CN111639403A

CN111639403A - 一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法

Info

Publication number: CN111639403A
Application number: CN202010468328.1A
Authority: CN
Inventors: 陈龙
Original assignee: University of Shanghai for Science and Technology
Current assignee: University of Shanghai for Science and Technology
Priority date: 2020-05-28
Filing date: 2020-05-28
Publication date: 2020-09-08

Abstract

本发明提供了一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，包括以下步骤：步骤1，将燃料棒截面中心点作为坐标原点建立x‑y坐标系，取第一象限内的四分之一燃料棒外轮廓进行形状优化，设定目标函数；步骤2，采用二次Bézier曲线拟合四分之一燃料棒外轮廓，获得三段Bézier曲线以及七个控制点坐标，将七个控制点坐标作为设计变量；步骤3，根据四分之一燃料棒外轮廓的原始尺寸数据，制定约束条件；步骤4，计算四分之一燃料棒外轮廓的周长以及在第一象限内围成的面积；步骤5，根据目标函数、设计变量以及约束条件，在Matlab中编写优化程序后运算得到四分之一燃料棒外轮廓的优化结果，根据四分之一燃料棒外轮廓的优化结果绘制得到优化后的燃料棒整体外轮廓。

Description

一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法

技术领域

本发明涉及一种形状优化方法，具体涉及一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法。

背景技术

结构优化设计以数学中的最优化理论为基础，以计算机为手段，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，在满足给定的各种约束条件下，寻求最优的设计方案，包括尺寸优化、形状优化及拓扑优化。

在工业领域中，为提高燃烧效率，要求燃料棒在一定的体积下拥有更大的外表面积，因此需要对燃料棒进行结构优化设计，而现有技术对燃料棒进行结构优化时，需要在曲线上取若干离散点，再对每个点的坐标设定优化方向，优化的精度取决于离散点的数量，但设计变量增加的同时会导致工作量繁琐，优化效率低等情况，且因点的离散性，无法保证在优化时对燃料棒的曲线外轮廓进行精确表达。

发明内容

本发明是为了解决上述问题而进行的，目的在于提供一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法。

本发明提供了一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，具有这样的特征，包括以下步骤：步骤1，根据燃料棒截面尺寸数据，将燃料棒中心点作为坐标原点建立x-y坐标系，取x-y坐标系第一象限内的四分之一燃料棒外轮廓进行形状优化，设定目标函数；

步骤2，采用二次Bézier曲线拟合四分之一燃料棒外轮廓，获得三段Bézier曲线以及七个控制点坐标，将七个控制点坐标作为设计变量；

步骤3，根据四分之一燃料棒外轮廓的原始尺寸数据，制定约束条件；

步骤4，计算四分之一燃料棒外轮廓的周长以及在四分之一燃料棒外轮廓在第一象限内围成的面积；

步骤5，根据目标函数、设计变量以及约束条件，在Matlab中编写优化程序后运算得到四分之一燃料棒外轮廓的优化结果，根据四分之一燃料棒外轮廓的优化结果绘制得到优化后的燃料棒整体外轮廓。

在本发明提供的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法中，还可以具有这样的特征：其中，目标函数如下：

式(1)中，CL为比长度，D为四分之一燃料棒外轮廓的周长，A(Ω)为四分之一燃料棒外轮廓在第一象限内围成的面积。

在本发明提供的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法中，还可以具有这样的特征：其中，约束条件包括：对优化前后三段Bézier曲线上任意点坐标的区间进行约束，保证x＝0处Bézier曲线上该点切线方向平行于x轴，y＝0处曲线上该点切线方向平行于y轴，保证优化前后任意两段Bézier曲线的交点处C¹连续性，保证每段Bézier曲线互不相交，对四分之一燃料棒外轮廓的中点坐标进行约束，对控制点的x，y坐标取值进行约束。

在本发明提供的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法中，还可以具有这样的特征：其中，四分之一燃料棒外轮廓的周长通过计算三段Bézier曲线的长度得到。

在本发明提供的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法中，还可以具有这样的特征：其中，四分之一燃料棒外轮廓在第一象限内围成的面积通过计算三段Bézier曲线的围成面积得到。

发明的作用与效果

根据本发明所涉及的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，因为采用了二次Bézier曲线来拟合燃料棒外轮廓，所以，能够更加精确的表达燃料棒的曲线外轮廓，且满足C¹连续性。并且只需将Bézier曲线的七个控制点坐标作为设计变量，在约束条件与目标函数下对控制点坐标进行迭代优化就能完成燃料棒形状优化，所以，有效减少了优化中设计变量的数目，降低了优化难度，提高了优化效率。

附图说明

图1是本发明的实施例中的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法的流程图；

图2是本发明的实施例中的燃料棒的整体结构图与截面图；

图3是本发明的实施例中的拟合后第一象限内的四分之一燃料棒外轮廓形状示意图；

图4是本发明的实施例中的根据约束条件和目标函数优化后的燃料棒整体外轮廓形状图；

图5是本发明的实施例中的第一次调整部分约束条件后优化得到的燃料棒整体外轮廓形状图；

图6是本发明的实施例中的第二次调整部分约束条件后优化得到的燃料棒整体外轮廓形状图；

图7是本发明的实施例中的第三次调整部分约束条件后优化得到的燃料棒整体外轮廓形状图；

图8是本发明的实施例中的第四次调整部分约束条件后优化得到的燃料棒整体外轮廓形状图。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段与功效易于明白了解，以下结合实施例及附图对本发明作具体阐述。

图1是本发明的实施例中的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法的流程图，图2是本发明的实施例中的燃料棒的整体结构图与截面图。

如图1和图2所示，图2中左侧为进行形状优化的燃料棒整体结构示意图，图2中右侧为燃料棒的截面图。

本实施例的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，包括以下步骤：

步骤1，根据燃料棒截面尺寸数据，将燃料棒中心点作为坐标原点建立x-y坐标系，取x-y坐标系第一象限内的四分之一燃料棒外轮廓进行形状优化，设定目标函数。

本实施例中，目标函数的设定过程如下：

根据工业需求，要求在一定的体积下，使得燃料棒的外表面积更大，以增加燃烧效率，因此需要对燃料棒制订以下优化目标：在一定体积和截面积的约束下，求得最大比表面积，

上式中，A′(Ω)为比表面积，A(Ω)为燃料棒截面积，V为燃料棒体积。

根据燃料棒原始形状的特性，每一截面均呈四花瓣形，并在轴向对截面进行了旋转变换，最终顶面与底面的角度差为90°，因此对优化目标进行简化，只需对任一截面形状进行优化，要求燃料棒在一定的截面面积下，拥有更长的外周长，即求最大比长度CL，

上式中，CL为比长度，D为燃料棒最外圈的周长，A(Ω)为燃料棒截面面积。

进一步，由于燃料棒截面形状呈四边对称，因此以截面中心为坐标原点，取第一象限四分之一外轮廓进行形状优化，此时设定目标函数如下：

该目标函数使求得的燃料棒外轮廓长度与围成总面积比值的负数最小。

步骤2，采用二次Bézier曲线拟合四分之一燃料棒外轮廓，获得三段Bézier曲线以及七个控制点坐标，将七个控制点坐标作为设计变量。

图3是本发明的实施例中的拟合后第一象限内的四分之一燃料棒外轮廓形状示意图。

如图3所示，拟合后共获得三段曲线，每段曲线含三个控制点(曲线交点处和控制点坐标相同)，共获得七个控制点坐标，将七个控制点坐标作为设计变量，本实施例中的控制点坐标如下：

步骤3，根据四分之一燃料棒外轮廓的原始尺寸数据，制定约束条件。

本实施例中，约束条件如下：优化前后三段Bézier曲线上任意点坐标应处于x∈(0,6.5),y∈(0,6.5)区间范围内，

为保证整体外轮廓曲线的连续性，保证x＝0处Bézier曲线上该点切线方向应平行于x轴，y＝0处Bézier曲线上该点切线方向应平行于y轴，本实施例中，根据二次Bézier曲线的特性，只需保证直线P₀P₁平行于x轴，直线P₅P₆平行于y轴即可，

保证优化前后任意两段Bézier曲线的交点处C¹连续性，

保证燃料棒外轮廓每段Bézier曲线互不相交，

第一象限内Bézier曲线的中点坐标应满足x≥2&y≥2，

为保证优化后燃料棒外轮廓形状的长度及面积数值合理(即不过小也不过大)，曲线控制点坐标的x,y应在合适的区间内取值。

本实施例中，约束条件的表达式如下：

上式中，P_i ^x(i＝0,1,2…6)为第i+1个控制点的x坐标，P_i ^y为第i+1个控制点的y坐标，

表示第二段Bézier曲线中点的x坐标值，

表示第二段Bézier曲线中点的y坐标值。

步骤4，计算四分之一燃料棒外轮廓的周长以及在四分之一燃料棒外轮廓在第一象限内围成的面积。

四分之一燃料棒外轮廓的周长通过计算三段Bézier曲线的长度得到，具体计算推导过程如下：

(1)已知一条二次Bézier曲线的公式为：

C(u)＝(1-u)²P₀+2u(1-u)P₁+u²P₂,0≤u≤1

式中，P₀,P₁,P₂为控制点坐标。

(2)设曲线L:

由曲线积分可知，曲线L的长度为：

对二次Bézier曲线进行求导，得：

C'(u)＝2[(P₀-2P₁+P₂)u+(P₁-P₀)]

此处设：

所以：

C'²(u)＝4(A²u²+2ABu+B²)

根据上述曲线积分可知，一条二次Bézier曲线的长度公式为：

进一步，设：

代入长度公式：

(3)对公式

进行求解，求解过程如下：

1)a＝0，b＝0

2)a＝0,b≠0

3)a≠0

①Δ＝0，b≥0

②Δ＝0，b<0，2a+b≥0

③Δ＝0，b<0，2a+b<0

④Δ≠0

(4)已知K条二次Bézier曲线，每条Bézier曲线有三个控制点，

C_k(u)＝(1-u)²P_0,k+2u(1-u)P_1,k+u²P_2,k,0≤u≤1，k＝{1,2…K}

求得K条二次Bézier曲线总长度为：

其中，K表示二次Bézier曲线数目，本实施例中取K＝3，d_k表示第k条二次Bézier曲线的长度。

四分之一燃料棒外轮廓在第一象限内围成的面积通过计算三段Bézier曲线的围成面积得到，具体计算推导过程如下：

Bézier曲线所围面积公式表达如下：

上式中，

表示第k条Bézier曲线的x坐标表达，

表示第k条Bézier曲线的y坐标表达；

由二次Bézier曲线的公式以及二次Bézier曲线的求导公式可知，

C(u)＝(1-u)²P₀+2u(1-u)P₁+u²P₂＝(P₀-2P₁+P₂)u²+2(P₁-P₀)u+P₀,0≤u≤1

C'(u)＝2[(P₀-2P₁+P₂)u+(P₁-P₀)]

设：

进而得到：

设：

则N条二次Bézier曲线所围面积计算公式最终如下：

本实施例中，燃料棒在第一象限面积应为前文获得的三条二次Bézier曲线与分别位于x轴和y轴上两段直线所围而成。经过计算测试，任意位于x轴和y轴上直线(用二次Bézier曲线形式表示)在上述面积公式中的值均为0，所以只需三条二次Bézier曲线代入取值，即N＝3，计算得到四分之一燃料棒外轮廓在第一象限内围成的面积。

本实施例中，优化前燃料棒各项参数如下：

D＝10.2102

A(Ω)＝14.7704

-CL＝-0.6912

优化后燃料棒各项参数如下：

D＝20.8892

A(Ω)＝20.0938

-CL＝-1.0395

优化后的燃料棒整体外轮廓如图4所示(图4中显示整体外轮廓并标注第一象限控制点坐标)。

本实施例中，通过调整第7-14条约束条件，可以获得不同的燃料棒外轮廓。

当约束条件调整结果如下时：

燃料棒外轮廓形状如图5所示，燃料棒各项参数如下：

D＝28.8793

A(Ω)＝18.05

-CL＝-1.6

当约束条件调整结果如下时：

燃料棒外轮廓形状如图6所示，燃料棒各项参数如下：

D＝31.6358

A(Ω)＝21.6777

-CL＝-1.4594

当约束条件调整结果如下时：

燃料棒外轮廓形状如图7所示，燃料棒各项参数如下：

D＝40.9743

A(Ω)＝25.8816

-CL＝-1.5831

当约束条件调整结果如下时：

燃料棒外轮廓形状如图8所示，燃料棒各项参数如下：

D＝37.8115

A(Ω)＝25.402

-CL＝-1.4885

本实施例中，可根据实际工程需求选择最佳外轮廓方案。

实施例的作用与效果

根据本实施例所涉及的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，因为采用了二次Bézier曲线来拟合燃料棒外轮廓，所以，能够更加精确的表达燃料棒的曲线外轮廓，且满足C¹连续性。并且只需将Bézier曲线的七个控制点坐标作为设计变量，在约束条件与目标函数下对控制点坐标进行迭代优化就能完成燃料棒形状优化，所以，有效减少了优化中设计变量的数目，降低了优化难度，提高了优化效率。

上述实施方式为本发明的优选案例，并不用来限制本发明的保护范围。

Claims

1.一种基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，根据燃料棒截面尺寸数据，将燃料棒中心点作为坐标原点建立x-y坐标系，取所述x-y坐标系第一象限内的四分之一燃料棒外轮廓进行形状优化，设定目标函数；

步骤2，采用二次Bézier曲线拟合所述四分之一燃料棒外轮廓，获得三段Bézier曲线以及七个控制点坐标，将所述七个控制点坐标作为设计变量；

步骤3，根据所述四分之一燃料棒外轮廓的原始尺寸数据，制定约束条件；

步骤4，计算所述四分之一燃料棒外轮廓的周长以及在所述四分之一燃料棒外轮廓在所述第一象限内围成的面积；

步骤5，根据所述目标函数、所述设计变量以及所述约束条件，在Matlab中编写优化程序后运算得到所述四分之一燃料棒外轮廓的优化结果，根据所述四分之一燃料棒外轮廓的优化结果绘制得到优化后的燃料棒整体外轮廓。

2.根据权利要求1所述的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，其特征在于：

其中，所述目标函数如下：

式(1)中，CL为比长度，D为所述四分之一燃料棒外轮廓的周长，A(Ω)为所述四分之一燃料棒外轮廓在所述第一象限内围成的面积。

3.根据权利要求1所述的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，其特征在于：

其中，所述约束条件包括：

对优化前后三段所述Bézier曲线上任意点坐标的区间进行约束，

保证x＝0处所述Bézier曲线上该点切线方向平行于x轴，y＝0处曲线上该点切线方向平行于y轴，

保证优化前后任意两段所述Bézier曲线的交点处C¹连续性，

保证每段所述Bézier曲线互不相交，

对所述四分之一燃料棒外轮廓的中点坐标进行约束，

对所述控制点的x，y坐标取值进行约束。

4.根据权利要求1所述的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，其特征在于：

其中，所述四分之一燃料棒外轮廓的周长通过计算三段所述Bézier曲线的长度得到。

5.根据权利要求1所述的基于Bézier曲线的燃料棒形状优化方法，其特征在于：

其中，所述四分之一燃料棒外轮廓在所述第一象限内围成的面积通过计算三段所述Bézier曲线的围成面积得到。