CN110967784A - 一种广义Thue-Morse波带片的构造方法及波带片 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种广义Thue‑Morse波带片的构造方法及波带片，属于光电技术领域，解决了宽光谱照明下成像像差、轴向焦点强度遇障碍物之后自恢复性能较差的问题。一种广义Thue‑Morse波带片的构造方法，包括以下步骤：以S₀＝A作为初始序列元素，以A→AⁿB^m作为序列元素的替代方式，S₁＝AⁿB^m，在S₁的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到S₂＝(AⁿB^m)ⁿ(B^mAⁿ)^m，n、m均为正整数，S_n‑1的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到S_n，所述n≥3将第i级Thue‑Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，i≥1。构造出的波带片具有较小的成像像差和较好自恢复性能。

Description

一种广义Thue-Morse波带片的构造方法及波带片

技术领域

本发明涉及光电技术领域，尤其是涉及一种广义Thue-Morse波带片的构造方法及波带片。

背景技术

在光子学技术中衍射光学元件相对于几何光学元件(如：折射棱镜，棱锥等)显 得更加灵活。除此以外，衍射光学元件还可以解决传统几何光学元件不能解决的难题。 由透明和不透明的环带交替构成的菲涅尔波带片在轴向产生一个主焦点，这种波带片在 许多科研领域有着非常重要的应用，如太赫兹断层成像、软X射线显微技术、光刻技 术、光学数据读写技术、光镊技术等；尽管这种传统的波带片仍然被广泛应用，但是该 类型波带片具有一定的局限性，例如，该波带片沿轴向具有单一的主焦点以及相对较大 的像差。近年来，许多非周期性的数学序列被用来设计具有特殊衍射特性的新型波带片， 例如，分形波带片(Fractal ZonePlates),Fibonacci波带片以及Thue-Morse波带片等。

尽管基于分形康托尔集设计产生的分形波带片沿轴向具有多个焦点并且能够减小 白光照明下的像差，但是该类波带片沿轴向的焦点具有不同的光强，这种特性使得该类型波带片在光镊技术应用领域存在一定的局限性。

基于非周期性的斐波那契数学序列设计产生的斐波那契波带片沿轴向具有两个强 度相等的主焦点，但是这两个主焦点不具有自相似特性且每个主焦点附近不存在次焦点，该类波带片在宽带照明以及三维光镊技术应用领域存在局限；除此以外，基于 Thue-Morse数学序列设计产生的非周期性波带片沿轴向不仅具有两个自相似的主焦点 而且每个焦点的焦深较大，另外，在每个主焦点附近均有对称分布的次焦点，Thue-Morse 波带片具有分形波带片与斐波那契波带片的共同优点，该类型波带片不仅可以用来减小 成像像差而且可以应用到光镊技术领域；但是Thue-Morse波带片轴向主焦点强度相对 较小，对微粒的稳定捕获存在一定影响；考虑到宽带照明下的成像像差，在光学微操作 领域稳定捕获微粒，具有较好自恢复性能，有必要设计一种沿轴向具有多个强度大且相 等的主焦点以及多个次焦点的波带片。

发明内容

本发明的目的在于至少克服上述一种技术不足，提出一种广义Thue-Morse波带片的构造方法及波带片。

一方面，本发明提供了广义Thue-Morse波带片的构造方法，包括以下步骤：

以S₀＝A作为初始序列元素，以A→AⁿB^m作为序列元素的替代方式，得到第1级广义Thue-Morse二值序列S₁＝AⁿB^m，在S₁的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的 替换方式，得到第2级广义Thue-Morse二值序列S₂＝(AⁿB^m)ⁿ(B^mAⁿ)^m，n、m均为正整 数，

在第n-1级广义Thue-Morse二值序列S_n-1的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列 元素的替换方式，得到第n级广义Thue-Morse二值序列S_n，所述n≥3；

将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆 面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的 环带对光是不透明的，i≥1。

进一步地，所述将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，具体包括，

以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x,y)，计算其与圆心的距离

再将r与波带片最外环半径a的平方之 比，即r的平方的归一化值记为ζ,ζ＝(r/a)²,ζ∈[0,1]，

将ζ代入透过率函数

中，计算透过率函数q(ζ)的值，其中，t_i,j为传输值，由第i级广义Thue-Morse二值序列 中的第j个字母的类别确定，当字母对应为“A”时，t_i,j等于1，当对应字母为“B”时，t_i,j等于0，第j级的波带片在一维方向被分为M个部分，每一个部分的长度为d_s＝1/M，M 为整数，rect[·]为矩形函数，

根据所述透过率函数q(ζ)，将i级广义Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次 投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带。

进一步地，所述广义Thue-Morse波带片的构造方法，还包括，将各级广义Thue-Morse 二值序列中的序列元素A、B分别用1、0替代，形成新的Thue-Morse二值序列，根据 所述新的Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片，此时，t_i,j由 第i级Thue-Morse二值序列中的第j个数字确定，当数字对应为“1”时，t_i,j等于1，当对 应数字为“0”时，t_i,j等于0。

进一步地，所述广义Thue-Morse波带片的构造方法，还包括，将所述波带片的透光环带处的位相设置为，不透光环带的位相设置为0。

另一方面，本发明还提供了一种广义Thue-Morse波带片，利用上述任一技术方案所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法所构造。

优选的，所述波带片的透光环带处的位相为，不透光环带的位相为0。

与现有技术相比，本发明的有益效果包括：通过以S₀＝A作为初始序列元素，以 A→AⁿB^m作为序列元素的替代方式，得到第1级广义Thue-Morse二值序列S₁＝AⁿB^m，在S₁的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到第2级广义Thue-Morse 二值序列S₂＝(AⁿB^m)ⁿ(B^mAⁿ)^m，n、m均为正整数；在第n-1级广义Thue-Morse二值序列S_n-1的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到第n级广义Thue-Morse 二值序列S_n，所述n≥3；将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投 射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出 相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中 的字母B表示相应的环带对光是不透明的，i≥1；构造出的波带片具有较小的成像像差 和较好自恢复性能。

附图说明

图1为本发明实施例1所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法的流程示意图；

图2(a)为本发明实施例2所述的广义Thue-Morse波带片；

图2(b)为本发明实施例2所述的与2(a)具有相同分辨率的菲涅尔波带片；

图3(a)-(c)分别为本发明实施例2所述的第1、2、3级菲涅尔波带片轴向归一化强度与坐标u之间的关系；

图3(d)-(f)分别为本发明实施例2所述的第1，2，3级广义Thue-Morse波带片轴向归一化强度与坐标u之间的关系；

图4(a)-(c)分别为本发明实施例2所述的广义Thue-Morse波带片在n＝1、m＝1，n＝1、 m＝2及n＝1、m＝3时第3级轴向衍射图案；

图5(a)-(c)分别为本发明实施例2所述的广义Thue-Morse波带片在z＝0.2795m，z＝0.3056m、z＝0.3248m时轴向距离的横向强度分布；

图5(d)-(f)分别为本发明实施例2所述的广义Thue-Morse波带片在放置障碍物后轴 向距离z＝0.2795m、z＝0.3056m和z＝0.3248m处的轴截面强度分布；

图6(a)、(d)分别为本发明实施例2所述的同一级次(s＝4)的菲涅尔波带片与GTM波 带片的轴向辐照度曲线；

图6(b)、(e分别为本发明实施例2所述的色差展示图；

图6(c)、(f)分别为本发明实施例2所述的色差曲线图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

本发明的实施例提供了一种广义Thue-Morse波带片的构造方法，包括以下步骤：

以S₀＝A作为初始序列元素，以A→AⁿB^m作为序列元素的替代方式，得到第1级广义Thue-Morse二值序列S₁＝AⁿB^m，在S₁的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的 替换方式，得到第2级广义Thue-Morse二值序列S₂＝(AⁿB^m)ⁿ(B^mAⁿ)^m，n、m均为正整 数，

在第n-1级广义Thue-Morse二值序列S_n-1的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列 元素的替换方式，得到第n级广义Thue-Morse二值序列S_n，所述n≥3；

将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆 面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的 环带对光是不透明的，i≥1。

一个具体实施例中，取n＝1，m＝1；n＝1，m＝2；n＝1，m＝3时，对广义Thue-Morse二值序列为进行说明，当n＝1，m＝1时，序列的的替代规则变更为A→AB,B→BA,对应的 序列为普通的Thue-Morse序列，对应的前三级Thue-Morse二值序列如下，

S₀＝A

S₁＝AB

S₂＝ABBA

S₃＝ABBABAAB

当n＝1，m＝2时，序列的的替代规则变更为A→AB²,B→B²A，对应的前三级广义Thue-Morse二值序列如下：

S₀＝A

S₁＝ABB

S₂＝ABBBBABBA

S₃＝ABBBBABBABBABBAABBBBABBAABB

当n＝1，m＝3时，序列的的替代规则变更为A→AB³,B→B³A,对应的前三级 Thue-Morse序列如下，

S₀＝A

S₁＝ABBB

S₂＝ABBBBBBABBBABBBA

S₃＝ABBBBBBABBBABBBABBBABBBABBBAABBBBBBABBBABBBAABBBBBBABBBABBBAABBB

优选的，所述将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，具体包括，

以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x,y)，计算其与圆心的距离

再将r与波带片最外环半径a的平方之 比，即r的平方的归一化值记为ζ,ζ＝(r/a)²,ζ∈[0,1]，

将ζ代入透过率函数

中，计算透过率函数q(ζ)的值，其中，t_i,j为传输值，由第i级广义Thue-Morse二值序列 中的第j个字母的类别确定，当字母对应为“A”时，t_i,j等于1，当对应字母为“B”时，t_i,j等于0，第j级的波带片在一维方向被分为M个部分，每一个部分的长度为d_s＝1/M，M 为整数，rect[·]为矩形函数，

根据所述透过率函数q(ζ)，将i级广义Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次 投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带。

需要说明的是，所述波带片最外环半径a根据实际需要来确定；可以通过q(ζ)的值来确定环带将设置为透明或者不透明，如果q(ζ)＝1，则相应位置处是透明的环带，如果 q(ζ)＝0，则相应位置处是不透明的环带。

优选的，所述广义Thue-Morse波带片的构造方法还包括，将各级广义Thue-Morse二值序列中的序列元素A、B分别用1、0替代，形成新的广义Thue-Morse二值序列， 根据所述新的广义Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片，此时， t_i,j由第i级广义Thue-Morse二值序列中的第j个数字确定，当数字对应为“1”时，t_i,j等于 1，当对应数字为“0”时，t_i,j等于0。

优选的，所述广义Thue-Morse波带片的构造方法还包括，将所述波带片的透光环带处的位相设置为π，不透光环带的位相设置为0。

实施例2

本发明实施例提供了一种广义Thue-Morse波带片，其利用实施例1中任一实施例所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法所构造。

优选的，所述波带片的透光环带处的位相为π，不透光环带的位相为0。

基于n＝1，m＝2的广义Thue-Morse二值序列的第一级所构造的波带片，如图2(a)所示，其清楚的展示了广义Thue-Morse波带片的结构，图2(a)为广义Thue-Morse 波带片，图2(b)为菲涅尔波带片；

利用菲涅尔近似公式计算单色平面波照射该波带片后的轴向强度分布，如式(3)所示，

上式中，u＝a²/(2λz)为轴向归一化坐标，λ和z分别为入射光波长和距离波带片的轴向距离。

为了展示广义Thue-Morse波带片的轴向强度分布，我们取n＝1，m＝2的广义Thue-Morse非周期性二值序列的第一级、第二级、第三级，并按照上述波带片的构造 方法产生相应的波带片；图3(a)-(c)分别为第1、2、3级菲涅尔波带片轴向归一化强度 与坐标u之间的关系；图3(d)-(f)分别为第1，2，3级广义Thue-Morse波带片轴向归 一化强度与坐标u之间的关系(轴向强度分布)；

对比发现，相比于传统的菲涅尔波带片，广义Thue-Morse波带片具有更大的焦深，焦点数目也更多；

图4(a)-(c)分别为广义Thue-Morse波带片在n＝1、m＝1，n＝1、m＝2及n＝1、m＝3时第3级轴向衍射图案；

以基于n＝1，m＝2的第四级广义Thue-Morse二值序列的波带片为例，选取轴向距离波带片z＝0.2795m，z＝0.3056m和z＝0.3248m三个位置，广义Thue-Morse波带片 在z＝0.2795m，z＝0.3056m、z＝0.3248m时轴向距离的横向强度分布，如图5(a)-(c)所示；

在轴向距离z＝0.2795m处放置障碍物，放置障碍物后轴向距离z＝0.2795m、z＝0.3056 m和z＝0.3248m处的轴截面强度分布，如图5(d)-(f)所示；可以看到放置障碍物的位置 强度基本为零，但是短距离自由传播后该波带片轴向强度分布基本恢复没有障碍物存在 时候的情况，这表明GTM波带片(广义Thue-Morse波带片)的自恢复性能良好；

以基于n＝1，m＝2的第四级广义Thue-Morse二值序列的波带片为例，并采用三种不 同波长(λ＝450nm,550nm和650nm)进行多波长成像分析；

同一级次(s＝4)的菲涅尔波带片与GTM波带片的轴向辐照度曲线，分别如图6(a)、(d) 所示；色差展示图分别如图6(b)、(e)所示；色差曲线图分别如图6(c)、(f)所示，

如图6(b)所示，在不同波长(λ＝450nm,550nm和650nm)照射下该波带片主焦点 周围的多个次焦点之间存在更多重叠(在相同情况下，FreZP的焦点不会交叠，如图6(a) 所示)；

在重叠位置处该类形波带片成像的色差相对于传统的菲涅耳波带片较低；图6(b)、(e) 分别显示了该广义Thue-Morse波带片和与相同级次的菲涅尔波带片的轴向照度；图6(b) 中的空心圆表示两个菲涅尔波带片的主焦点位置，图6(e)中空心圆代表广义Thue-Morse 波带片的两个主焦点位置，三角形和正方形代表照度降低至其最大值的90％的轴向位置； 在图中在图6(c)、(f)中，圆圈、三角形和正方形表示图6(b)、(e)中所示的相应部分对应的 轴向坐标；图像的色度值越接近白色光源点C，图像的色差越低；图6(c)、(f)表明，广义 Thue-Morse波带片的焦点的色度坐标比相同级次的FreZP的主焦点更接近C点，因此，广义Thue-Morse波带片相比传统的菲涅尔波带片具有较小的成像像差；

本发明提供了一种广义Thue-Morse波带片的构造方法及波带片；通过以S₀＝A作为 初始序列元素，以A→AⁿB^m作为序列元素的替代方式，得到第1级广义Thue-Morse二值序列S₁＝AⁿB^m，在S₁的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到第2级广义Thue-Morse二值序列S₂＝(AⁿB^m)ⁿ(B^mAⁿ)^m，n、m均为正整数；在第n-1级广义 Thue-Morse二值序列S_n-1的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得 到第n级广义Thue-Morse二值序列S_n，所述n≥3；将第i级广义Thue-Morse二值序列的 序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应 圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带 对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的环带对光是不透明的，i≥1；构造出的 波带片，具有多个强度大且相等的主焦点以及多个次焦点，具有较小的成像像差和较好 自恢复性能；

本发明评估了广义Thue-Morse波带片的聚焦特性和光束的自由空间传播，还验证了 所述基于广义Thue-Morse波带片的轴向辐照度的自相似性；结果表明，与相同分辨率的菲涅耳ZP相比，所述基于Thue-Morse波带片具有沿光轴的多焦点特性；另外，还发现 基于广义Thue-Morse波带片光束具有自重构特性；所述基于广义Thue-Morse非周期序 列的波带片产生的一系列焦点具有好的多色性，通过本发明所述广义Thue-Morse波带片 成像能够更大限度的减小图像的色差；

需要说明的是，实施例1和实施例2中未重复描述之处可相互借鉴。

本领域技术人员可以理解，实现上述实施例方法的全部或部分流程，可以通过计算 机程序来指令相关的硬件来完成，所述的程序可存储于计算机可读存储介质中。其中，所述计算机可读存储介质为磁盘、光盘、只读存储记忆体或随机存储记忆体等。

以上所述本发明的具体实施方式，并不构成对本发明保护范围的限定。任何根据本 发明的技术构思所做出的各种其他相应的改变与变形，均应包含在本发明权利要求的保 护范围内。

Claims (6)

1.一种广义Thue-Morse波带片的构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

以S₀＝A作为初始序列元素，以A→AⁿB^m作为序列元素的替代方式，得到第1级广义Thue-Morse二值序列S₁＝AⁿB^m，在S₁的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到第2级广义Thue-Morse二值序列S₂＝(AⁿB^m)ⁿ(B^mAⁿ)^m，n、m均为正整数，

在第n-1级广义Thue-Morse二值序列S_n-1的基础上以A→AⁿB^m、B→B^mAⁿ作为序列元素的替换方式，得到第n级广义Thue-Morse二值序列S_n，所述n≥3；

将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，构造出相应的波带片，其中，序列元素中的字母A表示相应的环带对光是透明的，序列元素中的字母B表示相应的环带对光是不透明的，i≥1。

2.根据权利要求1所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法，其特征在于，所述将第i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带，具体包括，

以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x,y)，计算其与圆心的距离

再将r与波带片最外环半径a的平方之比，即r的平方的归一化值记为ζ,ζ＝(ra)²,ζ∈[0,1]，

将ζ代入透过率函数

中，计算透过率函数q(ζ)的值，其中，t_i,j为传输值，由第i级广义Thue-Morse二值序列中的第j个字母的类别确定，当字母对应为“A”时，t_i,j等于1，当对应字母为“B”时，t_i,j等于0，第j级的波带片在一维方向被分为M个部分，每一个部分的长度为d_s＝1/M，M为整数，rect[·]为矩形函数，

根据所述透过率函数q(ζ)，将i级Thue-Morse二值序列的序列元素，由内向外依次投射到具有一定半径的圆面上，序列元素中的每一个字母对应圆面上的一个环带。

3.根据权利要求2所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法，其特征在于，还包括，将各级Thue-Morse二值序列中的序列元素A、B分别用1、0替代，形成新的Thue-Morse二值序列，根据所述新的Thue-Morse二值序列及透过率函数q(ζ)，构造出相应的波带片，此时，t_i,j由第i级Thue-Morse二值序列中的第j个数字确定，当数字对应为“1”时，t_i,j等于1，当对应数字为“0”时，t_i,j等于0。

4.根据权利要求3所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法，其特征在于，还包括，将所述波带片的透光环带处的位相设置为π，不透光环带的位相设置为0。

5.一种广义Thue-Morse波带片，其特征在于，利用权利要求1-3任一所述的广义Thue-Morse波带片的构造方法所构造。

6.根据权利要求5所述的广义Thue-Morse波带片，其特征在于，所述波带片的透光环带处的位相为π，不透光环带的位相为0。

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