CN110889251A - 一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法 - Google Patents

Abstract

一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，属于工程设计与优化领域。首先，根据不同实际问题建立高、低保真度模型。其次，基于低保真度代理模型和桥函数建立变保真度代理模型。再次，根据变保真度代理模型，在低保真度代理模型预测误差较差的位置进行第1步自适应加点，将找到的样本点通过高保真度模型计算响应值，并将此样本点及响应值作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型。最后，与第1步加点类似，找到桥函数误差较大的位置，计算响应值并更新变保真度代理模型，完成第2步自适应加点。本发明提出的两步自适应加点策略，可在较少的计算资源下得到高精度及高鲁棒性的代理模型，降低在工程优化中的分析耗时，节省时间成本。

Description

一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法

技术领域

本发明属于工程设计与优化领域，涉及一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法。

背景技术

高精度数值仿真技术在工程结构与优化分析中应用广泛，但往往计算耗时较大，例如汽车碰撞过程的数值模拟通常需要几百到上千小时的CPU计算时间。通过使用代理模型技术可以有效缓解计算耗时长的问题，因此近些年来代理模型技术得到了广泛的关注与应用。代理模型技术是指在分析和优化设计过程中可替代复杂和耗时的数值分析的近似数学模型，不仅能有效地降低计算成本，降低工程系统的复杂度，而且有利于滤除数值噪声和实现并行优化设计，通过建立代理模型并结合启发式算法可以进一步提高分析优化效率和寻优能力。目前常用的代理模型包括多项式响应面、径向基函数、kriging模型、支持回归向量等。

但对于极其复杂的工程结构优化问题，构造精确的代理模型需要进行大量的样本点采样，仍需要耗费巨大的计算资源，这是在优化设计中难以承受的。近年来，变保真度代理模型技术得到了广泛应用，其通过把高保真度模型和低保真度模型以某种合理的方式结合起来，使用较多的低保真度分析模型以降低计算复杂性和仿真时间，同时以少量的高保真度分析模型来保证近似精度，具有高精度和计算成本廉价两个特性，能以小规模样本的高可信度数据构造较为精确的近似模型，有效的节约了计算资源，构造低成本、高精度的近似模型，对现代复杂工程产品的设计优化有着重要意义。在变保真度代理模型构造过程中，由于高保真度模型的样本点使用较少，容易出现构建精度鲁棒性差的现象。因此，亟需发明一种基于自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，在使用较少计算资源的条件下，在构造结果具有较高鲁棒性的同时保证具有较高精度。

发明内容

针对传统的变保真度代理模型建立方法，为了进一步提高其构造精度及鲁棒性，提出了一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，以较少的计算资源，构造出高精度和高鲁棒性的代理模型，提高工程优化的效率。

为了达到上述目的，本发明的技术方案为：

一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，步骤为：

第一步，建立高、低保真度模型。

保真度指的是描述同一物理现象或者自然规律的不同分析模型中所包含物理规律的多少及假设条件与真实情况接近多少的度量。高保真度模型包含着更多或更详细的物理细节，可以更加真实的描述和仿真真实的情况，但同时也要耗费大量的计算成本。低保真度模型对物理现象的描述不如高保真度模型准确，但计算成本要小的多。

根据不同的实际问题，建立其合适的高、低保真度模型。常用的高保真度模型主要包括精细有限元模型的数值计算结果和实验结果，常用的低保真度模型主要有简化模型、等效模型和降阶模型。

第二步，建立变保真度代理模型。

变保真度代理模型是基于低保真度代理模型和桥函数建立的，桥函数由高保真度样本点的响应与低保真度代理模型组成。具体步骤包括：

(1)在设计空间中对高保真度样本点和低保真度样本点进行抽样，通常情况下低保真度样本点的数量远少于高保真度样本点的数量。对抽样得到的样本点分别基于第一步建立的高、低保真度模型进行计算，得到高、低保真度样本点的响应值。

所述的常用的抽样方法包括拉丁超立方抽样、正交采样、均匀抽样。

(2)使用代理模型方法，基于低保真度样本点及其响应值建立代理模型，称为低保真度代理模型。并求出高保真度样本点在低保真度代理模型处的响应值，根据此低保真度代理模型响应值和步骤(1)中求出的高保真度样本点响应值建立桥函数。

所述的常用的桥函数主要包括乘法式桥函数和加法式桥函数。乘法式桥函数如公式(1)所示；加法式桥函数如公式(2)所示。根据公式(1)或(2)即可求出桥函数。

δ(x)＝y_HFM(x_HFM)-y_LFSM(x_HFM) (2)

其中，x表示设计变量，x_HFM表示高保真度样本点，y_HFM表示高保真度模型，y_LFSM表示低保真度代理模型，ρ(x)为乘法桥函数，δ(x)为加法桥函数。

所述的代理模型包括多项式响应面、径向基函数、kriging模型、支持回归向量。

(3)基于步骤(2)中建立的桥函数与低保真度代理模型即可建立变保真度代理模型，常用的变保真度代理模型通过以下方式建议：

a)基于乘法式桥函数建立，如公式(3)所示；

b)基于加法式桥函数建立，如公式(4)所示；

c)通过权重系数ω来综合乘法式桥函数与加法式桥函数，称为综合法，如公式(5)所示。

根据公式(3)、(4)和(5)中的任一个即可得到变保真度代理模型。

y_VFSM＝ρ(x)·y_LFSM(x) (3)

y_VFSM＝y_LFSM(x)+δ(x) (4)

y_VFSM＝ω·ρ(x)·y_LFSM(x)+(1-ω)[y_LFSM(x)+δ(x)] (5)

其中，y_VFSM表示变保真度代理模型，ω表示权重系数，ρ(x)为乘法桥函数，δ(x)为加法桥函数。

第三步，第1步自适应加点。

根据变保真度代理模型的构造特点，在低保真度代理模型预测误差较差的位置进行第1步自适应加点。为了得到加点位置信息，对低保真度样本点的信息进行留一验证：将低保真度样本点(假设有n个)，分为2个子样本集，第1个样本点构成一个子样本集作为验证集，剩余n-1个样本点构成一个子样本集作为训练集。重复这一过程n次，保证每个样本点有且只有一次作为验证集。最后，将各次的结果平均计算出一个估计值。这种方法的优势是每一个测点都既充当过训练数据，又充当过验证数据，并且刚好有一次用于验证。

将留一验证计算误差最大的低保真度样本点通过高保真度模型计算响应值，并将此样本点及响应值作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型，完成第1步自适应加点。

第四步，第2步自适应加点。

与第1步加点类似，运用留一验证的方法在桥函数误差较大的地方进行加点：将桥函数样本点(假设有m个)分为2个子样本集，第1个样本点构成一个子样本集作为验证集，剩余m-1个样本点构成一个子样本集作为训练集。重复这一过程m次，保证每个样本点有且只有一次作为验证集。最后，将各次的结果平均计算出一个估计值。找到桥函数预测精度最差的样本点。

但需注意的是，这一步中需要避免新加样本点和桥函数中已有样本点聚集，故在加点时需要采用避免样本点聚集的算法，如泰森多边形算法。通过式(6)和式(7)将空间划分成若干个多边形区域。每次加点时，找到以预测精度最差的样本点为中心点的泰森多边形，加点位置取为距该多边形中心点最远的样本点。

dom(x_i,x_j)＝{x∈Rⁿ|||x-x_i||≤||x-x_j||} (6)

其中，dom(x_i,x_j)代表以样本点x_i和x_j的垂直平分线隔离出的封闭半平面，x_i为多边形C_i的中心点，多边形C_i代表环绕样本点x_i的邻近区域。

将找到的样本点通过高保真度模型计算响应值，并将此样本点及响应值作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型，完成第2步自适应加点。

本发明的有益效果为：针对具体的工程问题，通过建立合适的高保真度模型和低保真度模型，再建立低保真度代理模型和桥函数，进一步建立变保真度代理模型。再根据本发明提出的两步自适应加点策略，可以在较少的计算资源下得到高精度及高鲁棒性的代理模型，降低了在工程优化中的分析耗时，可以节省大量的时间成本。

附图说明

图1为实施例提供的一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法的实现流程图；

图2为实施例提供的高、低保真度模型示意图；(a)高保真度模型；(b)低保真度模型；

图3为实施例提供的为防止样本点聚集的泰森多边形加点方法示意图。

具体实施方式

为使本发明解决的方法问题、采用的方法方案和达到的方法效果更加清楚，下面结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

图1为本发明实施例提供的一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法的实现流程图。如图1所示，针对多级加筋壳算例，本发明实施例提供的一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法包括：1)建立高、低保真度模型；2)建立变保真度代理模型；3)在低保真度代理模型误差最大处进行第1步自适应加点。4)在桥函数误差最大处进行的第2步自适应加点。通过建立的高、低保真度模型建立变保真度代理模型，并充分利用低保真度代理模型和桥函数的误差信息进行两步自适应加点，以在较少计算资源的条件下得到高精度和高鲁棒性的变保真度代理模型。具体步骤如下：

第一步，建立高、低保真度模型。

如图2(a)示意图所示，建立多级加筋壳结构的有限元模型进行精细的网格划分，将其计算结果作为高保真度模型。如图2(b)示意图所示，基于渐进均匀化方法对多级加筋壳的次筋进行刚度等效，并将等效模型有限元计算结果作为低保真度模型。

第二步，建立变保真度代理模型。

变保真度代理模型是基于低保真度代理模型和桥函数建立的，桥函数由高保真度样本点的响应与低保真度代理模型组成。具体建立步骤包括：

(1)使用拉丁超立方抽样方法在设计空间中抽取200个低保真度样本点和10个高保真度样本点，并根据第一步中建立的高、低保真度模型分别求出样本点响应值。

(2)使用RBF代理模型，基于低保真度样本点及其响应值建立低保真度代理模型，并求出高保真度样本点在低保真度代理模型处的响应值，根据此低保真度代理模型响应值和(1)中求出的高保真度样本点响应值，基于式(8)建立桥函数。

δ(x)＝y_HFM(x_HFM)-y_LFSM(x_HFM) (8)

(3)利用式(9)，将(2)中建立的桥函数与低保真度代理模型结合即可得到变保真度代理模型。

y_VFSM＝y_LFSM(x)+δ(x) (9)

为了得到鲁棒性信息，重复所有的抽样和构造结果15次。使用相关系数R²作为衡量精度的标注，如式(10)所示，R²越接近1，则代表精度越高。

其中K为样本点个数，y_i表示第i个点的预测值，

表示第i个点的真实值，

表示真实值的平均值。

由表1中第1组数据可知，此时代理模型精度较低，R²为0.671，构造结果的鲁棒性也较差，标准差为0.192。

表1变保真度代理模型建立结果

表中，HFM代表高保真度模型，LFM代表低保真度模型，Step1表示第1步自适应加点后的结果，Step2表示第2步自适应加点后的结果。

第三步，第1步自适应加点。

对于第二步中已经建立好的变保真度代理模型，根据低保真度样本点的信息进行留一验证：将低保真度样本点(共200个)分为2个子样本集，第1个样本点构成一个子样本集作为验证集，剩余199个样本点构成一个子样本集作为训练集。重复这一过程200次，保证每个样本点有且只有一次作为验证集。最后，将各次的结果平均计算出一个估计值。将留一验证误差值由高到低排序，将误差值前5的样本点作为第1次加点目标，通过高保真度模型计算响应值，并将其样本点及响应值作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型，完成第1步自适应加点。

由表1第3组数据可知，经过第1步自适应加点后，变保真度代理模型精度和鲁棒性已经有了较大的提升，R²为0.926，标准差为0.015。

第四步，第2步自适应加点。

与第1步加点思路类似，运用留一验证的方法在桥函数误差较大的地方进行加点：将桥函数样本点(共15个)分为2个子样本集，第1个样本点构成一个子样本集作为验证集，剩余14个样本点构成一个子样本集作为训练集。重复这一过程14次，保证每个样本点有且只有一次作为验证集。最后，将各次的结果平均计算出一个估计值。将留一验证误差值由高到低排序，最大值处即为桥函数预测精度最差的样本点。

为了避免新加样本点和已有样本点聚集，在加点时使用泰森多边形算法避免样本点聚集的算法。通过式(6)和式(7)可以将空间划分成若干个多边形区域。每次加点时，找到以预测精度最差的样本点为中心点的泰森多边形，加点位置取为距该多边形中心点最远的样本点，如图3所示。

dom(x_i,x_j)＝{x∈Rⁿ|||x-x_i||≤||x-x_j||} (11)

其中，dom(x_i,x_j)代表以样本点x_i和x_j的垂直平分线隔离出的封闭半平面，x_i为多边形C_i的中心点，多边形C_i代表环绕样本点x_i的邻近区域。

通过上述方法找到桥函数误差最大的样本点，通过高保真度模型计算响应值，并将此样本点及响应值均作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型，重复第四步5次，更新5次样本点，完成第2步自适应加点。

由表1第4组数据可以发现，在经过第2步自适应加点后，变保真度代理模型精度和鲁棒性又得到了进一步提高，此时R²为0.943，标准差为0.005，精度处于较高水平且具有较好的鲁棒性。

由表1第2组数据可知，相同计算时间下，采用传统的一次性采样方法抽取20个高保真样本点和200个低保真样本点构造的变保真度代理模型，其R²为0.899，标准差为0.0399，精度和鲁棒性均不如所提出方法，证明了所提出方法的有效性。

本发明提供一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法。以多级加筋壳算例作为实施例，首先建立了其合适的高、低保真度模型，并基于低保真度代理模型和桥函数建立变保真度代理模型。再对建立好的变保真度代理模型进行两步自适应空间加点，首先在已有的低保真数据预测精度较差的位置加入高保真度样本点，然后在桥函数预测精度较差的位置继续加点，并通过泰森多边形方法避免了样本点的聚集。结果表明，该方法可以得到高精度和高鲁棒性的变保真度代理模型，极大地缩短了工程优化中的耗时。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的方法方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通方法人员应当理解：其对前述各实施例所记载的方法方案进行修改，或者对其中部分或者全部方法特征进行等同替换，并不使相应方法方案的本质脱离本发明各实施例方法方案的范围。

Claims (4)

1.一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，建立高、低保真度模型；

根据不同的实际问题，建立其合适的高、低保真度模型；

第二步，建立变保真度代理模型；

变保真度代理模型是基于低保真度代理模型和桥函数建立的，桥函数由高保真度样本点的响应与低保真度代理模型组成；具体步骤包括：

(1)在设计空间中对高保真度样本点和低保真度样本点进行抽样，对抽样得到的样本点分别基于第一步建立的高、低保真度模型进行计算，得到高、低保真度样本点的响应值；

(2)使用代理模型方法，基于低保真度样本点及其响应值建立代理模型，称为低保真度代理模型；并求出高保真度样本点在低保真度代理模型处的响应值，根据此低保真度代理模型响应值和步骤(1)中求出的高保真度样本点响应值建立桥函数；

所述的桥函数包括乘法式桥函数和加法式桥函数；乘法式桥函数如公式(1)所示；加法式桥函数如公式(2)所示；根据公式(1)或(2)求出桥函数；

δ(x)＝y_HFM(x_HFM)-y_LFSM(x_HFM) (2)

其中，x表示设计变量，x_HFM表示高保真度样本点，y_HFM表示高保真度模型，y_LFSM表示低保真度代理模型，ρ(x)为乘法桥函数，δ(x)为加法桥函数；

(3)基于步骤(2)中建立的桥函数与低保真度代理模型即可建立变保真度代理模型；

第三步，第1步自适应加点；

根据变保真度代理模型的构造特点，在低保真度代理模型预测误差较差的位置进行第1步自适应加点；为了得到加点位置信息，对低保真度样本点的信息进行留一验证：将低保真度的n个样本点分为2个子样本集，第1个样本点构成一个子样本集作为验证集，剩余n-1个样本点构成一个子样本集作为训练集；重复这一过程n次，保证每个样本点有且只有一次作为验证集；最后，将各次的结果平均计算出一个估计值；

将留一验证计算误差最大的低保真度样本点通过高保真度模型计算响应值，并将此样本点及响应值作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型，完成第1步自适应加点；

第四步，第2步自适应加点；

与第1步加点类似，运用留一验证的方法在桥函数误差较大的地方进行加点：将桥函数的m个样本点分为2个子样本集，第1个样本点构成一个子样本集作为验证集，剩余m-1个样本点构成一个子样本集作为训练集；重复这一过程m次，保证每个样本点有且只有一次作为验证集；最后，将各次的结果平均计算出一个估计值；找到桥函数预测精度最差的样本点；

加点时采用避免样本点聚集的泰森多边形算法，通过式(6)和式(7)将空间划分成若干个多边形区域；每次加点时，找到以预测精度最差的样本点为中心点的泰森多边形，加点位置取为距该多边形中心点最远的样本点；

dom(x_i,x_j)＝{x∈Rⁿ|||x-x_i||≤||x-x_j||} (3)

其中，dom(x_i,x_j)代表以样本点x_i和x_j的垂直平分线隔离出的封闭半平面，x_i为多边形C_i的中心点，多边形C_i代表环绕样本点x_i的邻近区域；

将找到的样本点通过高保真度模型计算响应值，并将此样本点及响应值作为高保真度数据，重复第二步，更新变保真度代理模型，完成第2步自适应加点。

2.根据权利要求1所述的一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，其特征在于，第二步所述步骤(1)中常用的抽样方法包括拉丁超立方抽样、正交采样、均匀抽样。

3.根据权利要求1所述的一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，其特征在于，第二步所述的步骤(2)中代理模型包括多项式响应面、径向基函数、kriging模型、支持回归向量。

4.根据权利要求1所述的一种基于两步自适应加点策略的变保真度代理模型建立方法，其特征在于，第二步所述的步骤(3)中变保真度代理模型通过以下方式建立：

a)基于乘法式桥函数建立，如公式(3)所示；

b)基于加法式桥函数建立，如公式(4)所示；

c)通过权重系数ω来综合乘法式桥函数与加法式桥函数，称为综合法，如公式(5)所示；

根据公式(3)、(4)和(5)中的任一个即可得到变保真度代理模型；

y_VFSM＝ρ(x)·y_LFSM(x) (5)

y_VFSM＝y_LFSM(x)+δ(x) (6)

y_VFSM＝ω·ρ(x)·y_LFSM(x)+(1-ω)[y_LFSM(x)+δ(x)] (7)

其中，y_VFSM表示变保真度代理模型，ω表示权重系数，ρ(x)为乘法桥函数，δ(x)为加法桥函数。

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