CN111190247A - 一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法及波带片 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三元素Thue‑Morse非周期序列波带片的构造方法及波带片，属于光电技术领域，解决了现有技术中多色性差、图像的色差大的问题。一种基于三元素Thue‑Morse非周期序列波带片的构造方法，包括以下步骤：以G₀＝A作为初始序列元素，以A→AB作为替换方式，得到G₁，在G₁的基础上以A→AB、B→BC作为替换方式，得到G₂，在G₂的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为替换方式，得到G₃，在G_n‑1的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为替换方式，得到G_n，n≥4；将第i级三元素Thue‑Morse序列的元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，构造出相应的波带片。构造出的波带片产生的一系列焦点具有较好的多色性，且成像能更好地减少图像的色差。

Description

一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法及 波带片

技术领域

本发明涉及光电技术领域，尤其是涉及一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法及波带片。

背景技术

传统的波带片，即菲涅耳波带片(FZPs)，由一系列具有不透明或透明区域的同心圆环交替组成。这种波带片被广泛应用于宽带极紫外、X射线成像、天文学、太赫兹光学和光学捕获。然而，菲涅耳波带片(FZPs)具有高色差的局限性。如今，分形光学已经很成熟，并对分形光学场进行了分析。基于这个动机，Furlan等人最近提出了一种新的光子结构，即分形波带片(FrZPs)，Davis等在液晶显示器上实现了实验。尽管用分形康托尔集生成的分形波带片(FrZPs)沿光轴具有多个焦点，并且可以降低白光照明下的色差，但FrZPs产生不同强度的聚焦。

自Shechtman发现准晶体以来，对准周期和非周期系统的结构和物理特性的研究就引起了人们的极大关注。特别是，对准周期多层膜的光传输进行了广泛的分析。近年来，不同的非周期序列也被用来设计成具有有趣物理性质和许多潜在应用的新型波带片。Fibonacci波带片(FiZPs)和Thue-Morse波带片(TMZPs)都具有沿光轴的双焦点，并且在光学成像和光学捕获中有潜在的应用。然而，由于双焦不是自相似的，因此在宽带光照下，FiZPs的焦距很容易受到影响。相反，TMZPs具有与对称轴对称的两个自相似焦点。TMZPs结合了FZPs和FiZPs的优点，降低了色差。然而，TMZPs的轴向聚焦强度和分辨率相对较低，限制了其在光学成像领域的应用。我们最近提出了一个新的衍射透镜系列，复合Thue-Morse波带片(CTMZPs),由多阶TMZPs组成。与TMZPs相比，CTMZPs在轴向强度和成像分辨率方面具有较高的性能。此外，还提出了一种沿光轴方向产生四个等强度焦点的Canto-Thue-Morse波带片(CaTMZPs)。CaTMZPs的四个焦距位于所需的轴向位置，焦点处的能量效率随焦距的增大而增大。

作为TM序列的有趣扩展，Tong提出了三分量Thue-Morse(3CTM)模型，并发现电子能谱具有自相似性。本文引入了一类与TMZPs相似的新的ZPs，并增加了ZP的种类。提出的ZP是用3CTM序列生成的。我们将这种ZPs称为三组分Thue-Morse波带片(3CTMZPs)。对3CTMZPs的聚焦特性和衍射图样进行了理论和实验研究。我们将比较3CTMZPs与相应的具有相同分辨率的FZP和TMZP的轴向强度分布。此外，发现3CTMZP光束还具有自重构特性，在低像差成像和三维光捕获方面有着潜在的应用前景。

发明内容

本发明的目的在于至少克服上述一种技术不足，提出一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法及波带片。

一方面，本发明提供了一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法，包括以下步骤：

以G₀＝A作为初始序列元素，以A→AB作为序列元素的替换方式，得到的第1级三元素Thue-Morse序列G₁＝AB，在G₁的基础上以A→AB、B→BC作为序列元素的替换方式，得到第2级三元素Thue-Morse序列G₂＝ABBC，在G₂的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第3级三元素Thue-Morse序列G₃＝ABBCBCCA，

在G_n-1的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第n级三元素Thue-Morse二值序列G_n，所述n≥4；

将第i级三元素Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的环带对光是不透明的，i≥1。

进一步地，所述将第i级三元素Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，具体包括，

以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x,y)，计算其与圆心的距离

再将r与波带片最外环半径a的平方之比，即r的平方的归一化值记为ζ,ζ＝(ra)²,ζ∈[0,1]，

将ζ代入透过率函数

中，计算透过率函数q(ζ)的值，其中，t_i,j为传输值，由第i级三元素Thue-Morse二值序列中的第j个字母的类别确定，当字母对应为“A”时，t_i,j等于1，当对应字母为“B”时，t_i,j等于0，当字母对应为“C”时，t_i,j等于1或0，第j级的波带片在一维方向被分为M个部分，每一个部分的长度为d_s＝1/M，rect[·]为矩形函数，

根据所述透过率函数q(ζ)，将第i级三元素Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带。

进一步地，所述基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法还包括，将各级三元素Thue-Morse序列中的序列元素A、B、C分别用1、0、1或者1、0、0替代，形成新的三元素Thue-Morse二值序列，根据所述新的三元素Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片，此时，t_i,j由第i级三元素Thue-Morse二值序列中的第j个数字确定，当数字对应为“1”时，t_i,j等于1，当对应数字为“0”时，t_i,j等于0。

进一步地，所述基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法还包括，将所述波带片的透光环带处的位相设置为π，不透光环带的位相设置为0。

另一方面，本发明还提供了一种基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片，所述波带片利用权利要求1-3任一所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法所构造。

进一步地，所述波带片的透光环带处的位相为，不透光环带的位相为0。

与现有技术相比，本发明的有益效果包括：通过以G₀＝A作为初始序列元素，以A→AB作为序列元素的替换方式，得到的第1级三元素Thue-Morse序列G₁＝AB，在G₁的基础上以A→AB、B→BC作为序列元素的替换方式，得到第2级三元素Thue-Morse序列G₂＝ABBC，在G₂的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第3级三元素Thue-Morse序列G₃＝ABBCBCCA，

在G_n-1的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第n级三元素Thue-Morse二值序列G_n，所述n≥4；

将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，i≥1；

使用上述方案构造出的波带片，与同等级次的菲涅尔波带片、Thue-Morse波带片相比，其产生的一系列焦点具有较好的多色性，且成像能更好地减少图像的色差。

附图说明

图1为为本发明实施例1所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法的流程示意图；

图2(a)–(c)分别为本发明实施例1所述的基于第3级三元素Thue-Morse非周期二值序列构造成的波带片、Thue-Morse波带片与菲涅尔波带片；

图3(a)-(c)分别为本发明实施例2所述的第5、6、7级菲涅尔波带片轴向归一化强度与坐标u之间的关系；

图3(d)-(f)分别为本发明实施例2所述的第5、6、7级Thue-Morse非周期序列波带片轴向归一化强度与坐标u之间的关系；

图3(g)-(i)分别为本发明实施例2所述的第5、6、7级三元素Thue-Morse非周期序列波带片轴向归一化强度与坐标u之间的关系。

图4(a)为本发明实施例2所述的第6级三元素Thue-Morse非周期序列波带片在轴向衍射强度分布；

图4(b)-(e)分别为本发明实施例2所述的Thue-Morse非周期序列波带片轴向z＝0.4782m,0.6413m,0.4673m,和0.6649m位置处的横截面强度分布；

图4(f)-(i)分别为本发明实施例2所述的Thue-Morse非周期序列波带片轴向z＝0.4782m,0.6413m,0.4673m和0.6649m位置处的横截面强度图。

图5(a)、(d)、(g)分别为本发明实施例2所述的在不同波长照射下不同波带片的焦点重叠示意图；

图5(b)、(e)、(h)分别为本发明实施例2所述的不同波带片在相同级次情况下的轴向照度；

图5(c)、(f)、(i)分别为本发明实施例2所述的不同波带片的轴向坐标。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

本发明的实施例提供了一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法，所述构造方法流程示意图，如图1所示，包括以下步骤：

以G₀＝A作为初始序列元素，以A→AB作为序列元素的替换方式，得到的第1级三元素Thue-Morse序列G₁＝AB，在G₁的基础上以A→AB、B→BC作为序列元素的替换方式，得到第2级三元素Thue-Morse序列G₂＝ABBC，在G₂的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第3级三元素Thue-Morse序列G₃＝ABBCBCCA，在G_n-1的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第n级三元素Thue-Morse序列G_n，所述n≥4；

将第i级三元素Thue-Morse序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的环带对光是不透明的，序列元素中的字母C表示相应环带对光是透明的或者不透明的，i≥1。

需要说明的是，上述“→”是指“替换成”，按照上述替换方式具体可以求出G₄、G₅等，

G₄＝ABBCBCCABCCACAAB

G₅＝ABBCBCCABCCACAABBCCACAABCAABABBC

图2(a)为基于第3级三元素Thue-Morse非周期二值序列构造成的波带片(A＝1,B＝0,C＝1)，图2(b)-(c)分别是与(a)所示波带片具有相同分辨率的Thue-Morse波带片与菲涅尔波带片。

进一步地，所述将第i级三元素Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，具体包括，

以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x,y)，计算其与圆心的距离

再将r与波带片最外环半径a的平方之比，即r的平方的归一化值记为ζ,ζ＝(ra)²,ζ∈[0,1]，

将ζ代入透过率函数

中，计算透过率函数q(ζ)的值，其中，t_i,j为传输值，由第i级三元素Thue-Morse序列中的第j个字母的类别确定，当字母对应为“A”时，t_i,j等于1，当对应字母为“B”时，t_i,j等于0，当字母对应为“C”时，t_i,j等于1或0，第j级的波带片在一维方向被分为M个部分，每一个部分的长度为d_s＝1/M，rect[·]为矩形函数，

根据所述透过率函数q(ζ)，将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带。

需要说明的是，所述波带片最外环半径a根据实际需要来确定；可以通过q(ζ)的值来确定环带将设置为透明或者不透明，如果q(ζ)＝1，则相应位置处是透明的环带，如果q(ζ)＝0，则相应位置处是不透明的环带。

进一步地，所述基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法还包括，将各级三元素Thue-Morse二值序列中的序列元素A、B、C分别用1、0、1或者1、0、0替代，形成新的三元素Thue-Morse二值序列，根据所述新的三元素Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片，此时，t_i,j由第i级三元素Thue-Morse二值序列中的第j个数字确定，当数字对应为“1”时，t_i,j等于1，当对应数字为“0”时，t_i,j等于0。

作为举例，三元素Thue-Morse序列中的元素A、B、C分别变为1、0、1时，前5级Thue-Morse二值序列如下，

G₀＝1

G₁＝10

G₂＝1001

G₃＝10010111

G₄＝1001011101111110

G₅＝10010111011111100111111011101001

当三元素Thue-Morse序列中的元素A、B、C分别为1、0、0时，前五级三元素非周期性二值序列如下，其他级次以此类推。

G₀＝1

G₁＝10

G₂＝1000

G₃＝10000001

G₄＝1000000100010110

G₅＝10000001000101100001011001101000

在根据所述新的三元素Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片时，t_i,j与第i级三元素Thue-Morse二值序列中的第j个数字有关，当数字对应为“1”时，t_i,j等于1，当对应字母为“0”时，t_i,j等于0。

进一步地，将所述波带片的透光环带处的位相设置为π，不透光环带的位相设置为0。考虑到位相型的全息片具有较高的衍射效率，因此，将振幅型波带片的透光环带处的位相设置为π，不透光环带的位相设置为0。

实施例2

本发明实施例提供一种基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片，其利用实施例1中任一实施例所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法所构造。

进一步地，所述波带片的透光环带处的位相为π，不透光环带的位相为0。

一种具体实施例中，基于第5级三元素((A＝1,B＝0,C＝1))Thue-Morse二值非周期序列的波带片，相应波带片结构如图2(a)所示，为了突出该类型波带片结构的特殊性，同时展示了相同级次的Thue-Morse波带片与菲涅尔波带片，如图2(b)、(c)所示，三幅波带片结构图对比，我们可以看出基于三元素Thue-Morse二值非周期序列所构造的波带片透光率高，相应的轴向焦点强度大。

为了对比相同级次的三元素Thue-Morse波带片、Thue-Morse波带片、菲涅尔波带片的轴向强度分布特性，本发明以基于第5、6、7级三元素(A＝1,B＝0,C＝1)Thue-Morse非周期二值序列所构造的波带片为例进行说明；利用菲涅尔近似公式我们很容易得到所述基于第3级、第4级、第5级三元素((A＝1,B＝0,C＝1))Thue-Morse二值序列的波带片的轴向强度分布，如图3(g)-(i)所示；图(d)-(f)分别展示了相同级次的Thue-Morse波带片的轴向强度分布图，图3(a)-(c)展示了相应级次的菲涅尔波带片的轴向强度分布图；对比同一级次下的三元素((A＝1,B＝0,C＝1))Thue-Morse波带片、Thue-Morse波带片、菲涅尔波带片，很容易可以看出本发明所提出的基于Thue-Morse非周期序列的波带片(A＝1,B＝0,C＝1)具有更多的焦点。作为举例，图4(a)本发明实施例所述的第6级Thue-Morse非周期序列波带片在轴向衍射强度分布；图4(b)-(e)为模拟得到的4(a)所述三元素Thue-Morse非周期序列波带片轴向z＝0.4782m,0.6413m,0.4673m,and 0.6649m位置处的横截面强度分布；图4(f)-(i)为实验所记录的4(a)所述三元素Thue-Morse非周期序列波带片轴向z＝0.4782m,0.6413m,0.4673m,and 0.6649m位置处的横截面强度图；

由于本发明实施例所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片，具有较多对称性的焦点，现分析该类形波带片的多波长成像性能；

图5(a)、(d)、(g)为在不同波长照射下不同波带片的焦点重叠示意图；图5(b)、(e)、(h)分别为不同波带片在相同级次情况下的轴向照度；图5(c)、(f)、(i)分别为不同波带片的轴向坐标。

以第6级基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片(A＝1,B＝0,C＝1)的波带片为例，并采用三种不同波长(λ＝450nm,550nm和650nm)进行多波长成像分析；如图5(g)所示，在不同波长(λ＝450nm,550nm和650nm)照射下该波带片主焦点周围的多个次焦点之间存在重叠(在相同情况下，相同级次的菲涅尔波带片、Thue-Morse波带片重叠部分较小，分别如图5(a)与(d)所示)；在重叠位置处该类形波带片成像的色差相对于传统的菲涅耳波带片、Thue-Morse波带片较低；

图5(h)、5(e)与5(b)分别显示了该三元素Thue-Morse波带片、Thue-Morse波带片与相同级次的菲涅尔波带片的轴向照度；图5(h)、5(e)与5(b)中的空心圆表示波带片的主焦点位置，三角形和正方形代表照度降低至其最大值的90％时对应的轴向位置；图5(c)、5(f)与5(i)中，圆圈、三角形和正方形表示图5(b)、5(e)与5(h)中所示的相应部分对应的轴向坐标；图像的色度值越接近白色光源点C，图像的色差越小；对比图5(c)、5(f)与5(i)表明，三元素Thue-Morse波带片的焦点的色度坐标比相同级次的菲涅尔波带片、Thue-Morse波带片的主焦点更接近C点，因此，三元素Thue-Morse波带片相比传统的菲涅尔波带片、Thue-Morse波带片具有较小的成像像差。

需要说明的是，上述实施例1和实施例2未重复描述之处可互相借鉴。

本发明提供了一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法及波带片，通过以G₀＝A作为初始序列元素，以A→AB作为序列元素的替换方式，得到的第1级三元素Thue-Morse序列G₁＝AB，在G₁的基础上以A→AB、B→BC作为序列元素的替换方式，得到第2级三元素Thue-Morse序列G₂＝ABBC，在G₂的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第3级三元素Thue-Morse二值序列G₃＝ABBCBCCA，

在G_n-1的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第n级三元素Thue-Morse序列G_n，所述n≥4；

所述基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法还包括，将各级三元素Thue-Morse序列中的序列元素A、B、C分别用1、0、1或者1、0、0替代，形成新的三元素Thue-Morse二值序列，

将第i级三元素Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，i≥1；

使用上述方案构造出的波带片，与同等级次的菲涅尔波带片、Thue-Morse相比，该类型波带片可对入射光束在光轴方向产生一系列聚焦焦点，其产生的一系列焦点具有好的多色性，且成像能更好地减少图像的色差；

此外，所述波带片由透明环带和不透明环带按照三元素Thue-Morse二值非周期序列排列规则交替组成，所述波带片沿轴向对称性地具有多个强度相等的焦点；所述波带片具有聚焦特性和多波长低相差成像特性。

以上所述本发明的具体实施方式，并不构成对本发明保护范围的限定。任何根据本发明的技术构思所做出的各种其他相应的改变与变形，均应包含在本发明权利要求的保护范围内。

Claims (6)

1.一种基于三元素Thue-Morse非周期序列波带片的构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

以G₀＝A作为初始序列元素，以A→AB作为序列元素的替换方式，得到的第1级三元素Thue-Morse序列G₁＝AB，在G₁的基础上以A→AB、B→BC作为序列元素的替换方式，得到第2级三元素Thue-Morse序列G₂＝ABBC，在G₂的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第3级三元素Thue-Morse序列G₃＝ABBCBCCA，

在G_n-1的基础上以A→AB、B→BC、C→CA作为序列元素的替换方式，得到第n级三元素Thue-Morse序列G_n，所述n≥4；

将第i级Thue-Morse序列的元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的环带对光是不透明的，序列元素中的字母C表示相应环带对光是透明的或者不透明的，i≥1。

2.根据权利要求1所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法，其特征在于，所述将第i级三元素Thue-Morse序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，具体包括，

以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x,y)，计算其与圆心的距离

再将r与波带片最外环半径a的平方之比，即r的平方的归一化值记为ζ,ζ＝(ra)²,ζ∈[0,1]，将ζ代入透过率函数

中，计算透过率函数q(ζ)的值，其中，t_i,j为传输值，由第i级三元素Thue-Morse序列中的第j个字母的类别确定，当字母对应为“A”时，t_i,j等于1，当对应字母为“B”时，t_i,j等于0，当字母对应为“C”时，t_i,j等于1或0，第j级的波带片在一维方向被分为M个部分，每一个部分的长度为d_s＝1M，rect[·]为矩形函数，

根据所述透过率函数q(ζ)，将第i级三元素Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带。

3.根据权利要求2所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法，其特征在于，还包括，将各级三元素Thue-Morse二值序列中的序列元素A、B、C分别用1、0、1或者1、0、0替代，形成新的三元素Thue-Morse二值序列，根据所述新的三元素Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片，此时，t_i,j由第i级三元素Thue-Morse二值序列中的第j个数字确定，当数字对应为“1”时，t_i,j等于1，当对应数字为“0”时，t_i,j等于0。

4.根据权利要求1-3任一所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法，其特征在于，还包括，将所述波带片的透光环带处的位相设置为π，不透光环带的位相设置为0。

5.一种基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片，其特征在于，利用权利要求1-3任一所述的基于三元素三元素Thue-Morse非周期序列的波带片的构造方法所构造。

6.根据权利要求5所述的基于三元素Thue-Morse非周期序列的波带片，其特征在于，所述波带片的透光环带处的位相为π，不透光环带的位相为0。

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