CN111551895A - 基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源tdoa和fdoa定位方法 - Google Patents

基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源tdoa和fdoa定位方法 Download PDF

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CN111551895A CN202010335953.9A CN202010335953A CN111551895A CN 111551895 A CN111551895 A CN 111551895A CN 202010335953 A CN202010335953 A CN 202010335953A CN 111551895 A CN111551895 A CN 111551895A
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Abstract

本发明公开了一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，首先利用多个运动传感器同时获得运动辐射源信号的TDOA观测量和FDOA观测量，并利用距离差观测量和距离差变化率观测量构造两个标量积矩阵，由此形成多维标度伪线性方程；然后定量分析TDOA/FDOA观测误差对伪线性方程的影响，从而确定最优加权矩阵；接着利用增广未知向量的代数特征构造两个二次等式约束，并结合伪线性方程构建双二次等式约束加权最小二乘优化模型；最后利用拉格朗日乘子技术对此模型进行数值优化，其中利用牛顿迭代获得拉格朗日乘子的最优解，并进而得到辐射源位置向量和速度向量的估计值。本发明能够进一步提升对运动辐射源的定位精度。

Description

基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和 FDOA定位方法
技术领域
本发明属于辐射源定位技术领域，尤其涉及一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法。
背景技术
众所周知，辐射源定位技术在目标监测、导航遥测、地震勘测、射电天文、紧急救助、安全管理等诸多工业和电子信息领域中发挥着重要作用。辐射源定位的基本过程就是从电磁信号中提取出与其位置和速度有关的参数(也称为定位观测量)，然后再利用这些参数解算出辐射源位置向量和速度向量。用于辐射源定位的观测量涉及到空、时、频、能量等多域参数，每个域的定位参数都有其特定的应用场景。在实际应用中，为了提高对辐射源的定位精度，可以考虑联合多域观测量进行定位。联合TDOA/FDOA观测量对运动辐射源进行定位是最常见的一种联合定位体制，其所适用的信号频段宽，并且具有较高的定位精度。
基于TDOA/FDOA观测方程的代数特征，国内外学者提出了很多性能优良的定位方法，其中包括迭代类方法和解析类方法。解析类定位方法可以提供辐射源位置向量和速度向量的闭式解，无需迭代运算，能够有效避免发散和局部收敛等问题，因而得到了学者们的广泛青睐。近年来，在解析类定位方法中，相关学者提出了一种基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法(Wei H W,Peng R,Wan Q,Chen Z X,Ye S F.Multidimensional scalinganalysis for passive moving target localization with TDOA and FDOAmeasurements[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(3):1677-1688.)，该方法通过构造标量积矩阵获得了关于辐射源位置向量和速度向量的伪线性方程，并由此给出了辐射源位置向量和速度向量的闭式解，能够取得较好的定位效果。然而，该方法未利用增广未知向量所满足的二次等式约束，因此其定位精度并不是渐近最优的。基于目前的研究现状，本发明公开了一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA/FDOA定位方法。新方法充分考虑了增广未知向量服从的两个二次等式约束，将定位问题转化成含有双二次等式约束的优化问题，并且利用拉格朗日乘子技术进行优化求解，由此获得辐射源位置向量和速度向量的估计值。相比于已有的基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法，本专利公开的方法可以进一步提升对运动辐射源的定位精度。
发明内容
本发明针对现有的基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法存在的定位精度差的问题，提供了一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其能够充分利用增广未知向量所服从的两个二次等式约束，从而进一步提升对运动辐射源的定位精度。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，包括：
步骤1：利用空间中放置的M个运动传感器同时获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA和FDOA观测量，并利用TDOA观测量进一步得到距离差观测量
Figure BDA0002466611580000021
利用FDOA观测量进一步获得距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000022
步骤2：利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure BDA0002466611580000023
距离差观测量
Figure BDA0002466611580000024
和距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000025
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000026
步骤3：首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，然后利用距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000027
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure BDA0002466611580000028
步骤4：首先利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure BDA0002466611580000029
距离差观测量
Figure BDA00024666115800000210
和距离差变化率观测量
Figure BDA00024666115800000211
构造(M+1)×4阶矩阵G和
Figure BDA00024666115800000212
然后利用矩阵G和
Figure BDA00024666115800000213
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure BDA00024666115800000214
步骤5：令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且根据W、
Figure BDA0002466611580000031
T和
Figure BDA0002466611580000032
计算迭代初始值
Figure BDA0002466611580000033
步骤6：根据
Figure BDA0002466611580000034
W、
Figure BDA0002466611580000035
G、
Figure BDA0002466611580000036
T和
Figure BDA0002466611580000037
依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA0002466611580000038
以及
Figure BDA0002466611580000039
步骤7：根据
Figure BDA00024666115800000310
以及
Figure BDA00024666115800000311
计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA00024666115800000312
并对矩阵
Figure BDA00024666115800000313
进行奇异值分解；
步骤8：首先根据奇异值分解后的
Figure BDA00024666115800000314
计算2(M-1)×2(M-1)阶加权矩阵(Ω(k))-1，然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure BDA00024666115800000315
步骤9：根据Φ(k)和
Figure BDA00024666115800000316
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，λ1和λ2的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值；
步骤10：利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值计算迭代结果
Figure BDA00024666115800000317
若
Figure BDA00024666115800000318
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6；
步骤11：利用迭代序列
Figure BDA00024666115800000319
的收敛值确定辐射源位置向量和速度向量。
进一步地，所述步骤1包括：
根据辐射源位置向量u和速度向量
Figure BDA00024666115800000320
第m个传感器的位置向量
Figure BDA00024666115800000321
和速度向量
Figure BDA00024666115800000322
获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA观测量
Figure BDA00024666115800000323
和FDOA观测量
Figure BDA00024666115800000324
将TDOA观测量
Figure BDA00024666115800000325
乘以信号传播速度得到距离差观测量
Figure BDA00024666115800000326
将FDOA观测量
Figure BDA00024666115800000327
先乘以信号传播速度再除以信号载波频率，然后将结果乘以-1得到距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000041
相应的表达式分别为
Figure BDA0002466611580000042
Figure BDA0002466611580000043
式中εm1和εm2分别表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差。
进一步地，所述步骤2包括：
利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure BDA0002466611580000044
距离差观测量
Figure BDA0002466611580000045
和距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000046
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000047
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000048
Figure BDA0002466611580000049
式中
Figure BDA00024666115800000410
Figure BDA00024666115800000411
进一步地，所述步骤3包括：
首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，相应的计算公式为
Figure BDA00024666115800000412
然后利用距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000051
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure BDA0002466611580000052
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000053
式中
Figure BDA0002466611580000054
其中IM+1表示(M+1)×(M+1)阶单位矩阵；1(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)阶全1矩阵。
进一步地，所述步骤4包括：
首先计算(M+1)×4阶矩阵G和
Figure BDA0002466611580000055
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000056
Figure BDA0002466611580000057
式中1(M+1)×1表示(M+1)×1阶全1列向量；
然后利用矩阵G和
Figure BDA0002466611580000058
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure BDA0002466611580000059
相应的计算公式为
Figure BDA00024666115800000510
Figure BDA00024666115800000511
式中O(M+1)×1表示(M+1)×1阶全0列向量；
Figure BDA0002466611580000061
进一步地，所述步骤5包括：
令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且计算迭代初始值
Figure BDA0002466611580000062
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000063
式中
Figure BDA0002466611580000064
其中O(M+1)×4表示(M+1)×4阶全0矩阵；向量t1表示矩阵T中的第1列向量；矩阵T2表示矩阵T中的第2至第5列构成的矩阵；向量
Figure BDA0002466611580000065
表示矩阵
Figure BDA0002466611580000066
中的第1列向量；矩阵
Figure BDA0002466611580000067
表示矩阵
Figure BDA0002466611580000068
中的第2至第5列构成的矩阵。
进一步地，所述步骤6包括：
按照如下公式依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA0002466611580000069
Figure BDA00024666115800000610
以及
Figure BDA00024666115800000611
Figure BDA00024666115800000612
式中O(M+1)×M表示(M+1)×M阶全0矩阵；其余表达式为
Figure BDA00024666115800000613
Figure BDA0002466611580000071
Figure BDA0002466611580000072
Figure BDA0002466611580000073
式中
Figure BDA0002466611580000074
Figure BDA0002466611580000075
其中IM-1表示(M-1)×(M-1)阶单位矩阵；IM表示M×M阶单位矩阵；I4表示4×4阶单位矩阵；1M×1表示M×1阶全1列向量；O4×4表示4×4阶全0矩阵；O1×M表示1×M阶全0行向量；O1×(M-1)表示1×(M-1)阶全0行向量；
Figure BDA0002466611580000076
表示(M+1)×(M+1)2阶全0矩阵；
Figure BDA0002466611580000077
O(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全0矩阵；1(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全1矩阵；1(M+1)×M表示(M+1)×M阶全1矩阵；1(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全1矩阵；12×(M-1)表示2×(M-1)阶全1矩阵；O4(M+1)×(M-1)表示4(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O2×(M-1)表示2×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×9表示(M+1)×9阶全0矩阵。
进一步地，所述步骤7包括：
首先计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA0002466611580000081
并对矩阵
Figure BDA0002466611580000082
进行奇异值分解可得
Figure BDA0002466611580000083
式中H(k)表示2(M+1)×2(M-1)阶列正交矩阵；V(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶正交矩阵；Σ(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶对角矩阵，其对角元素为矩阵
Figure BDA0002466611580000084
的奇异值。
进一步地，所述步骤8包括：
首先计算加权矩阵(Ω(k))-1，其中矩阵Ω(k)的计算公式为
Ω(k)＝Σ(k)V(k)TEV(k)Σ(k)T
式中
Figure BDA0002466611580000085
其中Ett表示距离差观测误差协方差矩阵；Eff表示距离差变化率观测误差协方差矩阵；Etf表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差之间的协方差矩阵；
然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure BDA0002466611580000086
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000087
进一步地，所述步骤9包括：
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，它们的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值
Figure BDA0002466611580000091
和
Figure BDA0002466611580000092
相应的迭代公式为
Figure BDA0002466611580000093
式中
Figure BDA0002466611580000094
和
Figure BDA0002466611580000095
分别表示λ1和λ2的第p+1次迭代结果；
Figure BDA0002466611580000096
和
Figure BDA0002466611580000097
分别表示λ1和λ2的第p次迭代结果；α∈[0,1)表示步长因子；其余表达式为
Figure BDA0002466611580000098
Figure BDA0002466611580000099
Figure BDA00024666115800000910
Figure BDA0002466611580000101
Figure BDA0002466611580000102
其中
Figure BDA0002466611580000103
Figure BDA0002466611580000104
式中I3表示3×3阶单位矩阵；O3×1表示3×1阶全0列向量；O1×3表示1×3阶全0行向量；O4×1表示4×1阶全0列向量；O1×4表示1×4阶全0行向量；O3×3表示3×3阶全0矩阵；O3×4表示3×4阶全0矩阵；O4×3表示4×3阶全0矩阵；O5×1表示5×1阶全0列向量。
进一步地，所述步骤10包括：
利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值
Figure BDA0002466611580000105
和
Figure BDA0002466611580000106
计算迭代结果
Figure BDA0002466611580000107
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000108
若
Figure BDA0002466611580000111
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6。
进一步地，所述步骤11包括：
利用迭代序列
Figure BDA0002466611580000112
的收敛值
Figure BDA0002466611580000113
确定辐射源位置向量和速度向量，将辐射源位置向量和速度向量的估计结果分别记为
Figure BDA0002466611580000114
和
Figure BDA0002466611580000115
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000116
与现有技术相比，本发明具有的有益效果：
本发明首先利用3维空间中的多个运动传感器同时获得运动辐射源信号的TDOA观测量(等价于距离差观测量)和FDOA观测量(等价于距离差变化率观测量)，并利用距离差观测量和距离差变化率观测量构造两个标量积矩阵，由此形成多维标度伪线性方程；然后定量分析TDOA/FDOA观测误差对伪线性方程的影响，从而确定最优加权矩阵；接着利用增广未知向量的代数特征构造两个二次等式约束，并结合伪线性方程构建1个双二次等式约束加权最小二乘优化模型。最后利用拉格朗日乘子技术对此模型进行数值优化，其中利用牛顿迭代获得拉格朗日乘子的最优解，并进而得到辐射源位置向量和速度向量的估计值。本发明基于加权多维标度原理，并在充分利用增广未知向量所满足的两个二次等式约束的基础上，将TDOA/FDOA定位问题转化成含有双二次等式约束的优化模型，并且通过拉格朗日乘子技术对该模型进行优化求解，相比已有的基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法，本发明利用了增广未知向量所满足的两个二次等式约束，能够进一步提升对运动辐射源的定位精度。
附图说明
图1是本发明实施例一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法的基本流程图；
图2是定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(X-Y坐标平面)；
图3是定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(Y-Z坐标平面)；
图4是辐射源位置估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线；
图5是辐射源速度估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线；
图6是辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线；
图7是辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线；
图8是辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线(σ＝1)；
图9是辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线(σ＝1)。
具体实施方式
下面结合附图和具体的实施例对本发明做进一步的解释说明：
如图1所示，一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，包括：
步骤1：在空间中放置M个运动传感器，利用它们同时获得运动辐射源信号到达第m(2≤m≤M)个传感器与到达第1个传感器的TDOA/FDOA观测量，并利用TDOA观测量进一步得到距离差观测量
Figure BDA0002466611580000121
利用FDOA观测量进一步获得距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000122
步骤2：利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure BDA0002466611580000123
距离差观测量
Figure BDA0002466611580000124
和距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000125
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000126
步骤3：首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，然后利用距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000127
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure BDA0002466611580000128
步骤4：首先利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure BDA0002466611580000129
距离差观测量
Figure BDA00024666115800001210
和距离差变化率观测量
Figure BDA00024666115800001211
构造(M+1)×4阶矩阵G和
Figure BDA00024666115800001212
然后利用矩阵G和
Figure BDA00024666115800001213
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure BDA00024666115800001214
步骤5：令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且根据W、
Figure BDA00024666115800001215
T和
Figure BDA00024666115800001216
计算迭代初始值
Figure BDA00024666115800001217
步骤6：根据
Figure BDA0002466611580000131
W、
Figure BDA0002466611580000132
G、
Figure BDA0002466611580000133
T和
Figure BDA0002466611580000134
依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA0002466611580000135
以及
Figure BDA0002466611580000136
步骤7：根据
Figure BDA0002466611580000137
以及
Figure BDA0002466611580000138
计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA0002466611580000139
并对矩阵
Figure BDA00024666115800001310
进行奇异值分解；
步骤8：首先根据奇异值分解后的
Figure BDA00024666115800001311
计算2(M-1)×2(M-1)阶加权矩阵(Ω(k))-1，然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure BDA00024666115800001312
步骤9：根据Φ(k)和
Figure BDA00024666115800001313
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代(其初始值均设为0)，得到λ1和λ2的收敛值；
步骤10：利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值计算迭代结果
Figure BDA00024666115800001314
若
Figure BDA00024666115800001315
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6；
步骤11：利用迭代序列
Figure BDA00024666115800001316
的收敛值确定辐射源位置向量和速度向量。
进一步地，所述步骤1中，在空间中放置M个运动传感器，并利用它们对运动辐射源进行TDOA/FDOA定位。辐射源位置向量和速度向量分别为u和
Figure BDA00024666115800001317
第m个传感器的位置向量和速度向量分别为
Figure BDA00024666115800001318
和
Figure BDA00024666115800001319
Figure BDA00024666115800001320
分别表示第m个传感器在x轴、y轴、z轴方向上的坐标；
Figure BDA00024666115800001321
分别表示第m个传感器在x轴、y轴、z轴方向上的速度；利用它们可以同时获得运动辐射源信号到达第m(2≤m≤M)个传感器与到达第1个传感器的TDOA观测量
Figure BDA00024666115800001322
和FDOA观测量
Figure BDA00024666115800001323
将TDOA观测量
Figure BDA00024666115800001324
乘以信号传播速度即可得到距离差观测量
Figure BDA00024666115800001325
将FDOA观测量
Figure BDA00024666115800001326
先乘以信号传播速度再除以信号载波频率，然后将结果乘以-1即可得到距离差变化率观测量
Figure BDA00024666115800001327
相应的表达式分别为
Figure BDA0002466611580000141
Figure BDA0002466611580000142
Figure BDA0002466611580000143
Figure BDA0002466611580000144
Figure BDA0002466611580000145
Figure BDA0002466611580000146
式中，c为信号传播速度；f0为信号载波频率；εm1和εm2分别表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差。
进一步地，所述步骤2中，利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure BDA0002466611580000147
距离差观测量
Figure BDA0002466611580000148
和距离差变化率观测量
Figure BDA0002466611580000149
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure BDA00024666115800001410
相应的计算公式为
Figure BDA00024666115800001411
Figure BDA00024666115800001412
式中
Figure BDA00024666115800001413
Figure BDA0002466611580000151
进一步地，所述步骤3中，首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000152
然后利用距离变化率矩阵
Figure BDA0002466611580000153
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure BDA0002466611580000154
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000155
式中
Figure BDA0002466611580000156
其中IM+1表示(M+1)×(M+1)阶单位矩阵；1(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)阶全1矩阵。
进一步地，所述步骤4中，首先计算(M+1)×4阶矩阵G和
Figure BDA0002466611580000157
(G和
Figure BDA0002466611580000158
没有具体的物理含义，只是中间矩阵)，相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000159
Figure BDA00024666115800001510
式中1(M+1)×1表示(M+1)×1阶全1列向量；
然后利用矩阵G和
Figure BDA00024666115800001511
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure BDA00024666115800001512
(T和
Figure BDA00024666115800001513
没有具体的物理含义，只是中间矩阵)，相应的计算公式为
Figure BDA00024666115800001514
Figure BDA0002466611580000161
式中O(M+1)×1表示(M+1)×1阶全0列向量；
Figure BDA0002466611580000162
进一步地，所述步骤5中，令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且计算迭代初始值
Figure BDA0002466611580000163
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000164
式中
Figure BDA0002466611580000165
其中O(M+1)×4表示(M+1)×4阶全0矩阵；向量t1表示矩阵T中的第1列向量；矩阵T2表示矩阵T中的第2至第5列构成的矩阵(即有T＝[t1 T2])；向量
Figure BDA0002466611580000166
表示矩阵
Figure BDA0002466611580000167
中的第1列向量；矩阵
Figure BDA0002466611580000168
表示矩阵
Figure BDA0002466611580000169
中的第2至第5列构成的矩阵(即有
Figure BDA00024666115800001610
进一步地，所述步骤6中，依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA00024666115800001611
Figure BDA00024666115800001612
以及
Figure BDA00024666115800001613
以及
Figure BDA00024666115800001614
均无具体的物理含义，只是中间参量)：
具体地，矩阵
Figure BDA00024666115800001615
的计算公式为
Figure BDA00024666115800001616
式中O(M+1)×M表示(M+1)×M阶全0矩阵；其余表达式为
Figure BDA0002466611580000171
其中IM-1表示(M-1)×(M-1)阶单位矩阵；IM表示M×M阶单位矩阵；I4表示4×4阶单位矩阵；1M×1表示M×1阶全1列向量；O4×4表示4×4阶全0矩阵；O1×M表示1×M阶全0行向量；O1×(M-1)表示1×(M-1)阶全0行向量；
具体地，矩阵
Figure BDA0002466611580000172
的计算公式为
Figure BDA0002466611580000173
式中
Figure BDA0002466611580000174
表示(M+1)×(M+1)2阶全0矩阵；
Figure BDA0002466611580000175
具体地，矩阵
Figure BDA0002466611580000176
的计算公式为
Figure BDA0002466611580000177
式中O(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全0矩阵；其余表达式为
Figure BDA0002466611580000181
其中1(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全1矩阵；1(M+1)×M表示(M+1)×M阶全1矩阵；1(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全1矩阵；12×(M-1)表示2×(M-1)阶全1矩阵；O4(M+1)×(M-1)表示4(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O2×(M-1)表示2×(M-1)阶全0矩阵；
具体地，矩阵
Figure BDA0002466611580000182
的计算公式为
Figure BDA0002466611580000183
式中O(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；其余表达式为
Figure BDA0002466611580000184
其中O(M+1)×9表示(M+1)×9阶全0矩阵。
进一步地，所述步骤7中，首先计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure BDA0002466611580000191
并对矩阵
Figure BDA0002466611580000192
进行奇异值分解可得
Figure BDA0002466611580000193
式中H(k)表示2(M+1)×2(M-1)阶列正交矩阵；V(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶正交矩阵；Σ(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶对角矩阵，其对角元素为矩阵
Figure BDA0002466611580000194
的奇异值。
进一步地，所述步骤8中，首先计算加权矩阵(Ω(k))-1，其中矩阵Ω(k)的计算公式为
Ω(k)＝Σ(k)V(k)TEV(k)Σ(k)T
式中
Figure BDA0002466611580000195
其中Ett表示距离差观测误差协方差矩阵；Eff表示距离差变化率观测误差协方差矩阵；Etf表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差之间的协方差矩阵。
然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure BDA0002466611580000196
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000197
进一步地，所述步骤9中，利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，它们的初始值均设为0，相应的迭代公式为
Figure BDA0002466611580000198
式中
Figure BDA0002466611580000199
和
Figure BDA00024666115800001910
分别表示λ1和λ2的第p+1次迭代结果；
Figure BDA00024666115800001911
和
Figure BDA00024666115800001912
分别表示λ1和λ2的第p次迭代结果；α∈[0,1)表示步长因子；其余表达式为
Figure BDA0002466611580000201
Figure BDA0002466611580000202
Figure BDA0002466611580000203
Figure BDA0002466611580000204
Figure BDA0002466611580000205
Figure BDA0002466611580000206
其中
Figure BDA0002466611580000211
Figure BDA0002466611580000212
式中I3表示3×3阶单位矩阵；O3×1表示3×1阶全0列向量；O1×3表示1×3阶全0行向量；O4×1表示4×1阶全0列向量；O1×4表示1×4阶全0行向量；O3×3表示3×3阶全0矩阵；O3×4表示3×4阶全0矩阵；O4×3表示4×3阶全0矩阵；O5×1表示5×1阶全0列向量。
进一步地，所述步骤10中，利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值
Figure BDA0002466611580000213
和
Figure BDA0002466611580000214
计算迭代结果
Figure BDA0002466611580000215
相应的计算公式为
Figure BDA0002466611580000216
若
Figure BDA0002466611580000217
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6。
进一步地，所述步骤11中，利用迭代序列
Figure BDA0002466611580000218
的收敛值
Figure BDA0002466611580000219
确定辐射源位置向量和速度向量，将它们的估计结果分别记为
Figure BDA00024666115800002110
和
Figure BDA00024666115800002111
相应的计算公式为
Figure BDA00024666115800002112
为验证本发明效果，进行如下仿真实验：
假设利用7个运动传感器获得的TDOA/FDOA信息(亦即距离差/距离差变化率信息)对某个运动辐射源进行定位，传感器的位置坐标和速度分别如表1所示，距离差/距离差变化率观测误差向量服从均值为零、协方差矩阵为
Figure BDA0002466611580000221
其中σ为标准差。
表1传感器3维位置坐标和速度(单位：m和m/s)
Figure BDA0002466611580000222
首先将辐射源位置向量和速度向量分别设为u＝[-4900 -4800 5700]T(m)和
Figure BDA0002466611580000223
将标准差σ设为σ＝1，图2给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(X-Y坐标平面)；图3给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(Y-Z坐标平面)。
然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量和速度向量分别为u＝[2900 2800 2700]T(m)和
Figure BDA0002466611580000224
第2种是远场源，其位置向量和速度向量分别为u＝[870082007500]T(m)和
Figure BDA0002466611580000225
Figure BDA0002466611580000226
改变标准差σ的数值，图4给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线；图5给出了辐射源速度估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线。
接着将标准差σ设为两种情形：第1种是σ＝1；第2种是σ＝2，将辐射源位置向量和速度向量分别设为u＝[2400 2500 2600]T+[220 220 220]Tc(m)和
Figure BDA0002466611580000231
改变参数c的数值，图6给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线；图7给出了辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线。
从图4至图7中可以看出，本专利公开的定位方法对运动辐射源的位置和速度估计均方根误差均可以达到相应的克拉美罗界(即理论下界)。此外，从图中还可以看出，随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低，其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度。
下面将本专利公开的定位方法与已有的加权多维标度的定位方法进行比较，注意到已有的基于加权多维标度的定位方法并未利用增广未知向量所满足的双二次等式约束。仿真参数同图6和图7，只是固定标准差为σ＝1，图8给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线；图9给出了辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线。从图8和图9中可以看出，由于本专利公开的定位方法利用了增广未知向量所服从的双二次等式约束，因此其定位精度能够得到显著提升，并且其性能增益与辐射源和传感器之间的相对位置有关。
以上所示仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (12)

1.一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，包括：
步骤1：利用空间中放置的M个运动传感器同时获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA和FDOA观测量，并利用TDOA观测量进一步得到距离差观测量
Figure FDA0002466611570000011
利用FDOA观测量进一步获得距离差变化率观测量
Figure FDA0002466611570000012
步骤2：利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure FDA0002466611570000013
距离差观测量
Figure FDA0002466611570000014
和距离差变化率观测量
Figure FDA0002466611570000015
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure FDA0002466611570000016
步骤3：首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，然后利用距离变化率矩阵
Figure FDA0002466611570000017
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure FDA0002466611570000018
步骤4：首先利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure FDA0002466611570000019
距离差观测量
Figure FDA00024666115700000110
和距离差变化率观测量
Figure FDA00024666115700000111
构造(M+1)×4阶矩阵G和
Figure FDA00024666115700000112
然后利用矩阵G和
Figure FDA00024666115700000113
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure FDA00024666115700000114
步骤5：令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且根据W、
Figure FDA00024666115700000115
T和
Figure FDA00024666115700000116
计算迭代初始值
Figure FDA00024666115700000117
步骤6：根据
Figure FDA00024666115700000118
W、
Figure FDA00024666115700000119
G、
Figure FDA00024666115700000120
T和
Figure FDA00024666115700000121
依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA00024666115700000122
以及
Figure FDA00024666115700000123
步骤7：根据
Figure FDA00024666115700000124
以及
Figure FDA00024666115700000125
计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA00024666115700000126
并对矩阵
Figure FDA00024666115700000127
进行奇异值分解；
步骤8：首先根据奇异值分解后的
Figure FDA0002466611570000021
计算2(M-1)×2(M-1)阶加权矩阵(Ω(k))-1，然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure FDA0002466611570000022
步骤9：根据Φ(k)和
Figure FDA0002466611570000023
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，λ1和λ2的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值；
步骤10：利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值计算迭代结果
Figure FDA0002466611570000024
若
Figure FDA0002466611570000025
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6；
步骤11：利用迭代序列
Figure FDA0002466611570000026
的收敛值确定辐射源位置向量和速度向量。
2.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤1包括：
根据辐射源位置向量u和速度向量
Figure FDA0002466611570000027
第m个传感器的位置向量
Figure FDA0002466611570000028
和速度向量
Figure FDA0002466611570000029
获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA观测量
Figure FDA00024666115700000210
和FDOA观测量
Figure FDA00024666115700000211
将TDOA观测量
Figure FDA00024666115700000212
乘以信号传播速度得到距离差观测量
Figure FDA00024666115700000213
将FDOA观测量
Figure FDA00024666115700000214
先乘以信号传播速度再除以信号载波频率，然后将结果乘以-1得到距离差变化率观测量
Figure FDA00024666115700000215
相应的表达式分别为
Figure FDA00024666115700000216
Figure FDA00024666115700000217
式中εm1和εm2分别表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差。
3.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤2包括：
利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure FDA0002466611570000031
距离差观测量
Figure FDA0002466611570000032
和距离差变化率观测量
Figure FDA0002466611570000033
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure FDA0002466611570000034
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000035
Figure FDA0002466611570000036
式中
Figure FDA0002466611570000037
Figure FDA0002466611570000038
4.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤3包括：
首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000039
然后利用距离变化率矩阵
Figure FDA00024666115700000310
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure FDA00024666115700000311
相应的计算公式为
Figure FDA00024666115700000312
式中
Figure FDA00024666115700000313
其中IM+1表示(M+1)×(M+1)阶单位矩阵；1(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)阶全1矩阵。
5.根据权利要求2所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤4包括：
首先计算(M+1)×4阶矩阵G和
Figure FDA0002466611570000041
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000042
Figure FDA0002466611570000043
式中1(M+1)×1表示(M+1)×1阶全1列向量；
然后利用矩阵G和
Figure FDA0002466611570000044
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure FDA0002466611570000045
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000046
Figure FDA0002466611570000047
式中O(M+1)×1表示(M+1)×1阶全0列向量；
Figure FDA0002466611570000048
6.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤5包括：
令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且计算迭代初始值
Figure FDA0002466611570000049
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000051
式中
Figure FDA0002466611570000052
其中O(M+1)×4表示(M+1)×4阶全0矩阵；向量t1表示矩阵T中的第1列向量；矩阵T2表示矩阵T中的第2至第5列构成的矩阵；向量
Figure FDA0002466611570000053
表示矩阵
Figure FDA0002466611570000054
中的第1列向量；矩阵
Figure FDA0002466611570000055
表示矩阵
Figure FDA0002466611570000056
中的第2至第5列构成的矩阵。
7.根据权利要求4所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤6包括：
按照如下公式依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA0002466611570000057
Figure FDA0002466611570000058
以及
Figure FDA0002466611570000059
Figure FDA00024666115700000510
式中O(M+1)×M表示(M+1)×M阶全0矩阵；其余表达式为
Figure FDA00024666115700000511
Figure FDA00024666115700000512
Figure FDA00024666115700000513
Figure FDA0002466611570000061
式中
Figure FDA0002466611570000062
Figure FDA0002466611570000063
其中IM-1表示(M-1)×(M-1)阶单位矩阵；IM表示M×M阶单位矩阵；I4表示4×4阶单位矩阵；1M×1表示M×1阶全1列向量；O4×4表示4×4阶全0矩阵；O1×M表示1×M阶全0行向量；O1×(M-1)表示1×(M-1)阶全0行向量；
Figure FDA0002466611570000064
表示(M+1)×(M+1)2阶全0矩阵；
Figure FDA0002466611570000065
O(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全0矩阵；1(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全1矩阵；1(M+1)×M表示(M+1)×M阶全1矩阵；1(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全1矩阵；12×(M-1)表示2×(M-1)阶全1矩阵；O4(M+1)×(M-1)表示4(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O2×(M-1)表示2×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×9表示(M+1)×9阶全0矩阵。
8.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤7包括：
首先计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA0002466611570000071
并对矩阵
Figure FDA0002466611570000072
进行奇异值分解可得
Figure FDA0002466611570000073
式中H(k)表示2(M+1)×2(M-1)阶列正交矩阵；V(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶正交矩阵；Σ(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶对角矩阵，其对角元素为矩阵
Figure FDA0002466611570000074
的奇异值。
9.根据权利要求8所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤8包括：
首先计算加权矩阵(Ω(k))-1，其中矩阵Ω(k)的计算公式为
Ω(k)＝Σ(k)V(k)TEV(k)Σ(k)T
式中
Figure FDA0002466611570000075
其中Ett表示距离差观测误差协方差矩阵；Eff表示距离差变化率观测误差协方差矩阵；Etf表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差之间的协方差矩阵；
然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure FDA0002466611570000076
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000077
10.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤9包括：
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，它们的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值
Figure FDA0002466611570000081
和
Figure FDA0002466611570000082
相应的迭代公式为
Figure FDA0002466611570000083
式中
Figure FDA0002466611570000084
和
Figure FDA0002466611570000085
分别表示λ1和λ2的第p+1次迭代结果；
Figure FDA0002466611570000086
和
Figure FDA0002466611570000087
分别表示λ1和λ2的第p次迭代结果；α∈[0,1)表示步长因子；其余表达式为
Figure FDA0002466611570000088
Figure FDA0002466611570000089
Figure FDA00024666115700000810
Figure FDA00024666115700000811
Figure FDA0002466611570000091
Figure FDA0002466611570000092
其中
Figure FDA0002466611570000093
Figure FDA0002466611570000094
式中I3表示3×3阶单位矩阵；O3×1表示3×1阶全0列向量；O1×3表示1×3阶全0行向量；O4×1表示4×1阶全0列向量；O1×4表示1×4阶全0行向量；O3×3表示3×3阶全0矩阵；O3×4表示3×4阶全0矩阵；O4×3表示4×3阶全0矩阵；O5×1表示5×1阶全0列向量。
11.根据权利要求10所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤10包括：
利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值
Figure FDA0002466611570000095
和
Figure FDA0002466611570000096
计算迭代结果
Figure FDA0002466611570000097
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000098
若
Figure FDA0002466611570000099
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6。
12.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤11包括：
利用迭代序列
Figure FDA0002466611570000101
的收敛值
Figure FDA0002466611570000102
确定辐射源位置向量和速度向量，将辐射源位置向量和速度向量的估计结果分别记为
Figure FDA0002466611570000103
和
Figure FDA0002466611570000104
相应的计算公式为
Figure FDA0002466611570000105
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