022360000104
的跟踪误差对比图；
图16为本发明与动态面控制对比的3D轨迹跟踪图；
图17为本发明与传统滑模控制对比的3D轨迹跟踪图。
具体实施方式
如图1所示,本发明提出的基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器，是基于以下步骤实现的：
步骤1)：构造含参数不确定性及外部扰动的四旋翼无人飞行器的动力学模型，如式(54)所示：
Figure BDA0002628022360000111
其中
Figure BDA0002628022360000112
为状态变量；g为重力加速度；Uχ，(χ＝1,2,3,4)是四个控制输入；dN，(N＝1,2,...,6)为外部扰动，并有如下定义：
Figure BDA0002628022360000113
其中m为四旋翼的质量；Ωχ，(χ＝1,2,3,4)是飞行器四个旋翼的转速；lk是四旋翼几何中心到旋翼之间的距离(m)；Jx，Jy和Jz分别为四旋翼关于X，Y和Z轴的转动惯量；aμ，(μ＝1,2,...,11)为四旋翼数学模型的参数，这些参数在实际过程中存在不确定性，本发明在设计控制器的过程中，加入模糊系统对这些不确定项进行逼近，以保证系统的跟踪性能和鲁棒性。这些参数部分定义如下：
Figure BDA0002628022360000121
其中x，y和z分为是四旋翼飞行时的位置分量(m)；
Figure BDA0002628022360000122
θ和φ分别为四旋翼的翻滚角，俯仰角和偏航角(deg)；C(.)和S(.)代表的是cos(.)和sin(.)函数；Jx，Jy和Jz分别为OX,OY和OZ轴的转动惯量；Jr表示每个转子的转动惯量；
Figure BDA0002628022360000123
为四个旋子的转速差；dx，dy，dz，dφ，dθ和
Figure BDA0002628022360000124
是相应的空气阻力系数。
步骤2)：设计四旋翼无人飞行器的模糊逻辑系统的逼近器为：
y(x)＝αTξ(x) (57)
其中，α∈Rn为可调权值向量，ξ(x)＝[ξ1(x),ξ2(x),...,ξN(x)]T为模糊基函数向量；模糊基函数选择为：
Figure BDA0002628022360000125
其中，
Figure BDA0002628022360000126
为选用的高斯基函数作为模糊隶属度函数；则对紧密集Ω∈Rn内的任意连续函数f(x)，都可以用模糊逻辑系统对其进行逼近，
f(x)＝α*Tξ(x)+ε(x) (59)
其中α*是权值向量α的最优值，ε(x)是逼近器的逼近误差，满足条件
Figure BDA0002628022360000127
Figure BDA0002628022360000128
是逼近误差的最大值且
Figure BDA0002628022360000129
步骤3)：设计切换控制,来补偿模糊系统估计的输入与理想输入u*之间的误差。当采用模糊系统逼近控制输入时，根据上述模糊逼近理论，存在最优模糊系统ufz来逼近理想输入u*，
u*＝ufz(S,α)+ε＝αTξ+ε (60)
其中ε是逼近器的逼近误差，α为可调权值向量，ξ为模糊基函数，满足|ε|＜E且E为模糊系统估计误差的上界。为了使控制输入更加精确，采用切换控制率uvs来补偿u*和ufz之间的差值，
Figure BDA0002628022360000131
其中
Figure BDA0002628022360000132
为估计的切换增益值，S为预选的积分滑模面，则总的控制输入为：
u＝ufz+uvs (62)
步骤4)：将动态面与积分滑模控制相结合，设计出四旋翼无人飞行器系统的模糊自适应动态面积分滑模控制器。本步骤包括如下步骤：
第一步：对于四旋翼位置系统方程，
Figure BDA0002628022360000133
定义位置误差：
ei＝xi-xid(i＝1,3,5) (64)
其中xid为x，y和z的预设位置轨迹，xi分别为为实际x，y和z的位置轨迹。对ei进行求导，
Figure BDA0002628022360000134
定义虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000135
则
Figure BDA0002628022360000136
其中cj为正常数，
Figure BDA0002628022360000137
为x，y和z的预设位置轨迹的导数。
为了解决多次求导引起的“微分爆炸”的问题，让虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000138
通过下面的一阶滤波器得到新的状态变量x(i+1)d(i＝1,3,5)，作为xi+1(i＝1,3,5)的参考变量，
Figure BDA0002628022360000139
其中x(i+1)d是滤波器的输出，
Figure BDA00026280223600001310
是滤波器的误差，τj为滤波器时间常数。定义以下积分滑模面：
Figure BDA0002628022360000141
其中ki和ki+1是任意正常数。假设滑模控制是在理想的状态下，则Sj对时间的导数为,
Figure BDA0002628022360000142
引入三个新的变量作为新的控制输入，
Figure BDA0002628022360000143
则
Figure BDA0002628022360000144
假设上述方程的扰动dj(j＝1,2,3)和参数aj(j＝1,2,3)都是已知的，则可以得到理想状态下的控制输入，
Figure BDA0002628022360000145
因为实际情况下方程中的扰动dj(j＝1,2,3)和参数aj(j＝1,2,3)难以测量，理想情况下的控制输入难以得到，所以采用模糊系统的逼近能力对理想的控制输入
Figure BDA0002628022360000146
进行估计。
Figure BDA0002628022360000147
其中αj为可调权值向量；ξj为模糊基函数；εj是模糊系统估计误差，满足|εj|＜Ej(j＝1,2,3)；且Ej为模糊系统估计误差的上界。其中
Figure BDA0002628022360000148
为模糊系统估计的输入。采用切换控制率vjvs(j＝1,2,3)来补偿理想控制输入
Figure BDA0002628022360000149
和模糊系统估计的控制输入vjfz之间的差值，
Figure BDA00026280223600001410
其中
Figure BDA00026280223600001411
是Ej的估计值，Sj为预选的积分滑模面，估计误差为
Figure BDA00026280223600001412
Sj为预选的积分滑模面，则可以得到实际的控制率为，
vj＝vjfz+vjvs(j＝1,2,3) (75)
选择李雅普诺夫函数
Figure BDA0002628022360000151
其中ηj和ρj为正常量，
Figure BDA0002628022360000152
是αj的估计值，
Figure BDA0002628022360000153
为可调权值向量的估计误差。对上式求导则，
Figure BDA0002628022360000154
且
Figure BDA0002628022360000155
所以
Figure BDA0002628022360000156
将上式(79)代入式(77)中，
Figure BDA0002628022360000157
则得到自适应率如下所示，然后代入切换控制率(74)，
Figure BDA0002628022360000158
则式(80)变为
Figure BDA0002628022360000159
为了使李雅普诺夫函数
Figure BDA00026280223600001510
切换控制的自适应率选择如下：
Figure BDA00026280223600001511
则满足条件
Figure BDA0002628022360000161
由式(70)可知，方程组中存在4个位置量x7，x9，x11和U1。通常情况下，x11d会作为参考信号提前给出。本发明提出的动态面积分滑模控制器会让x11快速地收敛为x11d。因此，式(70)中的x11会被作为已知量并且被x11d所替代。这样未知变量就减少为三个。这三个未知变量由下式表示，
Figure BDA0002628022360000162
其中a＝cos(x11d),b＝sin(x11d)，由上式(85)得到预设的翻滚角和俯仰角的轨迹x7d和x9d，以及四旋翼动力学模型中控制输入U1。
第二步：对于四旋翼姿态角系统方程，
Figure BDA0002628022360000163
定义姿态角误差：
eI＝xI-xId(I＝7,9,11) (87)
其中xId为翻滚角φ，俯仰角θ和偏航角
Figure BDA0002628022360000164
的预设姿态角轨迹，xI为翻滚角φ，俯仰角θ和偏航角
Figure BDA0002628022360000165
实际姿态角轨迹。对eI进行求导，
Figure BDA0002628022360000166
定义虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000167
则
Figure BDA0002628022360000171
其中cJ为正常数，
Figure BDA0002628022360000172
为φ，θ和
Figure BDA0002628022360000173
的预设姿态角轨迹的导数。
为了解决多次求导引起的“微分爆炸”的问题，让虚拟控制量
Figure BDA0002628022360000174
通过下面的一阶滤波器得到新的状态变量x(I+1)d(I＝7,9,11)，作为xI+1(I＝1,3,5)的参考变量，
Figure BDA0002628022360000175
其中x(I+1)d是滤波器的输出，
Figure BDA0002628022360000176
是滤波器误差，τj为滤波器时间常数。定义以下积分滑模面：
Figure BDA0002628022360000177
其中kI和kI+1是任意正常数。假设滑模控制是在理想的状态下，则SJ对时间的导数为,
Figure BDA0002628022360000178
将公式(86)代入公式(92)中，则
Figure BDA0002628022360000179
假设上述方程的扰动dJ(J＝1,2,3)和参数aσ(σ＝4,5,...,11)都是已知的，则可以得到理想状态下的控制输入，
Figure BDA00026280223600001710
因为实际情况下方程中的扰动dJ(J＝1,2,3)和参数aσ(σ＝4,5,...,11)难以测量，理想情况下的控制输入难以得到，所以采用模糊系统的逼近能力对理想的控制输入
Figure BDA00026280223600001711
进行估计。
Figure BDA00026280223600001712
其中αJ为可调权值向量；ξJ为模糊基函数；εJ是模糊系统估计误差，满足|εJ|＜EJ(J＝4,5,6)；EJ为模糊系统估计误差的上界。其中
Figure BDA00026280223600001713
为模糊系统估计的控制输入。采用切换控制率Unvs(n＝2,3,4)来补偿理想控制输入
Figure BDA00026280223600001714
和模糊系统估计的控制输入Unfz之间的差值，
Figure BDA0002628022360000181
其中
Figure BDA0002628022360000182
是EJ的估计值，估计误差为
Figure BDA0002628022360000183
SJ为预选的积分滑模面。则可以得到实际的控制率为，
Un＝Unfz+Unvs(n＝2,3,4) (97)
选择李雅普诺夫函数
Figure BDA0002628022360000184
其中ηJ和ρJ为正常量，
Figure BDA0002628022360000185
是αJ的估计值，
Figure BDA0002628022360000186
为可调权值向量的估计误差。对上式求导则，
Figure BDA0002628022360000187
且
Figure BDA0002628022360000188
所以
Figure BDA0002628022360000189
将上式(101)代入式(99)中，
Figure BDA00026280223600001810
则得到自适应率如下所示，然后代入切换控制率(96)，
Figure BDA00026280223600001811
则式(102)变为
Figure BDA0002628022360000191
为了使李雅普诺夫函数
Figure BDA0002628022360000192
切换控制的自适应率选择如下：
Figure BDA0002628022360000193
则满足条件
Figure BDA0002628022360000194
下面采用Lyapunov稳定性分析法分析闭环系统的稳定性以及预设跟踪性能。
稳定性分析，定义滤波器的滤波误差：
Figure BDA0002628022360000195
其中，x2d，x4d和x6d分别为x，y和z的预设位置轨迹；x8d，x10d和x12d分别为φ，θ和
Figure BDA0002628022360000196
的预设姿态角轨迹；
Figure BDA0002628022360000197
为虚拟控制量。由式(67)(90)可知，
Figure BDA0002628022360000198
其中，
Figure BDA0002628022360000199
和
Figure BDA00026280223600001910
分别为x，y和z的预设位置轨迹的导数；
Figure BDA00026280223600001911
和
Figure BDA00026280223600001912
分别为φ，θ和
Figure BDA00026280223600001913
的预设姿态角轨迹的导数；τN分别为六个滤波器时间常数。
又因为
Figure BDA00026280223600001914
得到
Figure BDA00026280223600001915
其中
Figure BDA00026280223600001916
是一个连续的函数。因此可以推导出
Figure BDA0002628022360000201
得到如下不等式
Figure BDA0002628022360000202
定义正李雅普诺夫函数
V＝V1+V2 (113)
Figure BDA0002628022360000203
Figure BDA0002628022360000204
其中e1，e3和e5分别代表x，y和z的位置误差；e7，e9和e11分别为φ，θ和
Figure BDA0002628022360000205
的姿态角误差；y2N为滤波器的滤波误差；SN为选取的积分滑模面；
Figure BDA0002628022360000206
为可调权值向量的估计误差；
Figure BDA0002628022360000207
为模糊系统估计误差上界的估计误差；ηN和ρN为任意正实数。
定理1：考虑包含位置公式(63)和姿态角公式(86)的四旋翼控制系统，实际控制器公式(75)、公式(97)(150)以及自适应率公式(81)，(83)，(103)，(105)，存在任意正实数p＞0，考虑李雅普诺夫函数的初始环境满足V(0)≤p，则通过调节参数cN，τN，ηN，ρN，(N＝1,2,...,6)，kr，(r＝1,2,...,12)，使系统中所有信号最终半全局一致有界并且跟踪误差可以任意减小。
证明：对式(113)求导
Figure BDA0002628022360000208
其中V1的导数为
Figure BDA0002628022360000209
根据公式(112)得
Figure BDA0002628022360000211
值得注意的是，对于任意正数λ，存在
Figure BDA0002628022360000212
假设|B2N|＜M2N，M2N为正常量，则
Figure BDA0002628022360000213
取
Figure BDA0002628022360000214
其中α0为正常量，则有
Figure BDA0002628022360000215
取
Figure BDA0002628022360000216
则
Figure BDA0002628022360000217
且V1＝p。因为V1≤p是一个不变集合。所以当初始值V1(0)≤p，则对于任意参数t≥0总存在V1(t)≤p。并且V1(t)在以下区间内
Figure BDA0002628022360000218
由式(122)可知V1(t)的上界为
Figure BDA0002628022360000219
Figure BDA00026280223600002110
对V2进行求导为，
Figure BDA0002628022360000221
将自适应率公式(81)，(83)，(103)，(105)代入公式(124)，得到
Figure BDA0002628022360000222
其中EN≥|εN|(N＝1,2,...,6)，V2(t)是一致有界的。显然，闭环系统的所有信号在紧密集Ω中最终半全局一致有界。通过调节参数cN，τN，ηN，ρN，(N＝1,2,...,6)，kr，(r＝1,2,...,12)，可以使系统误差达到任意小。
仿真分析：
以含扰动情况下的四旋翼无人飞行器系统为例，四旋翼的参数如表1所示，预设的参考轨迹
Figure BDA0002628022360000225
选择为{sin(t),cos(t),0.5t,sin(0.5t)}。仿真过程中的其他参数选择为：cN＝0.01，τN＝0.001，ηN＝200，ρN＝0.1，k2N＝20，(N＝1,2,...,6)；kr＝9，(r＝1,3,5,7,9,11)。其中模糊系统的隶属度函数选择为
Figure BDA0002628022360000223
Figure BDA0002628022360000224
外部扰动根据实际经验选择为d1＝cos(t)；d2＝sin(t)；d3＝sin(t)cos(t)；d4＝0.5sin(0.5t)；d5＝0.5cos(0.5t)；d6＝0.25sin(0.5t)cos(0.5t)。
为了探究本发明能够更好地克服参数和模型不确定的影响，假设以下四种情况，进行对比仿真。
情况一：假设四旋翼动力学模型参数正常，参数如表1所示，仿真结果如图2-图8所示。
表1：四旋翼无人飞行器的参数
Figure BDA0002628022360000231
情况二、三、四：分别在情况一的基础上增加15％，30％，50％z轴的转动惯量同时保持其他参数不变，以此来模拟实际过程中参数不确定地情况出现。情况二、三、四的仿真结果如图9-图12所示。
为了证明本发明更好地改善了四旋翼无人飞行器控制系统的跟踪性能和鲁棒性，采用传统的动态面控制和滑模控制进行对比仿真，得到四旋翼无人飞行器的3D轨迹跟踪对比如图13和图14所示，同时三种控制方案稳态(10s-12s)的跟踪误差的最大值和均方根值如表2所示。可以看出，本发明提出的控制器具有稳定速度快、稳态跟踪误差最大值MVTE和均方根值RMSVTE最小的特点。
表2：三种方法的稳态跟踪误差最大值MVTE和均方根值RMSVTE
Figure BDA0002628022360000241
本发明基于模糊逻辑系统逼近含不确定参数和扰动的控制输入，引入切换控制,来补偿模糊系统估计的输入与理想输入之间的误差，动态面与积分滑模控制相结合，以实现跟踪性能满足预设条件，提高了系统的鲁棒性，最终保证了闭环系统的所有信号最终一致有界。

Claims (5)

1.基于预设跟踪误差的四旋翼动态面积分滑模控制器，其特征在于：所述控制器是基于以下步骤实现的：
1)构造考虑外部扰动和未知参数的四旋翼动力学模型；
2)基于模糊逻辑系统的逼近器，使其逼近理想状态下四旋翼系统模型的控制输入；
3)引入切换控制，补偿模糊系统估计的输入与理想输入之间的误差,获得精确的实际控制输入；
4)将动态面控制与积分滑模控制相结合，设计出四旋翼自适应模糊动态面积分滑模控制器。
2.如权利要求1所述的四旋翼动态面积分滑模控制器，其特征在于：步骤1)含外部和参数并不确定情况下的四旋翼无人飞行器的数学模型如公式(1)所示；
Figure FDA0002628022350000011
其中
Figure FDA0002628022350000012
为状态变量，代表实际位置信息和姿态角信息；Uχ，(χ＝1,2,3,4)是四个控制输入；dN，(N＝1,2,...,6)为外部扰动，并有如下定义：
Figure FDA0002628022350000013
其中m为四旋翼的质量；Ωχ，(χ＝1,2,3,4)是飞行器四个旋翼的转速；lk是四旋翼几何中心到旋翼之间的距离(m)；Jx，Jy和Jz分别为四旋翼关于X，Y和Z轴的转动惯量；aμ，(μ＝1,2,...,11)为四旋翼数学模型的参数，这些参数在实际过程中存在不确定性，在设计控制器的过程中，加入模糊系统对这些不确定项进行逼近，以保证系统的跟踪性能和鲁棒性；这些参数部分定义如下：
Figure FDA0002628022350000021
其中x，y和z分为是四旋翼飞行时的位置分量(m)；
Figure FDA0002628022350000022
θ和φ分别为四旋翼的翻滚角，俯仰角和偏航角(rad)；C(.)和S(.)代表的是cos(.)和sin(.)函数；Jx，Jy和Jz分别为OX,OY和OZ轴的转动惯量；Jr表示每个转子的转动惯量；
Figure FDA0002628022350000023
为四个旋子的转速差；dx，dy，dz，dφ，dθ和
Figure FDA0002628022350000024
是相应的空气阻力系数。
3.如权利要求1所述的四旋翼动态面积分滑模控制器，其特征在于：步骤2)采用四旋翼无人飞行器的模糊逻辑系统的逼近器为：
y(x)＝αTξ(x) (4)
其中，α∈Rn为可调权值向量，ξ(x)＝[ξ1(x),ξ2(x),...,ξN(x)]T为模糊基函数向量；模糊基函数选择为：
Figure FDA0002628022350000025
其中，
Figure FDA0002628022350000026
为选用的高斯基函数作为模糊隶属度函数；则对紧密集Ω∈Rn内的任意连续函数f(x)，都可以用模糊逻辑系统对其进行逼近，
f(x)＝α*Tξ(x)+ε(x) (6)
其中α*是权值向量α的最优值，ε(x)是逼近器的逼近误差，满足条件
Figure FDA0002628022350000027
Figure FDA0002628022350000028
是逼近误差的最大值且
Figure FDA0002628022350000031
4.如权利要求1所述的四旋翼动态面积分滑模控制器，其特征在于：步骤3)引用切换控制,来补偿模糊系统估计的输入与理想输入之间的误差；
当采用模糊系统逼近控制输入时，根据上述模糊逼近理论，存在最优模糊系统ufz来逼近理想输入u*，
u*＝ufz(S,α)+ε＝αTξ+ε (7)
其中ε是逼近器的逼近误差，α为可调权值向量，ξ为模糊基函数，满足|ε|<E，且E为模糊系统估计误差的上界；
为了使控制输入更加精确，采用切换控制率uvs来补偿u*和ufz之间的差值，
Figure FDA0002628022350000032
其中
Figure FDA0002628022350000033
为E估计值，S为预选的积分滑模面，则总的控制控制输入为：
u＝ufz+uvs (9)。
5.如权利要求1所述的四旋翼动态面积分滑模控制器，其特征在于：步骤4)四旋翼自适应模糊动态面积分滑模控制器的设计，包含如下步骤：
第一步：对于四旋翼位置系统方程，
Figure FDA0002628022350000034
定义位置误差：
ei＝xi-xid(i＝1,3,5) (11)
其中xid为x，y和z的预设位置轨迹，xi分别为x，y和z实际的位置轨迹；对ei进行求导，
Figure FDA0002628022350000035
定义虚拟控制量
Figure FDA0002628022350000036
则
Figure FDA0002628022350000041
其中cj为正常数，
Figure FDA0002628022350000042
为x，y和z的预设位置轨迹的导数；
为了解决多次求导引起的“微分爆炸”的问题，让虚拟控制量
Figure FDA0002628022350000043
通过下面的一阶滤波器得到新的状态变量x(i+1)d(i＝1,3,5)，作为xi+1(i＝1,3,5)的参考变量，
Figure FDA0002628022350000044
其中x(i+1)d是滤波器的输出，
Figure FDA0002628022350000045
是滤波器的误差，τj为滤波器时间常数；定义以下积分滑模面：
Figure FDA0002628022350000046
其中ki和ki+1是任意正常数；
假设滑模控制是在理想的状态下，则Sj对时间的导数为,
Figure FDA0002628022350000047
引入三个新的变量作为新的控制输入，
Figure FDA0002628022350000048
则
Figure FDA0002628022350000049
假设上述方程的扰动dj(j＝1,2,3)和参数aj(j＝1,2,3)都是已知的，则可以得到理想状态下的控制输入，
Figure FDA00026280223500000410
因为实际情况下方程中的扰动dj(j＝1,2,3)和参数aj(j＝1,2,3)难以测量，理想情况下的控制输入难以得到，所以采用模糊系统的逼近能力对理想的控制输入
Figure FDA00026280223500000411
进行估计；
Figure FDA0002628022350000051
其中αj为可调权值向量；ξj为模糊基函数；εj是模糊系统估计误差，满足|εj|<Ej(j＝1,2,3)，且Ej为模糊系统估计误差的上界；其中
Figure FDA0002628022350000052
为模糊系统估计的输入；采用切换控制率vjvs(j＝1,2,3)来补偿理想控制输入
Figure FDA0002628022350000053
和模糊系统估计的控制输入vjfz之间的差值，
Figure FDA0002628022350000054
其中
Figure FDA0002628022350000055
是Ei的估计值，Sj为预选的积分滑模面，估计误差为
Figure FDA0002628022350000056
Sj为预选的积分滑模面，则可以得到实际的控制率为，
vj＝vjfz+vjvs(j＝1,2,3) (22)
选择李雅普诺夫函数
Figure FDA0002628022350000057
其中ηj和ρj为正常量，
Figure FDA0002628022350000058
是αj的估计值，
Figure FDA0002628022350000059
为可调权值向量的估计误差；对上式求导则，
Figure FDA00026280223500000510
且
Figure FDA00026280223500000511
所以
Figure FDA00026280223500000512
将上式(26)代入式(24)中，
Figure FDA00026280223500000513
则得到自适应率如下所示，然后代入切换控制率(21)，
Figure FDA0002628022350000061
上式(27)则变为
Figure FDA0002628022350000062
为了使李雅普诺夫函数
Figure FDA0002628022350000063
切换控制的自适应率选择如下：
Figure FDA0002628022350000064
则满足条件
Figure FDA0002628022350000065
由上式(17)可知，方程组中存在4个位置量x7，x9，x11和U1；通常情况下，x11d会作为参考信号提前给出；动态面积分滑模控制器会让x11快速地收敛为x11d；因此，上式(17)中的x11会被作为已知量并且被x11d所替代；这样未知变量就减少为三个，三个未知变量由下式表示，
Figure FDA0002628022350000066
其中a＝cos(x11d),b＝sin(x11d)，由上式(32)得到翻滚角和俯仰角的参考轨迹x7d和x9d，以及四旋翼动力学模型中控制输入U1；
第二步：对于四旋翼姿态角系统方程，
Figure FDA0002628022350000071
定义姿态角误差：
eI＝xI-xId(I＝7,9,11) (34)
其中xId为翻滚角φ，俯仰角θ和偏航角
Figure FDA0002628022350000072
的预设姿态角轨迹，xI为翻滚角φ，俯仰角θ和偏航角
Figure FDA0002628022350000073
实际的姿态角轨迹；对eI进行求导，
Figure FDA0002628022350000074
定义虚拟控制量
Figure FDA0002628022350000075
则
Figure FDA0002628022350000076
其中cJ为正常数，
Figure FDA0002628022350000077
为φ，θ和
Figure FDA0002628022350000078
的预设姿态角轨迹的导数；
为了解决多次求导引起的“微分爆炸”的问题，让虚拟控制量
Figure FDA0002628022350000079
通过下面的一阶滤波器得到新的状态变量x(I+1)d(I＝7,9,11)，作为xI+1(I＝1,3,5)的参考变量，
Figure FDA00026280223500000710
其中x(I+1)d是滤波器的输出，
Figure FDA00026280223500000711
是滤波器误差，τj为滤波器时间常数；定义以下积分滑模面：
Figure FDA00026280223500000712
其中kI和kI+1是任意正常数；假设滑模控制是在理想的状态下，则SJ对时间的导数为,
Figure FDA00026280223500000713
将公式(33)带入公式(39)中，则
Figure FDA00026280223500000714
假设上述方程的扰动dJ(J＝1,2,3)和参数aσ(σ＝4,5,...,11)都是已知的，则可以得到理想状态下的控制输入，
Figure FDA0002628022350000081
因为实际情况下方程中的扰动dJ(J＝1,2,3)和参数aσ(σ＝4,5,...,11)难以测量，理想情况下的控制输入难以得到，所以采用模糊系统的逼近能力对理想的控制输入
Figure FDA0002628022350000082
进行估计；
Figure FDA0002628022350000083
其中αJ为可调权值向量；ξJ为模糊基函数；εJ是模糊系统估计误差，满足|εJ|<EJ(J＝4,5,6)；EJ为模糊系统估计误差的上界；其中
Figure FDA0002628022350000084
为模糊系统估计的控制输入；采用切换控制率Unvs(n＝2,3,4)来补偿理想控制输入
Figure FDA0002628022350000085
和模糊系统估计的控制输入Unfz之间的差值，
Figure FDA0002628022350000086
其中
Figure FDA0002628022350000087
是Ei的估计值，估计误差为
Figure FDA0002628022350000088
SJ为预选的积分滑模面；则可以得到实际的控制率为，
Un＝Unfz+Unvs(n＝2,3,4) (44)
选择李雅普诺夫函数
Figure FDA0002628022350000089
其中ηJ和ρJ为正常量，
Figure FDA00026280223500000810
是αJ的估计值，
Figure FDA00026280223500000811
为可调权值向量的估计误差；对上式求导则，
Figure FDA00026280223500000812
且
Figure FDA0002628022350000091
则
Figure FDA0002628022350000092
将上式(48)代入式(46)中，
Figure FDA0002628022350000093
则得到自适应率如下所示，然后代入切换控制率(43)，
Figure FDA0002628022350000094
上式(49)则变为
Figure FDA0002628022350000095
为了使李雅普诺夫函数
Figure FDA0002628022350000096
切换控制的自适应率选择如下：
Figure FDA0002628022350000097
则满足条件
Figure FDA0002628022350000101
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