CN110990976B - 一种新型超声磨削振动系统设计方法 - Google Patents

一种新型超声磨削振动系统设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种新型超声磨削振动系统设计方法，所述新型超声磨削振动系统包括超声变幅杆和与所述超声变幅杆的小端固定连接的砂轮圆盘，所述超声变幅杆的长度为L，所述超声变幅杆的大端外径为R1，所述超声变幅杆的小端外径为R2，所述砂轮圆盘的外径为R3；包括如下步骤：S1：确定超声变幅杆的长度L；根据公式sinkL＝0计算出L值；其为超声波波长的二分之一或其整数倍；S2：建立圆盘弯曲振动频率方程，并确定砂轮圆盘的R3。本发明克服了现有设计方法存在设计误差较大的问题，实现了超声磨削振动系统的高精度设计，减少后期调试的时间和成本。

Description

一种新型超声磨削振动系统设计方法
技术领域
本发明涉及一种超声磨削系统的设计方法，具体地说是一种新型超声磨削振动系统。
背景技术
超声磨削加工技术是通过在磨削工具或工件上施加超声振动，利用超声振动和磨削工具的共同作用，以达到更高加工质量和加工效率的加工技术，是目前实现高性能合金、硬脆材料和新型复合材料高质高效加工的重要技术之一。超声磨削振动系统是实现超声磨削加工的核心装备，超声磨削振动系统设计的好坏决定着超声磨削加工中超声的作用效果，从而影响超声磨削的加工性能。超声磨削振动系统设计方法的准确度决定着超声磨削振动系统的工作性能和后期调试的时间和成本。
《超声磨削杯型工具变幅器的设计与实验分析》文献中，利用Mindlin中厚板理论求出了圆盘的位移，转角，弯矩和剪力函数的解析表达式，建立杯型变幅器整体的谐振频率方程，用于超声磨削杯型工具变幅器设计。《杯型工具复合变幅杆设计与振动特性分析》文献中，利用简支条件下的薄圆盘振动频率方程确定杯型工具复合变幅杆的相关尺寸，实现杯型工具复合变幅杆的设计。《超声变幅杆与杯型工具一体化设计》文献中，公开了超声波在杯型工具变幅杆是以“纵-弯-纵”的形式传播，利用单一形式薄圆盘方程与纵向振动方程耦合，建立了杯型工具变幅杆的谐振频率方程，实现了超声变幅杆和杯型工具一体化的设计。
目前在针对超声磨削振动系统设计时，将与纵振超声变幅杆连接的圆盘当作一般圆盘来设计，这类设计方法存在如下不足：(1)忽略了纵振超声变幅杆对圆盘弯曲振动的影响；(2)省略了圆盘非圆心区域振动位移函数中的第二类贝塞尔函数(第二类贝塞尔函数在圆盘半径r＝0时，趋近于无穷大)，因此只适用于圆盘直径较小的超声磨削振动系统。这类设计方法存在设计误差较大，从而影响超声磨削振动系统的工作性能和增加后期调试的时间和成本，特别是纵振超声变幅杆与圆盘连接面积较大或圆盘直径较大时，甚至会产生设计结果和实际严重偏离的问题，导致设计失败。
发明内容
根据上述提出的技术问题，而提供一种新型超声磨削振动系统设计方法。本方法根据砂轮圆盘的弯曲振动是否受到超声变幅杆纵向振动直接影响，将砂轮圆盘部分的设计等效为两段式超声变幅杆的设计，建立受超声变幅杆纵向振动直接影响段圆盘的振动方程、不受超声变幅杆纵振直接影响段圆盘的振动方程、两端固定纵振超声变幅杆的振动方程，最终实现新型超声磨削振动系统的高精度设计。
本发明采用的技术手段如下：
一种新型超声磨削振动系统设计方法，所述新型超声磨削振动系统包括超声变幅杆和与所述超声变幅杆的小端固定连接的砂轮圆盘，所述超声变幅杆的长度为L，所述超声变幅杆的大端外径为R1，所述超声变幅杆的小端外径为R2，所述砂轮圆盘的外径为R3；
一种新型超声磨削振动系统设计方法包括如下步骤：
S1：确定超声变幅杆的长度L；
S11：建立超声变幅杆纵振频率方程；
根据牛顿定律可得任意截面超声变幅杆纵向振动的动力学方程为
Figure BDA0002318457540000021
式中：S为超声变幅杆的任意一点横截面的横截面积值，ξ为超声变幅杆上任意一点的位移值，σ为超声变幅杆任意一点的应力值，
Figure BDA0002318457540000022
E1为超声变幅杆的杨氏模量，ρ1为超声变幅杆的密度，x为超声变幅杆上任意一点的横坐标；
S12：简化所述超声变幅杆纵振频率方程，得到简化超声变幅杆纵振频率方程：
因为所述超声变幅杆的纵振为简谐振动，所以所述超声变幅杆纵振频率方程可简化为简化超声变幅杆纵振频率方程：
Figure BDA0002318457540000031
式中：k是超声变幅杆的圆波数，k＝ω/c1，ω是超声变幅杆的圆频率，c1为纵波在超声变幅杆的传播速度，
Figure BDA0002318457540000032
S13：求解所述简化超声变幅杆纵振频率方程，得到超声变幅杆振动位移函数：
Figure BDA0002318457540000033
式中：R为超声变幅杆的横截面半径，R＝R(x)为非分段函数，A、B为待求未知常数；
S14：限定超声变幅杆的两端纵向位移量均为0，计算超声变幅杆的长度L；
ξ|x＝0＝0 (4)
ξ|x＝L＝0 (5)
将式(4)和(5)分别带入式(3)中，可得超声变幅杆纵振频率方程为：
sinkL＝0 (6)
根据所述超声变幅杆频率方程求得超声变幅杆的长度L；可以得到，L为超声波的二分之一波长或二分之波长的整数倍。
S2：建立圆盘弯曲振动频率方程，并确定砂轮圆盘的几何参数；
所述超声变幅杆纵振对圆盘弯曲振动的直接影响区域同样为半径为R2的小圆盘，为第一段圆盘；砂轮圆盘不受超声变幅杆纵振直接影响的区域为内径为R2、外径为R3的圆环，为第二段圆盘；
根据超声变幅杆纵向振动对圆盘弯曲振动的影响，第一段圆盘上任意一点r的振动位移函数ξ1＝ξ1(r)、挠度函数γ1＝γ1(r)、弯矩函数M1＝M1(r)、应力函数Q1＝Q1(r)分别为：
ξ1(r)＝A1J0(βr)+B1I0(βr)+C1 (7)
其中，A1、B1、C1为待定常数，J为第一类贝塞尔函数，I为第一类修正贝塞尔函数；
Figure BDA0002318457540000041
f为设计频率，h为砂轮圆盘的厚度，E2为砂轮圆盘的杨氏模量，μ为砂轮圆盘的泊松比，ρ2为砂轮圆盘材料密度；
γ1(r)＝-Dξ1′(r) (8)
其中，D为圆盘的弯曲刚度，
Figure BDA0002318457540000042
Figure BDA0002318457540000043
Figure BDA0002318457540000044
第二段圆盘的振动位移函数ξ2＝ξ2(r)，挠度函数γ2＝γ2(r)，弯矩函数M2＝M2(r)，应力函数Q2＝Q2(r)分别为：
ξ2(r)＝A2J0(βr)+B2I0(βr)+C2Y0(βr)+D2K0(βr) (11)
式中A2、B2、C2、D2为待定常数；
γ2(r)＝-Dξ2′(r) (12)
Figure BDA0002318457540000045
Figure BDA0002318457540000046
根据超声变幅杆纵振影响下砂轮圆盘的振动形式，建立圆盘弯曲振动位移、弯矩和应力边界条件，及两段圆盘弯曲振动的位移、挠度、弯矩和应力连接条件如下：
ξ1|r＝0＝0 (15)
Figure BDA0002318457540000051
Figure BDA0002318457540000052
Figure BDA0002318457540000053
Figure BDA0002318457540000054
Figure BDA0002318457540000055
Figure BDA0002318457540000056
联立式(15)～(21)七式，消去A1、B1、C1、A2、B2、C2、D2可得第二段圆盘的振动频率方程：
Figure BDA0002318457540000057
其中：
T1＝[4J0(R2β)-2]K0(R2β)+{J1(R3β)[πR3βK0(R3β)-2π(μ-1)K1(R3β)]-πR3βJ0(R3β)K1(R3β)}Y0(R2β)+J0(R2β){πK1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-πR3βK0(R3β)Y1(R3β)}
T2＝2(μ-1)J1(R3β)Y0(R2β)+J0(R2β)[R3βY2(R3β)-2μY1(R3β)]
T3＝4(μ-1)J1(R2β)J1(R3β)K0(R2β)Y0(R2β)+
R3βJ0(R3β)[2J1(R2β)K0(R2β)+K1(R2β)]Y0(R2β)+K1(R2β)T2
T4＝{J1(R3β)[2(μ-1)K1(R3β)-R3βK0(R3β)]+R3βJ0(R3β)K1(R3β)}Y1(R2β)+J1(R2β){R3βK0(R3β)Y1(R3β)-K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]}
T5＝R3βK0(R3β)Y1(R3β)-K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]
Figure BDA0002318457540000061
Figure BDA0002318457540000062
T8＝[R2-2R2I0(R2β)]Y1(R2β)+[R2βK1(R2β)-2]R3I0(R3β)Y1(R3β)
Figure BDA0002318457540000063
R3βI0(R3β)[I0(R2β)K1(R2β)Y1(R3β)-J1(R3β)K0(R2β)Y1(R2β)]
T10＝R2βT14+[R2βK1(R2β)-2]J0(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]
T11＝K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-R3βK0(R3β)Y1(R3β)
T12＝[2I0(R2β)-1]Y0(R2β)+R3βI0(R3β)K0(R2β)Y1(R3β)+I1(R3β)K0(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]+I0(R2β)T11
T13＝R3βI0(R3β)J1(R3β)+I1(R3β)[R3βJ0(R3β)+2(μ-1)J1(R3β)]
T14＝I0(R2β)K1(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-[R3βJ0(R3β)+2(μ-1)J1(R3β)]K0(R2β)Y1(R2β)
T15＝I1(R3β)T10+β[R2T9+J0(R2β)T8]
T16＝R2β[I0(R2β)(2J0(R2β)-1)-J0(R2β)]
Y为第二类贝塞尔函数；
K为第二类修正贝塞尔函数；
根据第二段圆盘的振动频率方程求得R3。
本发明具有以下优点：
与现有技术将与纵振超声变幅杆连接的圆盘当作一般圆盘来设计相比，本发明根据圆盘的弯曲振动是否受到超声变幅杆纵向振动直接影响，将圆盘部分等效为两段式弯曲振动变幅杆，分别建立两段圆盘的振动频率方程，并与建立的两端固定纵振超声变幅杆的振动频率方程相结合，克服了现有设计方法存在设计误差较大，从而影响超声磨削振动系统的工作性能和增加后期调试的时间和成本，特别是纵振超声变幅杆与圆盘连接面积较大或圆盘直径较大时，甚至会产生设计结果和实际严重偏离，导致设计失败的问题，实现了超声磨削振动系统的高精度设计，减少后期调试的时间和成本。
使用本超声磨削振动系统设计方法所设计的超声磨削振动系统中的超声变幅杆的两端(即两个位移节点)可以通过固定法兰固定，增加了超声变幅杆的刚度，并将砂轮圆盘紧靠前端的固定法兰，使砂轮圆盘与超声变幅杆在振动位移几乎为零的位置连接，因此具有较高的刚度和旋转精度，砂轮圆盘与纵振超声变幅杆在振动位移几乎为零的位置连接，减少超声振动系统的发热，提高超声能量传递效率。
基于上述理由本发明可在超声磨削振动系统等领域广泛推广。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图做以简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明具体实施方式中新型超声磨削振动系统结构图。
图2是本发明具体实施方式中超声磨削振动系统谐振位移分布图。
图3是本发明具体实施方式中超声磨削振动系统谐振位移矢量图。
图4是图1的右视图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1～4所示，一种新型超声磨削振动系统设计方法，所述新型超声磨削振动系统包括超声变幅杆和与所述超声变幅杆的小端固定连接的砂轮圆盘，所述超声变幅杆的长度为L，所述超声变幅杆的大端外径为R1，所述超声变幅杆的小端外径为R2，所述砂轮圆盘的外径为R3；(如图1和图4所示)
一种新型超声磨削振动系统设计方法包括如下步骤：
S1：确定超声变幅杆的长度L；
S11：建立超声变幅杆纵振频率方程；
根据牛顿定律可得任意截面超声变幅杆纵向振动的动力学方程为
Figure BDA0002318457540000081
式中：S为超声变幅杆的任意一点横截面的横截面积值，ξ为超声变幅杆上任意一点的位移值，σ为超声变幅杆任意一点的应力值，
Figure BDA0002318457540000082
E1为超声变幅杆的杨氏模量，ρ1为超声变幅杆的密度，x为超声变幅杆上任意一点的横坐标；
S12：简化所述超声变幅杆纵振频率方程，得到简化超声变幅杆纵振频率方程：
因为所述超声变幅杆的纵振为简谐振动，所以所述超声变幅杆纵振频率方程可简化为简化超声变幅杆纵振频率方程：
Figure BDA0002318457540000083
式中：k是超声变幅杆的圆波数，k＝ω/c1，ω是超声变幅杆的圆频率，c1为纵波在超声变幅杆的传播速度，
Figure BDA0002318457540000084
S13：求解所述简化超声变幅杆纵振频率方程，得到超声变幅杆振动位移函数：
Figure BDA0002318457540000091
式中：R为超声变幅杆的横截面半径，R＝R(x)为非分段函数，A、B为待求未知常数；
S14：限定超声变幅杆的两端纵向位移量均为0，计算超声变幅杆的长度L；
ξ|x＝0＝0 (4)
ξ|x＝L＝0 (5)
将式(4)和(5)分别带入式(3)中，可得超声变幅杆纵振频率方程为：
sinkL＝0 (6)
根据所述超声变幅杆频率方程求得超声变幅杆的长度L；根据公式(6)可知超声变幅杆长度L应为超声波波长的二分之一或二分之一波长的整数倍。
S2：建立圆盘弯曲振动频率方程，并确定砂轮圆盘的几何参数；
所述超声变幅杆纵振对圆盘弯曲振动的直接影响区域同样为半径为R2的小圆盘，为第一段圆盘；砂轮圆盘不受超声变幅杆纵振直接影响的区域为内径为R2、外径为R3的圆环，为第二段圆盘(如图4所示)；
根据超声变幅杆纵向振动对圆盘弯曲振动的影响，第一段圆盘上任意一点r的振动位移函数ξ1＝ξ1(r)、挠度函数γ1＝γ1(r)、弯矩函数M1＝M1(r)、应力函数Q1＝Q1(r)分别为：
ξ1(r)＝A1J0(βr)+B1I0(βr)+C1 (7)
其中，A1、B1、C1为待定常数，J为第一类贝塞尔函数，I为第一类修正贝塞尔函数；
Figure BDA0002318457540000092
f为设计频率，h为砂轮圆盘的厚度，E2为砂轮圆盘的杨氏模量，μ为砂轮圆盘的泊松比，ρ2为砂轮圆盘材料密度；
γ1(r)＝-Dξ1′(r) (8)
其中，D为圆盘的弯曲刚度，
Figure BDA0002318457540000101
Figure BDA0002318457540000102
Figure BDA0002318457540000103
第二段圆盘的振动位移函数ξ2＝ξ2(r)，挠度函数γ2＝γ2(r)，弯矩函数M2＝M2(r)，应力函数Q2＝Q2(r)分别为：
ξ2(r)＝A2J0(βr)+B2I0(βr)+C2Y0(βr)+D2K0(βr) (11)
式中A2、B2、C2、D2为待定常数；
γ2(r)＝-Dξ2′(r) (12)
Figure BDA0002318457540000104
Figure BDA0002318457540000105
根据超声变幅杆纵振影响下砂轮圆盘的振动形式，建立圆盘弯曲振动位移、弯矩和应力边界条件，及两段圆盘弯曲振动的位移、挠度、弯矩和应力连接条件如下：
ξ1|r＝0＝0 (15)
Figure BDA0002318457540000106
Figure BDA0002318457540000107
Figure BDA0002318457540000108
Figure BDA0002318457540000109
Figure BDA0002318457540000111
Figure BDA0002318457540000112
联立式(15)～(21)七式，消去A1、B1、C1、A2、B2、C2、D2可得第二段圆盘的振动频率方程：
Figure BDA0002318457540000113
其中：
T1＝[4J0(R2β)-2]K0(R2β)+{J1(R3β)[πR3βK0(R3β)-2π(μ-1)K1(R3β)]-πR3βJ0(R3β)K1(R3β)}Y0(R2β)+J0(R2β){πK1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-πR3βK0(R3β)Y1(R3β)}
T2＝2(μ-1)J1(R3β)Y0(R2β)+J0(R2β)[R3βY2(R3β)-2μY1(R3β)]
T3＝4(μ-1)J1(R2β)J1(R3β)K0(R2β)Y0(R2β)+R3βJ0(R3β)[2J1(R2β)K0(R2β)+K1(R2β)]Y0(R2β)+K1(R2β)T2
T4＝{J1(R3β)[2(μ-1)K1(R3β)-R3βK0(R3β)]+R3βJ0(R3β)K1(R3β)}Y1(R2β)+J1(R2β){R3βK0(R3β)Y1(R3β)-K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]}
T5＝R3βK0(R3β)Y1(R3β)-K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]
Figure BDA0002318457540000114
Figure BDA0002318457540000115
T8＝[R2-2R2I0(R2β)]Y1(R2β)+[R2βK1(R2β)-2]R3I0(R3β)Y1(R3β)
Figure BDA0002318457540000121
T10＝R2βT14+[R2βK1(R2β)-2]J0(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]
T11＝K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-R3βK0(R3β)Y1(R3β)
T12＝[2I0(R2β)-1]Y0(R2β)+R3βI0(R3β)K0(R2β)Y1(R3β)+I1(R3β)K0(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]+I0(R2β)T11
T13＝R3βI0(R3β)J1(R3β)+I1(R3β)[R3βJ0(R3β)+2(μ-1)J1(R3β)]
T14＝I0(R2β)K1(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-[R3βJ0(R3β)+2(μ-1)J1(R3β)]K0(R2β)Y1(R2β)
T15＝I1(R3β)T10+β[R2T9+J0(R2β)T8]
T16＝R2β[I0(R2β)(2J0(R2β)-1)-J0(R2β)]
Y为第二类贝塞尔函数；
K为第二类修正贝塞尔函数；
根据第二段圆盘的振动频率方程求得R3。
为了方便说明一种超声变幅杆设计方法的具体实施方式，将纵振超声变幅杆设定为圆锥形超声变幅杆。圆锥形超声变幅杆的材料采用调质处理的45#钢，其圆锥大端的半径R1＝25mm，小端的半径R2＝15mm。设计频率f＝20kHz，波速
Figure BDA0002318457540000122
角波数k＝2πf/c1＝24.8。
将上述已知条件带入式(6)，可得圆锥形超声变幅杆的长度
L＝127mm，也可为127×n，n＝1、2、3……。
(2)圆盘弯曲振动频率方程的建立，确定砂轮圆盘的几何参数
砂轮圆盘的材料采用调质处理的45#钢，第一段圆盘的半径R2＝15mm，圆盘的厚度h＝10mm，设计频率f＝20kHz，
Figure BDA0002318457540000131
E2＝2×1011Pa，μ＝0.27，ρ2＝7800kg/m3，其中/>
Figure BDA0002318457540000132
将上述已知条件带入
Figure BDA0002318457540000133
T2＝0.585867[90.9804R3Y2(90.9804R3)-0.54Y1(90.9804R3)]-0.468016J1(90.9804R3)
T3＝17.8307R3J0(90.9804R3)-0.127924J1(90.9804R3)+0.338049T2
Figure BDA0002318457540000134
T5＝90.9804R3Y1(90.9804R3)K0(90.9804R3)-[90.9804R3Y0(90.9804R3)-1.46Y1(90.9804R3)]K1(90.9804R3)
Figure BDA0002318457540000135
T7＝90.9804[1.84212R3J0(90.9804R3)K1(90.9804R3)+0.0252282T5+0.00174164]-1.84212J1(90.9804R3)[90.9804R3K0(90.9804R3)+1.46K1(90.9804R3)]
T8＝0.015442-1.53866R3Y1(90.9804R3)I0(90.9804R3)
Figure BDA0002318457540000141
T10＝1.36471T14-0.901452[90.9804R3Y0(90.9804R3)-1.46Y1(90.9804R3)]
T11＝[90.9804R3Y0(90.9804R3)-1.46Y1(90.9804R3)]K1(90.9804R3)-90.9804R3Y1(90.9804R3)K0(90.9804R3)
T12＝23.2254R3Y1(90.9804R3)I0(90.9804R3)+0.255279[90.9804R3Y0(90.9804R3)-1.46Y1(90.9804R3)]I1(90.9804R3)+1.52269T11+0.655665
T13＝90.9804R3J1(90.9804R3)I0(90.9804R3)+[90.9804R3J0(90.9804R3)-1.46J1(90.9804R3)]I1(90.9804R3)
T14＝0.128485[90.9804R3J0(90.9804R3)-1.46J1(90.9804R3)]+0.514744[90.9804R3Y0(90.9804R3)-1.46Y1(90.9804R3)]
T15＝T10I1(90.9804R3)+90.9804(0.585867T8+0.015T9)
T16＝-0.442668 0.995358T1+π(0.391138T12+0.535359T15-0.170144T13T16)+0.854024(4.28735T6+1.52269T7)＝0
可得砂轮圆盘半径R3＝29mm。
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (1)

1.一种新型超声磨削振动系统设计方法，其特征在于，所述新型超声磨削振动系统包括超声变幅杆和与所述超声变幅杆的小端固定连接的砂轮圆盘，所述超声变幅杆的长度为L，所述超声变幅杆的大端外径为R1，所述超声变幅杆的小端外径为R2，所述砂轮圆盘的外径为R3；
一种新型超声磨削振动系统设计方法包括如下步骤：
S1：确定超声变幅杆的长度L；
S11：建立超声变幅杆纵振频率方程；
根据牛顿定律可得任意截面超声变幅杆纵向振动的动力学方程为
Figure FDA0002318457530000011
式中：S为超声变幅杆的任意一点横截面的横截面积值，ξ为超声变幅杆上任意一点的位移值，σ为超声变幅杆任意一点的应力值，
Figure FDA0002318457530000012
E1为超声变幅杆材料的杨氏模量，ρ1为超声变幅杆材料的密度，x为超声变幅杆上任意一点的横坐标；
S12：简化所述超声变幅杆纵振频率方程，得到简化超声变幅杆纵振频率方程：
因为所述超声变幅杆的纵振为简谐振动，所以所述超声变幅杆纵振频率方程可简化为简化超声变幅杆纵振频率方程：
Figure FDA0002318457530000013
式中：k是超声变幅杆纵振的圆波数，k＝ω/c1，ω是超声变幅杆纵振的圆频率，c1为纵波在超声变幅杆中的传播速度，
Figure FDA0002318457530000014
S13：求解所述简化超声变幅杆纵振频率方程，得到超声变幅杆振动位移函数：
Figure FDA0002318457530000021
式中：R为超声变幅杆任意一个横截面的半径，A、B为待求未知常数；
S14：限定超声变幅杆的两端纵向位移量均为0，计算超声变幅杆的长度L；
ξ|x＝0＝0 (4)
ξ|x＝L＝0 (5)
将式(4)和(5)分别带入式(3)中，可得超声变幅杆纵振频率方程为：
sin kL＝0 (6)
根据所述超声变幅杆频率方程求得超声变幅杆的长度L；
S2：建立圆盘弯曲振动频率方程，并确定砂轮圆盘的几何参数；
所述超声变幅杆纵振对圆盘弯曲振动的直接影响区域同样为半径为R2的小圆盘，为第一段圆盘；砂轮圆盘不受超声变幅杆纵振直接影响的区域为内径为R2、外径为R3的圆环，为第二段圆盘；
根据超声变幅杆纵向振动对圆盘弯曲振动的影响，第一段圆盘上任意一点r的振动位移函数ξ1＝ξ1(r)、挠度函数γ1＝γ1(r)、弯矩函数M1＝M1(r)、应力函数Q1＝Q1(r)分别为：
ξ1(r)＝A1J0(βr)+B1I0(βr)+C1 (7)
其中，A1、B1、C1为待定常数，J为第一类贝塞尔函数，I为第一类修正贝塞尔函数；
Figure FDA0002318457530000022
f为设计频率，h为砂轮圆盘的厚度，E2为砂轮圆盘材料的杨氏模量，μ为砂轮圆盘材料的泊松比，ρ2为砂轮圆盘材料密度；
γ1(r)＝-Dξ1′(r) (8)
其中，D为圆盘的弯曲刚度，
Figure FDA0002318457530000023
Figure FDA0002318457530000031
Figure FDA0002318457530000032
第二段圆盘的振动位移函数ξ2＝ξ2(r)，挠度函数γ2＝γ2(r)，弯矩函数M2＝M2(r)，应力函数Q2＝Q2(r)分别为：
ξ2(r)＝A2J0(βr)+B2I0(βr)+C2Y0(βr)+D2K0(βr) (11)
式中A2、B2、C2、D2为待定常数；
γ2(r)＝-Dξ2′(r) (12)
Figure FDA0002318457530000033
Figure FDA0002318457530000034
根据超声变幅杆纵振影响下砂轮圆盘的振动形式，建立圆盘弯曲振动位移、弯矩和应力边界条件，及两段圆盘弯曲振动的位移、挠度、弯矩和应力连接条件如下：
ξ1|r＝0＝0 (15)
Figure FDA0002318457530000035
Figure FDA0002318457530000036
Figure FDA0002318457530000037
Figure FDA0002318457530000038
Figure FDA0002318457530000039
Figure FDA00023184575300000310
联立式(15)～(21)七式，消去A1、B1、C1、A2、B2、C2、D2可得第二段圆盘的振动频率方程：
Figure FDA0002318457530000041
其中：
T1＝[4J0(R2β)-2]K0(R2β)+{J1(R3β)[πR3βK0(R3β)-2π(μ-1)K1(R3β)]-πR3βJ0(R3β)K1(R3β)}Y0(R2β)+J0(R2β){πK1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-πR3βK0(R3β)Y1(R3β)}
T2＝2(μ-1)J1(R3β)Y0(R2β)+J0(R2β)[R3βY2(R3β)-2μY1(R3β)]
T3＝4(μ-1)J1(R2β)J1(R3β)K0(R2β)Y0(R2β)+R3βJ0(R3β)[2J1(R2β)K0(R2β)+K1(R2β)]Y0(R2β)+K1(R2β)T2
Figure FDA0002318457530000042
T5＝R3βK0(R3β)Y1(R3β)-K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]
T6＝R3βI0(R3β)[J1(R3β)(2J1(R2β)K0(R2β)+K1(R2β))Y0(R2β)-J0(R2β)K1(R2β)Y1(R3β)]+J0(R2β)T4+I1(R3β)T3
T7＝β{2[2J0(R2β)-1]R2K1(R2β)+[πR2βY1(R2β)+4]R3J0(R3β)K1(R3β)+πR2J1(R2β)T5}-J1(R3β)[R3βK0(R3β)-2(μ-1)K1(R3β)][πR2βY1(R2β)+4]
T8＝[R2-2R2I0(R2β)]Y1(R2β)+[R2βK1(R2β)-2]R3I0(R3β)Y1(R3β)
T9＝I0(R2β){J1(R3β)[R3βK0(R3β)-2(μ-1)K1(R3β)]-R3βJ0(R3β)K1(R3β)}Y1(R2β)+R3βI0(R3β)[I0(R2β)K1(R2β)Y1(R3β)-J1(R3β)K0(R2β)Y1(R2β)]
T10＝R2βT14+[R2βK1(R2β)-2]J0(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]
T11＝K1(R3β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-R3βK0(R3β)Y1(R3β)
T12＝[2I0(R2β)-1]Y0(R2β)+R3βI0(R3β)K0(R2β)Y1(R3β)+I1(R3β)K0(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]+I0(R2β)T11
T13＝R3βI0(R3β)J1(R3β)+I1(R3β)[R3βJ0(R3β)+2(μ-1)J1(R3β)]
T14＝I0(R2β)K1(R2β)[R3βY0(R3β)+2(μ-1)Y1(R3β)]-[R3βJ0(R3β)+2(μ-1)J1(R3β)]K0(R2β)Y1(R2β)
T15＝I1(R3β)T10+β[R2T9+J0(R2β)T8]
T16＝R2β[I0(R2β)(2J0(R2β)-1)-J0(R2β)]
Y为第二类贝塞尔函数；
K为第二类修正贝塞尔函数；
根据第二段圆盘的振动频率方程求得R3。
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