CN111191358B - 一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，包括以下步骤：(S1)建立吸气式超声速导弹的动力学模型；(S2)选取飞行攻角和燃料质量流量作为双优化变量，以飞行的油耗最小作为性能指标函数，考虑飞行过程约束和飞行轨迹的终端约束，构建最优控制问题；(S3)在hp自适应伪谱法的基础上，建立具有可缩小网格规模的改进hp自适应伪谱法，利用改进hp自适应伪谱法对步骤S2中的最优控制问题进行求解，得到吸气式超声速导弹爬升段飞行的最优轨迹。本发明采用改进hp自适应伪谱法求解升段的燃耗最优问题，能够合理调整网格规模，可大幅减少优化时间。同时本发明能够有效的减少飞行器爬升段的油耗，利于提高巡航飞行能力。

Description

一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法

技术领域

本发明属于航空航天领域，具体涉及一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法。

背景技术

吸气式超声速导弹是指以吸气式发动机为动力，在大气层内进行超声速远程飞行的导弹。由于其采用比冲高和推阻比大的冲压发动机，在飞行时直接从大气中吸取氧气，不需要自身携带氧化剂，相比于传统的导弹，吸气式超声速导弹具有结构更轻、航程更远、机动更灵活等优势，成为是未来导弹发展的一个重要方向。

吸气式超声速导弹涉及的关键技术有结构设计、动力学建模、轨迹优化及飞行控制等。其中爬升段轨迹优化设计能够实现飞行的燃料消耗最小化，充分发挥其高空高速巡航的性能优势，进而增强其远程打击能力。由于吸气式超声速导弹飞行包络大，动力学特性复杂，且导弹的飞行状态与推进系统之间存在强烈的耦合。因此，对爬升段轨迹进行精确、稳定和快速的优化设计是能够实现精确打击的重要前提。

轨迹优化是根据设计指标建立飞行力学方程，并选择主要设计变量，构造性能函数，求解最优变量而形成最优飞行轨迹。轨迹优化数值方法，一般分为直接法和间接法。相对与间接法而言，直接法在收敛的鲁棒性和解决实际问题的适应性上具有优势。在飞行器轨迹优化中常用的一种直接法称为hp自适应伪谱法，在计算过程对配点数和阶次进行自适应调整，以满足计算精度的要求。如明超等在宇航学报37卷第09期发表的吸气式超声速导弹爬升段多约束轨迹优化，公开了一种采用hp自适应伪谱法对吸气式超声速导弹爬升段轨迹进行优化设计方法，但当数学模型比较复杂时，hp自适应伪谱法需要增加配点数或网格数来满足高精度和最优性的要求，这也增加了转换之后的约束条件和非线性规划问题的求解规模，计算量增大，导致收敛速度较慢。

发明内容

本发明的目的在于提出了一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，建立了一种可缩减网格规模的改进hp自适应伪谱法，用于解决现有hp自适应伪谱法存在的收敛速度慢的技术问题，从而实现爬升段轨迹的快速优化设计。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，包括如下步骤：

步骤S1、建立吸气式超声速导弹爬升段的飞行动力学模型；

步骤S2、根据吸气式超声速导弹爬升段的飞行动力学模型，选取飞行攻角和燃料质量流量作为双优化变量，以飞行的油耗最小作为性能指标函数，考虑飞行过程约束和飞行轨迹的终端约束，构建最优控制问题；

步骤S3、在hp自适应伪谱法的基础上，建立具有可缩小网格规模的改进hp自适应伪谱法，利用改进hp自适应伪谱法对步骤S2中的最优控制问题进行求解，得到吸气式超声速导弹爬升段飞行的最优轨迹。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：在求解吸气式超声速导弹爬升段轨迹的最优控制问题时，采用构建的改进hp自适应伪谱法，该方法可根据计算精度的要求，当某一离散区间的计算精度不满足要求时，可对网格进行自适应生成和修正，提高解算精度；当网格内的最大误差满足设定精度时，可缩小网格规模，提高计算效率，与现有技术相比，有效提高了收敛速度。

附图说明

图1是本发明方法的实现流程图。

图2是本发明中改进hp自适应伪谱法的流程图。

图3是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—弹道曲线图。

图4是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—速度(马赫数)曲线图。

图5是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—弹道倾角曲线图。

图6是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—质量曲线图。

图7是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—攻角曲线图。

图8是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—燃料质量流量曲线图。

图9是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—余气系数/静压裕度曲线图。

图10是hp自适应伪谱法同本发明方法优化对比结果—法向过载和动压曲线图。

具体实施方式

下面结合具体实施例和附图对本发明作进一步详细说明。

结合图1，本发明一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，步骤如下：

步骤1，建立吸气式超声速导弹的飞行动力学模型：

在导弹初步优化设计阶段，不考虑地球自转的影响，以弹道系为参考系，建立吸气式超声速导弹纵向平面内的飞行动力学模型，具体表达式如下：

式中，V为导弹的飞行速度，θ为弹道倾角，x和y分别为射程和飞行高度，m为导弹质量，P为发动机推力，X和Y分别为阻力和升力，g为重力加速度，飞行攻角α和发动机燃料质量流量m_c。

步骤2，根据吸气式超声速导弹爬升段的飞行动力学模型，选取飞行攻角和燃料质量流量作为双优化变量，以飞行的油耗最小作为性能指标函数，考虑飞行过程约束和飞行轨迹的终端约束，构建最优控制问题，具体如下：

2.1建立状态微分方程约束

将步骤1中建立的吸气式超声速导弹的飞行动力学方程转化为状态微分约束，选取变量V，θ，x，y和m作为状态变量，最优控制问题的状态微分方程约束的表达式为式(1)所示。

2.2建立边界约束

吸气式超声速导弹爬升段的初始状态t₀时为：

V(0)＝V₀，θ(0)＝θ₀，x(0)＝x₀，y(0)＝y₀，m(0)＝m₀ (2)

其中V₀、θ₀、x₀、y₀、m₀分别为导弹飞行速度、弹道倾角、射程、飞行高度和质量的初始值。

为保证吸气式超声速导弹正常巡航飞行，爬升段末端弹道参数应满足一定的约束条件，包括末端飞行高度、飞行速度和弹道倾角约束，即：

V(t_f)≥V_{f min}，θ(t_f)＝θ_f，y(t_f)＝y_f (3)

其中V(t_f)、θ(t_f)、y(t_f)分别为导弹爬升段轨迹的终端速度、终端弹道倾角、终端高度约束。

2.3建立过程约束

考虑吸气式超声速导弹的防热要求，确保气动控制机构不受破坏，动压q必须限定在一定范围内：

q≤q_max (4)

式中，q为动压，q_max为动压的极限值。

为保证导弹结构设计要求，法向过载n_y应满足一定的约束条件：

|n_y|≤n_{y max} (5)

式中，n_y为法向过载，n_{y max}为法向过载的极值。

为充分发挥吸气式冲压发动机的性能，其静压裕度S_m和余气系数α_f的设计约束条件为：

式中，S_m为静压裕度，

分别表示静压裕度的最小值与最大值；α_f为余气系数，α_{f min}、α_{f max}分别为余气系数的最小值与最大值。

2.4建立控制约束

考虑到冲压发动机特性以及进气道攻角限制，吸气式超声速导弹的冲压发动机燃料质量流量m_c和飞行攻角α的约束条件为：

m_{c min}≤m_c≤m_{c max}，α_min≤α≤α_max (7)

式中，m_{c min}、m_{c max}分别为燃料质量流量的最小值与最大值；α_min、α_max分别为飞行攻角的最小值与最大值。

2.5性能指标

对于吸气式超声速导弹爬升段，一个重要的目标就是期望导弹的飞行消耗的燃油最少，更有利于其巡航段飞行。即寻找最优的控制变量飞行攻角α和发动机燃料质量流量m_c，使得最优控制问题的性能指标函数J最大：

式中，t₀为优化初始时间，t_f为优化结束时间，m(t_f)为爬升段结束时刻的质量，m(t₀)为导弹初始质量。

步骤3、在hp自适应伪谱法的基础上，建立具有可缩小网格规模的改进hp自适应伪谱法，利用改进hp自适应伪谱法对步骤S2中的最优控制问题进行求解，得到吸气式超声速导弹爬升段飞行的最优轨迹，具体如下：

在hp自适应伪谱法的基础上，当网格内的最大误差满足设定精度时，以一定的准则自适应降低网格内插值多项式的阶次(配点数)或网格数来缩小网格规模，从而降低转换后非线性规划问题(NLP)问题的求解规模，提高计算效率。参照图2，改进hp自适应伪谱法包括以下步骤：

步骤3.1、初始化网格，并且设定精确误差阈值ε_d，转入步骤3.2；

步骤3.2、利用hp自适应伪谱法将最优控制问题离散，转化为NLP问题，转入步骤3.3；

步骤3.3、采用序列二次规划法对NLP问题进行求解，转入步骤3.4；

步骤3.4、在第k个网格区间内的第s个配点处状态变量一阶微分的残差为

过程约束的残差为

选取上述两个残差中的最大值作为该网格区间的最大误差

为：

式中，i＝1,2,…,m；m为状态变量的个数，j＝1,2,…,n；n为控制变量的个数，s＝1,2,…,N_k；N_k为网格区间内的配点数。

检查每个网格k＝1,2,…,K的网格区间的最大误差

是否满足允许的相对误差ε_d，若全局误差满足精度要求，则优化结束，得到吸气式超声速导弹爬升段飞行的最优轨迹；若全局误差不满足精度要求，则计算网格k∈[1,2,…,K]的最大误差

若

转入步骤3.5；

若

转入步骤3.6；

步骤3.5、增加

网格k的网格规模：

计算该网格内的第i个状态变量近似值

的曲率κ^(k)(τ)为：

设

和

分别为k网格内κ^(k)(τ)的最大值和平均值，引入一个中间量曲率r_k，计算公式如下：

判定网格曲率r_k与r_{k max}＞0(自定义的曲率阈值)的大小：

若r_k＜r_kmax，则增加网格内插值多项式的阶次：

第k个网格内更新后的配点数

为：

式中，

为第k个网格内更新前的配点数，ceil()是向正方向舍入函数，A＞0为自定义的可调因子，控制网格区间内配点数的增长速度。

如果r_k≥r_kmax，则增加网格的数目：

第k个网格内更新后的子区间个数

为：

式中，B为大于零的整数，是一个可调参数，控制网格子区间数的增长速度，转入步骤3.7。

步骤3.6、对于每一个网格，如果

以一定的准则自适应降低网格内插值多项式的阶次或网格数来缩小网格规模：

方式1.减少配点数目

对于每一个网格，如果

则根据如下准则判断是否减小网格配点数：

考虑任意一个网格区间S_k＝[T_k-1,T_k]，且假定该网格区间已满足设定精度ε要求。进一步判断在第S_k区间内是否能够减少状态量的近似多项式的阶次，并且保证与当前多项式的阶次能够获得相同的精度。第S_k个网格区间多项式的阶次能否降低取决于该网格区间内状态量的近似多项式的幂级数展开形式。令第S_k个网格区间的中点μ_k＝(T_k-1+T_k)/2，第S_k个网格区间的一半长度h_k＝(T_k-T_k-1)/2，则第i个状态量近似值

的拉格朗日多项式为：

其中，

是区间[-1,1]内的LG点，且

多项式L_j(s)可以写成如下形式：

其中，系数a_lj仅取决LG点，l表示区间[-1,1]内的LG点序号。则第S_k个网格区间内第i个状态量近似值

的拉格朗日多项式又可表示为：

其中，b_il为系数；

由网格区间中点μ_k和网格区间一半长度h_k的定义可知，对于任意的τ∈S_k，满足：

|τ-μ_k|/h_k≤1 (17)

因此，当去掉公式(16)的最高次

项时，第S_k个网格区间内所有点的最大的绝对误差为

为了获得S_k个网格区间内和自定义精确误差相比较的误差值，有必要对系数b_il进行标准化。对每个状态i∈[1,…,n_y]的系数b_il进行标准化的方式如下：引入系数β_i为：

则相对误差为：b_il/β。

对于每一个i，令i从最高次N_k递减，依次去掉公式(16)的最高幂次项，直到b_il/β_i＞ε_d，此时得到减少以后新的配点数

对于所有的i∈[1,…,n_y]重复上述的过程减少多项式阶次，分别得到减少后的多项式阶次

取

作为第S_k个网格区间的配点数。但是，由于要求至少有一个配点，多项式至少为线性函数，因此多项式最高项次数不能小于1。

方式2.合并相邻区间

对于每两个相邻网格k和k+1，若

则根据如下准则进行判断是否合并相邻网格：

在合并网格之前，网格上的最高次N_k先由上述减少配点数的方式确定。另外，两个相邻的网格区间可以被合并的前提是它们的多项式大致相同。首先，要求相邻网格区间i和S_k+1＝[T_k,T_k+1]的多项式次数相同，即N_k＝N_k+1；其次，对于S_k和S_k+1两个相邻的网格区间，如果较长区间的多项式能被应用至较短的区间内的各个点，并与采用较短的区间拉格朗日多项式在对应点的值相比，若两者的误差e小于状态的精确误差阈值ε_d，即可合并相邻网格S_k和S_k+1。

典型的，在两个相邻区间的连接点T_k处，S_k和S_k+1区间的多项式值相等，且误差最大值出现在端点，T_k-1或者T_k+1(较小区间的端点)。此时，如果最大误差大于ε_d，不应该合并区间；相反地，还需继续判断内整个区间上的误差值与ε_d的关系。为了便于计算，有必要确定较短区间上各个点误差值的上界。

由公式(16)可知，相邻区间S_k和S_k+1的μ_k和h_k不同，因此，使用公式(16)很难计算误差e，而使用两个区间的连接点T_k来表示拉格朗日多项式能更方便计算误差值e，故将拉格朗日基函数写成在+1和-1点上的幂级数的形式：

另外，在S_k区间上，将公式(19)代入式(14)，在S_k+1区间上，将公式(20)代入公式(14)，则第i个状态变量在S_k区间和S_k+1区间上的状态近似值分别为：

其中，

和

均表示系数。

为了将公式(20)和公式(22)进行合并，需要将两个方程中的h_k和h_k+1统一，故取

则第i个状态变量在S_k区间和S_k+1区间上的状态近似值可分别写成：

此时由于幂数项都相等，故两个多项式的差(较短区间上的误差e)可以写为：

因为对于小区间上的任意τ值有

故由三角不等式可得：

其中

为相邻区间S_k和S_k+1中较短的区间。

公式(26)给出了整个小区间上误差的上界，为了获得和用户自定义误差比较的误差值，有必要引入β_i来标准化

和

其中，β_i已在公式(18)给出定义，则相对误差为：

对于任意的第i个状态变量，i＝1,…,n_y，若满足：

则两个相邻的网格区间S_k和S_k+1就可以合并成一个区间；如果存在任意一个i使得公式(28)不成立，两个相邻的网格区间就不能合并成一个区间，转入步骤3.7。

步骤3.7、待所有网格参数更新后，返回步骤3.3，进行下一次迭代。

实施例1

以下结合仿真实施例对本发明方法的技术效果进行验证：

爬升段轨迹优化的状态变量的初始条件设定为：Ma₀＝2.6，θ₀＝0°，y₀＝15km，x₀＝0km,m₀＝500kg；飞行轨迹终端约束条件为：Ma_f≥3.0，θ_f＝0°，y_f＝20km，m_f≥420kg；控制变量的约束条件为：0.2kg/s≤m_c≤1.2kg，-2°≤α≤12°；过程约束条件分别为：|n_y|≤10，q≤100kPa。其中，Ma₀和Ma_f分别为起始马赫数和终端马赫数。

本发明方法与现有hp自适应伪谱法对吸气式超声速导弹爬升段轨迹优化仿真是在台式计算机上进行，CPU为2.50GHz/Intel Core i5，内存为2.0GB，编程环境为MATLABR2011a。两种算法的优化对比结果，其中t_c，C_pt，I_T和J分别表示优化计算时间、优化结束时的配点个数、迭代次数和性能指标值如表1所示。两种算法的对比仿真结果如图3～图10所示。

表1不同方法的优化对比结果

从表1可以看出：在目标函数方面，两种方法的油耗几乎没有差别，相比于hp自适应伪谱法，其目标函数J较小，即油耗多消耗0.43kg，但其优化所需的配点总数C_pt和迭代次数I_T均远小于hp自适应伪谱法，且配点数的降低有助于减小离散后NLP的规模，优化计算所需的时间由hp自适应伪谱法的8.4856s缩短为0.5274s，显著提高了优化的求解效率。由图3-图10所示的仿真结果可以看出，两种算法的优化结果差别不大，均满足设计约束，但相比于hp自适应伪谱法，本发明方法在优化时间上具有明显优势，更适合在线求解多约束条件下轨迹优化问题，具备实时应用的潜力，可为吸气式超声速导弹的在线实时制导提供技术基础。

Claims (5)

1.一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤S1、建立吸气式超声速导弹爬升段的飞行动力学模型；

步骤S2、根据吸气式超声速导弹爬升段的飞行动力学模型，选取飞行攻角和燃料质量流量作为双优化变量，以飞行的油耗最小作为性能指标函数，考虑飞行过程约束和飞行轨迹的终端约束，构建最优控制问题；

步骤S3、在hp自适应伪谱法的基础上，建立具有可缩小网格规模的改进hp自适应伪谱法，利用改进hp自适应伪谱法对步骤S2中的最优控制问题进行求解，得到吸气式超声速导弹爬升段飞行的最优轨迹；

所述步骤S3中具有可缩小网格规模的改进hp自适应伪谱法，具体如下：

在hp自适应伪谱法的基础上，当网格内的最大误差满足设定精度时，以一定的准则自适应降低网格内插值多项式的阶次或网格数来缩小网格规模，从而降低转换后NLP问题的求解规模，提高计算效率；对于最优控制问题的离散化及网格更新算法中的逼近误差评估准则与hp自适应伪谱法的处理方式一致，改进hp自适应伪谱法的减小网格规模的自适应算法如下：

方式1.减少配点数目

考虑任意一个网格区间S_k＝[T_k-1,T_k]，且假定该网格区间已满足设定精度ε要求，进一步判断在第S_k区间内是否能够减少状态量的近似多项式的阶次，并且保证与当前多项式的阶次能够获得相同的精度；

方式2.合并相邻区间

首先，要求相邻网格区间S_k＝[T_k-1,T_k]中的多项式次数N_k和区间S_k+1＝[T_k,T_k+1]中的多项式次数N_k+1相同，即N_k＝N_k+1；其次，对于S_k和S_k+1两个相邻的网格区间，如果较长区间的多项式能被应用至较短的区间内的各个点，并与采用较短的区间拉格朗日多项式在对应点的值相比，若两者的误差e小于状态的精确误差阈值ε_d，即合并相邻网格S_k和S_k+1，即两个网格区间能合并的条件有3个：1)两个网格区间必须相邻；2)两个网格区间的相对误差均不大于ε_d；3)两个网格合并后的大网格相对误差也不大于ε_d。

2.根据权利要求1所述的一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，其特征在于，所述步骤S1中吸气式超声速导弹的飞行动力学模型为：

式中，V为导弹的飞行速度，θ为弹道倾角，x为射程，y为飞行高度，m为导弹质量，P为发动机推力，X为阻力，Y为升力，g为重力加速度，α为飞行攻角，m_c为发动机燃料质量流量，t为导弹飞行时间。

3.根据权利要求1所述的一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，其特征在于，所述步骤S2中构建的最优控制问题，具体如下：

寻找最优的控制变量，即飞行攻角α和发动机燃料质量流量m_c，使得性能指标J最大

式中，t₀为优化初始时间，t_f为优化结束时间，m(t_f)为爬升段结束时刻的质量，m(t₀)为导弹初始质量；

为了满足微分状态方程约束，状态变量取公式(1)中的导弹的飞行速度V、弹道倾角θ、射程x、飞行高度y以及导弹质量m；

同时为了满足边界条件约束，

其中，初始状态t₀时为：

v(0)＝v₀，θ(0)＝θ₀，x(0)＝x₀，y(0)＝y₀，m(0)＝m₀

飞行终端t_f时刻参数约束条件为：

V(t_f)≥V_fmin，θ(t_f)＝θ_f，y(t_f)＝y_f

以及过程约束条件：

动压约束：

q≤q_max

式中，q为动压，q_max为动压的极限值；

法向过载约束：

|n_y|≤n_ymax

式中，n_y为法向过载，n_ymax为法向过载的极值；

静压裕度

式中，S_m为静压裕度，

分别表示静压裕度的最小值与最大值；

余气系数

式中，α_f为余气系数，

分别为余气系数的最小值与最大值；

以及控制量约束条件

m_{c min}≤m_c≤m_{c max}，α_min≤α≤α_max

式中，m_{c min}、m_{c max}分别为燃料质量流量的最小值与最大值；α_min、α_max分别为飞行攻角的最小值与最大值。

4.根据权利要求3所述的一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，其特征在于：为充分发挥吸气式冲压发动机的性能，在过程约束中对静压裕度和余气系数进行约束，且

5.根据权利要求1所述的一种吸气式超声速导弹轨迹优化设计方法，其特征在于，所述步骤S3中最优控制问题进行求解的过程如下：

通过变量替换将时间区域转化为[-1,+1]，选取K个LG点和点τ＝-1为节点，采用全局插值多项式近似状态变量和控制变量，通过对插值多项式进行求导得到微分矩阵，利用微分矩阵将微分方程转换为代数约束，从而将最优控制问题转化为NLP问题，通过提出的改进hp自适应伪谱法进行求解。

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