CN110826180A - 一种面向扰动引力场应用的精细计算方法及系统 - Google Patents

一种面向扰动引力场应用的精细计算方法及系统 Download PDF

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CN110826180A CN201910935900.8A CN201910935900A CN110826180A CN 110826180 A CN110826180 A CN 110826180A CN 201910935900 A CN201910935900 A CN 201910935900A CN 110826180 A CN110826180 A CN 110826180A
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一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，首先由离散扰动引力观测数据
Figure DDA0002221580430000011
恢复球面可积函数f(θ,λ)，用公式
Figure DDA0002221580430000012
计算扰动位系数
Figure DDA0002221580430000014
将
Figure DDA0002221580430000015
代入不同的扰动引力场元计算公式，即可得到所需引力场元。本发明同时提供了一种面向扰动引力场应用的精细计算系统。本发明稳定性高，有效位数可精确到小数点后6位，同时
Figure DDA0002221580430000016
表达式可针对不同的次数m一次性计算出所有的
Figure DDA0002221580430000017
值，便于GPU并行计算，从而进一步提高计算速度，为超高阶扰动引力场建模应用提供计算工具。

Description

一种面向扰动引力场应用的精细计算方法及系统
技术领域
本发明涉及一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，应用于高程异常或垂线偏差等扰动引力场元计算中高分辨率数据球谐调和分析。
背景技术
垂线偏差和地球扰动引力场模型是影响弹道导弹命中精度的两个重要因素。垂线偏差是基准坐标系建立的依据之一，其误差直接导致导弹发射时基准坐标的偏差，从而影响导弹的命中精度。另一方面，弹道导弹飞行过程中始终受到地球引力场的作用，而弹上的惯性器件却无法敏感到地球引力，只能由制导系统在飞行时使用地面构建的地球引力场模型进行实时补偿，显然地球引力场模型的精度决定着制导系统的补偿精度，进而影响导弹命中精度。因此，需要开展地球扰动引力场模型(包括垂线偏差)精确快速构建。
以垂线偏差为例，传统的实测方法需在晴朗的夜空观测数天，无法满足应用背景需求。而模型解算的方法则是提前构建出大区域的垂线偏差数值末，一旦获知一点的坐标，即可在不到一秒的时间内给出该点的垂线偏差。垂线偏差全球化处理中，可先求扰动位系数，再转换为格网垂线偏差模型。其中，扰动位系数求取比较耗时，转换为格网垂线偏差模型相对快一些。
求解扰动位系数即是所谓的调和分析，它是全球重力场模型建立的重要数学工具。不同算法在数据分辨率不是很高时，计算耗时可以忍受，但数据分辨率高时(如5′×5′平均异常确定2160阶次位系数)，计算将耗时数天。这就需要对算法进行优化，以满足2′×2′甚至1′×1′分辨率数据球谐谱分析的需要。
发明内容
本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种面向扰动引力场应用的精细计算方法及系统，以提高扰动引力球谐系数调和分析的计算效率，为超高阶地球扰动引力场模型的精确快速建模提供技术基础。
本发明的技术解决方案是：
一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，步骤如下：
(1)由离散扰动引力观测数据
Figure BDA0002221580410000021
恢复球面可积函数f(θ,λ)级数展开的系数；
(2)根据正常化Legendre函数和球面可积函数f(θ,λ)计算扰动位系数
Figure BDA0002221580410000022
其中m为扰动位系数的次数，n为扰动位系数的阶数；
(3)将步骤(2)中的
Figure BDA0002221580410000023
代入不同的扰动引力场元计算公式，即可得到所需引力场元。
步骤(1)的实现方法如下：
对于离散网格平均值，从经度λ＝0°和余纬θ＝0°开始等间距划分网格，得到网格平均值
Figure BDA0002221580410000024
即
Figure BDA0002221580410000025
其中，i＝0,1,…,N-1；j＝0,1,…,2M-1；
Figure BDA0002221580410000026
经度方向上网格个数为2M，纬度方向上网格个数为N，则定义域扩充后的网格平均值
Figure BDA0002221580410000027
为
Figure BDA0002221580410000028
这就构成了环面
Figure BDA0002221580410000029
上规则的网格平均值，即
利用环面上的B样条函数插值技术，利用以下公式求得由恢复的f(θ,λ)的公式为
Figure BDA0002221580410000031
其中，μm′(Δθ)、μm(Δλ)为频域恢复因子，Δλ为网格上经度间隔，Δθ为网格上余纬间隔。
Figure BDA0002221580410000033
k为样条函数的阶，sinc()函数是正弦函数与自变量的比值，Bk+1()表示B样条函数；
Figure BDA0002221580410000035
步骤(2)的实现方法如下：
Figure BDA0002221580410000036
而根据面球谐函数固有的奇偶交替特性，步骤(1)中可积函数f(θ,λ)可展开为如下形式：
Figure BDA0002221580410000037
令权系数
Figure BDA0002221580410000038
则扰动位系数
Figure BDA0002221580410000041
满足其中
Figure BDA0002221580410000043
是正常化Legendre函数，am′,m，bm′,m为实数谱系数。
am′,m、bm′,m满足如下公式：
Figure BDA0002221580410000044
Figure BDA0002221580410000046
为克罗塞克符号，
Figure BDA0002221580410000047
当m＝0,1时，
Figure BDA0002221580410000048
的递推公式如下：
Figure BDA0002221580410000049
Figure BDA00022215804100000410
当m≥2时，
Figure BDA00022215804100000411
的递推公式如下：
Figure BDA0002221580410000051
一旦给定
Figure BDA0002221580410000052
即可求得所需
Figure BDA0002221580410000053
的值。
Figure BDA0002221580410000054
的递推公式如下：
Figure BDA0002221580410000055
递推初值如下：
Figure BDA0002221580410000056
至此，能够求得所需要的
Figure BDA0002221580410000057
和
Figure BDA0002221580410000058
进而求得所有的的值，从而得到
Figure BDA00022215804100000510
一种面向扰动引力场应用的精细计算系统，包括可积函数系数计算模块、扰动位系数计算模块和引力场元获取模块；
可积函数系数计算模块：根据离散扰动引力观测数据
Figure BDA0002221580410000061
恢复球面可积函数f(θ,λ)级数展开的系数，并输出给扰动位系数计算模块；
扰动位系数计算模块：根据正常化Legendre函数和球面可积函数f(θ,λ)计算扰动位系数
引力场元获取模块：根据扰动位系数确定所需引力场元。
所述扰动位系数计算模块包括实数谱系数确定单元、权系数确定单元和扰动位系数计算单元；
实数谱系数确定单元根据球面可积函数f(θ,λ)以及复数乘法的性质计算实数谱系数，输出给扰动位系数计算单元；
权系数确定单元根据正常化Legendre函数和余纬计算权系数，输出给扰动位系数计算单元；
扰动位系数计算单元根据实数谱系数和权系数计算扰动位系数。
本发明与现有技术相比的有益效果是：
本发明提出了一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，将离散数据通过样条逼近来连续化表示，将球面样条问题转化为环面样条问题，即将扰动引力系数
Figure BDA0002221580410000063
的调和分析问题转化为权系数
Figure BDA0002221580410000064
的确定问题，推导给出
Figure BDA0002221580410000065
的快速稳定计算公式。该方法稳定性高，计算效率高，有效位数可精确到小数点后6位。同时表达式可针对不同的次数m一次性计算出所有的
Figure BDA0002221580410000067
值，便于GPU并行计算，从而进一步提高计算速度，为超高阶地球扰动引力场模型的精确快速建模提供技术基础。
附图说明
图1为本发明流程图。
具体实施方式
下面对本发明的具体实施方式进行进一步的详细描述。
对于球面可积函数f(θ,λ)，均可展开为面球谐函数的无穷级数，即球面二维广义Fourier级数。其表达式为
式中
Figure BDA0002221580410000072
是面球谐系数，是正常化Legendre函数，θ,λ分别是余纬和经度，n,m分别是球谐系数的阶和次。
当给定f(θ,λ)为具体的地球扰动引力观测数据时，可按公式
Figure BDA0002221580410000074
计算扰动引力系数
Figure BDA0002221580410000075
正常化Legendre函数的定义为
Figure BDA0002221580410000077
正常化系数
Figure BDA0002221580410000078
的表达式为
Figure BDA0002221580410000079
再定义经度方向上的标准Fourier展开系数
Figure BDA00022215804100000710
则
Figure BDA00022215804100000711
式中，
Figure BDA00022215804100000712
函数的定义为
Figure BDA00022215804100000713
实际扰动引力场的原始测量数据，多以离散点值的形式测得，为了便于调和分析计算和抑制离散化引入的代表误差，通常利用多种拟合推估方法将扰动引力场测量数据处理成球面或椭球面上规则网格的平均值，构成全球网格数据模型。因此，实用中的面球谐调和分析是针对规则网格平均值
Figure BDA0002221580410000081
进行的。为了某些应用，特别是高分辨率地形数据的地球物理应用中，需要更高分辨率如2′×2′平均数据恢复5400阶次系数，此时高分辨率规则格网在两极区域极度密集，相邻网格平均值
Figure BDA0002221580410000082
高度相关，将导致算法不稳定，执行失败。
本发明提出了一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，将离散数据通过样条逼近来连续化表示，将球面样条问题转化为环面样条问题，实质上就是将扰动引力系数
Figure BDA0002221580410000083
的调和分析问题转化为权系数的确定问题。该算法稳定性高，有效位数可精确到小数点后6位，同时推导出的
Figure BDA0002221580410000085
表达式可针对不同的m一次性计算出所有的
Figure BDA0002221580410000086
值，便于GPU并行计算，从而进一步提高计算速度。如图1所示，具体步骤如下：
(1)由离散扰动引力观测数据
Figure BDA0002221580410000087
恢复球面可积函数f(θ,λ)级数展开的系数。
对于离散网格平均值，假定从经度λ＝0°和极距θ＝0°开始等间距划分网格，得到网格平均值
Figure BDA0002221580410000088
即
Figure BDA0002221580410000089
则定义域扩充后的网格平均值
Figure BDA00022215804100000810
为
Figure BDA00022215804100000811
这就构成了环面
Figure BDA00022215804100000812
上规则的网格平均值，即
Figure BDA00022215804100000813
利用环面上的B样条函数插值技术，可用求得由恢复的f(θ,λ)的公式为
Figure BDA0002221580410000091
式中
Figure BDA0002221580410000092
μm为频域恢复因子，其定义为
Figure BDA0002221580410000093
k为样条函数的阶，sinc(x)函数是正弦函数与自变量的比值，即
Figure BDA0002221580410000094
从上述介绍可用看出，将球面定义域扩充到环域的目的是利用二维FFT技术快速恢复f(θ,λ)的Fourier谱系数，同时利用样条插值技术改善频域恢复因子(k≥7以上效果较好)，得到又快又好的环形Fourier分析方法。
(2)利用公式
Figure BDA0002221580410000095
计算扰动位系数
Figure BDA0002221580410000096
可以证明，步骤(1)中的定义域扩充保证了面球谐函数固有的奇偶交替特性，根据奇偶交替特性，将f(θ,λ)简化为：
Figure BDA0002221580410000097
利用复数乘法的性质，得实数谱系数与复数谱系数的关系为
从而，可以写出
Figure BDA0002221580410000102
这就是说，利用FFT算法，可用快速求得Am(θ)、Bm(θ)的正弦、余弦级数展开的系数。
可以求得球谐谱系数的计算公式为
Figure BDA0002221580410000103
可以看出，扰动引力系数的调和分析问题即转化为权系数
Figure BDA0002221580410000105
的确定问题。比较(2)、(12)、(15)三个公式，可知
Figure BDA0002221580410000106
Figure BDA0002221580410000107
的推导过程如下：
2.1当m＝0,1时，
Figure BDA0002221580410000108
的递推公式：
Figure BDA0002221580410000111
Figure BDA0002221580410000112
2.2
Figure BDA0002221580410000113
的递推公式：
由三角函数和差化积公式
Figure BDA0002221580410000114
和Legendre函数的递推公式
Figure BDA0002221580410000115
两端同乘以
Figure BDA0002221580410000116
求积分，得
Figure BDA0002221580410000117
由于值，对于n,m′具有相同的奇偶特性，即当n为偶数时，m′也为偶数时，取非零值；n为奇数时，m′也为奇数时，并且
Figure BDA00022215804100001110
取非零值。一旦给定
Figure BDA00022215804100001111
就可求得所需的
Figure BDA00022215804100001112
的值。
利用Legendre函数的定义，可以求得
Figure BDA0002221580410000121
Figure BDA0002221580410000122
的递推公式如下：
Figure BDA0002221580410000123
递推初值如下：
Figure BDA0002221580410000124
至此，可以求得所需要
Figure BDA0002221580410000125
和进而求得所有的
Figure BDA0002221580410000127
的值，从而得到
Figure BDA0002221580410000128
(3)利用(2)中的
Figure BDA00022215804100001210
代入不同的扰动引力场元计算公式，即可得到所需引力场元，比如垂线偏差。
实施效果：
本发明方法为一次投影法。采用同样的算例，从计算时间、计算精度方面与其他已有算法进行对比分析，结果如表1所示。
表1算法基本性能对比分析
Figure BDA0002221580410000131
从表中可以看出，分辨率增加1倍，计算时间大体是8倍关系。一次投影方法计算速度是标准方法的2倍。它们的计算精度相当，可以认为彼此等价。
经上述验证表明，对于更高分辨率数据的调和分析，可以采用一次投影算法采用节约内存和二进制文件交换的方法设计程序代码，在可忍受的时间段内完成调和分析。本发明方法还可以通过GPU实现并行计算，进一步提高计算速度。
本发明未详细说明部分属本领域技术人员公知常识。

Claims (10)

1.一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于步骤如下：
(1)由离散扰动引力观测数据
Figure FDA0002221580400000011
恢复球面可积函数f(θ,λ)级数展开的系数；
(2)根据正常化Legendre函数和球面可积函数f(θ,λ)计算扰动位系数
Figure FDA0002221580400000012
其中m为扰动位系数的次数，n为扰动位系数的阶数；
(3)将步骤(2)中的代入不同的扰动引力场元计算公式，即可得到所需引力场元。
2.根据权利要求1所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：步骤(1)的实现方法如下：
对于离散网格平均值，从经度λ＝0°和余纬θ＝0°开始等间距划分网格，得到网格平均值即
Figure FDA0002221580400000015
其中，i＝0,1,…,N-1；j＝0,1,…,2M-1；经度方向上网格个数为2M，纬度方向上网格个数为N，则定义域扩充后的网格平均值
Figure FDA0002221580400000017
为
Figure FDA0002221580400000018
这就构成了环面
Figure FDA0002221580400000019
上规则的网格平均值，即
Figure FDA00022215804000000110
利用环面上的B样条函数插值技术，利用以下公式求得由
Figure FDA00022215804000000111
恢复的f(θ,λ)的公式为
Figure FDA00022215804000000112
Figure FDA0002221580400000021
其中，μm′(Δθ)、μm(Δλ)为频域恢复因子，Δλ为网格上经度间隔，Δθ为网格上余纬间隔。
3.根据权利要求2所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：
Figure FDA0002221580400000022
Figure FDA0002221580400000023
k为样条函数的阶，sinc()函数是正弦函数与自变量的比值，Bk+1()表示B样条函数；
Figure FDA0002221580400000024
4.根据权利要求2所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：步骤(2)的实现方法如下：
Figure FDA0002221580400000025
而根据面球谐函数固有的奇偶交替特性，步骤(1)中可积函数f(θ,λ)可展开为如下形式：
Figure FDA0002221580400000026
令权系数
Figure FDA0002221580400000031
则扰动位系数
Figure FDA0002221580400000032
满足其中是正常化Legendre函数，am′,m，bm′,m为实数谱系数。
5.根据权利要求4所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：am′,m、bm′,m满足如下公式：
Figure FDA0002221580400000035
Figure FDA0002221580400000036
Figure FDA0002221580400000037
为克罗塞克符号，
Figure FDA0002221580400000038
6.根据权利要求4所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：
当m＝0,1时，的递推公式如下：
Figure FDA00022215804000000311
。
7.根据权利要求6所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：
当m≥2时，
Figure FDA0002221580400000041
的递推公式如下：
一旦给定
Figure FDA0002221580400000043
即可求得所需的值。
8.根据权利要求7所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算方法，其特征在于：
Figure FDA0002221580400000045
的递推公式如下：
递推初值如下：
Figure FDA0002221580400000047
至此，能够求得所需要的
Figure FDA0002221580400000051
和进而求得所有的
Figure FDA0002221580400000053
的值，从而得到
9.一种面向扰动引力场应用的精细计算系统，其特征在于：包括可积函数系数计算模块、扰动位系数计算模块和引力场元获取模块；
可积函数系数计算模块：根据离散扰动引力观测数据
Figure FDA0002221580400000055
恢复球面可积函数f(θ,λ)级数展开的系数，并输出给扰动位系数计算模块；
扰动位系数计算模块：根据正常化Legendre函数和球面可积函数f(θ,λ)计算扰动位系数
Figure FDA0002221580400000056
引力场元获取模块：根据扰动位系数确定所需引力场元。
10.根据权利要求9所述的一种面向扰动引力场应用的精细计算系统，其特征在于：所述扰动位系数计算模块包括实数谱系数确定单元、权系数确定单元和扰动位系数计算单元；
实数谱系数确定单元根据球面可积函数f(θ,λ)以及复数乘法的性质计算实数谱系数，输出给扰动位系数计算单元；
权系数确定单元根据正常化Legendre函数和余纬计算权系数，输出给扰动位系数计算单元；
扰动位系数计算单元根据实数谱系数和权系数计算扰动位系数。
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