CN110979024A - 一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，该方法包括：步骤1，选择永磁同步电机作为驱动电机并将电机模型与电动汽车传动系统整合，建立整体系统的非线性数学模型；步骤2，将电动汽车的速度跟踪和干扰抑制问题描述为一个全局鲁棒伺服控制问题；步骤3，设计内模，将整体系统的全局鲁棒伺服控制问题转化为由整体系统和内模组成的增广系统的全局鲁棒镇定问题；步骤4，采用反步法设计状态反馈控制器，解决增广系统的全局鲁棒镇定问题。本发明针对电动汽车行驶过程中运行环境造成系统参数变化和系统外界干扰引入的现象，设计了基于内模的状态反馈控制器，实现了电动汽车速度跟踪控制。

Description

一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及伺服系统控制领域，具体涉及一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法。

背景技术

随着世界石油资源短缺和环境污染日益严重，寻找新形式的能源代替石油为汽车提供动力已成为必然的趋势，而电动汽车则是新能源汽车中的主力军。永磁同步电机因其功率因数高、低损耗等优良性能而被广泛应用在电动汽车中。然而，把永磁同步电机用作电动汽车的驱动装置时，电机或汽车传动系统参数的变化以及系统外界干扰的引入会直接影响电机的控制性能，进而影响车辆的行驶特性。

此外，非线性输出调节理论近年来经历了快速的发展，而作为其常用控制策略的内模控制方法能够解决复杂系统的轨迹跟踪与干扰抑制问题，并具有良好的鲁棒性。针对电动汽车的整体复杂非线性系统，内模控制方法可以实现高精度的速度跟踪与干扰抑制性能，并允许整体系统的所有参数未知。

发明内容

基于背景技术存在的技术问题，本发明提出了一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法。针对电动汽车的整体复杂系统，设计了内模控制器，从而实现了高精度的速度跟踪与干扰抑制性能，并具有良好的鲁棒性。

本发明的技术方案是：

一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：选择永磁同步电机作为驱动电机并将电机模型与电动汽车传动系统整合，建立整体系统的非线性数学模型；

步骤2：将电动汽车的速度跟踪和干扰抑制问题描述为一个全局鲁棒伺服控制问题；

步骤3：设计内模，将整体系统的全局鲁棒伺服控制问题转化为由整体系统和内模组成的增广系统的全局鲁棒镇定问题；

步骤4：采用反步法设计状态反馈控制器，解决增广系统的全局鲁棒镇定问题。

进一步地，所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤1中，选择永磁同步电机作为驱动电机并将电机模型与电动汽车传动系统整合，建立整体系统的非线性数学模型，其过程如下：

1.1，永磁同步电机数学模型如下：

其中θ_M为电机转子角度，ω_M为电机转子角速度，i_d,i_q,u_d,u_d为dq轴定子电流与电压，J_M为电机的转动惯量，T_L为电机的负载转矩，Φ_v为转子磁链，p为电机极对数，R_s,L为定子电阻与电感，B为粘性摩擦系数。

1.2，通过分析电动汽车在行驶过程中的受力，可以得到电动汽车传动系统的模型如下：

其中v为汽车行驶速度，m为汽车的整体质量，g为重力加速度，F_L为汽车受到的牵引力，χ_road为路面坡度，F_wind为空气阻力，F_R为滚动阻力。

1.3，建立空气阻力F_wind的模型如下：

其中c_air为空气阻力系数，ρ_a为空气密度，A_L为车辆迎风正面面积。

1.4，建立滚动阻力F_R的模型如下：

F_R＝m(c_r1+c_r2rω_W) (4)

其中c_r1,c_r2是取决于轮胎和轮胎压力的常数，r为车轮半径，ω_W为车轮转速。

1.5，将车轮转速ω_W与汽车行驶速度v关系表示如下：

1.6，根据牛顿第二定律得出车轮转速与车轮所受力矩之间的关系如下：

其中J_W为车轮转动惯量，T_W为连接车轮传动轴的输出转矩，T_f为车轮的摩擦转矩。

1.7，根据传动部分转矩关系与速度关系得出如下关系式：

T_W＝n_tn_fT_L,ω_W＝n_tn_fω_M (7)

其中n_t,n_f分别为变速箱和主减速器的变速比。

1.8，结合公式(1)～(7)，得到永磁同步电机驱动电动汽车的整体系统数学模型如下：

其中n＝n_tn_f；δ＝J_W+mr²+n²J_M；

进一步地，所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤2中，将电动汽车的速度跟踪和干扰抑制问题描述为一个全局鲁棒伺服控制问题，其过程如下：

2.1，假定车轮的参考转速ω_d和包含摩擦转矩的等效干扰βc_r1+βgsinχ_road+T_f可由如下的外部系统产生：

其中A₁,G₁,G₂为定常矩阵。

2.2，令：x_1,1＝ω_W,x_1,2＝i_q,x_2,1＝i_d,u₁＝u_q,u₂＝u_d,

a₁₆＝np,

a₂₂＝np,

将系统(8)写为如下形式：

其中e₁为车轮转速跟踪误差，e₂为d轴电流跟踪误差。

2.3，考虑不确定因素所产生的系统参数摄动，定义不确定参数

其中

为整体系统的标称值，w∈R¹³。将系统(9)与(10)相结合，得到如下的紧凑形式：

v＝A₁v,

e＝H(x,u,v,w). (11)

其中x＝(x_1,1,x_1,2,x_2,1)^T,u＝(u₁,u₂)^T，

2.4，此时系统(8)的全局速度跟踪控制问题已被描述为系统(11)的全局鲁棒伺服控制问题，其控制目标为在保证从任意初始值出发的闭环系统轨迹有界的情况下，跟踪误差渐近趋于0。

进一步地，所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤3中，设计内模，将整体系统的全局鲁棒伺服控制问题转化为由整体系统和内模组成的增广系统的全局鲁棒镇定问题，其过程如下：

3.1，求解如下的调节器方程：

0＝H(x(v,w),u(v,w),v,w). (12)

其中x(v,w),u(v,w)分别是稳态状态和稳态输入。得到状态和输入的稳态解如下：

x_1,1(v,w)＝G₁v,

x_2,1(v,w)＝0,

3.2，令g(x,u)＝col(x_1,2,u₁,u₂)，用g_i(x,u)表示g(x,u)中第i个元素，其中i＝1,2,3。构建如下的稳态发生器来产生稳态解：

其中T_i为任意非奇异矩阵，(Φ_i,Ψ_i)为一对能观测矩阵。

3.3，选择一对能控矩阵(M_i,N_i)，其中M_i为Hurwitz矩阵，使得T_i满足如下的Sylvester方程：

T_iΦ_i-M_iT_i＝N_iΨ_i. (14)

3.4，设计内模为如下形式：

3.5，进行如下的坐标变换与输入变换：

得到如下的误差方程：

其中

b₁＝Ψ₁T₁ ^-1(M₁+N₁Ψ₁T₁ ^-1),

b₂＝Ψ₁T₁ ^-1N₁,

c₂(v)＝-a₁₁-2a₁₂G₁v+b₂,

c₆(v)＝-a₁₆G₁v,

c₁₀(v)＝a₂₂G₁vΨ₁T₁ ^-1,

c₁₂(v)＝a₂₂G₁v,

d₂＝b₁₁Ψ₁T₁ ^-1,

d₃＝-a₁₂,

d₉＝-a₁₄Ψ₁T₁ ^-1-b₁,

d₁₂＝-a₁₆,

d₁₇＝b₂₁Ψ₃T₃ ^-1,

d₁₈＝Ψ₃T₃ ^-1N₃-a₂₁,

d₁₉＝a₂₂,

d₂₀＝a₂₂Ψ₁T₁ ^-1,

3.6，此时，系统(11)的全局鲁棒伺服控制问题已经被转化为系统(17)的全局鲁棒镇定问题。

进一步地，所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤4中，采用反步法设计状态反馈控制器，解决增广系统的全局鲁棒镇定问题，其过程如下：

4.1，为了使用反步法设计控制器，首先定义如下的记号：

其中

为特定的非负光滑函数。

4.2，令

针对X₁子系统，令

其中P₁为一个正定对称矩阵满足

I为实对称矩阵，m₁,m₂为特定的正数。选择

于是存在一个足够大的增益k₁满足如下的不等式：

其中l₁为特定的正数。

4.3，针对X₂子系统，令

其中P₂为一个正定对称矩阵满足

m₃,m₄为特定的正数。选择

于是存在一个足够大的增益k₂满足如下的不等式：

其中l₂为特定的正数。

4.4，最后，令

其中P₃为一个正定对称矩阵满足

m₅,m₆为特定的正数。选择

于是存在一个足够大的增益k₃满足如下的不等式：

4.5，得到如下控制律解决系统(17)的全局镇定问题：

4.6，得到最终的控制器为如下形式：

本发明的优点是：

本发明提出的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，针对电动汽车行驶过程中运行环境造成系统参数变化和系统外界干扰引入的现象，设计了基于内模的状态反馈控制器，实现了电动汽车速度跟踪控制，具有高精度的速度跟踪与干扰抑制性能，并具有良好的鲁棒性。

附图说明

图1为电动汽车基本受力分析图；

图2为整体系统控制框图；

图3为车轮转速跟踪曲线；

图4为车轮转速误差曲线；

图5为i_d电流曲线；

图6为i_q电流曲线；

图7为定子电压u_d曲线；

图8为定子电压u_q曲线。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。

实施例。

如图1、2所示，一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，包含以下步骤：

步骤1，选择永磁同步电机作为驱动电机并将电机模型与电动汽车传动系统整合，建立整体系统的非线性数学模型，其过程如下：

1.1，永磁同步电机数学模型如下：

其中θ_M为电机转子角度，ω_M为电机转子角速度，i_d,i_q,u_d,u_d为dq轴定子电流与电压，J_M为电机的转动惯量，T_L为电机的负载转矩，Φ_v为转子磁链，p为电机极对数，R_s,L为定子电阻与电感，B为粘性摩擦系数。

1.2，通过分析电动汽车在行驶过程中的受力，可以得到电动汽车传动系统的模型如下：

其中v为汽车行驶速度，m为汽车的整体质量，g为重力加速度，F_L为汽车受到的牵引力，χ_road为路面坡度，F_wind为空气阻力，F_R为滚动阻力。

1.3，建立空气阻力F_wind的模型如下：

其中c_air为空气阻力系数，ρ_a为空气密度，A_L为车辆迎风正面面积。

1.4，建立滚动阻力F_R的模型如下：

F_R＝m(c_r1+c_r2rω_W) (4)

其中c_r1,c_r2是取决于轮胎和轮胎压力的常数，r为车轮半径，ω_W为车轮转速。

1.5，将车轮转速ω_W与汽车行驶速度v关系表示如下：

1.6，根据牛顿第二定律得出车轮转速与车轮所受力矩之间的关系如下：

其中J_W为车轮转动惯量，T_W为连接车轮传动轴的输出转矩，T_f为车轮的摩擦转矩。

1.7，根据传动部分转矩关系与速度关系得出如下关系式：

T_W＝n_tn_fT_L,ω_W＝n_tn_fω_M (7)

其中n_t,n_f分别为变速箱和主减速器的变速比。

1.8，结合公式(1)～(7)，得到永磁同步电机驱动电动汽车的整体系统数学模型如下：

其中n＝n_tn_f；δ＝J_W+mr²+n²J_M；β＝rm；

步骤2，将电动汽车的速度跟踪和干扰抑制问题描述为一个全局鲁棒伺服控制问题，其过程如下：

2.1，假定车轮的参考转速ω_d和包含摩擦转矩的等效干扰βc_r1+βgsinχ_road+T_f可由如下的外部系统产生：

其中A₁,G₁,G₂为定常矩阵。

2.2，令：x_1,1＝ω_W,x_1,2＝i_q,x_2,1＝i_d,u₁＝u_q,u₂＝u_d,

a₁₆＝np,

a₂₂＝np,

将系统(8)写为如下形式：

其中e₁为车轮转速跟踪误差，e₂为d轴电流跟踪误差。

2.3，考虑不确定因素所产生的系统参数摄动，定义不确定参数

其中

为整体系统的标称值，w∈R¹³。将系统(9)与(10)相结合，得到如下的紧凑形式：

v＝A₁v,

e＝H(x,u,v,w). (11)

其中x＝(x_1,1,x_1,2,x_2,1)^T,u＝(u₁,u₂)^T，

2.4，此时系统(8)的全局速度跟踪控制问题已被描述为系统(11)的全局鲁棒伺服控制问题，其控制目标为在保证从任意初始值出发的闭环系统轨迹有界的情况下，跟踪误差渐近趋于0。

步骤3，设计内模，将整体系统的全局鲁棒伺服控制问题转化为由整体系统和内模组成的增广系统的全局鲁棒镇定问题，其过程如下：

3.1，求解如下的调节器方程：

0＝H(x(v,w),u(v,w),v,w). (12)

其中x(v,w),u(v,w)分别是稳态状态和稳态输入。得到状态和输入的稳态解如下：

x_1,1(v,w)＝G₁v,

x_2,1(v,w)＝0,

3.2，令g(x,u)＝col(x_1,2,u₁,u₂)，用g_i(x,u)表示g(x,u)中第i个元素，其中i＝1,2,3。构建如下的稳态发生器来产生稳态解：

其中T_i为任意非奇异矩阵，(Φ_i,Ψ_i)为一对能观测矩阵。

3.3，选择一对能控矩阵(M_i,N_i)，其中M_i为Hurwitz矩阵，使得T_i满足如下的Sylvester方程：

T_iΦ_i-M_iT_i＝N_iΨ_i. (14)

3.4，设计内模为如下形式：

3.5，进行如下的坐标变换与输入变换：

得到如下的误差方程：

其中

b₁＝Ψ₁T₁ ^-1(M₁+N₁Ψ₁T₁ ^-1),

b₂＝Ψ₁T₁ ^-1N₁,

c₆(v)＝-a₁₆G₁v,

c₁₀(v)＝a₂₂G₁vΨ₁T₁ ^-1,

c₁₂(v)＝a₂₂G₁v,

d₂＝b₁₁Ψ₁T₁ ^-1,

d₃＝-a₁₂,

d₉＝-a₁₄Ψ₁T₁ ^-1-b₁,

d₁₂＝-a₁₆,

d₁₇＝b₂₁Ψ₃T₃ ^-1,

d₁₈＝Ψ₃T₃ ^-1N₃-a₂₁,

d₁₉＝a₂₂,

d₂₀＝a₂₂Ψ₁T₁ ^-1,

3.6，此时，系统(11)的全局鲁棒伺服控制问题已经被转化为系统(17)的全局鲁棒镇定问题。

步骤4，采用反步法设计状态反馈控制器，解决增广系统的全局鲁棒镇定问题，其过程如下：

4.1，为了使用反步法设计控制器，首先定义如下的记号：

其中

为特定的非负光滑函数。

4.2，令

针对X₁子系统，令

其中P₁为一个正定对称矩阵满足

I为实对称矩阵，m₁,m₂为特定的正数。选择

于是存在一个足够大的增益k₁满足如下的不等式：

其中l₁为特定的正数。

4.3，针对X₂子系统，令

其中P₂为一个正定对称矩阵满足

m₃,m₄为特定的正数。选择

于是存在一个足够大的增益k₂满足如下的不等式：

其中l₂为特定的正数。

4.4，最后，令

其中P₃为一个正定对称矩阵满足

m₅,m₆为特定的正数。选择

于是存在一个足够大的增益k₃满足如下的不等式：

4.5，得到如下控制律解决系统(17)的全局镇定问题：

4.6，得到最终的控制器为如下形式：

为了验证所提方法的有效性，本发明对所提出控制器的控制效果进行仿真验证，所选用的永磁同步电机的标称值为：极对数p＝4，定子电阻

磁链

定子电感

转动惯量

粘性摩擦系数

所选用的电动汽车传动系统的标称值为：车体总质量

车轮转动惯量

迎风面积

空气阻力系数

空气密度

总变速比n＝7，轮胎常数

轮胎压力常数

重力加速度g＝9.8m/s²，路面坡度

摩擦转矩设置为一个常值信号T_f＝10N.m，参考速度设置为一个斜坡信号与常值信号的组合，当0<t≤20s时参考速度设置为ω_d＝2t(rad/s)，当20<t≤40s时，参考速度设置为ω_d＝40rad/s，则外部系统参数如下：

G₁＝[1 0 0],G₂＝[0 0 1].

控制器参数设计为：

Ψ₁T₁ ^-1＝[1 2 10000],

k₁＝800,k₂＝10,k₃＝300。

系统不确定参数选择如下：

设置初值为ω_W(0)＝0rad/s,i_d(0)＝0.1A,i_q(0)＝0A,η(0)＝0。

基于上述的一系列参数，图3为车轮转速跟踪曲线，图4为车轮转速误差曲线，图5为定子电流i_d曲线，图中曲线反映了所设计的控制器在外部干扰和整体系统参数摄动的条件下有良好的速度跟踪性能和电流跟踪性能，图6为定子电流i_q曲线，图7和图8分别为永磁同步电机u_d和u_q曲线。从图3-图8的仿真结果可以看出，所设计的内模控制器可以实现高精度的速度跟踪与干扰抑制性能，并具有良好的鲁棒性。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：选择永磁同步电机作为驱动电机并将电机模型与电动汽车传动系统整合，建立整体系统的非线性数学模型；

步骤2：将电动汽车的速度跟踪和干扰抑制问题描述为一个全局鲁棒伺服控制问题；

步骤3：设计内模，将整体系统的全局鲁棒伺服控制问题转化为由整体系统和内模组成的增广系统的全局鲁棒镇定问题；

步骤4：采用反步法设计状态反馈控制器，解决增广系统的全局鲁棒镇定问题。

2.根据权利要求1所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤1中，选择永磁同步电机作为驱动电机并将电机模型与电动汽车传动系统整合，建立整体系统的非线性数学模型，其过程如下：

1.1，永磁同步电机数学模型如下：

其中θ_M为电机转子角度，ω_M为电机转子角速度，i_d,i_q,u_d,u_d为dq轴定子电流与电压，J_M为电机的转动惯量，T_L为电机的负载转矩，Φ_v为转子磁链，p为电机极对数，R_s,L为定子电阻与电感，B为粘性摩擦系数；

1.2，通过分析电动汽车在行驶过程中的受力，可以得到电动汽车传动系统的模型如下：

其中v为汽车行驶速度，m为汽车的整体质量，g为重力加速度，F_L为汽车受到的牵引力，χ_road为路面坡度，F_wind为空气阻力，F_R为滚动阻力；

1.3，建立空气阻力F_wind的模型如下：

其中c_air为空气阻力系数，ρ_a为空气密度，A_L为车辆迎风正面面积；

1.4，建立滚动阻力F_R的模型如下：

F_R＝m(c_r1+c_r2rω_W) (4)

其中c_r1,c_r2是取决于轮胎和轮胎压力的常数，r为车轮半径，ω_W为车轮转速；

1.5，将车轮转速ω_W与汽车行驶速度v关系表示如下：

1.6，根据牛顿第二定律得出车轮转速与车轮所受力矩之间的关系如下：

其中J_W为车轮转动惯量，T_W为连接车轮传动轴的输出转矩，T_f为车轮的摩擦转矩；

1.7，根据传动部分转矩关系与速度关系得出如下关系式：

T_W＝n_tn_fT_L,ω_W＝n_tn_fω_M (7)

其中n_t,n_f分别为变速箱和主减速器的变速比；

1.8，结合公式(1)～(7)，得到永磁同步电机驱动电动汽车的整体系统数学模型如下：

其中n＝n_tn_f；δ＝J_W+mr²+n²J_M；β＝rm；

3.根据权利要求2所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤2中，将电动汽车的速度跟踪和干扰抑制问题描述为一个全局鲁棒伺服控制问题，其过程如下：

2.1，假定车轮的参考转速ω_d和包含摩擦转矩的等效干扰βc_r1+βgsinχ_road+T_f可由如下的外部系统产生：

其中A₁,G₁,G₂为定常矩阵；

2.2，令：x_1,1＝ω_W,x_1,2＝i_q,x_2,1＝i_d,u₁＝u_q,u₂＝u_d,

a₁₆＝np,

a₂₂＝np,

将系统(8)写为如下形式：

其中e₁为车轮转速跟踪误差，e₂为d轴电流跟踪误差；

2.3，考虑不确定因素所产生的系统参数摄动，定义不确定参数

其中

为整体系统的标称值，w∈R¹³；将系统(9)与(10)相结合，得到如下的紧凑形式：

e＝H(x,u,v,w). (11)

其中x＝(x_1,1,x_1,2,x_2,1)^T,u＝(u₁,u₂)^T，

2.4，此时系统(8)的全局速度跟踪控制问题已被描述为系统(11)的全局鲁棒伺服控制问题，其控制目标为在保证从任意初始值出发的闭环系统轨迹有界的情况下，跟踪误差渐近趋于0。

4.根据权利要求3所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤3中，设计内模，将整体系统的全局鲁棒伺服控制问题转化为由整体系统和内模组成的增广系统的全局鲁棒镇定问题，其过程如下：

3.1，求解如下的调节器方程：

0＝H(x(v,w),u(v,w),v,w). (12)

其中x(v,w),u(v,w)分别是稳态状态和稳态输入，得到状态和输入的稳态解如下：

x_1,1(v,w)＝G₁v,

x_2,1(v,w)＝0,

3.2，令g(x,u)＝col(x_1,2,u₁,u₂)，用g_i(x,u)表示g(x,u)中第i个元素，其中i＝1,2,3，构建如下的稳态发生器来产生稳态解：

其中T_i为任意非奇异矩阵，(Φ_i,Ψ_i)为一对可观测矩阵；

3.3，选择一对可控矩阵(M_i,N_i)，其中M_i为Hurwitz矩阵，使得T_i满足如下的Sylvester方程：

T_iΦ_i-M_iT_i＝N_iΨ_i. (14)

3.4，设计内模为如下形式：

3.5，进行如下的坐标变换与输入变换：

得到如下的误差方程：

其中

b₁＝Ψ₁T₁ ^-1(M₁+N₁Ψ₁T₁ ^-1),

b₂＝Ψ₁T₁ ^-1N₁,

c₂(v)＝-a₁₁-2a₁₂G₁v+b₂,

c₆(v)＝-a₁₆G₁v,

c₁₀(v)＝a₂₂G₁vΨ₁T₁ ^-1,

c₁₂(v)＝a₂₂G₁v,

d₂＝b₁₁Ψ₁T₁ ^-1,

d₃＝-a₁₂,

d₉＝-a₁₄Ψ₁T₁ ^-1-b₁,

d₁₂＝-a₁₆,

d₁₉＝a₂₂,

d₂₀＝a₂₂Ψ₁T₁ ^-1,

3.6，此时，系统(11)的全局鲁棒伺服控制问题已经被转化为系统(17)的全局鲁棒镇定问题。

5.根据权利要求4所述的一种基于内模的电动汽车速度跟踪控制方法，其特征在于，步骤4中，采用反步法设计状态反馈控制器，解决增广系统的全局鲁棒镇定问题，其过程如下：

4.1，为了使用反步法设计控制器，首先定义如下的记号：

其中

为特定的非负光滑函数；

4.2，令

针对X₁子系统，令

其中P₁为一个正定对称矩阵满足

I为实对称矩阵，m₁,m₂为特定的正数；选择

于是存在一个足够大的增益k₁满足如下的不等式：

其中l₁为特定的正数；

4.3，针对X₂子系统，令

其中P₂为一个正定对称矩阵满足

m₃,m₄为特定的正数；选择

于是存在一个足够大的增益k₂满足如下的不等式：

其中l₂为特定的正数；

4.4，最后，令

其中P₃为一个正定对称矩阵满足

m₅,m₆为特定的正数；选择

于是存在一个足够大的增益k₃满足如下的不等式：

4.5，得到如下控制律解决系统(17)的全局镇定问题：

4.6，得到最终的控制器为如下形式：

由此，得到最终的控制器。

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