CN111542842A - 利用超导电路的硬件高效容错操作 - Google Patents

Abstract

提供了用于提供硬件高效的容错量子操作的技术。在一些方面，使用腔和辅助传输子以通过以下操作来实现量子操作：使用腔的多于两个能级来编码逻辑量子比特；使用辅助传输子的多于两个能级来编码信息；以及创建腔与辅助传输子之间的、将辅助传输子中的至少一个错误类型与腔解耦的相互作用。

Description

利用超导电路的硬件高效容错操作

相关申请的交叉引用

本申请根据35U.S.C§119(e)要求于2018年1月5日提交的题为“HARDWARE-EFFICIENT FAULT-TOLERANT OPERATIONS WITH SUPERCONDUCTING CIRCUITS”的美国临时专利申请第62/613,974号和2018年9月19日提交的题为“HARDWARE-EFFICIENT FAULT-TOLERANT OPERATIONS WITH SUPERCONDUCTING CIRCUITS”的美国临时专利申请第62/733,316号的权益，该两者的全部内容通过引用并入本文中。

联邦政府资助的研究

本发明是在美国陆军研究局授予的W911NF-14-1-0011的政府支持下做出的。政府对发明有一定的权利。

背景技术

量子信息处理使用量子力学现象，例如能量量化、叠加和纠缠，以常规信息处理中未利用的方式对信息进行编码和处理。例如，已知的是某些计算问题可以使用量子计算而不是使用常规的经典计算来更高效地解决。然而，为了成为可行的计算选项，量子计算需要精确控制大量量子比特(被称为“量子比特”(“qubit”))以及这些量子比特之间的相互作用的能力。特别地，量子比特应该具有长的相干时间，从而能够被单独地操纵，能够与一个或更多个其他量子比特相互作用以实现多量子比特门，能够被高效地初始化和测量，并且可扩展到大量的量子比特。

量子比特可以由具有至少两个正交状态的任何物理量子力学系统形成。用于编码信息的两状态系统被称为“计算基础”。例如，光子偏振、电子自旋和核自旋是可以编码信息并且因此可以用作用于量子信息处理的量子比特的两级系统。量子比特的不同物理实现方式具有不同的优点和缺点。例如，光子偏振受益于长的相干时间和简单的单量子比特操纵，但是受害于不能创建简单的多量子比特门。

已经提出了使用约瑟夫逊结(Josephson junction)的不同类型的超导量子比特，包括：“相位量子比特”，其中计算基础是约瑟夫逊结中的库珀对(Cooper pair)的量子化能态；“通量量子比特”，其中计算基础是在超导回路中循环电流流动的方向；以及“电荷量子比特”，其中计算基础是在超导岛上存在或不存在库珀对。超导量子比特是量子比特的有利的选择，因为两个量子比特之间的耦合是强的，使得双量子比特门相对容易实现，并且超导量子比特是可扩展的，因为它们是可以使用常规的电子电路技术形成的介观部件。此外，超导量子比特展现出与约瑟夫逊效应相关联的强非线性以及优异的量子相干。所有超导量子比特设计使用至少一个约瑟夫逊结作为非线性非耗散元件。

可扩展量子计算将最终要求对每个逻辑电路部件——包括状态制备、门、测量和纠错——的容错。在电路的容错实现方式中，该电路中的一阶错误在一轮纠错之后产生正确的输出。容错校验子测量是特别关键的因素，因为它们频繁地出现在每个编码电路中。

发明内容

根据一些方面，提供了一种用于使用腔和辅助传输子实现容错量子操作的方法，该方法包括：使用腔的多于两个能级来编码逻辑量子比特；使用辅助传输子的多于两个能级来编码信息；以及创建腔与辅助传输子之间的、将辅助传输子中的至少一个错误类型与腔解耦的相互作用。

在一些实施方式中，创建腔与辅助(ancilla)之间的相互作用包括施加边带驱动。

在一些实施方式中，当施加边带驱动时，腔的逻辑量子比特的演化对于一阶辅助错误是透明的。

在一些实施方式中，边带驱动被配置成：将通过第一激发态下辅助传输子在腔上的第一频移调整成等于通过第二激发态下辅助传输子在腔上的第二频移；以及将通过基态激发态下辅助传输子在腔上的第三频移调整为等于通过第二激发态下辅助传输子在腔上的第二频移。

在一些实施方式中，量子操作包括量子逻辑门。

在一些实施方式中，量子逻辑门包括选择性数目相关任意相位(SNAP)门。

在一些实施方式中，量子逻辑门包括受控SWAP门。

在一些实施方式中，量子逻辑门包括指数SWAP门。

在一些实施方式中，在传输子中发生错误，腔的逻辑量子比特不受影响。

在一些实施方式中，量子操作包括量子测量。

在一些实施方式中，量子测量包括量子奇偶性测量。

在一些实施方式中，量子测量包括错误校验子(syndrome)的测量。

根据一些方面，提供了一种量子信息系统，该系统包括：腔，其被配置成支持微波辐射；辅助传输子，其色散地耦合到腔；微波源，其被配置成：将微波辐射施加到腔以使用腔的多于两个能级来编码逻辑量子比特；将微波辐射施加到辅助传输子以使用辅助传输子的多于两个能级来编码信息；以及施加微波辐射以创建腔与辅助传输子之间的、将辅助传输子中的至少一个错误类型与腔解耦的相互作用。

在一些实施方式中，施加微波辐射以创建腔与辅助传输子之间的相互作用包括施加边带驱动。

在一些实施方式中，当施加边带驱动时，腔的逻辑量子比特的演化对于一阶辅助错误是透明的。

在一些实施方式中，边带驱动被配置成：将通过第一激发态下辅助传输子在腔上的第一频移调整成等于通过第二激发态下辅助传输子在腔上的第二频移；以及将通过基态激发态下辅助传输子在腔上的第三频移调整为等于通过第二激发态下辅助传输子在腔上的第二频移。

在一些实施方式中，量子操作包括量子逻辑门。

在一些实施方式中，量子逻辑门包括选择性数目相关任意相位(SNAP)门、受控SWAP门或指数SWAP门。

在一些实施方式中，当在传输子中发生错误时，腔的逻辑量子比特不受影响。

在一些实施方式中，量子操作包括量子奇偶性测量和/或错误校验子的测量。

附图说明

将参照以下附图来描述公开的技术的各个方面和实施方式。应当理解的是，附图不一定按比例绘制。

图1A是根据一些实施方式的量子信息系统的示意图；

图1B是根据一些实施方式的图1A的量子信息系统的腔和传输子的示例的示意图；

图2A是示出在非容错协议中的错误的影响的量子电路图；

图2B是示出在容错协议中的错误的影响的量子电路图；

图3A是根据一些实施方式的腔辅助能级图；

图3B是根据一些实施方式的作为边带驱动解谐(detuning)的函数的频移的曲线图；

图3C是根据一些实施方式的作为边带驱动解谐的函数的频移的曲线图；

图4是根据一些实施方式的作为边带驱动解谐的函数的频移的曲线图；

图5是根据一些实施方式的作为边带驱动解谐的函数的在基态激发态与相干时间之间的色散(dispersive)相互作用的曲线图；

图6A是在没有边带驱动的情况下系统的失相时间的曲线图；

图6B是根据一些实施方式的在具有边带驱动情况下的系统的失相时间的曲线图；

图7A是根据一些实施方式的示出容错奇偶性(parity)测量协议的量子电路图；

图7B示出了传统的奇偶性映射协议和所得到的维格纳断层照片；

图7C示出了根据一些实施方式的多级奇偶性映射协议和所得到的维格纳断层照片；

图7D示出了根据一些实施方式的容错奇偶性映射协议和所得到的维格纳断层照片；

图8A是根据一些实施方式的重复奇偶性校验子测量协议的量子电路图；

图8B是根据一些实施方式的作为在图8A的协议中进行的测量的次数的函数的腔状态保真度的曲线图；

图9是根据一些实施方式的量子信息系统的示意图；

图10A是根据一些实施方式的受控SWAP门的示意图；

图10B是根据一些实施方式的受控SWAP门的示意图；

图11A是根据一些实施方式的指数SWAP门的示意图；

图11B是根据一些实施方式的指数SWAP门的示意图；

图12示出了根据一些实施方式的选择性数目相关任意相位(SNAP)门的操作；

图13是根据一些实施方式的实现容错SNAP门的结果的示意图；

图14是根据一些实施方式的SNAP门的平均门保真度的曲线图。

具体实施方式

发明人已经开发了用于利用超导电路实现鲁棒和容错的量子计算操作的简化的技术。可以使用作为具有可单独寻址能级的阶梯的非谐振荡器的超导量子比特的多个量子态来防止错误的前向传播，实现容错操作，以及改进针对量子纠错的校验子测量的性能、逻辑态的读出以及甚至通用量子门的操作。因为可以建立防止错误传播而不引入附加的错误机制的特殊对称，所以出现了复杂性和硬件的节省。这与传统方案形成对比，在传统方案中，仅使用两个能级(量子比特而非多级量子比特)以进行编码和辅助两者，然后传统方案需要更多部件并且更难以实现、测试和操作。所描述的实施方式将可纠错逻辑量子比特的硬件高效实现扩展到用于鲁棒的量子操作的完整方案，从而保留了量子计算机的简单减少部件计数的优点。

容错对于任何大型和鲁棒的系统都是重要的特性。在量子计算中，容错意味着可以使用冗余和纠错来使用仍然具有有限的错误概率的零件构建更大的计算机，或者更长且更有用的算法。容错的一个重要方面是减少或防止错误倍增——这样的错误应该在它们压垮系统之前被检测和纠正。

虽然量子纠错的一般思想可能是公知的，但是突出的问题是如何实现纠错计算以及如何使纠错计算实用。存在原理上可以工作的若干现有方案(表面代码、稳定器代码等)，但是它们当前在量子比特的数目、对这些量子比特的操作的数目以及门本身的实际性能方面需要若干数量级的复杂性。附加的复杂性是需要容错。遗憾地，在量子门中，单量子比特错误可以传播而变成多个错误。例如，在C-NOT门之前发生的控制量子比特中的比特翻转不仅导致该原始控制量子比特被破坏，而且现在导致在目标量子比特中的附加的错误。同样，目标量子比特上的相位错误变成控制上的附加相位错误。在两个示例中，一个错误变为两个。这意味着即使具有可以防止任一类型的单独错误的量子纠错方案，该方案也不是容错的并且计算可能失败。

一种传统的纠错方法是使用多个量子比特来不仅以逻辑量子比特对信息进行编码，而且使用多个物理量子比特代替每个辅助量子比特。辅助量子比特是量子计算中并且尤其是纠错中的重要元素。例如，当测量逻辑量子比特的错误校验子时，常规方法检测多个量子比特之间的相关性——一种奇偶性检测。作为一个示例，在用于量子纠错的七量子比特斯特恩码(Steane code)中，需要测量诸如这些七量子比特之间的X或Z算符的四路相关性的量。为此，采用一系列四C-NOT门，其中单个辅助量子比特用作控制或目标。然后，辅助(ancilla)的投影测量将其测量值(Z＝+1或Z＝-1)转换为在该四量子比特相关性上的投影——错误已经发生或没有发生。因为存在要测量的六个需要的相关性(或稳定器)，因此对于最少的纠错，不仅需要逻辑的七个量子比特，而且需要六个附加的辅助和测量——电路中总共13个量子比特和约24个双量子比特门。

遗憾地，该方案可能不是容错的。因为每个辅助直接与逻辑寄存器中的多个量子比特相互作用，辅助中的单个错误(X或Z翻转)可能导致逻辑中的多个错误，算符(operator)能以任何方式得到发生了什么，并且逻辑量子比特的未来使用可能被破坏。一种可能的解决方案是用一组四个(希望是独立的)量子比特代替用于稳定器测量的每个辅助。这种解决方案需要更复杂的电路，其中四个辅助首先被纠缠(并且检查它们自身的错误)，并且然后每个辅助仅与逻辑寄存器中的一个物理量子比特相互作用。现在，任何物理辅助中的错误仅能导致错误传播的一个实例，从而仅引起逻辑寄存器中的可以在下一轮中被捕获和补救的单个错误的。最后，需要对辅助进行更多操作以解码信息并且了解逻辑寄存器中存在或不存在原始错误。这种方法的一个不利方面是电路复杂性显著增加——现在，除了寄存器的原始七个量子比特之外，对于单个错误检查过程需要附加的24个辅助和超过60个门。零件和门的数目的增加具有另一个负面结果：期望在辅助量子比特或寄存器量子比特的任何一个中，或者在所执行的门的任何一个中，发生多于一个错误的概率低。由于这种方法导致利用更多量子比特的更长电路以维持例如10％的错误可能性(使得使其二阶帮助显著)，所以用于达到损益平衡的阈值增加(在该示例中增加到约万分之一)并且更难以扩展。因此，这种容错方法不仅需要更多的元件，而且在所有这些元件中需要更高的性能，这可能是非常苛刻的。以这些方式使计算鲁棒和可扩展是对构建实用且经济可行的量子计算机的重要限制。

发明人已经开发了用于依赖具有多个能级的线性振荡器中对信息的编码来实现逻辑量子比特的新颖并且硬件高效的方法。这种方法在没有引入新的种类的错误的情况下增加了可用的状态空间，这与常规的纠错形成对照，在常规的纠错中通过引入附加物理量子比特(每个仅具有两个能级)——每个附加物理量子比特伴随着附加错误机制——来建立必要的状态空间。因此，在目前描述的使用多级(d级“量子比特”而不是两级量子比特)的硬件高效的方案中，需要更少的状态和更少的零件以能够检测和校正实际的错误。发明人已经开发了使用超导腔作为这样的硬件高效逻辑量子比特的能力，其中光子数奇偶性用作光子损耗的主要错误机制的错误检测校验子。

但是即使在这种硬件高效的编码方案中，也需要非线性辅助(通常是传输子(transmon)量子比特)来检测错误校验子和测量光子数奇偶性。这可以以非常高的保真度和非常快的节奏来完成(即，在典型的、自然发生的错误之间的时间内进行许多测量)。这些对于功能逻辑量子比特是重要的先决条件，并且实际上，发明人已经示出了处于损益平衡处或刚刚超过损益平衡的性能，其中纠错系统的操作将编码信息的有用寿命延长得比具有相同硬件的任何无源(passive)方案长。然而，性能上的一个限制是错误检测机制不是容错的。

因此，根据一些实施方式，可以将硬件效率应用于超导量子比特或非线性系统以及线性超导腔。这相当普遍地适用于量子信息处理中的各种任务。理论上和实验室中演示了将该技术应用于多个功能，表明该技术确实可以提高性能并实现改进的容错。该构思可以作为软件升级或脉冲序列和协议中的修改应用于当今使用的系统中。在一些实施方式中，可以在不需要附加硬件的情况下将容错建立到操作中。这些是可以在任何技术中应用于大范围的量子硬件的非常一般的原理。特别是对于超导量子比特，实际上现今所有的器件都被制造成使得它们具有所要求的附加的级别并且可以结合本文中描述的实施方式的特征和构思。

硬件高效容错的一个示例是用于在腔中编码的逻辑量子比特的光子数奇偶性测量——即“猫代码”。光子损耗错误的测量(将数奇偶性从例如偶数改变为奇数)对于若干已知的物理错误类型是容错的。例如，如果在测量期间发生光子损耗，则这可能导致不正确的测量。然而，光子损耗不会导致附加的错误，并且可以在下一轮中被捕获。当重复测量时，然后将检测到错误。仅存在以下小的二阶概率(second-order probability)：实际上在相继测量之间的时间中将出现两个错误。可以通过重复和多数表决来使测量鲁棒和容错。

在用于探测逻辑量子比特和检测错误的传输子辅助中存在三种类型的错误：失相、弛豫和激发。典型地，失相和弛豫的速率是相似的，并且激发较小(并且原则上在所使用的工作温度处应当是完全可忽略的)。如果传输子量子比特在奇偶性测量期间经历失相错误，则其导致不正确的结果，但没有附加的错误。这通过多次测量相对容易处理。如果传输子在测量期间经历弛豫或激发，则其也导致小概率的不正确测量。然而，更重要的是，其在编码的腔上产生相位错误——这不是可校正的错误类型。换句话说，测量对于辅助的已知错误不是完全容错的，并且存在错误的前向传播。这种效果是对纠错协议的性能的显著限制。

因为已知传输子辅助中错误的具体形式，所以其指出了新颖但简单的解决方案。在这种特定情况下出现对传输子辅助的容错的缺乏，这是因为传输子在腔中编码信息的光子上施加(必要的)状态相关频移。发明人已经认识并且理解，这可以通过在传输子中采用至少一个附加的能级被避免。实现该结果的第一因素是辅助传输子具有多个级(例如，是量子比特)、基态|g>、激发态|e>和至少第二激发态|f>，并且这些级中的任何级之间的跃迁可以用微波脉冲控制。第二因素是弛豫仅“一次一个梯级”地发生，即|e>弛豫至|g>，但是|f>仅弛豫至|e>。如果腔上的两个激发态(|f>和|e>)的频移相同，则从|f>至|e>的弛豫不会引起前向错误传播或腔上的未知相位。但是如果|f>和|e>的频移不同于|g>，则仍然可以获知，仍然可以获知光子数奇偶性和实施的校验子测量。该技术使得辅助使用相对于传输子弛豫是容错的。

由于激发而导致在空闲时间期间发生类似的效果。如果辅助处于|g>，则不能发生弛豫。然而，如果出现从|g>到|e>的激发，并且|g>和|e>的频移不同，则这也引起不期望的前向错误传播。替代地，如果|g>和|e>的频移在空闲相位期间被进行匹配，则防止了由于激发而导致的错误的前向传播。以下在原则上是可能的：用多个级扩展这些方案(并且将耦合匹配到逻辑量子比特)以保护不受弛豫和激发两者的影响，或者实际上采用附加的级来补偿需要容错的辅助中的每个附加的错误机制。

通过传输子在腔上的频移(或反之亦然，腔中每光子在传输子上的频移)通常被称为chi(χ)。在传输子中，自然chi取决于能级(|g>、|e>或|f>)，因为传输子是非谐的。作为容错辅助的特定示例，发明人已经提出并展示了用于匹配状态对|g>和|e>的频移(或chi值)(以使空闲操作容错)或匹配状态对|e>和|f>的频移(或chi值)(以使校验子测量容错)的的机制。为了实现该点，使用了级的RF修整，但是其可以通过使用具有更多约瑟夫逊结的其他超导量子比特类型或电路以多种其他方式来布置。该技术的一般化也可以用于作为辅助的弱非谐腔，或用于量子比特与寄存器之间的其他色散或非色散相互作用。另一可能性是使用不同的相互作用，例如腔与约瑟夫逊器件(例如，超导非线性非对称电感元件(SNAIL))之间的三波混合，其中，RF驱动开启色散相互作用，并且这被控制以实现相移与每个辅助级的所需的对称性或相等性。

一些实施方式可以为腔提供超过一个数量级的保护以防止辅助传输子的激发，从而改善相位错误以使它们与能量弛豫相比可忽略。在利用传输子(使用三个级)重复测量的光子奇偶性的能力方面的类似改进也是可能的。此外，该构思可以应用于玻色子(bosonic)量子比特上、由传输子调解的腔-腔门上、以及在逻辑量子比特中的信息的测量上的单量子比特门的校正。

一些实施方式提供了用于实现鲁棒和容错量子操作的更简单且更实用的路径。超出用于超导电路的特定实现方式，该构思是相当概括的，并且在存在多个可用级以及对相互作用哈密尔顿函数的形式的控制的其他量子技术中是有用的。发明人展示了这些技术如何能够提高特定实现方式中的若干操作的保真度和容错性，这仅需要实验性协议的改变，而不需要附加的硬件。因为在该方法中操作的容错实现方式的系统复杂性或电路长度没有显著增加，因此可以提供更快并且更容易满足以便示出鲁棒操作的较低阈值和纠错系统。这对于降低用于实现有用的量子信息处理系统的成本和时间具有重要意义。

因此，一些实施方式是硬件高效的，因为仅使用单个多级辅助传输子而不是多个辅助。一些实施方式通过利用非谐振边带驱动原位地设计腔-辅助相互作用来使腔演化对一阶辅助错误透明。一些实现方式在不破坏逻辑量子比特的情况下引起执行的校验子测量的数目的七倍增加，同时维持类似的校验子分配保真度。这些结果表明，利用系统特定错误模型的硬件高效的方法可以产生向容错量子计算的实际推进。

一些实施方式实现了错误透明校验子测量。使用两种方法来实现这一点：(1)使用多级系统以用于编码逻辑量子比特和辅助量子比特两者，以及(2)设计使主要辅助错误与逻辑量子比特解耦的相互作用，同时使期望的测量相互作用不受干扰。通过比较使用两级辅助的传统奇偶性测量和使用容错协议的奇偶性测量的性能来确定容错程度。容错增益被定义为这两种实现方式之间的错误传播概率的比率。一些实施方式实现了容错增益七，从而使得每校验子测量的逻辑量子比特保真度的损失降低到1.8％±0.2％。通过移至容错协议来使83％的校验子分配保真度在很大程度上不影响。

图1是根据一些实施方式的量子信息系统100的示意图。量子信息系统100包括腔101、辅助传输子104和微波源106。虽然在图1的示例系统100中仅示出一个腔和一个辅助传输子，但是其他实施方式可以包括附加的腔和传输子。

腔101可以是支持微波辐射的量子态的任何类型的腔。例如，在一些实施方式中，腔101可以是传输线谐振器或由例如超导材料形成的三维腔。

辅助传输子104色散地耦合至腔101。辅助传输子104可以被控制以实现辅助传输子104本身的量子态的旋转。此外，辅助传输子104可以被控制以分别与相关联的腔101相互作用以实现辅助传输子104与腔101之间的受控相互作用。

微波源106可以耦合至腔101和辅助传输子104。微波源106与其他部件之间的耦合为微波源提供了将微波辐射施加至多腔量子信息系统100的每个部件的方式。在一些实施方式中，微波源106可以电容性地耦合至部件中的每一个。

图1B是根据一些实施方式的可以起到图1A的量子信息系统100的作用的特定示例系统110的示意图(为了简单起见，未示出微波源106)。系统110包括三维(3D)腔111和辅助器件141。

3D腔111和112用作中心短截线(stub)114与外壁115之间的λ/4传输线谐振器的3D版本。例如，中心短截线114的直径可以是3.2mm，并且外壁115的直径可以是9.5mm。然而，注意，实施方式不限于任何特定的尺寸。腔101的谐振频率可以由腔111内的中心短截线114的高度来确定。例如，中心短截线114可以具有4.8mm的高度。3D腔111支持第一频率的微波辐射112。在一些实施方式中，腔111包括端口113，可以通过该端口施加来自微波源106的微波辐射。例如，向腔施加微波辐射可以对腔的量子态实施移位操作。

辅助器件141耦合至腔111。辅助器件141包括用于利用微波辐射的读出脉冲和泵驱动传输子144的泵端口142和用于从传输子144接收读出微波信号的读出端口143。传输子144经由至少部分地突出到第一腔111中的第一天线焊盘145耦合至第一腔111。第二天线焊盘146将传输子144耦合至准平面谐振器147。

辅助器件141可以用于实现受控相移(CPS)操作，其被表示为：

其中

是与传输子耦合的特定腔的玻色子模式的数算符。在一些实施方式中，相移为π并且由于光子数奇偶性操作是

因此导致受控奇偶性操作的实现。在一些实施方式中，对于持续时间t＝π/χ和耦合强度χ，可以在具有辅助传输子与相应腔之间的色散耦合的以下哈密尔顿函数下从时间演化获得CPS门。

一些实施方式在单个3D超导腔111中编码的逻辑量子比特上实现错误透明校验子测量。作为示例，腔可以具有属性ω_c/2π＝4.5GHz，T₁ ^c＝1.1ms。在一些实施方式中，使用具有偶光子数奇偶性和平均光子数二的薛定谔猫状态对量子信息进行编码。在这样的编码中，主要的腔错误、单光子损耗使得奇偶性从偶变为奇，而未损坏编码信息。该信息可以在奇偶性跳跃的数目被准确测量——这需要相对于单光子损耗率频繁地执行奇偶性测量——的情况下被恢复。辅助传输子144(ωq_/2π＝6.5GHz，T₁ ^q＝26μs，T₂ ^q＝12μs)色散地耦合到腔111并且用于测量系统的奇偶性。

量子信息系统110的色散相互作用哈密尔顿函数可以表示为

其中，

kHz和

kHz是相应辅助状态的空腔频移(在该参考系下

)，并且

是腔湮灭算符。在这种相互作用下在时间

内的演化将腔的奇偶性映射到辅助中的|g>/|e>叠加的相位。对辅助执行拉姆齐干涉法(Ramseyinterferometry)以确定该相位产生奇偶性的有效QND测量。这种奇偶性测量技术用于展示在损益平衡点处的纠错，在该损益平衡点处纠错的寿命等于系统的最佳元件的寿命。

基于上述方案的纠错的一个限制是在奇偶性映射期间由辅助的弛豫引起的逻辑错误。这可以通过考虑在

相互作用时间期间从辅助激发态至基态的跳跃来看出。dA是示出对于传统非容错方案这种辅助能量弛豫的效果的量子电路图200。以薛定谔猫状态(由其维格纳断层照片201示意性地描绘)来制备腔，并且以基态|g>和激发态|e>的叠加来制备辅助。线202表示腔的各个状态。C_θ表示以辅助的状态为条件的角θ的腔CPS相互作用。执行θ＝χt的情况下的第一腔CPS相互作用203，随后执行θ＝π-χt的情况下的第二腔CPS相互作用205。错误207出现在时间t∈(0,π/χ)处，导致腔相移χt。如图所示，这相当于随后是θ＝χt-π的CPS相互作用213的θ＝π的CPS相互作用211，其中错误214出现在其之间。在这样的跳跃错误阻止了正确地确定光子数奇偶性的同时，其还具有完全地使腔失相的更有害的效果。由于跳跃时间几乎均匀地分布在0与

之间，所以腔获得均匀分布在0与π之间的相位空间旋转。当在t上平均时，这完全使腔状态失相，如由维格纳断层照片215所示，该维格纳断层照片显示了失相的薛定谔猫状态。

因此，不可纠正的逻辑比特翻转错误以与所执行的奇偶性测量的次数成比例的概率被施加。该代价迫使纠错协议的设计者比其他情况下所期望的更不频繁地测量错误校验子，并且因此降低了潜在的可实现的寿命增益。在较高的级处，出现常规协议的非容错性，因为弛豫错误不与相互作用哈密尔顿函数对易(commute)。具体地，具有主要错误的相互作用哈密尔顿函数的对易子是

(其中，

)，这在逻辑子空间上生成非平凡操作，并且因此是不可纠正的错误。相比之下，以可比速率发生的辅助的纯失相不会导致不希望的腔去相干，因为错误|e><e|与相互作用对易。因此，相互作用期间的辅助失相事件的最终结果等效于相互作用之后的辅助失相事件，这显然不影响逻辑量子比特。因此，奇偶性测量相对于辅助失相是“透明的”。

在一些实施方式中，可以通过引入第三级到辅助希尔伯特空间(Hilbert space)来扩展错误透明性以包括弛豫。这提供了附加的自由度，从而允许保持腔辅助相互作用速率，同时将一阶错误传播速率置零。初始辅助编码被改变为|g>和|f>(而不是|g>和|e>)的叠加，主要错误变得从|f>至|e>弛豫(选择规则禁止直接|f>至|g>跃迁)。该错误(|e><f|)与相互作用哈密尔顿函数的对易子是

因为测量速率(其与χ_fg成比例)独立于失相速率(其与χ_fe成比例)，所以通过选择大χ_fg并且χ_fe＝0来在去除弛豫引起的失相的同时保持测量变得可行。因此，期望的容错相互作用哈密尔顿函数是

其清楚地与从|f>的辅助弛豫以及失相事件对易。

图2B是根据一些实施方式的示出该辅助能量弛豫对于容错方案的效果的量子电路图200。该腔以薛定谔猫状态(由其维格纳断层照片251示意性地描绘)被制备。线252表示腔的各个状态。C_θ表示以辅助的状态为条件的角度θ的腔CPS相互作用。执行θ＝χt的情况下的第一腔CPS相互作用253，随后是θ＝π-χt的情况下的第二腔CPS相互作用205。错误257发生在时间t∈(0,π/χ)处。没有产生腔相移。如图所示，这相当于θ＝π的CPS相互作用221，随后是在奇偶性映射结束时发生的错误。这是因为错误与相互作用对易。因此，不存在腔状态的失相，如维格纳断层照片265所示，该照片示出了没有失相的薛定谔猫状态。

在一些实施方式中，使用独立地调节这两个哈密尔顿函数参数的鲁棒方法。这可以通过在谐振频率ω_res＝ω_he-ω_c＝2π×8GHz附近引入边带音(sideband tone)来实现，从而产生驱动项

其将级|e,n>和|h,n-1>耦合，其中n是腔光子的数目，以及|h>是第三激发辅助态。图3A示出了腔的多个传输子态(|g>，|e>，|f>，|h>)和光子数态(|0>，|1>，|2>)的所得到的腔辅助能级图。所施加的微波音(双箭头)驱动具有拉比速率Ω和解谐Δ的|e,n>，|h,n-1>跃迁频率。所得到的斯塔克(Stark)偏移使效力χ_e(χ_h)改变了量Ω²/4Δ。对于在整个该特定实验中使用的驱动幅度，当从谐振Δ＝0解谐时拉比振荡速率是Ω/2π＝1.7MHz。当被充分解谐时(Δ＜＜Ω)，可以利用时间无关的有效相互作用将该时间相关的哈密尔顿函数：

近似到一阶，其中，

以辅助处于|e>或|h>为条件，该哈密尔顿函数具有色散相互作用哈密尔顿函数的期望形式。可以通过选择解谐来设计具有正或负符号的诱导

因此，当考虑到总相互作用哈密尔顿函数

时，这允许对

(如图3B所示，在Δ/2π＝8.28MH处)或

(如图3C所示，Δ/2π＝-6.4MHz处)的总的消除。色散相互作用的线性分量可以被完全消除，仅留下阶Ω⁴/Δ³≈2π×15kHz的更高阶非线性色散偏移。图3B和图3C示出了使用边带驱动消除色散相互作用。图3B和图3C分别示出了具有腔中的不同光子数的|g>至|e>和|e>至|f>跃迁的光谱结果。χ_eg和χ_fe以及更高阶的非线性色散偏移可以从跃迁频率相对于光子数的扩展中提取。如由描绘有效驱动级图的插图中的箭头所强调的，所指示的交叉点显示在χ_eg与χ_fe近似为零的位置。点线表示当没有施加边带驱动时的跃迁频率。

图4另外示出了边带驱动如何修改光子数分离。曲线图401示出了作为边带驱动解谐的函数的频率偏移。点线表示当没有施加边带驱动时的跃迁频率。曲线图402示出了当不施加边带驱动时作为针对各种腔光子数的辅助频率偏移的函数的激发概率。曲线403示出了当在针对所有光子数值的频率偏移近似为零的位置处施加边带驱动时作为针对各种腔光子数的辅助频率偏移的函数的激发概率。

在一些实施方式中，边带驱动可以用于将腔和|g>与|e>之间的辅助跃迁解耦。这可以通过选择解谐使得

来实现。这种对解谐的选择防止了腔由于热辅助激发(热辅助激发平均每0.65ms发生一次)而失相，从而引起腔编码量子比特的相干时间的显著增加。如果制备初始状态

并且启动解谐边带驱动，则相干被保持达～1.8ms，接近于2T₁ ^c～2.2ms的极限。13±1ms的剩余失相时间主要可以通过从|e>至|f>的二阶激发来说明。该演示不仅展示了在消除系统辅助相互作用时驱动的效力，而且还示出了驱动的添加不会在可感知的水平处产生不想要的腔去相干。

虽然空腔几乎完全受限于单光子损耗，色散耦合至辅助的腔由于自发辅助激发而导致经历失相。图5包括示出|g>与|e>(数据点标记)之间的测量的色散相互作用作为从谐振Δ解谐的边带驱动的函数

(实线)而变化的曲线图501。图5的曲线图502示出了作为从腔拉姆齐实验中获得的边带驱动频率的函数的腔相干时间。在没有量子纠错的情况下，腔相干时间最终被限制到2T₁～2.2ms(顶部附近的点划线)。在没有边带驱动的情况下，热辅助激发将腔相干限制到约650μs(点线)。对于χ_eg＝0，几乎完全去除该失相源。剩余的失相时间(即，不包括光子衰变)是13±1ms(灰色短划线)，接近于由来自|g>和|f>的二阶热激发设置的20ms极限(顶部附近的点划线下方的短划线)。腔相干的分析行为(穿过数据点的实线)与观察值(数据点)紧密匹配。当|χ_eg|＜Γ/2π(灰色短划线)时开始出现针对热辅助激发的防护，在该|χ_eg|＜Γ/2π时间点处腔对于平均热激发轨迹仅部分地失相。

图6A示出了在没有边带驱动的情况下的失相时间，以及图6B示出了在具有边带驱动的情况下的失相时间。如根据对两者的比较可以看出的，失相时间

由于边带调谐而显著增加。此外，由于

失相时间被延长到大约14ms。

在一些实施方式中，可以选择解谐Δ，使得

和等式2的哈密尔顿函数，对此从|f>至|e>的辅助弛豫不改变腔的演化。利用这种相互作用，可以构造容错奇偶性测量协议并且将其与非容错实现方式进行比较。图7A是示出根据一些实施方式的协议的量子电路图700。在腔内制备701平均光子数为二的偶数薛定谔猫状态。光子数奇偶性以如下概述的三种不同方式被映射703到辅助。通过测量721辅助以确定奇偶性测量的结果并且使用旋转723将其重置到基态来执行测量和重置705。为了聚焦于由辅助引入的错误，通过执行第二奇偶性测量707(使用下面描述的Π_gf协议)来滤除光子损耗，该第二奇偶性测量在产出|g>时被后选择。最后，对腔执行维格纳断层扫描711以便确定以第一奇偶性测量的结果为条件的最终腔状态的保真度。维格纳断层扫描711包括位移操作731、奇偶性测量733和辅助的测量735。

通过将容错协议(Π_FT)与以下两个替选的协议进行比较来展示该容错协议的优点：传统的奇偶性测量(Π_ge)，其在辅助中使用|g>+|e>编码；以及Π_gf，其使用|g>+|f>编码，但是不施加使χ_fe归零的边带驱动。

图7B示出了传统Π_ge奇偶性映射协议741，其中结果是|g>或|e>。曲线图743示出了针对具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|g>下的测量。曲线745示出了针对具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在|e>中的测量。无错事件导致|g>，而失相事件导致辅助以|e>结束。由于弛豫错误导致以相等的概率检测到|g>或|e>，因此不能挑选出弛豫错误。因此，弛豫错误表现为两种结果的腔状态的降低的保真度。

图7C示出了在没有施加边带驱动情况下的Π_gf协议751。为了以|g>+|f>叠加初始化辅助，先使用g-eπ/2脉冲，其次是e-fπ脉冲。该系统在相互作用哈密尔顿函数下演化达时间π/χ_fg～2μs，使得腔相位空间获得有条件的π旋转。在施加辅助制备序列的相反序列之后，如果没有辅助错误发生，则辅助处于状态|g>。如果出现失相错误，辅助最终以|e>结束。与Π_ge协议相比较，因为对于这样的事件，辅助以|f>结束，所以可以区分弛豫事件。曲线图753示出了针对具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|g>下的测量。曲线图755示出了对于具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|e>下的测量。曲线图757示出了对于具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|f>下的测量。因此，明显的是，失相事件不会显著影响腔状态，而不与相互作用对易的弛豫事件使腔状态失相。

在图7D中，执行容错奇偶性映射Π_FT761。除了Π_gf协议的序列之外，还施加边带驱动，使得在两个e-fπ脉冲之间的时间段中χ_fe＝0。曲线图763示出了针对具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|g>下的测量。曲线图765示出了针对具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|e>下的测量。曲线图767示出了针对具有辅助的状态的所得到的维格纳断层照片是在状态|f>下的测量。在这种情况下，即使在辅助弛豫的情况下，也保持了腔相干。失相事件的发生率的适度增加是在存在强驱动下稍微退化的辅助失相率的结果。

在图7B至图7C中，每个结果的发生率被表示为每个维格纳断层照片右上方的百分比。此外，给出了状态保真度F(在每个维格纳断层照片的左上方示出)，每个状态保真度具有小于0.01的统计误差。通过比较三种类型的奇偶性测量，只有χ_fe＝0的FT奇偶性测量导致对于每个可能的辅助结果都保留逻辑量子比特。

最终，在纠错设置中，必须重复测量逻辑量子比特的奇偶性。为了展示在该上下文中由容错奇偶性测量提供的优点，使用图8A所示的协议(其类似于结合图7A所讨论的协议)，其中将三种类型的奇偶性测量使用可变的次数，并且最后状态保真度被确定为测量次数的函数。为了强调不可纠正的错误，排除了其中发生奇偶性跳跃的轨迹。通过指数拟合，可以指定腔保真度衰变的测量的特征数(N₀)。

图8A是示出根据一些实施方式的协议的量子电路图800。该协议是重复的奇偶性校验子测量。在腔中制备801具有平均光子数为二的偶数薛定谔猫状态。以如上所述的三种不同方式之一将光子数奇偶性映射703a到辅助。执行测量和重置804a。光子数奇偶性映射可以重复多(n)次(803b、803c、….803n)，并且测量和重置操作也可以重复多(n)次(804b、804c、…803(n))。最后，对腔执行维格纳断层扫描805以便确定以第一奇偶性测量的结果为条件的最终腔状态的保真度。

图8B是示出作为对图7B至图7D中概述的三种奇偶性测量进行的奇偶性测量的数目的函数的腔状态保真度的曲线图。Π_ge奇偶性测量由曲线图811表示；Π_gf奇偶性测量由曲线图812表示；并且Π_FT奇偶性测量由曲线图813表示。点线是从蒙特卡罗轨迹提取的模拟的保真度，短划线是对数据点的指数拟合。

从图8B可以看出N₀(Π_gf)/N₀(Π_ge)≈2.6±0.2，示出了即使没有边带驱动，相比于Π_ge，Π_gf协议也提供了一些优点。第一原因是对于Π_gf弛豫的概率较低，因为|f>的弛豫时间(24μs)接近于|e>的弛豫时间(26μs)，而Π_gf的奇偶性测量时间小于Π_ge的奇偶性测量时间的一半。第二原因是考虑到出现了辅助弛豫事件使腔更小失相，因为腔角度分布在0与πχ_fe/χ_fg≈0.6π之间(如根据图7C中弛豫事件之后的残余相干可以明显看出)。容错实现方式将Π_gf提高2.7±0.4倍，从而产生N₀(Π_FT)/N₀(Π_ge)＝7.2±1的总的容错增益。腔相位分布如何受这些倍数影响的蒙特卡罗模拟产生了与观察结果良好符合的保真度衰变曲线。剩余的错误主要归因于奇偶性映射期间的激发或在辅助读出期间的衰变。

因此，基于上述内容，一些实施方式包括逻辑量子比特的奇偶性检查校验子测量，其被保护以防止所有一阶辅助错误，从而产生与非容错测量相比的7.2的容错增益。所实现的容错类型不同于传统的容错方案，并且在某种意义上相比于传统的容错方案是更期望的。通常，允许辅助错误传播到逻辑量子比特，只要产生的错误可以通过纠错的附加轮来消除。然而，通过使用辅助与逻辑量子比特之间的错误透明相互作用，辅助错误的传播被完全阻止。此外，校验子测量对于光子损耗也是透明的，并且因此与猫代码纠错方案完全兼容。所提出的方案可容易地扩展到更高阶容错保护。例如，通过使用四个辅助级而不是三个辅助级，可以防止直到二阶的弛豫错误，或者替选地防止到一阶的弛豫和热激发两者。设想在本工作中提出的用于容错的硬件高效方法成为用于充分利用量子纠错的潜在优点的重要工具。

用于获取在本文中使用的一些数据的特定示例器件的系统参数在表1中示出。

表1：系统参数

然而，以上已经关注于在纠错和执行容错测量。相同的边带驱动技术可以扩展到其他量子操作，例如量子逻辑门。下面描述三个这样的容错量子逻辑门：受控SWAP(c-SWAP)门；指数SWAP(e-SWAP)门；以及选择性数目相关任意相位(SNAP)门。

c-SWAP和e-SWAP门是交换两个腔的光子态的门。因此，用于实现这样的门的量子信息系统是图1B所示的量子信息系统的改进版本，并且包括两个腔、两个辅助传输子和耦合传输子。

图9示出了用于实现c-SWAP和/或e-SWAP门的量子信息系统910。系统910包括第一三维(3D)腔911、第二3D腔921、耦合器件931、第一辅助器件941和第二辅助器件951。

第一3D腔911和第二3D腔912分别用作在中心短截线914与外壁915以及中心短截线924与外壁925之间的λ/4传输线谐振器的3D版本。例如，中心短截线914和924的直径可以是3.2mm，而外壁915和925的直径可以是9.5mm。然而，注意，实施方式不限于任何特定的尺寸。腔901和902中的每一个的谐振频率可以由它们各自的腔内的中心短截线914和924的高度确定。例如，中心短截线914可以具有4.8mm的高度，并且第二中心短截线924可以具有5.6mm的高度。第一3D腔911支持第一频率的微波辐射912，以及第二3D腔921支持不同于第一频率的第二频率的微波辐射922。在一些实施方式中，第一腔911和第二腔921分别包括端口913和923，通过这些端口可以施加来自微波源906的微波辐射。例如，向腔施加微波辐射可以对腔的量子态实施移位操作。

耦合器件931包括耦合传输子934，其在第一腔911与第二腔921之间提供非线性相互作用。传输子934耦合至第一天线935和第二天线936使得每个天线的至少一部分伸入其相应的腔中，第一天线935至少部分地插入第一腔911中，第二天线936至少部分地插入第二腔921中。第一天线935/第二天线936可以是例如分别提供向第一腔911和第二腔921的电容耦合的圆形焊盘(pad)。

耦合器件931还包括谐振器938，其提供读出传输子934的状态的能力。第三天线937将谐振器938耦合至谐振器938。在一些实施方式中，谐振器938是具有比第一腔911或第二腔921更低的Q值的准平面谐振器。在一些实施方式中，在单个蓝宝石衬底上制造传输子934和谐振器934。可以由泵端口932接收微波辐射的读出脉冲，并且可以从读出端口933接收所得到的微波信号。

耦合器件931的传输子934的非线性使得能够实现四波混频，该四波混频用于在第一腔911与第二腔921之间执行频率转换双线性耦合。通过经由泵端口932向传输子934泵送满足频率匹配条件ω₁-ω₂＝ω_p2-ω_p1的微波辐射来控制四波混频，其中，ω₁是第一腔911的谐振频率，ω₂是第二腔921的谐振频率，ω_p1是与模式c相关联的第一泵的频率以及ω_p2是与模式d相关联的第二泵的频率。该耦合实现了腔模式之间的有效时间相关BS相互作用。如根据常规光学中已知的，分束器的幺正演化由幺正算符描述：

其中，

并且

对于θ＝π/2，分束器幺正算符实现交换分别与湮灭算符a和b相关联的两个腔模式之间的状态的SWAP操作。对于θ＝π/4和θ＝-π/4，幺正算符对应于50/50分束器。与普通光学不同，微波腔本征模具有不同的频率，并且没有非线性地彼此耦合。然而，可以使用约瑟夫逊非线性和附加的参数泵来补偿腔频率差，使得可以相干地耦合具有不同频率的模式。例如基于根据约瑟夫逊非线性的四模耦合

(其中，h.c.表示第一项的厄米共轭，并且g₄是四模耦合常数)，可以泵送模式c和d使得它们可以通过幅度为<c>＝A_c(τ)和<d>＝A_d(τ)的经典相干态来近似，这导致g(τ)＝g₄A_c ^*(τ)A_d(τ)的等式(6)中的有效分束器耦合哈密尔顿函数。注意，g(τ)可以通过控制A_c(τ)和A_d(τ)的幅度和相位来调节。以该方式，一些实施方式可以容易地以极高的开/关速率开启/关断分束器耦合。这是超过量子比特之间的“始终开启”式电容或其他固定耦合的明显优点。此外，通过泵送模式c和d使得它们的频率之和等于腔模式频率之和，可以实现形式

的双线性耦合。利用这两个操作，可以执行两个腔之间的任何线性辛变换。

在一些实施方式中，可以使使用约瑟夫逊非线性来实现幺正(unitary)分束器算符的上述方法对于约瑟夫逊器件中的缺陷具有鲁棒性。例如，如果器件的固有非线性弱但是参数泵送强，则模式c和d中的热噪声的影响可以通过该噪声相对于大的相干态幅度A_c和A_d小的事实被抑制。在这种状况下的操作还可以增加分束器的线性度使得可以对包含大范围的光子数的量子态执行SWAP操作。

分束器幺正变换对于量子信息处理是非常有用的元素。例如，虽然可以使用经典计算机高效地模拟分束器幺正算符所作用的高斯输入态(例如，相干态、挤压态)的演化，但是非高斯输入态(例如，福克态(Fock state))的演化可能导致非平凡输出态。例如，玻色子采样的复杂性示出了使用经典计算机难以模拟的输出态的非平凡统计特性。此外，尽管存在包括纠缠门的概率性质和极其令人畏惧的资源开销的主要挑战，与单光子源和光子检测器两者组合的分束器幺正可以实现通用线性光量子计算(LOQC)。

在一些实施方式中，并不限于线性光量子计算，而是可以使用附加的非线性元件来促进量子信息处理。例如，将超导电路的物理平台与微波光子一起使用不仅提供单光子源和光子检测器的能力，而且包括可以用作两级或多级辅助的至少一个高度可控的传输子。在一些实施方式中，使用将分束器幺正算符和腔传输子色散耦合门组合的量子操作来执行量子信息处理操作。在一些实施方式中，色散耦合门仍然是通过(例如，基于和/或条件为)传输子(或其他)辅助的量子态来控制的线性光学变换。基于门的量子计算和线性光学的能力的这种合并是强有力的，并且允许以独立于特定逻辑编码的方式对以光子态逻辑编码的量子比特执行门操作。因此，在一些实施方式中，可以在关于相同操作使用相同硬件的同时改变信息的逻辑编码。

第一辅助器件941类似于耦合器件931，但是仅仅耦合到第一腔911，而不是两个腔。第一辅助器件包括：泵端口942，其用于使用微波辐射的读出脉冲和泵来驱动传输子944；以及读出端口943，其用于从传输子944接收读出微波信号。传输子944经由至少部分地伸到第一腔911中的第一天线焊盘945耦合至第一腔911。第二天线焊盘946将传输子944耦合至准平面谐振器947。

第二辅助器件951类似于第一辅助器件941，但是仅仅耦合至第二腔921而不是第一腔911。第二辅助器件包括：泵端口952，其用于利用微波辐射的读出脉冲和泵驱动传输子954；以及读出端口953，其用于从传输子954接收读出微波信号。传输子954经由至少部分地伸到第一腔911中的第一天线焊盘955耦合至第一腔911。第二天线焊盘956将传输子944耦合至准平面谐振器947。

第一辅助器件941和第二辅助器件952可以用于实现CPS操作，其被表示为：

其中，

是与传输子耦合的特定腔的玻色子模式的数算符。在一些实施方式中，相移为π，并且由于光子数奇偶性操作是

因此导致受控奇偶性操作的实现。在一些实施方式中，CPS门可以在具有辅助传输子与相应腔之间的色散耦合的以下哈密尔顿函数下针对持续时间t＝π/χ和耦合强度χ从时间演化获得。

用于实现量子信息系统910的示例参数集如下：第一腔911可以具有克耳/2π＝2kHz和ω₁/2π＝5.45GHz；第二腔921可以具有克耳/2π＝3kHz和ω₂/2π＝6.55GHz；耦合器件931可以具有α/2π＝74MHz、ω/2π＝5.95GHz、χ_c1/2π＝0.26MHz和χ_c1/2π＝0.32MHz；第一辅助传输子941可以具有α/2π＝180MHz、ω/2π＝4.5GHz、χ/2π＝0.76MHz；并且第二辅助传输子951可以具有α/2π＝180MHz、ω/2π＝5.0GHz、χ/2π＝1.26MHz。

在一些实施方式中，可以使用BS操作和CPS操作的组合来实现c-SWAP门。c-SWAP门对两个腔模式和辅助传输子之一进行操作，从而基于辅助传输子的状态交换两个腔的状态。因此，幺正c-SWAP算符可以被写为：

其中|g>和|e>分别表示辅助传输子的基态和第一激发态。因为(c-SWAP)²＝1所以c-SWAP是可逆的。c-SWAP门有时被称为弗里德金(Fredkin)门，其对于经典计算是通用的。对于量子计算，c-SWAP和单量子比特旋转形成能够进行通用计算的一组量子门。

图10A示出了c-SWAP门的量子电路图1000。线1001、1002和1003表示第一腔911、第二腔921和辅助传输子931。在量子电路图中，从左到右根据时间对各种部件执行操作。c-SWAP门的符号包括在腔线1001和1002中每一个处的“X”和在辅助传输子线1003上的点。

图10B示出了用于使用BS操作和CPS操作实现c-SWAP门的示例量子电路图1010。首先，在第一腔1001与第二腔1002之间执行θ＝π/4的第一BS操作1011。如上所述，可以使用耦合传输子934执行BS操作。在第一BS操作1011之后，执行辅助传输子1003与第二腔1002之间的CPS操作1013。最后，在第一腔1001与第二腔1002之间执行θ＝-π/4的第二BS操作1015。

在一些实施方式中，可以使用c-SWAP门和辅助传输子旋转的组合来执行e-SWAP操作。e-SWAP对两个腔进行操作，并且由幺正算符表示：

U_eSWAP(θ)＝exp[iθSWAP]＝cosθ+isinθSWAP. (11)

对于θ＝π/2，e-SWAP门等效于SWAP门，其中所得到的全局相移(i)是不可观测的。对于θ＝π/4，

是恒等算符和SWAP算符的相干组合，并且有时被表示为

单量子比特旋转和操作量子比特的

算符形成一组通用量子门。

在e-SWAP算符与分束器幺正算符之间存在相似性和差异。对于具有零总激发和一总激发的玻色子子空间，这两者是等效的(例如，U_BS(θ)|0_a，1_b>＝cosθ|0_a，1_b>+isinθ|1a，0_b>＝U_eSWAP(θ)|0_a，1_b>)。然而，对于具有多于一的总激发的子空间，两个算符表现不同(例如，

)，这与U_eSWAP(θ)|1_a，1_b>＝|1_a，1_b>)不同。

e-SWAP算符的一个特征是它相对于包含任意数目的玻色子的单模玻色子编码保留逻辑子空间。针对任意单模玻色子编码的逻辑状态

e-SWAP操作

针对任意玻色子码并且针对任何参数θ保留码空间。这种重要的特性使得能够使用相同的硬件通过玻色子编码的不同选择来执行量子信息处理。这种强大的特征为硬件提供了很大的灵活性，并且允许经由固定硬件上的‘软件更新’利用用于量子纠错的不同编码进行实验。

在一些实施方式中，两个腔模式之间的e-SWAP算符可以使用两级辅助传输子来实现。例如，图11A是第一腔1101、第二腔1102和辅助传输子1103之间的量子电路图1100。用于实现e-SWAP操作的所示方法如下：(1)将辅助传输子1103初始化为量子态

(2)执行基于辅助传输子1103的状态被控制的第一腔1101与第二腔1102之间的第一c-SWAP操作1111；(3)使辅助传输子1103围绕X轴

旋转1112角度2θ；以及(4)执行基于辅助传输子1103的状态被控制的第一腔1101与第二腔1102之间的第二c-SWAP操作1113。在上述方法之后，辅助传输子被恢复到初始状态|+>并且与两个腔模式解耦；同时，两个腔模式经历e-SWAP操作，U_eSWAP(θ)。如果辅助传输子1103被测量1114，假设没有错误，则结果是初始状态|+>。

在一些实施方式中，如图11B所示，可以通过将c-SWAP算符分解为分束器算符和CPS门来获得e-SWAP算符的鲁棒实现。实现e-SWAP门的方法包括：(1)将辅助传输子1103初始化为量子态|g>；(2)在第一腔1101与第二腔1102之间执行θ＝π/4的第一BS操作1141；(3)对辅助传输子1103执行第一阿达玛操作1142；(4)在第二腔1102与辅助传输子1103之间执行第一CPS操作1143；(5)执行将辅助传输子1103绕X轴

旋转1144角度2θ；(6)在第二腔1102与辅助传输子1103之间执行第二CPS操作1145；(7)对辅助传输子1103执行第二阿达玛操作1146；(8)在第一腔1101与第二腔1102之间执行θ＝-π/4的第二BS操作1147。如果辅助传输子1103被测量1148，假设没有错误，则结果是初始状态|g>。

在实现约c-SWAP和/或e-SWAP操作时，边带调谐和多辅助状态的一起使用可以用于使得门鲁棒、容错和硬件高效。

例如，与传输子状态的自发衰变相关联的一阶错误可以被预示和纠正。在一些实施方式中，腔传输子耦合哈密尔顿函数被改变成“错误透明的”，使得对于腔的所有逻辑状态，传输子衰变的领头阶错误与错误透明哈密尔顿函数对易。然后，可以将在演化期间发生的传输子衰变识别为在演化结束时发生的传输子衰变，这可以显著简化错误分析。

在一些实施方式中，使用四个传输子级(|g>，|e>，|f>，|h>)，其中，使用|g>-|h>子空间对信息的量子比特进行编码，而使用|e>-|f>子空间检测错误。通过引入附加的级，来自|g>-|h>子空间的传输子衰变错误可以通过以下量子信道来表征

其中，

和

使用由|g>-|h>跨越的子空间对量子比特进行编码，而由|e>、|f>和|h>跨越的子空间由于例如边带驱动而关于腔模式具有均匀的色散耦合强度。

在一些实施方式中，使用与图11B所示电路类似的量子电路，但是将幺正操作推广到四级传输子。在一些实施方式中，对腔模式的可控反作用是通过以下操作来控制的：设计传输子与腔之间的色散耦合

以针对状态|e>、|f>和|h>具有相同的色散偏移χ，使得CPS门是

在一些实施方式中，与广义阿达玛(Hadamard)门相关联的幺正算符变成

因此，阿达玛旋转在g-h子空间内被执行，并且在e-f子空间上表现平凡。

在一些实施方式中，传输子旋转变为

其在g-h子空间内旋转并且交换态|e>和|f>。

在一些实施方式中，CPS操作变为

利用四级传输子上的上述扩展门，可以检测一阶传输子失相错误并且校正一阶传输子衰变错误。

第一CPS操作1143期间的传输子衰变导致对于传输子状态的|h>的测量1148，而腔模式在没有错误的情况下在CPS门下继续演化，因为衰变不改变色散耦合。第二CPS操作1145期间的传输子衰变导致对于传输子状态的|f>的测量，而腔模式如所期望地演化U_eSWAP(θ)。因为可以明确区分传输子衰变错误(分别与在第一和第二CPS门期间的传输子衰变相关联的|h>和|h>态)，在一些实施方式中可以主动纠正CPS门期间的一阶传输子衰变错误。

因此，在一些实施方式中可以实现容错c-SWAP和e-SWAP门。

在另一实施方式中，可以使用附加级和边带驱动来实现容错SNAP门。SNAP门与算符相关联：

在腔中，腔的不同福克态(Fock state)各自与传输子的不同跃迁频率相关联。例如，将腔中没有光子的情况下的量子比特的跃迁频率限定为0MHz的解谐(并且等于表面的量子比特的跃迁频率，其在一些实施方式中可以在5GHz与10GHz之间)。当该腔包括单光子时，将量子比特的跃迁频率通过约10MHz解谐；当腔包括两个光子时，将量子比特的跃迁频率通过约17MHz解谐；当腔包括三个光子时，将量子比特的跃迁频率通过约26MHz解谐；当腔包括四个光子时，将量子比特的跃迁频率通过约34MHz解谐；以及当腔包括五个光子时，将量子比特的跃迁频率通过约43MHz解谐。跃迁频率的这种数目相关的解谐可以被近似为nχ解谐，其中n是腔的激发数，而χ是每光子数的解谐。例如，χ可以是约8.3MHz。

基于量子比特的跃迁频率的这种数目相关的解谐，可以使用具有窄谱宽度的驱动脉冲和中心频率来选择性地寻址量子比特，所述中心频率被调谐以匹配特定激发数的解谐跃迁频率。例如，以具有10MHz解谐的频率驱动量子比特将使得腔的量子态仅在腔中存在单光子时改变。因此，可以施加SNAP门以通过选择适当的频率以匹配目标状态来调整振荡器的特定福克态的量子相位。SNAP门还可以包括多个脉冲，每个脉冲以同一信号内的不同福克态为目标；由于每个脉冲可以具有不同的频率，因此脉冲可以被组合成单个信号。

图12描绘了根据一些实施方式的操纵量子力学振荡器的状态的说明性过程。在图12中，将包括以振荡器的|1>和|2>福克态为目标的两个脉冲的SNAP门施加到色散地耦合到振荡器的传输子量子比特。初始状态下的每个圆的面积表示振荡器的测量将产生相关联的测量的概率。例如，相比于测量|1>态或|2>态，振荡器的测量将更可能测量|0>态。

图12被提供以示出对传输子执行的包围传输子量子比特的布洛赫(Bloch)球中立体角的两个旋转将等于对角的几何相位赋予耦合振荡器的构思。在图12的示例中，通过以特定方式驱动量子比特来对量子比特执行两次旋转。在该示例中，使用两个pi脉冲(引起围绕布洛赫球旋转π弧度的脉冲)以使得量子比特的状态遵循与腔的每个激发数相关联的布洛赫球上的轨迹。例如，轨迹遵循布洛赫球上第一路径从|g>到|e>，并且然后遵循布洛赫球上的同一路径从|e>回到|g>。因此，没有立体角被轨迹对着并且没有几何相位被引入到振荡器的|0>分量。

相比之下，|1>态的轨迹遵循布洛赫球上的第一路径从|g>到|e>并且遵循布洛赫球上的第二路径从|e>回到|g>。因此，轨迹对着第一立体角，并且因此将第一几何相位引入到腔的|1>分量。|2>的轨迹遵循布洛赫球上的第一路径从|g>到|e>并且遵循布洛赫球上的第二路径从|e>回到|g>。因此，轨迹对着第二立体角，并且因此将第二几何相位引入到腔的|2>分量。在一些实施方式中，第一立体角不同于第二立体角，从而导致不同的几何相位被引入到振荡器的每个分量。如图所示，由|2>的轨迹所对着的立体角大于|1>的轨迹所对着的立体角，并且因此，在前一种情况下给予振荡器的相关联态的相位大于在后一种情况下给予振荡器的相关联态的相位。

在一些实施方式中，使用pi脉冲生成轨迹在布洛赫球上的第一路径和轨迹在布洛赫球上的第二路径。量子比特的量子态所采取的精确路径可以取决于施加pi脉冲的轴。以该方式，可以使第一路径和第二路径不同，从而使轨迹对着布洛赫球上的立体角。因此，可以将几何相位引入量子比特振荡器系统的量子态。

在一些实施方式中，如轨迹所示，在SNAP门期间的量子比特的量子态在基态开始和结束。这种类型的轨迹可以减小在执行SNAP门之前和/或之后弛豫时间和失相时间对振荡器的量子态的影响。

图12的最右边的框示出了在引入相应的几何相位之后每个相量的最终状态。与n＝0相关联的相量不经历相移，因为没有立体角被量子比特的量子态对着。与n＝1相关联的相量获取由短划线图示的第一相移。与n＝2相关联的相量获取由短划线图示的第二相移。在一些实施方式中，第二相移不同于第一相移，例如，第二相移大于或小于第一相移。

可以使用上述构思，即，使用施加边带驱动的三级传输子(|g>，|e>，|f>)来消除频移以使SNAP门错误透明。因此，如果在SNAP门期间发生传输子错误，则腔的状态不会被破坏。图13示出了SNAP门的这样的实现方式的结果。当辅助传输子在容错SNAP门之后被测量时，如果在态|g>下发现辅助，则正确地执行SNAP门。这种实现方式的意外结果是当辅助传输子被测量为处于|e>(由于比特翻转错误)或|f>(由于相位错误)下时，SNAP门未被正确实现，而是替代恒等算符作用于腔的态。因此，不仅错误被辅助的态预示，而且当错误发生时腔的态完全不受影响。这使得SNAP门完全容错。

图14是作用于可以由测量(或不测量)辅助传输子产生的各种结果的福克态编码逻辑量子比特的SNAP门的平均门保真度的曲线图。

容错构思还可以被扩展以通过使用d级传输子来抑制任意阶的失相错误，其中针对d-1激发态的χ匹配可以将传输子弛豫错误抑制到(d-2)阶。

因此，已经描述了本公开内容中阐述的技术的若干方面和实施方式，应当理解，本领域技术人员将容易想到各种变更、修改和改进。这样的变更、修改和改进旨在处于本文描述的技术的精神和范围内。例如，本领域普通技术人员将容易地设想用于执行本文所述的功能和/或获得本文所述的结果和/或优点中的一个或更多个的多种其他手段和/或结构，并且这样的变化和/或修改中的每一个被认为在本文所述的实施方式的范围内。本领域普通技术人员将认识到或能够使用不超过常规的实验确定本文所述的具体实施方案的许多等同方案。因此，应当理解，前述实施方式仅以示例的方式呈现，并且在所附权利要求及其等同物的范围内，可以以不同于具体描述的方式来实践本发明的实施方式。此外，如果本文所述的两个或更多个特征、系统、制品、材料、套件和/或方法不是相互矛盾的，则这样的特征、系统、制品、材料、套件和/或方法的任何组合被包括在本公开内容的范围内。

此外，如所述，可以将一些方面实施为一个或更多个方法。作为该方法的一部分执行的动作可以以任何合适的方式排序。因此，可以构造以与所示顺序不同的顺序来执行动作的实施方式，该实施方式可以包括同时执行一些动作，即使该动作在说明性实施方式中被示出为顺序动作。

如在本文中所定义和所使用的，全部定义应当被理解为是对字典定义、通过引用并入的文献中的定义和/或定义术语的普通含义的控制。

除非明确有相反指示，否则本文说明书和权利要求书中所使用的不定冠词“一”和“一个”应当被理解为“至少一个”。

如本文的说明书和权利要求书中所使用的措辞“和/或”应当理解为表示如此结合的元素中的“任一者或两者”，即，在一些情况下以结合的方式存在而在其他情况下以分离的方式存在的元素。使用“和/或”列出的多个元素应该以相同的方式来解释，即如此结合的元素中的“一个或更多个”元素。除了由“和/或”子句具体标识的元素之外，可以可选地存在其他元素，而不管与这些具体标识的元素相关还是不相关。因此，作为非限制性示例，当与诸如“包括”的开放式语言结合使用时，对“A和/或B”的引用在一个实施方式中可以仅指代A(可选地包括除了B以外的元素)；在另一实施方式中，可以仅指代B(可选地包括除了A之外的元素)；在又一实施方式中，可以指代A和B两者(可选地包括其他元素)；等。

如本文在说明书和权利要求书中所使用的，涉及一个或更多个元素的列表的短语“至少一个”应当被理解为意指选自元素列表中的任意一个或更多个元素的至少一个元素，但不一定包括元素列表内具体列出的每个和每一元素中的至少一个元素，并且不排除元素列表中的元素的任何组合。该定义还允许可以可选地存在除了短语“至少一个”所指的元素列表内具体标识的元素之外的元素，而不管与这些具体标识的元素相关或不相关。因此，作为非限制性示例，“A和B中的至少一个”(或者等效地，“A或B中的至少一个”，或者等效地，“A和/或B中的至少一个”)在一个实施方式中可以指代至少一个A(可选地包括多于一个A),而不存在B(并且可选地包括除B之外的元素)；在另一实施方式中，可以指代至少一个B(可选地包括多于一个B)而不存在A(并且可选地包括除A之外的元素)；在又一实施方式中，可以指代至少一个A(可选地包括多于一个A)以及至少一个B(可选地包括多于一个的)(并且可选地包括其他元素)；等等。

此外，本文中使用的措辞和术语是为了描述的目的，而不应该被视为进行限制。本文中“包括”、“包含(comprising)”，或者“具有”、“含有(containing)”、“涉及”及其变型的使用意在涵盖其后列出的项及其等同物以及附加项。

在权利要求书以及上面的说明书中，所有过渡短语，例如“包括”、“包含”、“带有”、“具有”、“含有”、“涉及”、“持有”、“组成”等应当理解为开放式的，即，意指包括但不限于。仅过渡短语“由……组成”和“基本上由……组成”分别应为封闭或半封闭的过渡短语。

Claims (20)

1.一种用于使用腔和辅助传输子实现容错量子操作的方法，所述方法包括：

使用所述腔的多于两个能级编码逻辑量子比特；

使用所述辅助传输子的多于两个能级编码信息；以及

创建所述腔与所述辅助传输子之间的、将所述辅助传输子中的至少一个错误类型与所述腔解耦的相互作用。

2.根据权利要求1所述的方法，其中，创建所述腔与所述辅助之间的相互作用包括施加边带驱动。

3.根据权利要求2或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，当施加所述边带驱动时，所述腔的逻辑量子比特的演化对于一阶辅助错误是透明的。

4.根据权利要求2或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述边带驱动被配置成：

将通过第一激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第一频移调整成等于通过第二激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第二频移；以及

将通过基态激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第三频移调整成等于通过所述第二激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第二频移。

5.根据权利要求1或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子操作包括量子逻辑门。

6.根据权利要求5或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子逻辑门包括选择性数目相关任意相位(SNAP)门。

7.根据权利要求5或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子逻辑门包括受控SWAP门。

8.根据权利要求5或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子逻辑门包括指数SWAP门。

9.根据权利要求5或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，当在所述传输子中发生错误时，所述腔的逻辑量子比特不受影响。

10.根据权利要求1或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子操作包括量子测量。

11.根据权利要求10或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子测量包括量子奇偶性测量。

12.根据权利要求10或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子测量包括错误校验子的测量。

13.一种量子信息系统，包括：

腔，其被配置成支持微波辐射；

辅助传输子，其色散地耦合到所述腔；

微波源，其被配置成：

将所述微波辐射施加到所述腔以使用所述腔的多于两个能级来编码逻辑量子比特；

将微波辐射施加到所述辅助传输子以使用所述辅助传输子的多于两个能级来编码信息；以及

施加微波辐射以创建所述腔与所述辅助传输子之间的、将所述辅助传输子中的至少一个错误类型与所述腔解耦的相互作用。

14.根据权利要求13所述的量子信息系统，其中，施加微波辐射以创建所述腔与所述辅助传输子之间的相互作用包括施加边带驱动。

15.根据权利要求14或任一其他前述权利要求所述的量子信息系统，其中，当施加所述边带驱动时，所述腔的逻辑量子比特的演化对于一阶辅助错误是透明的。

16.根据权利要求14或任一其他前述权利要求所述的量子信息系统，其中，所述边带驱动被配置成：

将通过第一激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第一频移调整成等于通过第二激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第二频移；以及

将通过基态激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第三频移调整为等于通过第二激发态下所述辅助传输子在所述腔上的第二频移。

17.根据权利要求13或任一其他前述权利要求所述的量子信息系统，其中，所述量子操作包括量子逻辑门。

18.根据权利要求17或任一其他前述权利要求所述的量子信息系统，其中，所述量子逻辑门包括选择性数目相关任意相位(SNAP)门、受控SWAP门或指数SWAP门。

19.根据权利要求17或任一其他前述权利要求所述的量子信息系统，其中，当在所述传输子中发生错误时，所述腔的逻辑量子比特不受影响。

20.根据权利要求1或任一其他前述权利要求所述的方法，其中，所述量子操作包括量子奇偶性测量和/或错误校验子的测量。

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