CN111159927B - 基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放的数值建模方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及建筑材料设计领域，旨在提供一种基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放的数值建模方法。包括颗粒的几何形状描述、颗粒的随机投放，以及颗粒的重叠判定；其中，颗粒的几何形状描述用于精确描述三维不规则形状颗粒的几何信息，颗粒随机投放包括颗粒随机放置与旋转以及颗粒的重叠判定和颗粒几何变换信息的记录；颗粒的重叠判定是指基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒的重叠判定，包括局部矩阵的提取和矩阵比较。本发明能大幅提高颗粒的投放效率，缩短投放时间；实现较高的颗粒堆积密度；适用于包括球形、多面体、非凸颗粒等各种不规则形状的颗粒；适用于复杂的边界条件和大规模的颗粒投放。
Description
技术领域
本发明涉及建筑材料设计领域，具体是一种基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放的数值建模方法。
背景技术
复合材料是由两种或两种以上的材料经过复合工艺而制备的多相材料，通常是由连续相的基体和被基体包裹的颗粒组成。为了深入研究材料的力学行为、传输特性等整体性能，需要建立复合材料的几何模型。复合材料内部的颗粒需要满足一定的约束条件，即颗粒之间互不重叠。因此，建立一种高效、实用的重叠判定方法是颗粒投放的关键问题。
现有的投放方法大多基于简单的几何形状：对于二维的复合材料模型，颗粒形状被简化为圆形、椭圆形及多边形等；对于三维的复合材料模型，颗粒形状被简化为球形、椭球形、正多面体等。上述形状都与工程中颗粒的实际形状有所差别，不能精确的描述颗粒的几何特征，从而限制了复合材料模型的应用范围。近几年，少数几种基于多面体和球形周期函数的投放方法被提出，用于不规则颗粒的随机投放。但这些方法仍然存在很多限制和不足，例如仅适用于凸颗粒或者星形颗粒，颗粒堆积密度较低，需要大量的计算时间。这在很大程度上限制了上述颗粒投放方法的广泛应用。
为了解决上述问题，亟需一种三维不规则形状颗粒的随机投放方法，生成符合要求的三维颗粒并实现快速投放，以用于模拟复合材料的内部结构。
发明内容
本发明要解决的技术问题是，克服现有技术中的不足，提供一种基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放的数值建模方法。
为解决技术问题，本发明的解决方案是：
提供一种基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放的数值建模方法，包括颗粒的几何形状描述、颗粒的随机投放，以及颗粒的重叠判定；所述颗粒的几何形状描述用于精确描述三维不规则形状颗粒的几何信息，包括三维体素矩阵和三角网格信息两种数据结构；所述颗粒随机投放包括颗粒随机放置与旋转，以及颗粒的重叠判定和颗粒几何变换信息的记录；所述颗粒的重叠判定是指基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒的重叠判定，包括局部矩阵的提取和矩阵比较；其中，局部矩阵提取是基于体素矩阵的高度结构化特征，将相关的局部矩阵单独提取；矩阵比较是基于二值化矩阵的逻辑计算，判定矩阵描述的颗粒是否接触。
本发明中，所述颗粒几何形状的描述具体包括以下内容：
(2.1)建立体素矩阵
体素矩阵是一个三维二值矩阵，矩阵中的每一个元素代表空间中的一个基本单元体素，用于描述三维不规则形状颗粒的几何信息；体素在几何空间中是一个边长为Lvoxel的立方体，三维矩阵中元素的值代表对应体素的状态，0表示该体素未被占据，1表示体素已经被占据；矩阵元素与体素一一对应，三维体素矩阵中元素的索引(i，j，k)与体素的中心坐标(x，y，z)存在如下关系：
当体素矩阵足够大时，三维不规则形状颗粒的几何信息能够被精确描述，并通过计算获取颗粒的几何特征(例如几何中心、体积、表面积等)；颗粒的平移、缩放或旋转等几何变换通过数学上点的空间变换实现，该过程中的几何变换信息(包括平移向量、旋转轴、旋转角和缩放系数)通过数学上点的空间变换实现；
(2.2)建立三角网格
三角网格是基于一组点和点的连接关系，用于描述三维不规则形状颗粒的几何信息；三角网格采用面-顶点的数据格式保存，包括一组点的精确空间坐标以及三角形面的顶点序号；当描述颗粒的点和三角形面足够多时，三维不规则形状颗粒的几何信息能够被精确的描述(如图1-b所示)；基于三角网格，通过计算获取颗粒的几何特征，该过程中的几何变换信息(包括平移向量、旋转轴、旋转角和缩放系数)通过数学上点的空间变换实现；
(2.3)体素矩阵与三角网格的转化
将体素矩阵信息转化为三角网格信息，包括三角网格的提取和三角网格的简化；前者是将体素矩阵中的表面信息(点和面)提取，并划分为三角网格(如图2-b所示)；后者是按照指定的距离，选取一组具有代表性的点，重新划分三角网格，同时对点的坐标进行微调，以消除原来网格中的锐角、凹坑缺陷；三角网格的简化的目的是在保证精度的前提下，消除无效和不必要的几何信息，从而建立一个高质量的三角网格(如图2-c所示)。
所述几何变换信息包括：平移向量、旋转轴、旋转角和缩放系数。
体素：几何空间中边长为Lvoxel的立方体，体素为0或1两种状态；体素矩阵：由体素构成用于描述三维不规则形状颗粒的几何信息；i，j，k：三维体素矩阵中元素的索引；x，y，x：体素的中心坐标。
本发明中，所述颗粒随机投放具体包括以下内容：
(3.1)颗粒的选取
根据颗粒的粒径分布曲线和体积分数，计算不同体积的颗粒所需要的数目，从颗粒数据库中选取N颗符合要求的颗粒；颗粒数据库至少包含像素矩阵和三角网格这两种形式的几何信息；
(3.2)全局体素矩阵的初始化
建立一个大小为(X/L，Y/L，Z/L)的三维二值矩阵，称之为全局矩阵Mglobal；每一个元素表示边长为L的立方体体素，用于描述大小为(X，Y，Z)三维空间的几何信息；初始化后的全局矩阵Mglobal是一个空矩阵，表示所有的体素未被占据；
(3.3)边界条件
根据需要，对初始化后的全局矩阵Mglobal进行自定义；对于不需要颗粒投放的区域定义相应的矩阵元素数值定义为1，需要的投放的区域定义为0，从而定义复杂的边界条件；
(3.4)颗粒的随机放置和旋转
a)使用随机数生成器生成随机坐标(x，y，z)；按照生成的平移参数，对颗粒的体素矩阵进行平移变换；
b)使用随机数生成器生成0～1的一组随机数作为旋转轴方向(l，m，n)，生成0～2π的随机数作为旋转角度θ；按照生成的旋转参数，对颗粒的体素矩阵进行旋转变换；
(3.5)颗粒的重叠判定
a)通过颗粒矩阵和局部矩阵的比较，判定新投放的颗粒与已经存在的颗粒是否重叠；
b)如果新投放的颗粒与已经存在的颗粒重叠，则重复步骤(3.1)，对该颗粒进行重新投放；
c)如果新投放的颗粒与已经存在的颗粒不重叠，则将颗粒的体素矩阵写入全局矩阵Mglobal中；同时记录新投放颗粒的位置参数，包括平移坐标(x，y，z)，旋转轴方向(l，m，n)，旋转角度θ；
(3.6)颗粒的投放
重复步骤(3.4)和(3.5)，将颗粒从大到小逐一投放到空间中；当已投放的颗粒数目达到N时，停止投放过程；
(3.7)颗粒位置的重构
根据步骤(3.5)中记录的颗粒位置参数，对颗粒的三角网格进行平移和旋转，最终得到一个使用三角网格描述的几何模型，以用于进一步的有限元模拟和随机性分析。
X，Y，Z：骨料投放空间的大小；Mglobal：全局矩阵，用以描述骨料投放空间；以下三组参数用于描述投放颗粒的位置参数：x，y，z：三维骨料颗粒的随机坐标；l，m，n：旋转轴方向；θ：旋转角度。
本发明中，所述颗粒的重叠判定具体包括以下内容：
(4.1)相关局部矩阵的获取
颗粒在平移和旋转之后得到一个新的体素矩阵，称为颗粒矩阵Mparticle；矩阵的位置为三维矩阵顶点坐标，表示为(Cx，Cy，Cz)，矩阵的大小为(Nx，Ny，Nz)；相关局部矩阵Mlocal是全局矩阵Mglobal中与颗粒矩阵Mparticle位置对应的部分，即全局矩阵中(Cx，Cy，Cz)到(Cx+Nx-1，Cy+Ny-1，Cz+Nz-1)的部分，如下列公式所示：
相关局部矩阵Mlocal与颗粒矩阵Mparticle大小相同，矩阵元素位置一一对应；基于矩阵的高度结构化特征，相关局部矩阵Mlocal能够通过矩阵索引直接获取；
(4.2)矩阵比较
通过逻辑运算对相关局部矩阵Mlocal与颗粒矩阵Mparticle中的元素逐一进行逻辑运算，如下列公式所示：
当返回的值value为1时，表明对应的体素同时被两颗颗粒占据，则结束矩阵比较，颗粒与已经投放的颗粒重叠(如图3-a所示)；当返回的值value为0时，继续比较下一组对应的元素；当所有矩阵元素完成比较，且所有返回的值均为1时，则颗粒与已经投放的颗粒没有重叠(如图3-b所示)；若颗粒与已经投放的颗粒没有重叠，则将颗粒矩阵Mparticl。写入全局矩阵Mglobal的对应位置中(如图3-c所示)。
Mparticle：经位置变化后的三维骨料颗粒体素矩阵；Cx，Cy，Cz：三维骨料颗粒体素矩阵位置；Nx，Ny，Nz：三维骨料颗粒体素矩阵的大小；Mlocal：全局矩阵Mglobal中与颗粒矩阵Mparticle位置对应的部分，即即将投放的三维骨料颗粒在骨料投放空间中的位置。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明所述方法在效率和适用性上具有以下显著优势：(1)大幅提高颗粒的投放效率，缩短投放时间；(2)实现较高的颗粒堆积密度；(3)适用于包括球形、多面体、非凸颗粒等各种不规则形状的颗粒；(4)适用于复杂的边界条件；(5)适用于大规模的颗粒投放。
附图说明
图1使用体素矩阵和三角网格表征的颗粒；
图2体素矩阵到三角网格的转化过程；
图3基于体素矩阵的重叠判定过程；
图4理论粒径分布曲线(d63＝10，a＝3.5)和实际投放的骨料级配；
图5梁的钢筋骨架和边界条件；
图6钢筋混凝土梁的细观结构模型(骨料体积分数40％)；
图7钢筋混凝土梁的局部细观结构。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
实施案例：
本案例中，采用所述方法模拟混凝土中粗骨料的随机分布，从而建立钢筋混凝土梁的内部细观结构模型。使用X-ray CT技术对混凝土块的内部结构进行三维扫描，而后对实验数据进行阈值分割和二值化处理，从而提取真实骨料的三维形状信息并建立骨料数据库。混凝土粗骨料的级配可以由粒径分布函数表示：
式中，d是颗粒直径，f是直径小于d的累计体积分数，d63是累计体积分数63.21％对应的直径，a是指数参数。基于粗骨料级配的实验数据，上述方程中参数取d63＝10，a＝3.5。粗骨料的最小直径为4mm，最大直径为16mm，平均粒径为9.0mm。基于配合比计算，骨料的体积分数为40％。
钢筋混凝土梁采用室内试验的常用尺寸，长2000mm，宽150mm，240mm。梁的配筋依照设计规范和目标荷载计算得到，如图5所示。箍筋采用直径为6mm的光圆钢筋，受力主筋采用直径为12mm的带肋钢筋。带肋钢筋三维形状使用三维激光扫描技术获取，而后通过重构得到钢筋的三维模型。
基于以上材料参数和数据，对钢筋混凝土梁的细观结构进行建模，使用一种基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放方法模拟骨料的随机分布，其特征在于，包括以下步骤：
1颗粒几何形状的描述
1.1体素矩阵
所述体素矩阵用于描述三维不规则形状颗粒的几何信息。体素矩阵是一个三维二值矩阵，矩阵中的每一个元素代表空间中的一个基本单元体素。体素在几何空间中是一个边长为Lvoxel的立方体。三维矩阵中元素的值代表对应体素的状态，0表示该体素未被占据，1表示梯度已经被占据。矩阵元素与体素一一对应，元素的索引(i，j，k)与体素的中心坐标(x，y，z)存在如下关系：
当体素矩阵足够大时，三维不规则形状颗粒的几何信息可以被精确的描述，如图1-a所示。颗粒的几何特征，例如几何中心、体积、表面积等，都可以通过相应的计算获取。颗粒的平移、缩放、旋转等几何变换可以通过数学上点的空间变换实现。几何变换信息包括：平移向量、旋转轴、旋转角和缩放系数。
1.2三角网格
所述三角网格基于一组点和点的连接关系，从而描述三维不规则形状颗粒的几何信息。三角网格采用面-顶点的数据格式保存，包括一组点的精确空间坐标以及三角形面的顶点序号。当描述颗粒的点和三角形面足够多时，三维不规则形状颗粒的几何信息可以被精确的描述，如图1-b所示。基于三角网格，颗粒的几何特征可以通过相应的计算获取，几何变换可以通过数学上点的空间变换实现。几何变换信息包括：平移向量、旋转轴、旋转角和缩放系数。
1.3体素矩阵和三角网格的转化
所属转化过程用于将体素矩阵信息转化为三角网格信息，包括三角网格的提取和三角网格的简化。
所述三角网格的提取是将体素矩阵中的表面信息(点和面)提取，并划分为三角网格，如图2-b所示。
所述三角网格的简化是按照指定的距离，选取一组具有代表性的点，重新划分三角网格，同时对点的坐标进行微调，以消除原来网格中的锐角、凹坑等缺陷。三角网格的简化的目的是在保证精度的前提下，消除无效和不必要的几何信息，从而建立一个高质量的三角网格，如图2-c所示。
2颗粒的随机投放
2.1颗粒的选取
根据颗粒的粒径分布曲线和体积分数，计算不同体积的颗粒所需要的数目。从颗粒数据库中选取N颗符合要求的颗粒。颗粒数据库主要包含两种形式的几何信息，包括像素矩阵和三角网格。
2.2全局体素矩阵的初始化
建立一个大小为(X/L，Y/L，Z/L)的三维二值矩阵，称之为全局矩阵Mglobal。全局矩阵Mglobal的每一个元素表示边长为L的立方体体素，用于描述了大小为(X，Y，Z)三维空间的几何信息。初始化后的全局矩阵Mglobal是一个空矩阵，表示所有的体素未被占据。
2.3边界条件
根据需要，对初始化后的全局矩阵Mglobal进行自定义。对于不需要颗粒投放的区域，定义相应的矩阵元素数值定义为1，需要的投放的区域定义为0，从而定义复杂的边界条件。
2.4颗粒的随机放置和旋转
a)使用随机数生成器生成随机坐标(x，y，z)。按照生成的平移参数，对颗粒的体素矩阵进行平移变换。
b)使用随机数生成器生成0～1的一组随机数，作为旋转轴方向(l，m，n)，生成0～2π的随机数，作为旋转角度θ。按照生成的旋转参数，对颗粒的体素矩阵进行旋转变换。
2.5颗粒的重叠判定
a)通过颗粒矩阵和局部矩阵的比较，判定新投放的颗粒与已经存在的颗粒是否重叠，详细过程见步骤3。
b)如果新投放的颗粒与已经存在的颗粒重叠，则重复步骤2.1，对该颗粒进行重新投放。
c)如果新投放的颗粒与已经存在的颗粒不重叠，则将颗粒的体素矩阵写入全局矩阵Mglobal中。并记录新投放颗粒的位置参数，包括平移坐标(x，y，z)，旋转轴方向(l，m，n)，旋转角度θ。
2.6颗粒的投放
重复步骤2.4和2.5，将颗粒从大到小逐一投放到空间中。当已投放的颗粒数目达到N时，停止投放过程。
2.7颗粒位置的重构
根据步骤2.5中记录的颗粒位置参数，对颗粒的三角网格进行平移和旋转，最终得到一个使用三角网格描述的几何模型。该模型可以用于进一步的有限元模拟和随机性分析。
3颗粒的重叠判定
3.1相关局部矩阵的获取
颗粒在平移和旋转之后，得到一个新的梯度矩阵，称为颗粒矩阵Mparticle。矩阵的位置为(Cx，Cy，Cz)，矩阵的大小为(Nx，Ny，Nz)。相关局部矩阵Mlocal是全局矩阵Mglobal中与颗粒矩阵Mparticle位置对应的部分，即全局矩阵中(Cx，Cy，Cz)到(Cx+Nx-1，Cy+Ny-1，Cz+Nz-1)的部分，如下列公式所示。
相关局部矩阵Mlocal与颗粒矩阵Mparticle大小相同，矩阵元素位置一一对应。基于矩阵的高度结构化特征，相关局部矩阵Mlocal可以通过矩阵索引直接获取。
3.2矩阵比较
通过逻辑运算对相关局部矩阵Mlocal与颗粒矩阵Mparticle中的元素逐一进行逻辑运算，如下列公式所示。
当返回的值value为1时，表明对应的体素同时被两颗颗粒占据，则结束矩阵比较，颗粒与已经投放的颗粒重叠，如图3-a所示。当返回的值value为0时，继续比较下一组对应的元素。当所有矩阵元素完成比较，且所有返回的值均为1时，则颗粒与已经投放的颗粒没有重叠，如图3-b所示。若颗粒与已经投放的颗粒没有重叠，则将颗粒矩阵Mparticle写入全局矩阵Mglobal的对应位置中，如图3-c所示。
使用本发明的方法建立的钢筋混凝土梁的细观结构模型，如图6所示。该模型精确的表征了混凝土梁中钢筋和每一颗骨料的位置，其局部细观结构如图7所示。本案例中，程序共耗时7.06小时，一共尝试了46037043次骨料投放，最终将152948颗真实骨料全部投放，并实现了40％的体积分数。程序运行过程中，全局体素矩阵的大小为14388×1079×1727，占用25.0GB的内存空间。考虑到骨料库、局部矩阵等数据，程序的实际内存开销约为该值的1.2～1.5倍。本案例充分展示了所述方法在计算效率和堆积密度上的大幅提升，以及在复杂边界条件和大规模颗粒投放中的显著优势。
Claims (4)
1.一种基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒投放的数值建模方法，包括颗粒的几何形状描述、颗粒的随机投放，以及颗粒的重叠判定；其特征在于，
所述颗粒的几何形状描述用于精确描述三维不规则形状颗粒的几何信息，包括三维体素矩阵和三角网格信息两种数据结构；
所述颗粒随机投放包括颗粒随机放置与旋转，以及颗粒的重叠判定和颗粒几何变换信息的记录；
所述颗粒的重叠判定是指基于体素矩阵的三维不规则形状颗粒的重叠判定，包括局部矩阵的提取和矩阵比较；其中，局部矩阵提取是基于体素矩阵的高度结构化特征，将相关的局部矩阵单独提取；矩阵比较是基于二值化矩阵的逻辑计算，判定矩阵描述的颗粒是否接触。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述颗粒几何形状的描述具体包括以下内容：
(2.1)建立体素矩阵
体素矩阵是一个三维二值矩阵，矩阵中的每一个元素代表空间中的一个基本单元体素，用于描述三维不规则形状颗粒的几何信息；体素在几何空间中是一个边长为Lvoxel的立方体，三维矩阵中元素的值代表对应体素的状态，0表示该体素未被占据，1表示体素已经被占据；矩阵元素与体素一一对应，三维体素矩阵中元素的索引(i，j，k)与体素的中心坐标(x，y，z)存在如下关系：
当体素矩阵足够大时，三维不规则形状颗粒的几何信息能够被精确描述，并通过计算获取颗粒的几何特征；颗粒的平移、缩放或旋转通过数学上点的空间变换实现，该过程中的几何变换信息通过数学上点的空间变换实现；
(2.2)建立三角网格
三角网格是基于一组点和点的连接关系，用于描述三维不规则形状颗粒的几何信息；三角网格采用面-顶点的数据格式保存，包括一组点的精确空间坐标以及三角形面的顶点序号；当描述颗粒的点和三角形面足够多时，三维不规则形状颗粒的几何信息能够被精确的描述；基于三角网格，通过计算获取颗粒的几何特征，该过程中的几何变换信息通过数学上点的空间变换实现；
(2.3)体素矩阵与三角网格的转化
将体素矩阵信息转化为三角网格信息，包括三角网格的提取和三角网格的简化；前者是将体素矩阵中的表面信息提取，并划分为三角网格；后者是按照指定的距离，选取一组具有代表性的点，重新划分三角网格，同时对点的坐标进行微调，以消除原来网格中的锐角、凹坑缺陷；
所述几何变换信息包括：平移向量、旋转轴、旋转角和缩放系数。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述颗粒随机投放具体包括以下内容：
(3.1)颗粒的选取
根据颗粒的粒径分布曲线和体积分数，计算不同体积的颗粒所需要的数目，从颗粒数据库中选取N颗符合要求的颗粒；颗粒数据库至少包含像素矩阵和三角网格这两种形式的几何信息；
(3.2)全局体素矩阵的初始化
建立一个大小为(X/Lvoxel，Y/Lvoxel，Z/Lvoxel)的三维二值矩阵，称之为全局矩阵Mglobal；每一个元素表示边长为Lvoxel的立方体体素，用于描述大小为(X，Y，Z)三维空间的几何信息；初始化后的全局矩阵Mglobal是一个空矩阵，表示所有的体素未被占据；
(3.3)边界条件
根据需要，对初始化后的全局矩阵Mglobal进行自定义；对于不需要颗粒投放的区域定义相应的矩阵元素数值定义为1，需要的投放的区域定义为0，从而定义复杂的边界条件；
(3.4)颗粒的随机放置和旋转
a)使用随机数生成器生成随机坐标(x，y，z)；按照生成的平移参数，对颗粒的体素矩阵进行平移变换；
b)使用随机数生成器生成0～1的一组随机数作为旋转轴方向(1，m，n)，生成0～2π的随机数作为旋转角度θ；按照生成的旋转参数，对颗粒的体素矩阵进行旋转变换；
(3.5)颗粒的重叠判定
a)通过颗粒矩阵和局部矩阵的比较，判定新投放的颗粒与已经存在的颗粒是否重叠；
b)如果新投放的颗粒与已经存在的颗粒重叠，则重复步骤(3.1)，对该颗粒进行重新投放；
c)如果新投放的颗粒与已经存在的颗粒不重叠，则将颗粒的体素矩阵写入全局矩阵Mglobal中；同时记录新投放颗粒的位置参数，包括平移坐标(x，y，z)，旋转轴方向(1，m，n)，旋转角度θ；
(3.6)颗粒的投放
重复步骤(3.4)和(3.5)，将颗粒从大到小逐一投放到空间中；当已投放的颗粒数目达到N时，停止投放过程；
(3.7)颗粒位置的重构
根据步骤(3.5)中记录的颗粒位置参数，对颗粒的三角网格进行平移和旋转，最终得到一个使用三角网格描述的几何模型，以用于进一步的有限元模拟和随机性分析。
4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述颗粒的重叠判定具体包括以下内容：
(4.1)相关局部矩阵的获取
颗粒在平移和旋转之后得到一个新的体素矩阵，称为颗粒矩阵Mparticle；矩阵的位置为三维矩阵顶点坐标，表示为(Cx，Cy，Cz)，矩阵的大小为(Nx，Ny，Nz)；相关局部矩阵Mlocal是全局矩阵Mglobal中与颗粒矩阵Mparticle位置对应的部分，即全局矩阵中(Cx，Cy，Cz)到(Cx+Nx-1，Cy+Ny-1，Cz+Nz-1)的部分，如下列公式所示：
相关局部矩阵Mlocal与颗粒矩阵Mparticle大小相同，矩阵元素位置一一对应；基于矩阵的高度结构化特征，相关局部矩阵Mlocal能够通过矩阵索引直接获取；
(4.2)矩阵比较
通过逻辑运算对相关局部矩阵Mlocal与颗粒矩阵Mparticle中的元素逐一进行逻辑运算，如下列公式所示：
当返回的值value为1时，表明对应的体素同时被两颗颗粒占据，则结束矩阵比较，颗粒与已经投放的颗粒重叠；当返回的值value为0时，继续比较下一组对应的元素；当所有矩阵元素完成比较，且所有返回的值均为1时，则颗粒与已经投放的颗粒没有重叠；若颗粒与已经投放的颗粒没有重叠，则将颗粒矩阵Mparticle写入全局矩阵Mglobal的对应位置中。
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