CN111783209A - 一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本公开实施例中提供了一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，包括获取结构的功能函数g(x)，并获取影响结构功能函数的变量x及其分布信息；在采样空间

内抽取N个候选样本点，并再次抽取n_L个初始随机样本点，组成训练集ζ；根据训练集ζ获取函数值Y，利用kriging模型构建代理模型

利用蒙特卡洛仿真方法获得当前第k次迭代时所获得的代理模型的失效概率

判别是否符合收敛条件；利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new，并将x_new并入ζ；最终获得结构的失效概率

本发明在保证精度的前提下提高了收敛速度，有效避免了其他一些学习函数因以单一样本点为核心的收敛准则而引起的样本点过度添加情况，从而提高了样本点的利用效率。

Description

一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析 方法

技术领域

本公开涉及结构可靠性分析技术领域，尤其涉及一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法。

背景技术

在结构可靠性分析领域，最为简单的是蒙特卡洛仿真方法，无论结构的功能函数非线性程度的高低，维度大少，蒙特卡洛仿真方法都能稳健地估计出结构的失效概率的精确值，但是蒙特卡洛仿真方法计算量庞大，而且计算量随着维数的增加而出现爆炸式增长。更进一步，在工程实际中，更多地需要调用有限元仿真的结构才能获取结构功能函数的响应值，这使得蒙特卡洛仿真方法的整体计算量进一步增大。针对这一情况，基于计算最大可能点的一阶可靠性分析方法与二阶可靠性分析方法因为具有计算简单且计算效率高，以及在一些简单线性的问题上拥有不俗的精度的优点，得到广泛的应用与进一步的拓展。但是，对于强非线性的，拥有较高维度输入或者功能函数为隐式的情况下，又或者结构拥有多个最大可能点的情况下，一阶可靠性方法与二阶可靠性方法所得到的结果不够准确，精度远远无法满足实际的工程应用。

由于蒙特卡洛仿真方法、一阶可靠性分析方法与二阶可靠性分析方法存在上述的问题，需要发展更多的新型的结构可靠性分析方法，其中代理模型方法得到越来越多的关注与研究，目前已成为结构可靠性领域的一大热门研究方向。代理模型方法通过少量样本点，利用一个黑匣子模型，通过拟合实际的输入输出，从而建立一个计算量小的“代理模型”，通过这一个黑匣子模型来模拟和预估实际复杂模型的输入输出关系。目前存在着多种代理模型，其中比较常见的有多项式响应面，人工神经网络，支持向量机，多项式混沌展开，kriging模型等等。尽管基于代理模型的结构可靠性分析方法多种多样，但基本上都是通过代理模型对结构的功能函数进行拟合、近似，然后结合蒙特卡洛仿真方法或者其他抽样方法进行失效概率的仿真分析。

在众多的代理模型中，kriging模型由于是基于高斯过程的代理模型，具有误差估计功能，能够实现通过当前已有的插值点，估计出未知点的均方差。这一特性使得kriging模型这类高斯过程代理模型实现了基于历史数据来驱动样本点加入的功能。kriging模型通过适定的学习函数，逐步、自适应地指导样本点的加入，再利用新的样本点集合重新构造一个新的kriging模型，从而使得代理模型的精度逐渐提高。这有效避免了在构造代理模型时，人为构造的样本点集合所造成的样本点不足导致精度不够，或者样本点过多导致计算资源浪费等问题。

对于利用kriging模型进行自适应结构可靠性分析，适定的学习函数是必要的。一个合适的，适用于结构可靠性分析的学习函数能高效高精度且稳健地实现对结构失效概率的估计。所以提出一种新型的适用于结构可靠性分析的学习函数对结构可靠性分析，尤其是结合kriging模型的自适应结构可靠性分析领域具有重要意义。

发明内容

有鉴于此，本发明的主要目的是提出一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，旨在能实现高效高精度且稳健地对结构失效概率进行估计。

本发明所提的一种新型的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，包括以下步骤：

1.分析待评估失效概率的结构的组成、功能和工况条件，确定该结构的失效模式与对应的功能函数，并获取影响结构功能函数的变量及其分布信息；

2.采用拉丁超立方抽样方法或者其他低差异序列抽样方法在步骤1中所获取的变量的采样空间

内抽取个候选样本点，组成候选样本集，并再次抽取个初始随机样本点，组成训练集，并令用于记录迭代次数；

3.根据步骤2所获取的训练集，获取对应的结构的功能函数的函数值，利用kriging模型构建代理模型

4.利用蒙特卡洛仿真方法对上一步所得的kriging模型进行结构可靠性分析，获得当前第次迭代时所获得的代理模型的失效概率

5.判别是否符合收敛条件，如果符合收敛条件，则转到步骤8。如果不符合则进行下一步；

6.对迭代次数进行更新，k＝k+1；

7.利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new，并将x_new并入ζ。转回到步骤3；

8.最终获得结构的失效概率

整个计算流程结束

进一步，所示步骤1中的获取影响结构功能函数的变量x，可以表示为：x＝(x⁽¹⁾，x⁽²⁾，x^(b)，，x^(S))

其中，b＝1，2，…，S；而S表示为结构的功能函数的维度；

进一步，所示步骤2中的变量的采样空间

表示为：

其中，

表示为变量的联合概率密度函数f_x(x)的反函数；

表示为变量x的分量x^(b)的边缘概率密度函数f_x，b(x)的反函数；Φ(·)表示为标准正态分布的累计概率密度函数；

进一步，所示步骤4中蒙特卡洛仿真方法获取当前第k次迭代的代理模型

的失效概率的方法为：

其中，根据变量x的联合概率密度函数f_x(x)，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS个蒙特卡洛样本点u₁，u₂，…，u_MCS，而u_i∈{u₁，u₂，…，u_MCS}，i＝1，2，…，n_MCS

进一步，所示步骤5中收敛条件，表示为：

其中，κ＝0.01；而对于DF_k，通过下面的等式求解：

其中，

表示为第k次迭代的代理模型

在点u_i的预估值，

表示为代理模型

在点u_i的预测的均方差；

进一步，所示步骤7中的学习函数iRPI(x)为表示为：

其中，

表示为归一化函数，归一化区间为[0,0.5]；

进一步，所示步骤7中利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new的方法为：

有益效果

1.本发明以拉丁超立方在变量的采样空间

生成候选样本点，保证候选样本点在采样空间

的均匀分布；均匀分布的候选样本点有效避免样本点在较低概率区域的稀疏从而导致代理模型核心区域即极限状态函数附近的预测精度降低的情况发生，而且也免去了高概率区域候选样本点的高度拥挤导致数值模拟量过大，算法效率降低的问题；

2.本发明引入以全局收敛为指导的收敛准则，在保证精度的前提下提高了收敛速度，有效避免了其他一些学习函数因以单一样本点为核心的收敛准则而引起的样本点过度添加情况，从而提高了样本点的利用效率；

3.通过进一步引入代理模型待选样本点的均方差权重，有效避免了样本点聚集以及易陷入局部最优的问题。且深入考虑到引入变量的概率密度函数f_x(x)对候选样本点赋予相应的权重，尽可能地保证高概率样本的正负号的判别的正确率，提高了迭代过程收敛的平稳性，并在保证精度的同时提高了样本的利用效率；

附图说明

为了更清楚地说明本公开实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本公开的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1是本发明提供的一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法流程图；

图2是本发明实施例1中本发明所提方法最终的采样结果和代理模型与结构的真实极限状态函数的拟合情况的示意图；

图3是本发明实施例1中典型方法最终的采样结果和代理模型与结构的真实极限状态函数的拟合情况的示意图；

图4是本发明实施例2中的屋顶桁架结构的结构简图；

图5是本发明实施例2中本发明方法进行自适应结构可靠性分析预测失效概率的收敛过程的示意图；

图6是本发明实施例1中典型方法进行自适应结构可靠性分析预测失效概率的收敛过程的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本公开实施例进行详细描述。

以下通过特定的具体实例说明本公开的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本公开的其他优点与功效。显然，所描述的实施例仅仅是本公开一部分实施例，而不是全部的实施例。本公开还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本公开的精神下进行各种修饰或改变。需说明的是，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。基于本公开中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本公开保护的范围。

要说明的是，下文描述在所附权利要求书的范围内的实施例的各种方面。应显而易见，本文中所描述的方面可体现于广泛多种形式中，且本文中所描述的任何特定结构及/或功能仅为说明性的。基于本公开，所属领域的技术人员应了解，本文中所描述的一个方面可与任何其它方面独立地实施，且可以各种方式组合这些方面中的两者或两者以上。举例来说，可使用本文中所阐述的任何数目个方面来实施设备及/或实践方法。另外，可使用除了本文中所阐述的方面中的一或多者之外的其它结构及/或功能性实施此设备及/或实践此方法。

还需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本公开的基本构想，图式中仅显示与本公开中有关的组件而非按照实际实施时的组件数目、形状及尺寸绘制，其实际实施时各组件的型态、数量及比例可为一种随意的改变，且其组件布局型态也可能更为复杂。

另外，在以下描述中，提供具体细节是为了便于透彻理解实例。然而，所属领域的技术人员将理解，可在没有这些特定细节的情况下实践所述方面。

本公开实施例提供一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法。为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本发明所提的一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，包括以下步骤：

1.根据待评估失效概率的结构的说明书、设计标准、专家意见、历史数据等信息分析结构的组成、功能和工况条件，确定该结构的失效模式与对应的功能函数g(x),并获取影响结构功能函数的变量x及其分布信息；

其中，x＝(x⁽¹⁾，x⁽²⁾，…x^(b)，…，x^(S))；而S表示为结构的功能函数的维度；

在确定影响结构功能函数的变量时，如结构的尺寸、材料性质、工况载荷情况等等，需要明白到，由于随机性与不确定性，变量的值通常是随机的，需要通过一个概率分布对其不确定性进行描述。对于变量的概率分布的建模，可以依据现有数据或者工程经验获取，此处属于现有通用技术，本发明不在赘述。

在确定结构的功能函数时，需要明白到功能函数分为显式和隐式，在一般工程应用中，对于隐式的功能函数，一般需要利用有限元分析技术对其进行求解表示。

2.采用拉丁超立方法或者其他低差异序列抽样方法在步骤1中所获取的变量的采样空间

内抽取N个候选样本点，组成候选样本集Ω^s，并再次抽取n_L个初始随机样本点，组成训练集ζ，并令k＝1用于记录迭代次数；

而变量的采样空间

可以表示为：

其中，

表示为变量x的联合概率密度函数f_x(x)的反函数；

表示为变量x的分量x^(b)的边缘概率密度函数f_x，b(x)的反函数；Φ(·)表示为标准正态分布的累计概率密度函数；

3.根据步骤2所获取的训练集ζ，获取ζ对应的结构的功能函数的函数值Y，利用kriging模型构建代理模型

kriging模型采用高斯随机过程模型，可以有效给出未知点的预测值，而且能够给出预测值的均方差，利用kriging模型建立代理模型为现有技术，本发明不再赘述。

4.利用蒙特卡洛仿真方法对上一步所得的kriging模型进行结构可靠性分析，获得当前第k次迭代时所获得的代理模型的失效概率

而利用蒙特卡洛仿真方法获取当前第k次迭代的代理模型

的失效概率的方法为：

其中，根据变量x的联合概率密度函数f_x(x)，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS个蒙特卡洛样本点u₁，u₂，…，u_MCS，而u_i∈{u₁，u₂，…，u_MCS}，i＝1，2，…，n_MCS；

需要明白的是，利用代理模型对结构可靠性分析的目的是减少对原始结构的功能函数g(x)的调用次数，这是因为结构的功能函数g(x)一般为隐式，需要调用有限元仿真技术。相对于有限元仿真的计算量，对代理模型进行数值上的蒙特卡洛仿真的计算量基本可以忽略。

5.判别是否符合收敛条件，如果符合收敛条件，则转到步骤8。如果不符合则进行下一步；

进一步，所示步骤5中收敛条件，表示为：

其中，k＝0.01；而对于DF_k，通过下面的等式求解：

其中，

表示为第k次迭代的代理模型

在点u_i的预估值，

表示为代理模型

在点u_i的预测的均方差；

6.对迭代次数进行更新，k＝k+1；

7.利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new，并将x_new并入训练集ζ。转回到步骤3，继续下一次迭代；

学习函数iRPI(x)表示为：

其中，

表示为归一化函数，归一化区间为[0，0.5]；归一化方法可以采用线性归一化方法或者其他归一化方法，归一化方法为现有技术，此处不在赘述。

利用学习函数iRPI(x)自适应选择出新的样本点x_new的方法为：

8.最终获得结构的失效概率

整个计算流程结束

实施例1

本实施例1以一个二维应用实例对本发明进行进一步阐述，该实例为自适应结构可靠性分析领域的典型例子。

1.根据待评估失效概率的结构的说明书、设计标准、专家意见、历史数据等信息分析结构的组成、功能和工况条件，确定该结构的失效模式与对应的功能函数g(x)，并获取影响结构功能函数的变量x及其分布信息；

其中，x＝(x⁽¹⁾，x⁽²⁾，…x^(b)，…，x^(S)；而S表示为结构的功能函数的维度；

在本实施例1中，结构的功能函数表示为：

其中，x＝(x₁，x₂)，结构的功能函数的维度S＝2；

而变量的分布信息为：变量x₁，x₂相互独立，x₁～N(1.5，1)，x₂～N(2.5，1)；

2.采用拉丁超立方抽样方法或者其他低差异序列抽样方法在步骤1中所获取的变量的采样空间

内抽取N个候选样本点，组成候选样本集Ω^s，并再次抽取n_L个初始随机样本点，组成训练集ζ，并令k＝1用于记录迭代次数；

而变量的采样空间

可以表示为：

其中，

表示为变量x的联合概率密度函数f_x(x)的反函数；

表示为变量x的分量x^(b)的边缘概率密度函数f_x，b(x)的反函数；Φ(·)表示为标准正态分布的累计概率密度函数；

在本实施例1中，采用拉丁超立方抽样方法，抽取N＝5000个候选样本点组成候选样本集Ω^S，抽取n_L＝10个初始随机样本点组成训练集ζ；

3.根据步骤2所获取的训练集ζ，获取ζ对应的结构的功能函数的函数值Y，利用kriging模型构建代理模型

kriging模型采用高斯随机过程模型，可以有效给出未知点的预测值，而且能够给出预测值的均方差，利用kriging模型建立代理模型为现有技术，本发明不再赘述。

4.利用蒙特卡洛仿真方法对上一步所得的kriging模型进行结构可靠性分析，获得当前第k次迭代时所获得的代理模型的失效概率

而利用蒙特卡洛仿真方法获取当前第k次迭代的代理模型

的失效概率的方法为：

其中，根据变量x的联合概率密度函数f_x(x)，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS个蒙特卡洛样本点u₁，u₂，…，u_MCS，而u_i∈{u₁，u₂，…，u_MCS}，i＝1，2，…，n_MCS；

在本实施例1中，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS＝10⁶个蒙特卡洛样本点；

5.判别是否符合收敛条件，如果符合收敛条件，则转到步骤8。如果不符合则进行下一步；

进一步，所示步骤5中收敛条件，表示为：

其中，k＝0.01；而对于DF_k，通过下面的等式求解：

其中，

表示为第k次迭代的代理模型

在点u_i的预估值，

表示为代理模型

在点u_i的预测的均方差；

6.对迭代次数进行更新，k＝k+1；

7.利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new，并将x_new并入训练集ζ。转回到步骤3，继续下一次迭代；

学习函数iRPI(x)表示为：

其中，

表示为归一化函数，归一化区间为[0，0.5]；

本实施例1采用线性归一化方法进行归一化操作；

利用学习函数iRPI(x)自适应选择出新的样本点x_new的方法为：

8.最终获得结构的失效概率

整个计算流程结束

图2给出了实施例1中本发明所提方法最终的采样结果和代理模型与结构的真实极限状态函数的拟合情况。图3表示为现有典型方法的最终采样结果和代理模型与结构的真实极限状态函数的拟合情况。更为详细的结果表示在表1中。

表1本发明方法与典型方法在实施例1结果的对比表

分析方法	所需样本量	失效概率	与蒙特卡洛仿真的相对误差
				蒙特卡洛仿真	10<sup>5</sup>	0.11529	\
本发明方法	10+16	0.11492	0.32％
				典型方法	10+49	0.11532	0.03％

其中，典型方法为U函数方法，U函数方法为通用技术，此处不再展开叙述。

根据表1的结果可以知道，对比蒙特卡洛仿真结果，本发明所提的一种新型的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，能够高效高精度地实现对结构的失效概率的估计。而与典型方法相比，尽管与蒙特卡洛仿真的相对误差的表现不如典型方法，但本发明的精度也完全符合工程需要。更近一步的是，本发明所提方法所需的样本量远远小于典型方法的样本量，表明本发明方法的高效。

实施例2

为了进一步表明本发明所提方法的有效性，通过提出一个常见的工程系统作为实施例，对本发明所提方法进行详细说明。

实施例2为为一个屋顶桁架结构，屋顶桁架如图5所示，底部和承拉的杆件材料为钢，顶部和承压的杆件用水泥加固。假设均匀分布的载荷施加在屋顶桁架上，并且均匀施加在屋顶上。

1.根据待评估失效概率的结构的说明书、设计标准、专家意见、历史数据等信息分析结构的组成、功能和工况条件，确定该结构的失效模式与对应的功能函数g(x)，并获取影响结构功能函数的变量x及其分布信息；

其中，x＝(x⁽¹⁾，x⁽²⁾，…x^(b)，…，x^(S))；而S表示为结构的功能函数的维度；

在本实施例2中，失效模式为C点位移超出预定值，所以结构的功能函数表示为：

其中，x＝(q，l，E_S，E_C，A_S，A_C)，结构的功能函数的维度S＝6；

而变量的分布信息为下表2；

表2实施例2中各变量分布情况

2.采用拉丁超立方抽样方法或者其他低差异序列抽样方法在步骤1中所获取的变量的采样空间

内抽取N个候选样本点，组成候选样本集Ω^S，并再次抽取n_L个初始随机样本点，组成训练集ζ，并令k＝1用于记录迭代次数；

而变量的采样空间

可以表示为：

其中，

表示为变量x的联合概率密度函数f_x(x)的反函数；

表示为变量x的分量x^(b)的边缘概率密度函数f_x，b(x)的反函数；Φ(·)表示为标准正态分布的累计概率密度函数；

在本实施例2中，采用拉丁超立方法，抽取N＝8000个候选样本点组成候选样本集Ω^S，抽取n_L＝10个初始随机样本点组成训练集ζ；

3.根据步骤2所获取的训练集ζ，获取ζ对应的结构的功能函数的函数值Y，利用kriging模型构建代理模型

kriging模型采用高斯随机过程模型，可以有效给出未知点的预测值，而且能够给出预测值的均方差，利用kriging模型建立代理模型为现有技术，本发明不再赘述。

4.利用蒙特卡洛仿真方法对上一步所得的kriging模型进行结构可靠性分析，获得当前第k次迭代时所获得的代理模型的失效概率

而利用蒙特卡洛仿真方法获取当前第k次迭代的代理模型

的失效概率的方法为：

其中，根据变量x的联合概率密度函数f_x(x)，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS个蒙特卡洛样本点u₁，u₂，…，u_MCS，而u_i∈{u₁，u₂，…，u_MCS}，i＝1，2，…，n_MCS；

在本实施例2中，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS＝5×10⁵个蒙特卡洛样本点；

5.判别是否符合收敛条件，如果符合收敛条件，则转到步骤8。如果不符合则进行下一步；

进一步，所示步骤5中收敛条件，表示为：

其中，k＝0.01；而对于DF_k，通过下面的等式求解：

其中，

表示为第k次迭代的代理模型

在点u_i的预估值，

表示为代理模型

在点u_i的预测的均方差；

6.对迭代次数进行更新，k＝k+1；

7.利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new，并将x_new并入训练集ζ。转回到步骤3，继续下一次迭代；

学习函数iRPI(x)表示为：

其中，

表示为归一化函数，归一化区间为[0，0.5]；

本实施例2采用线性归一化方法进行归一化操作；

利用学习函数iRPI(x)自适应选择出新的样本点x_new的方法为：

8.最终获得结构的失效概率

整个计算流程结束

图1给出了实施例2中本发明方法进行自适应结构可靠性分析预测失效概率的收敛过程。图3表示为现有典型方法的进行自适应结构可靠性分析预测失效概率的收敛过程。更为详细的结果表示在表2中。

表2本发明方法与典型方法在实施例2结果的对比表

分析方法	所需样本量	失效概率	与蒙特卡洛仿真的相对误差
				蒙特卡洛仿真	10<sup>5</sup>	0.009496	\
本发明方法	10+59	0.009462	0.36％
				典型方法	10+97	0.009496	0％

其中，典型方法为U函数方法，U函数方法为通用技术，此处不再展开叙述。

根据表2的结果可以知道，对比蒙特卡洛仿真结果，本发明所提的一种新型的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，能够高效高精度地实现对实施例2结构的失效概率的估计。而与典型方法相比，尽管与蒙特卡洛仿真的相对误差表现不如典型方法，但本发明的精度也完全符合工程需要。更近一步的是，本发明所提方法所需的样本量小于典型方法的样本量，表明本发明方法的高效。

以上所述，仅为本公开的具体实施方式，但本公开的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本公开揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本公开的保护范围之内。因此，本公开的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (7)

1.一种学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

第1步、分析待评估失效概率的结构的组成、功能和工况条件，确定该结构的失效模式与对应的功能函数g(x)，并获取影响结构功能函数的变量x及其分布信息；

第2步、采用拉丁超立方抽样方法或者其他低差异序列抽样方法在步骤1中所获取的变量的采样空间

内抽取N个候选样本点，组成候选样本集Ω^s，并再次抽取n_L个初始随机样本点，组成训练集ζ，并令k＝1用于记录迭代次数；

第3步、根据步骤2所获取的训练集ζ，获取ζ对应的结构的功能函数的函数值Y，利用kriging模型构建代理模型

第4步、利用蒙特卡洛仿真方法对上一步所得的kriging模型进行结构可靠性分析，获得当前第k次迭代时所获得的代理模型的失效概率

第5步、判别是否符合收敛条件，如果符合收敛条件，则转到步骤8，如果不符合则进行下一步；

第6步、对迭代次数进行更新，k＝k+1；

第7步、利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new，并将x_new并入ζ，转回到步骤3；

第8步、最终获得结构的失效概率

整个计算流程结束。

2.根据权利要求1的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤1中的获取影响结构功能函数的变量x，可以表示为：x＝(x⁽¹⁾，x⁽²⁾，…x^(b)，…，x^(S))，其中，b＝1，2，…，s；而s表示为结构的功能函数的维度。

3.根据权利要求1的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤2中的变量的采样空间

表示为：

其中，

表示为变量x的联合概率密度函数f_x(x)的反函数；

表示为变量x的分量x^(b)的边缘概率密度函数f_x，b(x)的反函数；Φ(·)表示为标准正态分布的累计概率密度函数。

4.根据权利要求1的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤4中蒙特卡洛仿真方法获取当前第k次迭代的代理模型

的失效概率的方法为：

其中，根据变量x的联合概率密度函数f_x(x)，利用蒙特卡洛方法生成n_MCS个蒙特卡洛样本点u₁，u₂，…u_MCS，而u_i∈{u₁，u₂，…u_MCS}，i＝1，2，…，n_MCS。

5.根据权利要求1的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤5中收敛条件，表示为：

其中，κ＝0.01；而对于DF_k，通过下面的等式求解：

其中，

表示为第k次迭代的代理模型

在点u_i的预估值，

表示为代理模型

在点u_i的预测的均方差。

6.根据权利要求1的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤7中的学习函数iRPI(x)为表示为：

其中，

表示为归一化函数，归一化区间为[0，0.5]。

7.根据权利要求1的学习函数与kriging模型结合的自适应结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤7中利用学习函数自适应选择出新的样本点x_new的方法为：

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