CN110987435A - 一种基于改进k-svd字典学习和压缩感知的轴承故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种故障诊断方法，融合改进K‑SVD字典学习和压缩感知算法，属于轴承故障诊断技术领域。本发明利用基于轴承故障特点，将轴承信号稀疏化得到一个稀疏信号增强信号特征，然后将所得稀疏信号计算分封制特征波形，利用压缩感知算法对上述特征波形进行非线性采样，最后利用压缩采样匹配追踪法追踪谐波，最后将分离所得的信号进行傅里叶变换提取轴承的故障特征最终实现轴承的故障诊断。

Description

一种基于改进K-SVD字典学习和压缩感知的轴承故障诊断 方法

技术领域：

本发明涉及一种故障诊断方法，融合改进K-SVD字典学习和压缩感知算法，属于轴承故障诊断技术领域。

背景技术

在实际的工程中，旋转机械设备结构复杂，自动化高，体型庞大。对其进行监测时会产生大量的冗余数据。如何在保证信号特征的情况下，用尽量少的数据来表征信号，这是众多工程师所关心的问题，并为此投入众多的研究。近些年提出的压缩感知理论解决了上述。该理论指出，若信号在某一稀疏基下是稀疏的，则它可以在通过低于奈奎斯特采样率的条件下，进行重采样，消除冗余成分，得到具有有效信息的压缩信号。但实际检测中由，于采样环境的影响，使得采集信号常伴有大量噪声，导致噪声混杂在信号中被一同压缩，对压缩信号的特征提取造成影响。为了保证信号的稀疏性并提高信噪比，有必要对信号进行前处理，达到降低信号中的冗余成分，再通过压缩感知算法对处理后的信号压缩储存，待需要时再重构进行分析。

基于上述问题，本发明提出了一种基于改进K-SVD和压缩感知的轴承故障诊断方法。通过改进的字典学习的字典稀疏地表示原信号，同时将处理后的信号多次压缩得到特征波形，对特征波形进行谐波提取，用作诊断轴承故障。

发明内容：

该方法分为三个阶段，分别为：稀疏表示阶段，压缩采样阶段，压缩感知阶段。

1.稀疏表示部分

稀疏表示理论指出，在某一固定基，自然信号下用少量的原子来表示该信号，表达式如下：

Y^m*m≈D^m*m*X^m*m

其中D^m*m为稀疏字典，X^m*m为稀疏系数矩阵，Y^m*m是原始信号，且满足条件X^m*m是稀疏的，同时D^m*m的列向量为归一化向量。

用下式解释稀疏表示问题:

其中，x_i是稀疏系数矩阵的第i列，|| ||₀为向量0范数，是向量或矩阵中非零项的个数，T₀为非零项个数允许的最大值。

将原有的公式变形为：

st||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²≤ε

其中ε为重构误差。对信号重构误差的选取，可以选取0.1为误差起点，每次增加0.01，得到的阈值对信号进行稀疏表示，观察稀疏信号包络谱，选取在不丢失特征的情况下最稀疏的阈值。通过信号包络谱最高点是否发生变化来判断，如果偏离±10HZ可以认为丢失特征。

K-SVD算法需要进行K次迭代，且每次都要通过SVD将信号进行奇异值分解，以矩阵相乘的形式进行表示。将右侧矩阵的第一列作为字典原子，左侧系数矩阵的第一行和中间奇异值矩阵的第一个值的乘积作为稀疏系数s。数学公式如下：

Q^m*n＝X^m*n*Z^n*n*C^n*m

其中，Q^m*n为被分解矩阵，X^m*n为系数矩阵，Z^n*n为奇异值矩阵，C^n*m为字典矩阵。K-SVD字典学习算法逐列更新字典原子，即每次只更新一列字典，即在更新某列原子时其他原子不变，故目标函数化为：

其中，α_j为D^m*m的第j列，x^T _j为X^m*m的第j列的转置，其中j≠k。E_k为残差矩阵，α_k为D^m*m的第k列字典原子，x_k为稀疏系数∑为求和符号。

其中，损失估计使用Frobenius范数：

其中，||A||_F等于

trace为矩阵的迹，为矩阵对角线之和。同时为保证稀疏性，构成残差矩阵时，只选取稀疏系数不为零的索引所对应的列。然后，通过分解残差矩阵来实现字典与稀疏系数的更新。

2.压缩采样部分

由于通过压缩感知构建的感知矩阵维度要与信号相匹配，这会造成大的资源浪费。为此，本发明提出了一种基于峰峰值波形因子的降采样方法。可以去除大量冗余信息，并极大程度的保留信号特征。方法将信号分成若干部分，计算每部分的峰峰值，组成新的信号，再对信号进行压缩。分割过程可以由下式表示：

y_i(t)＝[x(t)]_(z-1)*M+1,...,[x(t)]_z*M

其中y_i(t)为原始信号，M为块信号长度，N为信号总长度，z为块数目，[x(t)]_(z-1)*M+1为块信号。

峰峰值由下式计算：

PTP_n(t)＝max(y_n(t))-min(y_n(t))

PTP_n(t)为第n块信号的峰峰值，其中max(y_n(t))为截取的第n块信号的最大值，min(y_n(t))为截取的第n块信号的最小值。

新的信号可以由下式表示：

Z_i(t)＝[PTP₁(t)，PTP₂(t)，...，PTP_n(t)]_Z*M

Z_i(t)为新组成的信号，此时信号采样率变为原来的采样率除以M。

3.压缩感知部分

压缩感知的理论指出，若某个信号是可压缩的并且在某一基下是稀疏的，则可将信号投影到低维矩阵，使用非线性降采样方法获取低维信号，再通过匹配追踪等方法从低维信号高概率地重构出原信号。

压缩感知理论公式为：

y＝Φx＝ΦΨs＝Θs

其中，y为压缩后的信号，x为原信号，Φ测量矩阵，s为稀疏系数，Ψ为稀疏基矩阵，Θ为感知矩阵。其中Φ需要满足RIP(约束等距)性质。

RIP性质可以用如下公式表示

其中，δ是一个大于或等于零的数，a是任意矩阵，若满足上式则Φ满足RIP性质。

通过得到的感知矩阵Θ和压缩信号y，能够大概率恢复原始信号。但由于原始信号在特定稀疏基下稀疏度难以估计，而难以确定具体的稀疏度，使得高概率地恢复为原故障信号存在困难。为此，本发明提出了一种基于压缩感知的故障提取方法，使用傅里叶字典作为稀疏基，并利用在此字典下稀疏度固定为2的这一先验知识，利用重构算法提取信号中的谐波部分进行故障诊断。能够有效的减少噪声对谐波提取的干扰，使特征提取更加顺利。

信号恢复算法：

当Φ满足RIP性质时，可以通过求解下列方程通过得到稀疏系数s，然后将稀疏度k＝2的信号x从测量投影值为M维的y中正确地恢复出来。

本文采用COSAMP(压缩采样匹配追踪)算法求解上述最优化问题获得s。

其中压缩采样匹配追踪框架如下

压缩采样匹配追踪(COSAMP)

输入：测量矩阵为A，测量向量为y，稀疏度为s。

初始化：稀疏度为s的向量x⁰特别的x⁰＝0。

迭代：当残差小于10e6时停止迭代或迭代3000次。

Uⁿ⁺¹＝sup(xⁿ)∪L_2s(A^*(y-Axⁿ))

xⁿ⁺¹＝H_s(uⁿ⁺¹)

输出：x，为稀疏度是s的向量。

其中sup(),L_2s()为索引集，，A^*为矩阵A的逆矩阵，H_s()为硬值算法，该算法只保留给定向量中前s个最大值，并使剩余项全部为零，来保证稀疏度只有s。uⁿ⁺¹＝argmin{||y-Az||₂}该式采用最小二乘法方法求解。

本发明的目的在于解决轴承在传统有大量噪声及采样点数过多造成的故障特征频率提取难的问题。

本发明采用了一种K-SVD字典学习和压缩感知相结合的轴承故障诊断方法，利用K-SVD字典学习对原始信号进行稀疏表示去噪，将稀疏表示后的信号进行压缩，再通过压缩采样匹配追踪获取稀疏度s，并设置稀疏度k＝2的信号来追踪目标信号中能量较大的谐波部分，提取故障频率。

以下为该方法实施的主要流程：

(1)获取轴承信号，作为原始信号Y^m*m；

(2)将取得的原始信号进行重构，分割为信号块[x(t)]_(z-1)*M+1，M为块信号长度，z为块数目；

(3)设置字典原子个数，并设置迭代次数，并计算误差，选取0.1为误差起点，每次增加0.01，得到的阈值对信号进行稀疏表示，观察稀疏信号包络谱，选取在不丢失特征的情况下最稀疏的阈值。通过信号包络谱最高点是否发生变化来判断，当偏离超过±10Hz；迭代次数设置的依据是原始信号和稀疏表示后信号的均根误差MSE值是否收敛来判断是否停止迭代。

(4)迭代次数设置为原子列数以保证所有原子都能够迭代；

(5)设置初始字典为单位矩阵；

(6)将所设参数及轴承数据带入K-SVD程序中得到字典矩阵C^n*m和稀疏系数s，再利用s和C^n*m得到稀疏信号；

(7)利用峰峰值采样对[x(t)]_(z-1)*M+1进行降采样，得到信号块特征参数PTP_n(t)，并将其组成降采样信号Z_i(t)；

(8)设置高斯随机矩阵为测量矩阵Φ，设置傅里叶矩阵为稀疏基矩阵Ψ，两矩阵的积作为感知矩阵Θ；

(9)通过Φ对前面已经获得的Z_i(t)再次进行随机降采样，得到压缩后的信号y，将稀疏度k设为2，采用压缩采样匹配追踪得到稀疏系数s，再利用s与感知矩阵Θ追踪谐波；

(10)将得到的谐波信号频率与计算得到的理论的故障频率对比，求得的频率与理论频率误差不超过±3HZ时可以确定有故障。其中外圈理论故障频率为

内圈理论故障频率为

其中，f₀为转轴转速，Z为滚动体数目，D为轴承外径，d为轴承内径，θ为滚动体接触角。

附图说明

图1是本发明流程图

图2是内圈信号的时域波形图；

图3是外圈信号时域波形图；

图4是内圈信号经过K-SVD稀疏表示后的时域波形图；

图5为外圈信号经过K-SVD稀疏表示后的时域波形图；

图6为内圈压缩信号；

图7为外圈压缩信号；

图8是内圈稀疏信号经过降采样后提取到的信号频率；

图9是外圈稀疏信号经过降采样后提取到的信号频率；

具体实施方式

其中为了验证方法的可行性，本文分别用到了内圈、外圈两种不同的轴承故障进行检测，其中内圈故障特征频率：145.84Hz外圈故障特征频率：86.69Hz，转速为1300转/分钟，外圈缺陷尺寸为0.7*0.25的缺陷(宽*深)，内圈缺陷尺寸为0.3*0.05(宽*深)。

结合说明书附图和具体实施方法对本发明作进一步解释：

图1是本发明的流程图，先结合流程图对本发明进行详细解释：

K-SVD稀疏表示详细步骤如下：

(1)为了使实验信号能够包含更多的信息，应当选取适当数量的信号点，取该内圈信号的40000个点分析；

(2)利用将原信号分解为200×200阶矩阵，矩阵每一列为原本信号每200个进行截断，分解为200×200阶矩阵可以减少字典维度便于加速字典训练；

(3)设置字典迭代的原子数目m为200与信号维度一致；

(4)设置允许稀疏表示的误差，该误差设定的依据是尽可能的保持原有数据特征，通过信号包络谱最高点是否发生变化来判断，如果偏离±10HZ可以认为丢失特征。

(5)设置迭代次数为50次，迭代次数设置的依据是原始信号和稀疏表示后信号的MSE(均根误差)值是否收敛来判断是否停止迭代。均方根误差计算公式为

其中，Y为原始信号，Y'为稀疏表示后的信号

的最大特征值。

(6)计算字典及稀疏系数，并得到稀疏信号

压缩感知部分详细步骤如下：

(1)对得到的稀疏信号进行峰峰值降采样处理，采样长度为20得到2000个点的信号，经过实验该采样长度可以设置0～50；

(2)设置高斯随机矩阵M＝500，N＝2000，稀疏矩阵设置为傅里叶矩阵设置M＝500是为了将信号压缩至500长度N＝2000是为了保持矩阵为度一致。

(3)感知矩阵T为高斯随机矩阵与傅里叶字典的乘积，压缩信号为高斯随机矩阵与降采样后信号的乘积；

(4)设置稀疏度k＝2，进行压缩采样匹配追踪；

(5)对重构的信号进行傅里叶变换得到故障特征频率。

内圈信号分析中可以得到，本发明能够很精确的得到内圈信号的故障特征频率，接下来采用外圈信号，重复上述步骤可得到该故障特征信号的特征频率为87.89Hz，能够证明该方法能够很精确的得到故障特征频率。将该方法运用于内圈信号也可以得到接近于145.84Hz的特征频率，证实该方法有效。

Claims (3)

1.一种基于改进K-SVD字典学习和压缩感知的轴承故障诊断方法，其特征在于，分为三个阶段，分别为：稀疏表示阶段，压缩采样阶段，压缩感知阶段；

1)稀疏表示部分

稀疏表示理论指出，在某一固定基，自然信号下用少量的原子来表示该信号，表达式如下：

Y^m*m≈D^m*m*X^m*m

其中D^m*m为稀疏字典，X^m*m为稀疏系数矩阵，Y^m*m是原始信号，且满足条件X^m*m是稀疏的，同时D^m*m的列向量为归一化向量；

用下式解释稀疏表示问题:

其中，x_i是稀疏系数矩阵的第i列，|| ||₀为向量0范数，是向量或矩阵中非零项的个数，T₀为非零项个数允许的最大值；

将原有的公式变形为：

st||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²≤ε

其中，其中ε为重构误差；对信号重构误差的选取，选取0.1为误差起点，每次增加0.01，得到的阈值对信号进行稀疏表示，观察稀疏信号包络谱，选取在不丢失特征的情况下最稀疏的阈值；通过信号包络谱最高点是否发生变化来判断，如果偏离超过±10HZ认为丢失特征；

K-SVD算法需要进行K次迭代，且每次都要通过SVD将信号进行奇异值分解，以矩阵相乘的形式进行表示；将右侧矩阵的第一列作为字典原子，左侧系数矩阵的第一行和中间奇异值矩阵的第一个值的乘积作为稀疏系数s；数学公式如下：

Q^m*n＝X^m*n*Z^n*n*C^n*m

其中，Q^m*n为被分解矩阵，X^m*n为系数矩阵，Z^n*n为奇异值矩阵，C^n*m为字典矩阵；K-SVD字典学习算法逐列更新字典原子，即每次只更新一列字典，即在更新某列原子时其他原子不变，故目标函数化为：

其中，α_j为D^m*m的第j列，x^T _j为X^m*m的第j列的转置，其中j≠k；E_k为残差矩阵，α_k为D^m*m的第k列字典原子，x_k为稀疏系数∑为求和符号；

其中，损失估计使用Frobenius范数：

其中，||A||_F等于

trace为矩阵的迹，为矩阵对角线之和；同时为保证稀疏性，构成残差矩阵时，只选取稀疏系数不为零的索引所对应的列；然后，通过分解残差矩阵来实现字典与稀疏系数的更新；

2)压缩采样部分

将信号分成若干部分，计算每部分的峰峰值，组成新的信号，再对信号进行压缩；分割过程由下式表示：

y_i(t)＝[x(t)]_(z-1)*M+1,...,[x(t)]_z*M

其中y_i(t)为原始信号，M为块信号长度，N为信号总长度，z为块数目，[x(t)]_(z-1)*M+1为块信号；

峰峰值由下式计算：

PTP_n(t)＝max(y_n(t))-min(y_n(t))

PTP_n(t)为第n块信号的峰峰值；其中，峰峰值为信号序列中最大值与最小值的差；max(y_n(t))为截取的第n块信号的最大值，min(y_n(t))为截取的第n块信号的最小值；

新的信号由下式表示：

Z_i(t)＝[PTP₁(t)，PTP₂(t)，...，PTP_n(t)]_Z*M

Z_i(t)为新组成的信号，此时信号采样率变为原来的采样率除以M；

3)压缩感知部分

压缩感知理论公式为：

y＝Φx＝ΦΨs＝Θs

其中，y为压缩后的信号，x为原信号，Φ测量矩阵，s为稀疏系数，Ψ为稀疏基矩阵，Θ为感知矩阵；其中Φ需要满足RIP即约束等距性质；

RIP性质用如下公式表示

其中，δ是一个大于或等于零的数，a是任意矩阵，若满足上式则Φ满足RIP性质；

信号恢复算法：

当Φ满足RIP性质时，通过求解下列方程通过得到稀疏系数s，然后将稀疏度k＝2的信号x从测量投影值为M维的y中正确地恢复出来；

采用COSAMP(压缩采样匹配追踪)算法求解上述最优化问题获得s。

2.根据权利要求1所述的一种基于改进K-SVD字典学习和压缩感知的轴承故障诊断方法，其特征在于，其中压缩采样匹配追踪方法如下：

输入：测量矩阵为A，测量向量为y，稀疏度为s；

初始化：稀疏度为s的向量x⁰特别的x⁰＝0；

迭代：当残差小于10e6时停止迭代或迭代3000次；

Uⁿ⁺¹＝sup(xⁿ)∪L_2s(A^*(y-Axⁿ))

xⁿ⁺¹＝H_s(uⁿ⁺¹)

输出：x为稀疏度是s的向量；

其中sup(),L_2s()为索引集A^*为矩阵A的逆矩阵，H_s()为硬阈值算法，该算法只保留给定向量中前s个最大值，并使剩余项全部为零，来保证稀疏度只有s；uⁿ⁺¹＝argmin{||y-Az||₂}该式采用最小二乘法方法求解。

3.一种基于改进K-SVD字典学习和压缩感知的轴承故障诊断方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)获取轴承信号，作为原始信号Y^m*m；

(2)将取得的原始信号进行重构，分割为信号块[x(t)]_(z-1)*M+1M为块信号长度，z为块数目；

(3)设置字典原子个数，并设置迭代次数，并计算误差，选取0.1为误差起点，每次增加0.01，得到的阈值对信号进行稀疏表示，观察稀疏信号包络谱，选取在不丢失特征的情况下最稀疏的阈值；通过信号包络谱最高点是否发生变化来判断，当偏离超过±10Hz；迭代次数设置的依据是原始信号和稀疏表示后信号的均根误差MSE值是否收敛来判断是否停止迭代；

(4)迭代次数设置为原子列数以保证所有原子都能够迭代；

(5)设置初始字典为单位矩阵；

(6)将所设参数及轴承数据带入K-SVD程序中得到字典矩阵C^n*m和稀疏系数s，再利用s和C^n*m得到稀疏信号；

(7)利用峰峰值采样对[x(t)]_(z-1)*M+1进行降采样，得到信号块PTP_n(t)，并将其组成降采样信号Z_i(t)；

(8)设置高斯随机矩阵为测量矩阵Φ，设置傅里叶矩阵为稀疏基矩阵Ψ，两矩阵的积作为感知矩阵Θ；

(9)通过Φ对前面已经获得的Z_i(t)再次进行随机降采样，得到压缩后的信号y，将稀疏度k设为2，采用压缩采样匹配追踪得到稀疏系数s，再利用s与感知矩阵Θ追踪谐波；

(10)将得到的谐波信号频率与计算得到的理论的故障频率对比，求得的频率与理论频率误差不超过±3HZ时确定有故障；其中外圈理论故障频率为

内圈理论故障频率为

其中，f₀为转轴转速，Z为滚动体数目，D为轴承外径，d为轴承内径，θ为滚动体接触角。

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