JP5585991B2

JP5585991B2 - 量子符号化装置、量子検査装置、及びそれらの方法

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Publication number: JP5585991B2
Application number: JP2011269585A
Authority: JP
Inventors: 裕己徳永; 信之井元
Original assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp; Osaka University NUC
Current assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp; Osaka University NUC
Priority date: 2011-12-09
Filing date: 2011-12-09
Publication date: 2014-09-10
Anticipated expiration: 2031-12-09
Also published as: JP2013121161A

Description

本発明は、量子計算技術に関し、特に、誤り訂正符号技術に関する。

近年、量子力学を用いることで、これまで不可能であった情報処理を可能にする量子情報処理が提案されている。量子情報処理の基本単位は量子ビットであるが、量子ビットは雑音（デコヒーレンス）に弱くこれに対応するための誤り訂正符号技術が必須であると考えられている。このような量子誤り訂正符号の一つに、２次元格子上に量子ビットを配置し、それらをエンタングル状態にした表面符号（トポロジカル符号）が知られている（例えば、非特許文献１，２参照）。

A. Y. Kitaev, "Fault-tolerant quantum computation by anyons," Annals of Physics, vol. 303, no. 1, pp. 2-30, 1997. A. G. Fowler, A. M. Stephens, and P. Groszkowski, "High-threshold universal quantum computation on the surface code," Physical Review A, vol. 80, no. 5, p. 52312, Nov. 2009.

しかしながら従来の表面符号は、ビット反転誤り（ビットエラー）と位相誤り（位相エラー）が対称的なときに最も誤りを検出できるものであり、ビット反転誤りと位相誤りとが非対称な環境は考慮されていない。
本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、ビット反転誤りと位相誤りとが非対称な環境で効率的に誤りを検出することが可能な技術を提供することを目的とする。

本発明では、L=(Q(0),...,Q(N-1))がN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)からなる集合であり、辺E(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれが集合Lに属する量子ビットQ(n)のそれぞれに一対一で対応する仮想的な辺であり、辺E(n)のそれぞれには２個の仮想的な端点である点V(m) (m=0,...,M-1)が対応し、点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが複数個の辺E(n)の組み合わせに対応し、面F(k) (k=0,...,K-1)のそれぞれがG(k)個の辺E(n)とG(k)個の点V(m)との組み合わせに対応する仮想的な面であり、点V(m)のそれぞれが点V(m)のそれぞれに対応する面F(k)に対応する何れかの辺E(n)の仮想的な端点であり、EF(k)が面F(k)に対応するG(k)個の辺E(n)に対応する量子ビットQ(n)の集合であり、EV(m)が点V(m)に対応する辺E(n)の組み合わせに対応する量子ビットQ(n)の集合であり、A(L, EF(k))が集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す演算子を表し、B(L, EV(m))が集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリX操作を施す演算子を表す。すべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす、N個の量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>を生成する。ただし、少なくとも一部のkとmとの組み合わせで集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)の個数と集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数とが異なる。

本発明では、少なくとも一部のkとmとの組み合わせで集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)の個数と集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数とが異なることとしたため、ビット反転誤りと位相誤りとが非対称な環境で効率的に誤りを検出することができる。

図１は実施形態の量子符号化装置及び量子検査装置を例示するための図である。図２は実施形態の符号化部を例示するための図である。図３は実施形態の測定部を例示するための図である。図４は実施形態の処理を例示するための図である。図５は量子ビットの格子構造を説明するための図である。図６は量子ビットの格子構造を説明するための図である。図７は冗長化基底を例示するための図である。図８は冗長化基底を例示するための図である。図９は量子ビットの誤りを例示するための図である。図１０は量子ビットの誤り訂正を例示するための図である。図１２は量子ビットの誤り訂正を例示するための図である。図１２Ａ及び１２Ｂは量子ビットの格子構造を説明するための図である。図１３Ａ及び１３Ｂは量子ビットの格子構造を説明するための図である。

以下、本発明の実施形態を説明する。
＜定義＞
実施形態で用いられる記号や用語を定義する。
量子ビット（qubit）とは、量子情報処理における基本単位である。量子ビットの具体例は、量子ドット内の電子準位、原子の核スピン、超伝導体内部の電荷（クーパー対）量、光子の偏光などである。量子ビットは、古典的ビットの２値に対応する直交基底の量子状態の重ね合わせ状態をとる。重ね合わせ状態とは、量子力学的に複数の量子状態が同時に存在することを意味する。

量子状態はケットベクトル|Φ>を用いて表記され、それに対する双対なブラベクトルを<Φ|と表記する。基底の量子状態を|0>及び|1>とすると、１個の量子ビットの量子状態φは、以下のような|0>と|1>の線形結合で表現できる。
φ=c₀|0>+c₁|1> （|c₀|²+|c₁|²=1） ...(1)
ここでc₀, c₁は、複素数で表される各量子状態の係数（「振幅」という）であり、それらの絶対値の２乗値がそれぞれに対応する量子状態をとる確率を示す。
<α₁|α₂>は|α₁>と|α₂>との内積を表す。（×）は以下のテンソル積を表す。

|α₁>(×)|α₂>は|α₁>と|α₂>とのテンソル積を表し、ときに|α₁>(×)|α₂>は|γ>|δ>と簡略表示される。いかなる|α₁>及び|α₂>を用いても|α₁>(×)|α₂>で表現することのできない複数の量子ビットの量子状態をエンタングルメント状態と呼ぶ。

パウリX操作とは、式(1)で表される１個の量子ビットの量子状態を以下の式(2)の量子状態に変換する操作を意味する。
φ’=c₀’|0>+c₁’|1> （|c₀’|²+|c₁’|²=1） ...(2)
ただし、(c₀’, c₁’)は以下を満たす。

パウリX操作によって、量子状態|0>の量子ビットの量子状態が|1>に変換され、量子状態|1>の量子ビットの量子状態が|0>に変換される。

パウリZ操作とは、式(1)で表される１個の量子ビットの量子状態を以下の式(4)の量子状態に変換する操作を意味する。
φ’’=c₀’’|0>+c₁’’|1> （|c₀’’|²+|c₁’’|²=1） ...(4)
ただし、(c₀’’, c₁’’)は以下を満たす。

パウリZ操作によって、量子状態|0>の量子ビットの量子状態は変換されず、量子状態|1>の量子ビットの量子状態は-|1>に変換される。

X測定とは、パウリX操作を表す以下の行列Xの固有ベクトル（1/√2，1/√2）及び（1/√2，-1/√2）のそれぞれを振幅とした以下の２個の量子状態、すなわち|+>及び|->を基底とした測定を行うことを意味する。

ただし行列Xは以下のように表される。

以下の式(8)に示すように、基底|+>（(c₀,c₁)=(1/√2,1/√2)）は行列Xの固有値λ=1に対応する固有ベクトルであり、基底|->（(c₀,c₁)=(1/√2,-1/√2)）は行列Xの固有値λ=-1に対応する固有ベクトルである。

量子状態|Φ>をX測定することで基底|+>が測定される確率は|<+|Φ>|²であり、基底|->が測定される確率は|<-|Φ>|²である。

Z測定とは、パウリZ操作を表す行列Zの固有ベクトル（1，0）及び（0，1）のそれぞれを振幅とした２個の量子状態、すなわち|0>及び|1>を基底とした測定を行うことを意味する。ただし行列Zは以下のように表される。

以下の式(10)に示すように、基底|0>（(c₀,c₁)=(1,0)）は行列Zの固有値λ=1に対応する固有ベクトルであり、基底|1>（(c₀,c₁)=(0,1)）は行列Zの固有値λ=-1に対応する固有ベクトルである。

量子状態|Φ>をZ測定することで基底|0>が測定される確率は|<0|Φ>|²であり、基底|1>が測定される確率は|<1|Φ>|²である。

量子状態|α₁>|α₂>の２個の量子ビットに対する制御NOT操作は、以下の式(11)で表現される。
|α₁’>|α₂’>=CX・|α₁>|α₂> ...(11)
ただし、以下が満たされる。

言い換えると、制御NOT操作は、|0>|0>を|0>|0>に、|0>|1>を|0>|1>に、|1>|0>を|1>|1>に、|1>|1>を|1>|0>にする操作である。さらに言い換えると、量子ビットの対Q_A,Q_Bの量子状態に対する制御NOT操作は、量子ビットQ_Aの量子状態が|1>のときに量子ビットQ_Bの量子状態に対してパウリX操作を施し、量子ビットQ_Aの量子状態が|0>のときに量子ビットQ_Bの量子状態を操作しないものである。

量子状態|α₁>|α₂>の２個の量子ビットに対する制御パウリＺ操作は、以下の式(12)で表現される。
|α₁’>|α₂’>=CZ・|α₁>|α₂> ...(12)
ただし、以下が満たされる。

言い換えると、制御パウリＺ操作は、|0>|0>を|0>|0>に、|0>|1>を|0>|1>に、|1>|0>を|1>|0>に、|1>|1>を-|1>|1>にする操作である。さらに言い換えると、量子ビットの対Q_A,Q_Bの量子状態に対する制御パウリZ操作は、量子ビットQ_Aの量子状態が|1>のときに量子ビットQ_Bの量子状態に対してパウリZ操作を施し、量子ビットQ_Aの量子状態が|0>のときに量子ビットQ_Bの量子状態を操作しないものである。

量子ビットの格子構造とは、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)からなる集合L=(Q(0),...,Q(N-1))であって次の条件(A)〜(D)を満たすものを意味する。
(A) 量子ビットQ(n)のそれぞれに一対一で対応する仮想的な辺E(n) (n=0,...,N-1)が定義されている。辺E(n)の例は量子ビットQ(n)を通る線分である。Nは正整数であり、例えばN≧6である。
(B) 辺E(n)のそれぞれには２個の仮想的な端点である点V(m) (m=0,...,M-1)が対応し、点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが複数個（例えば３個以上）の辺E(n)の組み合わせに対応する。例えば、点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが３個以上の辺E(n)に共通の端点となっている。Mは正整数であり、例えばM≧4である。
(C) G(k)個の辺E(n)とG(k)個の点V(m)との組み合わせに対応する仮想的な面F(k) (k=0,...,K-1)が定義されている。ただし、点V(m)のそれぞれが点V(m)のそれぞれに対応する面F(k)に対応する何れかの辺E(n)の仮想的な端点である。辺E(n)のそれぞれは何れか２個の面F(k)に対応する。言い換えると、隣接する２個の面F(k)は同一の辺E(n)に対応する。面F(k)の例は、G(k)個の辺E(n)とそれらをつなぐG(k)個の点V(m)とで囲まれた多角形面である。G(k)は正整数であり、例えばG(k)≧3である。Kは正整数であり、例えばK≧3である。
(D) 面F(k) (k=0,...,K-1)の集合がトーラス面(torus surface)を構成する。言い換えると、面F(k) (k=0,...,K-1)の集合によって特定の立体領域を包む表面が構成される。当該面F(k) (k=0,...,K-1)の集合からなる表面には端部は存在しない。

図５に例示する格子構造Lの場合、例えば量子ビットQ(ξ₀)〜Q(ξ₄)が辺E(ξ₀)〜E(ξ₄)に一対一で対応し、辺E(ξ₀)には端点である点V(μ₀), V(μ₂)が対応し、辺E(ξ₁)には端点である点V(μ₀), V(μ₁)が対応し、辺E(ξ₂)には端点である点V(μ₁), V(μ₂)が対応し、点V(μ₁)が４個の辺E(ξ₁), E(ξ₂), E(ξ₃), E(ξ₄)の組み合わせに対応し、面F(τ₀)が３個の辺E(ξ₀), E(ξ₁), E(ξ₂)と３個の点V(μ₀), V(μ₁), V(μ₂)との組み合わせに対応し、面F(k) (k=0,...,K-1)の集合によってドーナツ型トーラスの表面（ドーナツ状の立体領域を包む表面）をなす。

上記の条件(A)〜(D)に加え、さらに以下の条件(E)を満たすものを非対称な格子構造と呼ぶ。
(E) 少なくとも一部のkとmとの組み合わせで、集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)の個数と集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数とが異なる。ただし、EF(k)は面F(k)に対応するG(k)個の辺E(n)に対応する量子ビットQ(n) (n∈{0,...,N})の集合であり、EV(m)は点V(m)に対応する辺E(n)の組み合わせに対応する量子ビットQ(n) (n∈{0,...,N})の集合である。
図５に例示する格子構造Lも非対称な格子構造である。図５の例の場合、面F(τ₀)に対応する３個の辺E(ξ₀), E(ξ₁), E(ξ₂)に対応する量子ビットQ(ξ₀), Q(ξ₀), Q(ξ₂)の個数（３個）と、点V(μ₁)に対応する４個の辺E(ξ₁), E(ξ₂), E(ξ₃), E(ξ₄)に対応する量子ビットQ(ξ₁), Q(ξ₂), Q(ξ₃), Q(ξ₄)の個数（４個）とが異なる。

量子計算における誤り訂正では、ビット反転誤りと位相誤りのみを扱えばよいことが知られている。
ビット反転誤りとは、量子ビットQ(n)の基底状態{|0>, |1>}が反転する誤りを表す。例えば、|0>の状態であるべき量子ビットQ(n)の状態が|1>となったり、|1>の状態であるべき量子ビットQ(n)の状態が|0>となったりする誤りがビット反転誤りである。量子ビットQ(n)にビット反転誤りが生じたことは、当該量子ビットQ(n)にパウリX操作が施されたことに相当する。ビット反転誤りを持つ量子ビットQ(n)にさらにパウリX操作を施すことで、そのビット反転誤りが訂正される。
位相誤りとは、量子ビットQ(n)の基底状態間の位相が反転する誤りを表す。例えば、|+>の状態であるべき量子ビットQ(n)の状態が|->となったり、|->の状態であるべき量子ビットQ(n)の状態が|+>となったりする誤りが位相誤りである。１個の量子ビットQ(n)に位相誤りが生じたことは、当該子量ビットQ(n)にパウリZ操作が施されたことに相当する。位相誤りを持つ量子ビットQ(n)にさらにパウリZ操作を施すことで、その位相誤りが訂正される。

固定化オペレーターA(L, EF(k))は、A(L, EF(k))が集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)∈EF(k)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す演算子を表し、固定化オペレーターB(L, EV(m))は、集合EV(m)に属する量子ビットQ(n) (n∈EV(m))のそれぞれに対してパウリX操作を施す演算子を表す。固定化オペレーターA(L, EF(k))，B(L, EV(m))は以下のように表記される。

ただし、Z_iは量子ビットQ(i)に対してパウリZ操作を施すことを表し、X_jは量子ビットQ(j)に対してパウリX操作を施すことを表す。図５の例を用いて例示すると、A(L, EF(τ₀))は量子ビットQ(ξ₀), Q(ξ₁), Q(ξ₂)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す操作を表し、B(L, EV(μ₁))は量子ビットQ(ξ₁), Q(ξ₂), Q(ξ₃), Q(ξ₄)のそれぞれに対してパウリX操作を施す操作を表す。

＜構成＞
図１に例示するように、本形態の量子符号化装置１１は、符号化部１１１及び量子計算部１１２を有し、本形態の量子検査装置１２は、測定部１２１，１２２、判定部１２３、選択部１２４，１２６、及び訂正部１２５，１２７を有する。
本形態の量子符号化装置１１は、非対称な格子構造Lを構成するN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)を符号化し、複数の量子ビットの量子状態の組み合わせで表される冗長化基底の何れかの量子状態を得、冗長化基底を用いて何らかの量子計算を行う。本形態の量子検査装置１２は、非対称な格子構造Lを構成するN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)の誤り検出や誤り訂正を行う。量子符号化装置１１と量子検査装置１２は同一の筺体に納められた装置であってもよいし、別の筺体に納められた装置であってもよい。

図２に例示するように、符号化部１１１は、初期量子状態生成部１１１ａ、制御NOT操作部１１１ｂ、Z測定部１１１ｃ、パウリX操作部１１１ｄ、制御パウリZ操作部１１１ｅ、X測定部１１１ｆ、及びパウリZ操作部１１１ｇを有する。図３に例示するように、測定部１２１は、制御NOT操作部１２１ａ、Z測定部１２１ｂ、及び補助ビット判定部１２１ｃを有する。測定部１２２は、制御パウリZ操作部１２２ａ、X測定部１２２ｂ、及び補助ビット判定部１２２ｃを有する。

本形態の量子符号化装置１１及び量子検査装置１２は、例えば、量子コンピュータ、或いは量子コンピュータと古典コンユータとの組合せで実現できる。量子コンピュータの物理系としては、例えば、液体中の各スピンを用いる方式（Gershenfield, Chuang, “Bulk spin resonance quantum computation,” Science, 275;350, 1997）、シリコン結晶中の核スピンを用いる方式（B. E. Kane, “A silicon-based nuclear spin quantum computer,” Nature 393, 133, 1998）、量子ドット中の電子スピンを用いる方式（D. Loss and D. P. DiVincenzo, “Quantum computation with quantum dots,” Physical Review A 57, 120-126, 1998）、イオントラップを用いる方式（J. I. Cirac and P. Zoller, “Quantum computations with cold trapped ions,” Physical Rev. Lett. vol. 74, No. 20, pp.4091-4094, 1995）、光子を用いる方式等を例示できる。それぞれの物理系に対する量子コンピュータの実現方式については、「M. A. Nielsen and I. L. Chuang, “Quantum Computation and Quantum Information,” Cambridge University Press, Chapter 7 Physical Realization」に詳しい。

＜処理＞
図４を参照しながら本形態の処理を説明する。
量子符号化装置１１の符号化部１１１（図２）は、非対称な格子構造Lを構成するN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)を符号化し、複数の量子ビットの量子状態の組み合わせで表される冗長化基底の何れかの量子状態を生成する。本形態の符号化部１１１は、すべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)の量子状態|Ψ>を生成する。このような量子状態は複数種類存在し、それらが符号化された量子ビットの量子状態に相当する（ステップＳ１）。

[冗長化基底とされた量子状態の例示]
図６〜８を用いて冗長化基底とされた量子状態を例示する。図６〜８は、５０個の六角形の面F(k) (k=τ₀,...,τ₄₉)からなる格子構造の展開図である。白丸及び黒丸は量子ビットを表す。図６に例示する量子ビットの量子状態|Ψ>は、すべての面F(k)についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべての点V(m)についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすものとし、それらの量子ビットを白丸で表す。図７及び８の黒丸は、白丸の量子ビットに対してパウリX操作及びパウリZ操作が施された量子ビットを表す。図７及び８の例では、面F(k)のそれぞれに対して２個（偶数個）の黒丸が対応し、点V(m)のそれぞれに対して２個（偶数個）の黒丸が対応する。図７及び８の状態でも、すべての面F(k)についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべての点V(m)についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす。図６〜８のそれぞれの状態は互いに異なる基底として扱うことができる（[冗長化基底とされた量子状態の例示]の説明終わり）。

[ビット反転誤り及び位相誤りに対する強さ]
集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)の個数が少ないほど多くのビット反転誤りを検出でき、集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数が少ないほど多くの位相誤りを検出できる。なぜなら、個数が少ないほど誤りがおきた場所の推定がしやすいためである。例えば、すべてのk=0,...,K-1についての集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)の個数の合計がすべてのm=0,...,M-1についての集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数の合計よりも多い場合には、位相誤りに対する耐性がビット反転誤りに対する耐性よりも高い。逆にすべてのk=0,...,K-1についての集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)の個数の合計がすべてのm=0,...,M-1についての集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数の合計よりも少ない場合には、ビット反転誤りに対する耐性が位相誤りに対する耐性よりも高い。ただし、構造上、EF(k)とEV(m)に属する量子ビットの個数のどちらかを少なくするともう一方が多くなるというトレードオフの関係にある（[ビット反転誤り及び位相誤りに対する強さ]の説明終わり）。

[ステップＳ１の具体例]
ステップＳ１の具体例を示す。まず、符号化部１１１（図２）の初期量子状態生成部１１１ａが、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれを重ね合わせ状態とする。例えば、初期量子状態生成部１１１ａは、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれの量子状態を|+>にする。

制御NOT操作部１１１ｂは、それぞれの量子状態が|0>とされた補助量子ビットCQ(k) (k=0,...,K-1)（図示せず）を用い、集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)と補助量子ビットCQ(k)とに対する制御NOT操作を行う。Z測定部１１１ｃは、これらの制御NOT操作がなされた補助量子ビットCQ(k) (k=0,...,K-1)をZ測定する。パウリX操作部１１１ｄは、Z測定部１１１ｃで量子状態が|1>であると観測された補助量子ビットCQ(k)に対応する集合EF(k)に属する何れか奇数個（例えば１個）の量子ビットQ(n)に対してパウリX操作を施す。パウリX操作部１１１ｄは、補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|0>であると観測された補助量子ビットCQ(k)に対応する集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)に対しては操作を行わない。

制御パウリZ操作部１１１ｅは、それぞれの量子状態が|+>とされた補助量子ビットCQ(m) (m=0,...,M-1)（図示せず）を用い、集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)と補助量子ビットCQ(m)とに対して制御パウリZ操作を行う。X測定部１１１ｆは、これらの制御パウリZ操作がなされた補助量子ビットCQ(m) (m=0,...,M-1)をX測定する。パウリZ操作部１１１ｇは、X測定部１１１ｆで量子状態が|->であると観測された補助量子ビットCQ(m)に対応する集合EV(m)に属する奇数個の量子ビットQ(n)に対してパウリZ操作を施す。パウリZ操作部１１１ｇは、補助量子ビットCQ(m)の量子状態が|+>と観測された補助量子ビットCQ(m)に対応する集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)に対しては操作を行わない。

初期量子状態生成部１１１ａで、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれの量子状態が|+>とされたとする。１個の集合EF(k)に属する３個の量子ビットQ(n)のみに注目すると、それらの量子状態は以下のように表記できる（振幅省略）。
(|0>+|1>)(|0>+|1>)(|0>+|1>)
=|0>|0>|0>+|0>|1>|0>+|1>|0>|0>+|1>|1>|0>+|0>|0>|1>+|0>|1>|1>+|1>|0>|1>+|1>|1>|1> ...(16)

制御NOT操作部１１１ｂが、１個の集合EF(k)に属する３個の量子ビットQ(n)と量子状態が|0>とされた補助量子ビットCQ(k)とに対する制御NOT操作を行うと、それらの量子状態は以下のようになる（振幅省略）。
|0>|0>|0>|0>+|0>|1>|0>|1>+|1>|0>|0>|1>+|1>|1>|0>|0>+|0>|0>|1>|1>+|0>|1>|1>|0>+|1>|0>|1>|0>+|1>|1>|1>|1> ...(17)

Z測定部１１１ｃが、この制御NOT操作がなされた補助量子ビットCQ(k)をZ測定して量子状態が|0>であると観測されるのは、上記３個の量子ビットQ(n)の量子状態が以下の場合である（振幅省略）。
|0>|0>|0>+|1>|1>|0>+|0>|1>|1>+|1>|0>|1> ...(18)
一方、補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|1>であると観測されるのは、上記３個の量子ビットQ(n)の量子状態が以下の場合である（振幅省略）。
|0>|1>|0>+|1>|0>|0>+|0>|0>|1>+|1>|1>|1> ...(19)
この場合にパウリX操作部１１１ｄが１個の量子ビットQ(n)に対してパウリX操作を施すと、上記３個の量子ビットQ(n)の量子状態は式(18)の量子状態と等しくなる。式(18)の量子状態の３個の量子ビットのそれぞれにパウリZ操作を施しても量子状態は変化しない。従ってA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たす。同様にB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすことも言える（[ステップＳ１の具体例]の説明終わり）。

次に量子計算部１１（図１）が、冗長化基底とされたN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)を用いて所望の量子計算を行う（ステップＳ２）。量子計算の過程でビット反転誤り及び位相誤りが生じなかったのであれば、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)の量子状態は、何れかの冗長化基底、すなわちA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、B(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす何れかの量子状態|Ψ>となる。一方、量子計算の過程でビット反転誤りや位相誤りが検出可能な範囲（他の冗長化基底とならない範囲）で生じたのであれば、N個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)の量子状態は、冗長化基底以外の状態となる。具体的な量子計算方法については、例えば「R. Raussendorf, J. Harrington, K. Goyal, “A fault-tolerant one-way quantum computer,” Ann. Phys. (N.Y.) 321, 2242 (2006). 」等参照。

次に、量子検査装置１２がN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)の誤り検出及び誤り訂正を行う。測定部１２１（図１）は、k=0,...,K-1についてN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)の量子状態|Ψ>がA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たすかを測定する。言い換えると、測定部１２１は、固定化オペレーターA(L, EF(k))で量子状態|Ψ>を測定する（ステップＳ３）。

[ステップＳ３の具体例]
ステップＳ３の具体例を示す。まず、測定部１２１（図３）の制御NOT操作部１２１ａは、それぞれの量子状態が|0>とされた補助量子ビットCQ(k) (k=0,...,K-1)（図示せず）を用い、集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)と補助量子ビットCQ(k)（図示せず）とに対する制御NOT操作を行う。次に、Z測定部１２１ｂが制御NOT操作がなされた補助量子ビットCQ(k)をZ測定する。補助ビット判定部１２１ｃは、Z測定部１２１ｂで補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|0>であると観測された場合にA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定し、Z測定部１２１ｂで補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|1>であると観測された場合にA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定する（[ステップＳ３の具体例]の説明終わり）。

測定部１２２（図１）は、m=0,...,M-1についてN個の量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>がB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすかを測定する。言い換えると、測定部１２２は、固定化オペレーターB(L, EV(m))で量子状態|Ψ>を測定する（ステップＳ４）。

[ステップＳ４の具体例]
ステップＳ４の具体例を示す。まず、測定部１２２の制御パウリZ操作部１２２ａは、それぞれの量子状態が|+>とされた補助量子ビットCQ(m) (m=0,...,M-1)（図示せず）を用い、集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)と補助量子ビットCQ(m)とに対して制御パウリZ操作を行う。X測定部１２２ｂは、制御パウリZ操作がなされた補助量子ビットCQ(m)をX測定する。補助ビット判定部１２２ｃは、X測定部１２２ｂで補助量子ビットCQ(m)の量子状態が|+>であると観測された場合にB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定し、X測定部１２２ｂで補助量子ビットCQ(m)の量子状態が|->であると観測された場合にB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定する（[ステップＳ４の具体例]の説明終わり）。

測定部１２１ですべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定された場合（ステップＳ５）、判定部１２３（図１）が処理をステップＳ６に進め、そうでなければ判定部１２３が処理をステップＳ８に進める。

ステップＳ６では、判定部１２３ですべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすと測定された場合（ステップＳ６）、判定部１２３が処理をステップＳ７に進め、そうでなければ判定部１２３が処理をステップＳ８に進める。ステップＳ７では、判定部１２３が誤りが存在しない旨の情報を出力し、処理を終了させる。

ステップＳ８では、判定部１２３が誤りが存在する旨の情報を出力する（ステップＳ８）。

ステップＳ８の後、測定部１２１でA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された面F(k)の情報、及び、測定部１２２でB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された点V(m)の情報を用いて誤りが生じた位置が推定され、誤り訂正が実行される。測定部１２１，１２２での測定結果と誤り（ビット判定誤り及び位相誤り）とには、以下の関係がある。
関係：或る面F(k_α)でA(L, EF(k_α))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定されるのは、この面F(k_α)に対応する集合EF(k_α)に属する量子ビットQ(n)のうち奇数個の量子ビットにビット反転誤りが生じた場合である。偶数個の量子ビットにビット反転誤りが生じた場合にはA(L, EF(k_α))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定される。同様に、或る点V(m_β)でB(L, EV(m_β))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定されるのは、この点V(m_β)に対応する集合EV(m_β)に属する量子ビットQ(n)のうち奇数個の量子ビットに位相誤りが生じた場合である。集合EV(m_β)に属する量子ビットQ(n)のうち偶数個の量子ビットに位相誤りが生じた場合にはB(L, EV(m_β))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定される。

上記の関係より、測定部１２１でA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定される面F(k)や、測定部１２２でB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定される点V(m)は、誤りを持った量子ビットQ(n)からなる領域（例えば、誤りを持った量子ビットQ(n)の列）の端部となる。このことを利用し、選択部１２４はビット反転誤りを持った量子ビットQ(n)からなる領域を推定し、選択部１２６は位相誤りを持った量子ビットQ(n)からなる領域を推定する。

選択部１２４（図１）は、測定部１２１でk=k₀, k_p-1∈{0,...,K-1}についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された場合に、面F(k₀)と面F(k_p-1)との間の経路(F(k₀),E(n₀),F(k₁),E(n₁),F(k₂),...,E(n_p-2),F(k_p-1))のうち、経路に含まれる辺E(n₀),...,E(n_p-2)の個数p-1が最も少ないものを選択する。これは、面F(k₀)と面F(k_p-1)とが誤りを持った量子ビットQ(n)からなる領域の端部である場合、その領域に含まれる量子ビットQ(n)の数が最も少ない場合が最も起こりやすいことに基づく。ただし、k₀,...,k_p-1∈{0,...,K-1}, n₀,...,n_p-2∈{0,...,N-1}, p≧2, q=0,...,p-2であり、辺E(n_q)のそれぞれに２個の面F(k_q)及びF(k_q+1)が対応する。この選択には２点間の最少距離マッチングアルゴリズムなどが用いられる（例えば「J. Edmonds, “Paths, trees, and flowers,” Canadian J. Math 17, pp. 449-467 (1965).」参照）（ステップＳ９）。例えば、図９，１０の黒丸の量子ビットでビット反転誤りが生じているとする。この場合、測定部１２１でA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定されるのはk=τ₁₂, τ₂₇の面F(k)である。この場合、選択部１２４は、例えば経路R_xを選択する。

A(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された面F(k)が複数組選択できる場合には、所定の方式に従ってA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された面F(k)の組がそれぞれ選択され、経路の選択が行われる。所定の方式としては、最終的に選択される各経路に含まれる辺の個数の合計が最小となるように面F(k)の組を選択する方式や、距離が近い面F(k)の組から順番に選択する方式などを例示できる。

訂正部１２５は、選択部１２４で選択された経路に含まれる辺E(n₀),...,E(n_p-2)に対応する量子ビットQ(n₀),...,Q(n_p-2)のそれぞれにパウリX操作を施す（ステップＳ１０）。例えば、図９，１０の例の場合には、量子ビットQ(ξ₀),Q(ξ₁),Q(ξ₂)のそれぞれにパウリX操作が施される。これにより、高い確率でビット反転誤りが正しく訂正される。

選択部１２６は、m=m₀, m_u-1∈{0,...,M-1}についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された場合に、点V(m₀)と点V(m_u-1)との間の経路(V(m₀),E(t₀),V(m₁),E(t₁),V(m₂),...,E(t_u-2),V(m_u-1))のうち、経路に含まれる辺E(t₀),...,E(t_u-2)の個数u-1が最も少ないものを選択する。点V(m₀)と点V(m_u-1)とが誤りを持った量子ビットQ(n)からなる領域の端部である場合、その領域に含まれる量子ビットQ(n)の数が最も少ない場合が最も起こりやすいことに基づく。ただし、m₀,...,m_u-1∈{0,...,M-1}, t₀,...,t_u-2∈{0,...,N-1}, u≧2, w=0,...,u-2であり、辺E(t_w)のそれぞれに２個の点V(m_w)及びV(m_w+1)が対応する。この選択には前述の２点間の最少距離マッチングアルゴリズムなどが用いられる（ステップＳ１１）。例えば、図１１の黒丸の量子ビットで位相誤りが生じているとする。この場合、測定部１２２でB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定されるのはm=μ₀,μ₁の点V(m)である。この場合、選択部１２６は、例えば経路R_Zを選択する。

B(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された点V(m)が複数組選択できる場合には、所定の方式に従ってB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された点V(m)の組がそれぞれ選択され、経路の選択が行われる。所定の方式としては、最終的に選択される各経路に含まれる辺の個数の合計が最小となるように点V(m)の組を選択する方式や、距離が近い点V(m)の組から順番に選択する方式などを例示できる。B(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された点V(m)が奇数個存在する場合には、例えば、組として選択されずに最後に残った１個の点V(m_L)に対してm_L=m_a=m_bとして、上記の経路(E(n₁),V(m₁),E(n₂),V(m₂)...,V(m_p-1),E(n_p))の選択が行われる。

訂正部１２７は、選択部１２６で選択された経路に含まれる辺E(t₀),...,E(t_u-2)に対応する量子ビットQ(t₀),...,Q(t_u-2)のそれぞれにパウリZ操作を施す（ステップＳ１２）。例えば、図１１の例の場合には、量子ビットQ(ξ₃),Q(ξ₄),Q(ξ₅)のそれぞれにパウリZ操作が施される。これにより、高い確率で位相誤りが正しく訂正される。

＜本形態の特徴＞
以上のように、本形態ではビット反転誤りと位相誤りとが非対称な環境（ビット反転誤りと位相誤りとの割合が異なる環境）で効率的に誤りを検出することができる。本形態では格子構造を選択することで、ビット反転誤りに対する耐性を高くするか、位相誤りに対する耐性を高くするかを選択することができる。さらに、集合EF(k)に属する量子ビットQ(n)と集合EV(m)に属する量子ビットQ(n)の個数とが同一である必要がなく、複数の量子ビットが配置された任意の結晶構造をそのまま格子構造として利用することも可能である。
＜変形例＞
本発明は上述の実施形態に限定されない。例えば、格子構造は上述の実施形態で例示したものに限定されない。例えば、図１２Ａ，１２Ｂ，１３Ａ，１３Ｂに例示するような格子構造が用いられてもよい。ただし、図１２Ａ，１２Ｂ，１３Ａ，１３Ｂの白丸は量子ビットを表す。その他、「http://en.wikipedia.org/wiki/Percolation_threshold」などに開示されたような様々な格子構造に本発明を適用することができる。また、量子計算部１１２で量子計算を行うことなく符号化された量子ビット（例えば量子メモリに格納しておいた量子ビット）の誤り検出や誤り訂正が行われてもよい。上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。

１１量子符号化装置
１２量子検査装置

Claims

L=(Q(0),...,Q(N-1))がN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)からなる集合であり、辺E(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれが前記集合Lに属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに一対一で対応する仮想的な辺であり、前記辺E(n)のそれぞれには２個の仮想的な端点である点V(m) (m=0,...,M-1)が対応し、前記点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが複数個の前記辺E(n)の組み合わせに対応し、面F(k) (k=0,...,K-1)のそれぞれがG(k)個の前記辺E(n)とG(k)個の前記点V(m)との組み合わせに対応する仮想的な面であり、前記点V(m)のそれぞれが前記点V(m)のそれぞれに対応する前記面F(k)に対応する何れかの前記辺E(n)の仮想的な端点であり、EF(k)が前記面F(k)に対応するG(k)個の前記辺E(n)に対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、EV(m)が前記点V(m)に対応する前記辺E(n)の組み合わせに対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、A(L, EF(k))が前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す演算子を表し、B(L, EV(m))が前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリX操作を施す演算子を表し、
すべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす、N個の前記量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>を生成する符号化部を有し、少なくとも一部のkとmとの組み合わせで前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)の個数と前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)の個数とが異なる、量子符号化装置。
請求項１の量子符号化装置であって、
前記符号化部は、
N個の前記量子ビットQ(n)のそれぞれを重ね合わせ状態とする初期量子状態生成部と、
前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)とそれぞれの量子状態が|0>とされた補助量子ビットCQ(k)とに対する制御NOT操作を行う制御NOT操作部と、
前記制御NOT操作がなされた前記補助量子ビットCQ(k)をZ測定するZ測定部と、
前記Z測定部で前記補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|1>であると観測された場合に、前記集合EF(k)に属する奇数個の前記量子ビットQ(n)に対してパウリX操作を施すパウリX操作部と、
前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)とそれぞれの量子状態が(1/√2)・(|0>+|1>)とされた補助量子ビットCQ(m)とに対して制御パウリZ操作を行う制御パウリZ操作部と、
前記制御パウリZ操作がなされた前記補助量子ビットCQ(m)をX測定するX測定部と、
前記X測定部で前記補助量子ビットCQ(m)の量子状態が(1/√2)・(|0>-|1>)であると観測された場合に、前記集合EV(m)に属する奇数個の前記量子ビットQ(n)に対してパウリZ操作を施すパウリZ操作部とを含む、量子符号化装置。
請求項１又は２の量子符号化装置であって、
すべてのk=0,...,K-1についての前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)の個数の合計は、すべてのm=0,...,M-1についての前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)の個数の合計よりも多い、量子符号化装置。
請求項１又は２の量子符号化装置であって、
すべてのk=0,...,K-1についての前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)の個数の合計は、すべてのm=0,...,M-1についての前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)の個数の合計よりも少ない、量子符号化装置。
L=(Q(0),...,Q(N-1))がN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)からなる集合であり、辺E(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれが前記集合Lに属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに一対一で対応する仮想的な辺であり、前記辺E(n)のそれぞれには２個の仮想的な端点である点V(m) (m=0,...,M-1)が対応し、前記点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが複数個の前記辺E(n)の組み合わせに対応し、面F(k) (k=0,...,K-1)のそれぞれがG(k)個の前記辺E(n)とG(k)個の前記点V(m)との組み合わせに対応する仮想的な面であり、前記点V(m)のそれぞれが前記点V(m)のそれぞれに対応する前記面F(k)に対応する何れかの前記辺E(n)の仮想的な端点であり、EF(k)が前記面F(k)に対応するG(k)個の前記辺E(n)に対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、EV(m)が前記点V(m)に対応する前記辺E(n)の組み合わせに対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、A(L, EF(k))が前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す演算子を表し、B(L, EV(m))が前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリX操作を施す演算子を表し、少なくとも一部のkとmとの組み合わせで前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)の個数と前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)の個数とが異なり、
k=0,...,K-1についてN個の前記量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>がA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たすかを測定する第１測定部と、
m=0,...,M-1についてN個の前記量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>がB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすかを測定する第２測定部と、
すべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす場合に誤りが存在しないと判定し、それ以外の場合に誤りが存在すると判定する判定部とを有する、量子検査装置。
請求項５の量子検査装置であって、
前記第１測定部は、
前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)とそれぞれの量子状態が|0>とされた補助量子ビットCQ(k)とに対する制御NOT操作を行う制御NOT操作部と、
前記制御NOT操作がなされた前記補助量子ビットCQ(k)をZ測定するZ測定部と、
前記Z測定部で前記補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|0>であると観測された場合にA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定し、前記Z測定部で前記補助量子ビットCQ(k)の量子状態が|1>であると観測された場合にA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定する第１補助ビット判定部とを含み、
前記第２測定部は、
前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)とそれぞれの量子状態が(1/√2)・(|0>+|1>)とされた補助量子ビットCQ(m)とに対して制御パウリZ操作を行う制御パウリZ操作部と、
前記制御パウリZ操作がなされた前記補助量子ビットCQ(m)をX測定するX測定部と、
前記X測定部で前記補助量子ビットCQ(m)の量子状態が(1/√2)・(|0>+|1>)であると観測された場合にB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすと判定し、前記X測定部で前記補助量子ビットCQ(m)の量子状態が(1/√2)・(|0>-|1>)であると観測された場合にB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定する第２補助ビット判定部とを含む、量子検査装置。
請求項５又は６の量子検査装置であって、
k₀,...,k_p-1∈{0,...,K-1}, n₀,...,n_p-2∈{0,...,N-1}, p≧2, q=0,...,p-2であり、前記辺E(n_q)のそれぞれに２個の前記面F(k_q)及びF(k_q+1)が対応し、m₀,...,m_u-1∈{0,...,M-1}, t₀,...,t_u-2∈{0,...,N-1}, u≧2, w=0,...,u-2であり、前記辺E(t_w)のそれぞれに２個の前記点V(m_w)及びV(m_w+1)が対応し、
k=k₀, k_p-1∈{0,...,K-1}についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された場合に、前記面F(k₀)と前記面F(k_p-1)との間の経路(F(k₀),E(n₀),F(k₁),E(n₁),F(k₂),...,E(n_p-2),F(k_p-1))のうち、経路に含まれる辺E(n₀),...,E(n_p-2)の個数p-1が最も少ないものを選択する第１選択部と、
前記第１選択部で選択された経路に含まれる辺E(n₀),...,E(n_p-2)に対応する量子ビットQ(n₀),...,Q(n_p-2)のそれぞれにパウリX操作を施す第１訂正部と、 m=m₀, m_u-1∈{0,...,M-1}についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たさないと判定された場合に、前記点V(m₀)と前記点V(m_u-1)との間の経路(V(m₀),E(t₀),V(m₁),E(t₁),V(m₂),...,E(t_u-2),V(m_u-1))のうち、経路に含まれる辺E(t₀),...,E(t_u-2)の個数u-1が最も少ないものを選択する第２選択部と、
前記第２選択部で選択された経路に含まれる辺E(t₀),...,E(t_u-2)に対応する量子ビットQ(t₀),...,Q(t_u-2)のそれぞれにパウリZ操作を施す第２訂正部と、
を有する量子検査装置。
L=(Q(0),...,Q(N-1))がN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)からなる集合であり、辺E(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれが前記集合Lに属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに一対一で対応する仮想的な辺であり、前記辺E(n)のそれぞれには２個の仮想的な端点である点V(m) (m=0,...,M-1)が対応し、前記点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが複数個の前記辺E(n)の組み合わせに対応し、面F(k) (k=0,...,K-1)のそれぞれがG(k)個の前記辺E(n)とG(k)個の前記点V(m)との組み合わせに対応する仮想的な面であり、前記点V(m)のそれぞれが前記点V(m)のそれぞれに対応する前記面F(k)に対応する何れかの前記辺E(n)の仮想的な端点であり、EF(k)が前記面F(k)に対応するG(k)個の前記辺E(n)に対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、EV(m)が前記点V(m)に対応する前記辺E(n)の組み合わせに対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、A(L, EF(k))が前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す演算子を表し、B(L, EV(m))が前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリX操作を施す演算子を表し、
すべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす、N個の前記量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>を生成する符号化ステップを有し、少なくとも一部のkとmとの組み合わせで前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)の個数と前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)の個数とが異なる、量子符号化方法。
L=(Q(0),...,Q(N-1))がN個の量子ビットQ(n) (n=0,...,N-1)からなる集合であり、辺E(n) (n=0,...,N-1)のそれぞれが前記集合Lに属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに一対一で対応する仮想的な辺であり、前記辺E(n)のそれぞれには２個の仮想的な端点である点V(m) (m=0,...,M-1)が対応し、前記点V(m) (m=0,...,M-1)のそれぞれが複数個の前記辺E(n)の組み合わせに対応し、面F(k) (k=0,...,K-1)のそれぞれがG(k)個の前記辺E(n)とG(k)個の前記点V(m)との組み合わせに対応する仮想的な面であり、前記点V(m)のそれぞれが前記点V(m)のそれぞれに対応する前記面F(k)に対応する何れかの前記辺E(n)の仮想的な端点であり、EF(k)が前記面F(k)に対応するG(k)個の前記辺E(n)に対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、EV(m)が前記点V(m)に対応する前記辺E(n)の組み合わせに対応する前記量子ビットQ(n)の集合であり、A(L, EF(k))が前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリZ操作を施す演算子を表し、B(L, EV(m))が前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)のそれぞれに対してパウリX操作を施す演算子を表し、少なくとも一部のkとmとの組み合わせで前記集合EF(k)に属する前記量子ビットQ(n)の個数と前記集合EV(m)に属する前記量子ビットQ(n)の個数とが異なり、
k=0,...,K-1についてN個の前記量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>がA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たすかを測定する第１測定ステップと、
m=0,...,M-1についてN個の前記量子ビットQ(n)の量子状態|Ψ>がB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たすかを測定する第２測定ステップと、
すべてのk=0,...,K-1についてA(L, EF(k))|Ψ>=|Ψ>を満たし、なおかつ、すべてのm=0,...,M-1についてB(L, EV(m))|Ψ>=|Ψ>を満たす場合に誤りが存在しないと判定し、それ以外の場合に誤りが存在すると判定する判定ステップとを有する、量子検査方法。