CN111159920B - 一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法，针对具有自主机动能力的锥套的动力学问题，研究其建模方法，首先建立建模参考坐标系并提出建模假设条件，然后对软管锥套进行受力分析，最后利用牛顿定律建立软管锥套动力学模型与锥套和受油锥管相对位置的动力学模型。本发明的主要优势是首次提出自主机动锥套的动力学建模方法，为以后研究自主机动锥套的控制设计奠定基础。

Description

一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法

技术领域

本发明属于空中加油技术领域，涉及一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法。

背景技术

无人机自主空中加油是指实现无人机的加油功能的自动化。目前的无人机自主空中加油均采用软式加油技术，在加油过程中，由于大气紊流、加油机尾流、受油机头波等的影响，锥套的状态及其不稳定，会在一定范围内震荡，这非常不利于锥套和受油机的对接。针对此问题，国内外开始了锥套自主稳定的研究。

如今国内外的自主稳定锥套方案以设想为主，包括加装舵面、变伞面支柱等，但均未进行深入研究，并且方案目的都是锥套自稳定，没有考虑具有主动力的锥套能够进行自主机动的情况。然而在自主空中加油过程中，锥套的自主机动能够在辅助受油机对接锥套的过程中发挥巨大作用。因此，建立一种针对锥套自主机动的软管锥套动力学模型，为研究自主空中加油技术奠定基础是非常有必要的。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，针对自主空中加油过程中软管收放、锥套位置和姿态的变化，本发明提出一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法。

技术方案

一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法，其特征在于步骤如下：

步骤1、建立坐标系：

大地坐标系O_gx_gy_gz_g：在大地上选取一点O_g,x_g轴处于大地水平面内且指向某个方向，z_g轴垂直于大地水平面且朝向地心，y_g轴用右手定则确定其方向，与加油机吊舱航迹坐标系平行；

加油机吊舱航迹坐标系O_hx_hy_hz_h：原点O_h取在吊舱和软管的连接处，坐标系和吊舱固连，x_h轴和加油机飞行速度方向重合一致，z_h轴在包含飞行速度的铅垂面内，与x_h轴垂直且朝向下方，y_h轴用右手定则确定其方向；

锥套本体坐标系O_bx_by_bz_b：原点O_b在锥套质心处，坐标系和锥套固连，x_b轴在锥套对称平面内并平行于锥套的设计轴线朝向软管和锥套的连接处，z_b轴在锥套对称平面内，与x_b轴垂直并朝向锥套下方，y_b轴用右手定则确定其方向；

大地坐标系到锥套本体坐标系之间的变换矩阵为：

式中，ψ、θ、γ为锥套的姿态角，为偏航角、俯仰角和滚转角；

锥套本体坐标系到大地坐标系之间的变换矩阵为：

步骤2、建模条件：锥套为刚体，软管质量均匀分布，卷轴和软管连接的拖拽点前软管无伸缩变形，忽略软管张力对加油机的影响，锥套的主动力和力矩由四个执行器提供；

软管模型采用珠子模型，定义如下：初始状态时，软管分为n段，每段软管自然长度、质量相等；在软管收放过程中，最后一段软管的自然长度η不断变化，而前n-1段软管的自然长度l、质量m保持不变；当η≥1.5l时，将第n段软管分为新的第n段和第n+1段软管，则新的最后一段软管的自然长度η^*＝η-l；当η＜0.5l时，将第n段和第n-1段软管合为新的第n-1段软管，则新的最后一段软管的自然长度η^*＝η+l；

由软管模型的定义可知：

式中，m_i为第i个珠点的质量；m为前n-1段软管的质量；第i个珠点和第i+1个珠点之间的软管为第i段软管；m_drogue为锥套质量；ρ为软管的线密度；η为第n段软管的自然长度；

步骤3：受力分析

i点受到第i段软管向上的拉力t_i、第i-1段软管向下的拉力-t_i-1、合外力Q_i；

式中，t_i为第i段软管对第i个珠点的拉力；E为软管的杨氏模量；A为软管的横截面积；x_i为第i+1个珠点到第i个珠点的矢量，即第i段软管的长度矢量；l_i为矢量x_i的模；

合外力Q_i包括重力、软管恢复力R_i和空气阻力D_i：

式中，F_drogue为本体坐标系下的锥套气动力；g为重力加速度；

锥套气动力、气动力矩分别为u₁、u₂、u₃、u₄、α、β、v_b/a的函数：

F_drogue＝F(u₁,u₂,u₃,u₄,α,β,v_b/a) (6)

M_drogue＝Μ(u₁,u₂,u₃,u₄,α,β,v_b/a) (7)

式中，M_drogue为本体坐标系下的气动力矩；u₁、u₂、u₃、u₄分别为四个执行器的控制量；α为攻角；β为侧滑角；v_b/a＝v_b-v_b/w；v_b/a为锥套质心相对空气的速度；v_b为锥套质心相对大地的速度；v_b/w为流经锥套的空气相对大地的速度，等于定常流、加油机尾流、大气紊流、受油机头波等的矢量和；

软管对锥套的拉力矩为：

M_t＝-x_bt×(S_{g_b}t₁) (8)

式中，x_bt为软管和锥套的连接点到锥套质心的距离矢量在本体坐标系下的投影；×为叉乘符号；

空气阻力D_i包括软管摩擦力p_i、软管压差力q_i：

D_i＝p_i+q_i,i＝1……n (9)

软管摩擦力为：

p(i)＝-0.5C_i/tρ(v_i/a·n_i)²πdl_in_i,i＝1……n (10)

式中，v_i/a＝v_i-v_i/w；v_i/a为第i段软管相对空气的速度；v_i为第i段软管相对大地的速度；v_i/w为流经第i段软管的空气相对大地的速度，等于定常流、加油机尾流、大气紊流、受油机头波等的矢量和；

||x_i||为x_i的模；π为圆周率；d为软管外径；

C_i/t为第i段软管的摩擦力系数：

式中，

为相应的雷诺数；||v_i/a||为v_i/a的模；γ_γ为空气的粘度系数；

为第i段软管和相对气流之间的夹角；

软管压差力为：

C_i/n为第i段软管的压差力系数：

式中，

为相应的雷诺数；

软管弯曲恢复力：

式中，E为软管弹性模量；I为截面惯性矩；

β_i为第i段软管和第i-1段软管的夹角：

式中，‖x_i-1||是x_i-1的模；

步骤4、锥套姿态运动/动力学模型：

姿态运动学方程为：

式中，

分别为偏航角、俯仰角和滚转角对于时间的变化率；ω_x、ω_y、ω_z分别是锥套相对大地坐标系的转动角速度ω在本体坐标系下的分量；

锥套的本体坐标系为主轴坐标系，则本体坐标系下的姿态动力学方程为：

式中，I_x、I_y、I_z分别是绕本体坐标轴O_bx_b、O_by_b、O_bz_b的转动惯量；

分别为ω_x、ω_y、ω_z对于时间的变化率；M_{d_x}、M_{d_y}、M_{d_z}分别是气动力矩M_drogue在本体坐标系下的分量；M_{t_x}、M_{t_y}、M_{t_z}分别是拉力矩M_t在本体坐标系下的分量；

步骤5、软管锥套动力学模型：

定义r_i为第i个珠点在大地坐标系下的位置矢量；r_n+1为吊舱和软管的连接点在大地坐标系下的位置矢量，则：

x_i＝r_i-r_i+1,i＝1……n (18)

珠点、锥套质心的运动满足方程：

式中，r_b为锥套质心在大地坐标系下的位置矢量；

为锥套质心在大地坐标系下的运动加速度；

为第i个珠点在大地坐标系下的运动加速度；

将(2)-(18)代入(19)中，软管锥套动力学模型为：

i＝1时，

式中，

i＝2……n-1时，

式中，r₁＝r_b-S_{b_g}x_bt。

i＝n时，

式中，末端自然长度η可以由系统输入量软管收放加速度

得到；

步骤6、锥套和受油锥管的相对位置动力学模型：

定义x_s是锥套质心到锥套对接口中心点的矢量在本体坐标系下的投影，x_m是锥套对接口的中心点到受油锥管的矢量在本体坐标系下的投影，则：

x_m+x_s＝S_{g_b}(r_m-r_b) (23)

式中，矢量r_m是大地坐标系下受油锥管的位置矢量；

对上式二次求导，则在本体坐标系下：

将(20)代入(24)中，则锥套对接口的中心点与受油锥管的相对位置动力学方程为：

式中，

为x_m对时间的变化率；

为

对时间的变化率；

为受油锥管的运动加速度。

所述珠子模型是指由有限根光滑的圆柱形的刚性杆组成，杆与杆之间由无摩擦的珠子连接，相邻杆的质量集中在连接的珠子上。

有益效果

本发明提出的一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法，针对具有自主机动能力的锥套的动力学问题，研究其建模方法，首先建立建模参考坐标系并提出建模假设条件，然后对软管锥套进行受力分析，最后利用牛顿定律建立软管锥套动力学模型与锥套和受油锥管相对位置的动力学模型。本发明的主要优势是首次提出自主机动锥套的动力学建模方法，为以后研究自主机动锥套的控制设计奠定基础。

附图说明

图1：自主空中加油系统模型示意图

其中，1-加油机；2-吊舱；3-软管；4-锥套；5-受油锥管；6-受油机

图2：i点受力分析示意图

图3：等效软管弯曲恢复力示意图

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

本发明实施例所采用的技术方案包括以下步骤：

步骤1，建立坐标系

大地坐标系O_gx_gy_gz_g：在大地上选取一点O_g,x_g轴处于大地水平面内且指向某个方向，z_g轴垂直于大地水平面且朝向地心，y_g轴用右手定则可以确定其方向，与加油机吊舱航迹坐标系平行。

加油机吊舱航迹坐标系O_hx_hy_hz_h：原点O_h取在吊舱和软管的连接处，坐标系和吊舱固连，x_h轴和加油机飞行速度方向重合一致，z_h轴在包含飞行速度的铅垂面内，与x_h轴垂直且朝向下方，y_h轴用右手定则可以确定其方向。

锥套本体坐标系O_bx_by_bz_b：原点O_b在锥套质心处，坐标系和锥套固连，x_b轴在锥套对称平面内并平行于锥套的设计轴线朝向软管和锥套的连接处，z_b轴在锥套对称平面内，与x_b轴垂直并朝向锥套下方，y_b轴用右手定则可以确定其方向。

大地坐标系到锥套本体坐标系之间的变换矩阵为：

式中，ψ、θ、γ为锥套的姿态角，分别称为偏航角、俯仰角和滚转角。

锥套本体坐标系到大地坐标系之间的变换矩阵为：

步骤2，建模假设

设1.锥套为刚体；

设2.软管质量均匀分布；

设3.卷轴和软管连接的拖拽点前软管无伸缩变形；

设4.忽略软管张力对加油机的影响；

设5.锥套的主动力和力矩由四个执行器提供。

软管模型采用珠子模型，珠子模型是指由有限根光滑的圆柱形的刚性杆组成，杆与杆之间由无摩擦的珠子连接，相邻杆的质量集中在连接的珠子上。

软管模型的定义如下：初始状态时，软管分为n段，每段软管自然长度、质量相等。在软管收放过程中，最后一段软管的自然长度η不断变化，而前n-1段软管的自然长度l、质量m保持不变。当η≥1.5l时，将第n段软管分为新的第n段和第n+1段软管，则新的最后一段软管的自然长度η^*＝η-l；当η＜0.5l时，将第n段和第n-1段软管合为新的第n-1段软管，则新的最后一段软管的自然长度η^*＝η+l。

由软管模型的定义可知：

式中，m_i为第i个珠点的质量；m为前n-1段软管的质量；第i个珠点和第i+1个珠点之间的软管为第i段软管；m_drogue为锥套质量；ρ为软管的线密度；η为第n段软管的自然长度。

步骤3，受力分析

对i点进行受力分析，可知该点受到第i段软管向上的拉力t_i、第i-1段软管向下的拉力-t_i-1、合外力Q_i。

软管中的张力满足胡克定律，则：

式中，t_i为第i段软管对第i个珠点的拉力；E为软管的杨氏模量；A为软管的横截面积；x_i为第i+1个珠点到第i个珠点的矢量，即第i段软管的长度矢量；l_i为矢量x_i的模。

合外力Q_i包括重力、软管恢复力R_i和空气阻力D_i。

式中，F_drogue为本体坐标系下的锥套气动力；g为重力加速度。

锥套气动力、气动力矩分别为u₁、u₂、u₃、u₄、α、β、v_b/a的函数：

F_drogue＝F(u₁,u₂,u₃,u₄,α,β,v_b/a)

M_drogue＝Μ(u₁,u₂,u₃,u₄,α,β,v_b/a)

式中，M_drogue为本体坐标系下的气动力矩；u₁、u₂、u₃、u₄分别为四个执行器的控制量；α为攻角；β为侧滑角；v_b/a＝v_b-v_b/w；v_b/a为锥套质心相对空气的速度；v_b为锥套质心相对大地的速度；v_b/w为流经锥套的空气相对大地的速度，等于定常流、加油机尾流、大气紊流、受油机头波等的矢量和。

软管对锥套的拉力矩为：

M_t＝-x_bt×(S_{g_b}t₁)

式中，x_bt为软管和锥套的连接点到锥套质心的距离矢量在本体坐标系下的投影；×为叉乘符号。

空气阻力D_i包括软管摩擦力p_i、软管压差力q_i。

D_i＝p_i+q_i,i＝1……n

软管摩擦力为：

p(i)＝-0.5C_i/tρ(v_i/a·n_i)2πdl_in_i,i＝1……n

式中，v_i/a＝v_i-v_i/w；v_i/a为第i段软管相对空气的速度；v_i为第i段软管相对大地的速度；v_i/w为流经第i段软管的空气相对大地的速度，等于定常流、加油机尾流、大气紊流、受油机头波等的矢量和；

||x_i||为x_i的模；π为圆周率；d为软管外径。

C_i/t为第i段软管的摩擦力系数，根据Hoerner关于圆柱体的理论计算作用于软管的切向摩擦力，获得相应雷诺数下的摩擦力系数：

式中，

为相应的雷诺数；||v_i/a||为v_i/a的模；γ_γ为空气的粘度系数；

为第i段软管和相对气流之间的夹角。

软管压差力为：

C_i/n为第i段软管的压差力系数：

式中，

为相应的雷诺数。

软管弯曲恢复力可视为一个等效的外力R_i：

式中，E为软管弹性模量；I为截面惯性矩。

β_i为第i段软管和第i-1段软管的夹角：

式中，||x_i-1||是x_i-1的模。

R_i的作用方向和矢量

的方向相同。

步骤4，锥套姿态运动/动力学模型

姿态运动学方程为：

式中，

分别为偏航角、俯仰角和滚转角对于时间的变化率；ω_x、ω_y、ω_z分别是锥套相对大地坐标系的转动角速度ω在本体坐标系下的分量。

选取锥套的本体坐标系为主轴坐标系，并忽略质量变化和软管压差力与摩擦力对锥套姿态的影响，则本体坐标系下的姿态动力学方程为：

式中，I_x、I_y、I_z分别是绕本体坐标轴O_bx_b、O_by_b、O_bz_b的转动惯量；

分别为ω_x、ω_y、ω_z对于时间的变化率；M_{d_x}、M_{d_y}、M_{d_z}分别是气动力矩M_drogue在本体坐标系下的分量；M_{t_x}、M_{t_y}、M_{t_z}分别是拉力矩M_t在本体坐标系下的分量。

步骤5，软管锥套动力学模型

定义r_i为第i个珠点在大地坐标系下的位置矢量；r_n+1为吊舱和软管的连接点在大地坐标系下的位置矢量，则：

x_i＝r_i-r_i+1,i＝1……n

珠点、锥套质心的运动满足方程为：

式中，r_b为锥套质心在大地坐标系下的位置矢量；

为锥套质心在大地坐标系下的运动加速度；

为第i个珠点在大地坐标系下的运动加速度。

将(2)-(18)代入(19)中，则软管锥套动力学模型为：

i＝1时，

式中，

i＝2……n-1时，

式中，r₁＝r_b-S_{b_g}x_bt。

i＝n时，

式中，末端自然长度η可以由系统输入量软管收放加速度

得到。

(22)中的r_n+1、η分别体现了加油机的状态和软管的长度对软管的影响。

步骤6，锥套和受油锥管的相对位置动力学模型

当受油机到达锥套后方一定位置时，锥套上的相机开始工作，测量受油锥管在本体坐标系下的位置，将位置信息传输给控制系统，控制系统控制锥套逼近受油锥管进行对接。

定义x_s是锥套质心到锥套对接口中心点的矢量在本体坐标系下的投影，x_m是锥套对接口的中心点到受油锥管的矢量在本体坐标系下的投影，则：

x_m+x_s＝S_{g_b}(r_m-r_b)

式中，矢量r_m是大地坐标系下受油锥管的位置矢量。

对(23)进行二次求导，则在本体坐标系下：

将(20)代入(24)中，则锥套对接口的中心点与受油锥管的相对位置动力学方程为：

式中，

为x_m对时间的变化率；

为

对时间的变化率；

为受油锥管的运动加速度。

Claims (2)

1.一种自主空中加油软管锥套动力学建模方法，其特征在于步骤如下：

步骤1、建立坐标系：

大地坐标系O_gx_gy_gz_g：在大地上选取一点O_g作为原点,x_g轴处于大地水平面内且指向某个方向，z_g轴垂直于大地水平面且朝向地心，y_g轴用右手定则确定其方向，其中，大地坐标系的x_g轴、y_g轴、z_g轴分别与加油机吊舱航迹坐标系的x_h轴、y_h轴、z_h轴平行；

加油机吊舱航迹坐标系O_hx_hy_hz_h：原点O_h取在吊舱和软管的连接处，坐标系和吊舱固连，x_h轴和加油机飞行速度方向重合一致，z_h轴在包含飞行速度的铅垂面内，与x_h轴垂直且朝向下方，y_h轴用右手定则确定其方向；

锥套本体坐标系O_bx_by_bz_b：原点O_b在锥套质心处，坐标系和锥套固连，x_b轴在锥套对称平面内并平行于锥套的设计轴线朝向软管和锥套的连接处，z_b轴在锥套对称平面内，与x_b轴垂直并朝向锥套下方，y_b轴用右手定则确定其方向；大地坐标系到锥套本体坐标系之间的变换矩阵为：

式中，ψ、θ、γ为锥套的姿态角，为偏航角、俯仰角和滚转角；

锥套本体坐标系到大地坐标系之间的变换矩阵为：

步骤2、建模条件：锥套为刚体，软管质量均匀分布，卷轴和软管连接的拖拽点前软管无伸缩变形，忽略软管张力对加油机的影响，锥套的主动力和力矩由四个执行器提供；

软管模型采用珠子模型，定义如下：初始状态时，软管分为n段，每段软管自然长度、质量相等；在软管收放过程中，最后一段软管的自然长度η不断变化，而前n-1段软管的自然长度l、质量m保持不变；当η≥1.5l时，将第n段软管分为新的第n段和第n+1段软管，则新的最后一段软管的自然长度η^*＝η-l；当η＜0.5l时，将第n段和第n-1段软管合为新的第n-1段软管，则新的最后一段软管的自然长度η^*＝η+l；

由软管模型的定义可知：

式中，m_i为第i个珠点的质量；m为前n-1段软管的质量；第i个珠点和第i+1个珠点之间的软管为第i段软管；m_drogue为锥套质量；ρ为软管的线密度；η为第n段软管的自然长度；

步骤3：受力分析

第i个珠点受到第i段软管向上的拉力t_i、第i-1段软管向下的拉力-t_i-1、合外力Q_i；

式中，t_i为第i段软管对第i个珠点的拉力；E为软管的杨氏模量；A为软管的横截面积；x_i为第i+1个珠点到第i个珠点的矢量，即第i段软管的长度矢量；l_i为矢量x_i的模；

合外力Q_i包括重力、软管恢复力R_i和空气阻力D_i：

式中，F_drogue为本体坐标系下的锥套气动力；g为重力加速度；

锥套气动力、气动力矩分别为u₁、u₂、u₃、u₄、α、β、v_b/a的函数：

F_drogue＝F(u₁,u₂,u₃,u₄,α,β,v_b/a) (6)

M_drogue＝Μ(u₁,u₂,u₃,u₄,α,β,v_b/a) (7)

式中，M_drogue为本体坐标系下的气动力矩；u₁、u₂、u₃、u₄分别为四个执行器的控制量；α为攻角；β为侧滑角；v_b/a＝v_b-v_b/w；v_b/a为锥套质心相对空气的速度；v_b为锥套质心相对大地的速度；v_b/w为流经锥套的空气相对大地的速度，等于定常流、加油机尾流、大气紊流、受油机头波的矢量和；

软管对锥套的拉力矩为：

M_t＝-x_bt×(S_{g_b}t₁) (8)

式中，x_bt为软管和锥套的连接点到锥套质心的距离矢量在本体坐标系下的投影；×为叉乘符号；

空气阻力D_i包括软管摩擦力p_i、软管压差力q_i：

D_i＝p_i+q_i,i＝1……n (9)

软管摩擦力为：

p(i)＝-0.5C_i/tρ(v_i/a·n_i)²πdl_in_i,i＝1……n (10)

式中，v_i/a＝v_i-v_i/w；v_i/a为第i段软管相对空气的速度；v_i为第i段软管相对大地的速度；v_i/w为流经第i段软管的空气相对大地的速度，等于定常流、加油机尾流、大气紊流、受油机头波的矢量和；

π为圆周率；d为软管外径；

C_i/t为第i段软管的摩擦力系数：

式中，

为相应的雷诺数；||v_i/a||为v_i/a的模；γ_γ为空气的粘度系数；

为第i段软管和相对气流之间的夹角；

软管压差力为：

C_i/n为第i段软管的压差力系数：

式中，

为相应的雷诺数；

软管弯曲恢复力：

式中，E为软管弹性模量；I为截面惯性矩；

β_i为第i段软管和第i-1段软管的夹角：

式中，l_i为矢量x_i的模；

步骤4、锥套姿态运动/动力学模型：

姿态运动学方程为：

式中，

分别为偏航角、俯仰角和滚转角对于时间的变化率；ω_x、ω_y、ω_z分别是锥套相对大地坐标系的转动角速度ω在本体坐标系下的分量；

锥套的本体坐标系为主轴坐标系，则本体坐标系下的姿态动力学方程为：

式中，I_x、I_y、I_z分别是绕本体坐标轴O_bx_b、O_by_b、O_bz_b的转动惯量；

分别为ω_x、ω_y、ω_z对于时间的变化率；M_{d_x}、M_{d_y}、M_{d_z}分别是气动力矩M_drogue在本体坐标系下的分量；M_{t_x}、M_{t_y}、M_{t_z}分别是拉力矩M_t在本体坐标系下的分量；

步骤5、软管锥套动力学模型：

定义r_i为第i个珠点在大地坐标系下的位置矢量；r_n+1为吊舱和软管的连接点在大地坐标系下的位置矢量，则：

x_i＝r_i-r_i+1,i＝1……n (18)

珠点、锥套质心的运动满足方程：

式中，r_b为锥套质心在大地坐标系下的位置矢量；

为锥套质心在大地坐标系下的运动加速度；

为第i个珠点在大地坐标系下的运动加速度；

将(2)-(18)代入(19)中，软管锥套动力学模型为：

i＝1时，

式中，

i＝2……n-1时，

式中，r₁＝r_b-S_{b_g}x_bt

i＝n时，

式中，末端自然长度η由系统输入量软管收放加速度

得到；

步骤6、锥套和受油锥管的相对位置动力学模型：

定义x_s是锥套质心到锥套对接口中心点的矢量在本体坐标系下的投影，x_m是锥套对接口的中心点到受油锥管的矢量在本体坐标系下的投影，则：

x_m+x_s＝S_{g_b}(r_m-r_b) (23)

式中，矢量r_m是大地坐标系下受油锥管的位置矢量；

对上式二次求导，则在本体坐标系下：

将(20)代入(24)中，则锥套对接口的中心点与受油锥管的相对位置动力学方程为：

式中，

为x_m对时间的变化率；

为

对时间的变化率；

为受油锥管的运动加速度。

2.根据权利要求1所述自主空中加油软管锥套动力学建模方法，其特征在于：所述珠子模型是指由有限根光滑的圆柱形的刚性杆组成，杆与杆之间由无摩擦的珠子连接，相邻杆的质量集中在连接的珠子上。

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