CN107977486A - 一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法及系统 - Google Patents

一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法及系统 Download PDF

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Abstract

一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法及系统，在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径；根据球冠半径，确定球冠边界条件；根据所述球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展。本发明从一定程度上扩展了球冠谐阶次，提高了空间飞行器沿轨扰动引力的赋值精度，有利于精确导航。

Description

一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法及系统
技术领域
本发明给出一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法及系统，可提高空间飞行器沿轨扰动引力的赋值精度，主要在飞行器快速机动发射、高精度入轨上使用。
背景技术
飞行器在地球外部空间飞行，受到地球引力作用。若已知地球外部空间任一点的地球引力，包括大小和方向，可以精化飞行器整个运行阶段的受力模型，提高其制导精度。为了简单地描述地球外部的引力，人为选择的一个形状规则的自转质体作为实际地球的近似，该质体的外部的引力尽量与实际地球外部的引力接近。这个质体产生的引力场就叫正常引力场，剩余的引力场部分则称为扰动引力场。正常重力用一个包含偶阶带谐系数的无穷级数表示，一般取至2阶即可。因此需要解决的就是扰动引力的计算。
地球外部扰动引力可以用球谐函数(截断到一定阶次的无穷级数)表示，阶次越高，赋值精度越高。该方法在飞行器轨道运动计算中被广泛采用，但是该方法也存在如下问题：(1)球谐函数更多的反映了地球引力场的低频部分，适宜于全球引力场赋值，而不适宜于局部低空引力场赋值。对于远程飞行器而言，不适用于主动段的计算。(2)由于要进行递推计算，阶次高时计算量大，不能满足快速赋值要求。
局部引力场逼近是以解析方法或离散逼近方法确定高精度、高分辨率的局部引力场及其派生量(比如扰动引力)，它对地区性的大地测量工作、地球物理和工程应用有重要意义。因而局部引力场逼近的理论、方法和技术一直是物理大地测量研究工作的最活跃部分，特别是近40年来随着重力场观测资料的迅速增长和电子计算机的普遍应用，这一领域的研究取得了一系列重大进展，在经典方法不断得到改进的同时又出现了许多新的理论和方法。
球冠谐分析方法是建立局部引力场的一个比较理想的方法。球冠谐分析最早应用于地磁研究，后有学者将其其引入到局部引力场的建模中来，提出了局部引力场的球冠谐分析课题，导出了相应的计算公式，给出了完整的引力场球冠谐分析的数学模型。
球冠谐理论需要按边界条件反求非整阶勒让德函数的阶数，计算量非常繁重，同时由于缔合勒让德函数的特性，当阶次达到一定数值的时候，其函数具备发散性质，利用常规方法，所能计算的零根值有限。
发明内容
本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供了一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展计算方法及系统，获取更多的零根值，一定程度上扩展了球冠谐阶次，提高了空间飞行器沿轨扰动引力的赋值精度，有利于精确导航。
本发明的技术解决方案是：
一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，步骤如下：
(1)在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；
(2)根据步骤(1)确定的球冠半径θ0，确定球冠边界条件；
(3)根据所述球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展，进而提高了地球扰动引力的赋值精度。
所述步骤(3)根据所述球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，具体为：
(2.1)判断缔合勒让德函数发散的性质，如果勒让德函数不发散，则进入步骤(2.2)；如果勒让德函数发散，进入步骤(2.3)；
(2.2)根据所述球冠边界条件，采用Muller方法计算非整阶缔合勒让德函数的零根值，返回步骤(2.1)；
(2.3)采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次采用二分法计算得到的零根值之间的距离小于所述预设限值时，计算结束。
所述步骤(2)球冠边界条件具体为：
其中，就是缔合勒让德函数，n，m分别是勒让德函数的阶数和次数，θ是地心余纬。
所述步骤(2.1)判断缔合勒让德函数发散的性质，具体为：计算区域范围内的极大值点，当极大值点与当前区域范围内零根值的距离大于等于前一个区域范围内极大值点与零根值之间距离的十分之一时，勒让德函数不发散，否则勒让德函数发散。
所述区域范围是指缔合勒让德函数中的单调递增区间或单调递减区间，每个区域范围内均包括一个极大值点和一个零根值。
所述步骤(2.3)采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，具体为：
(a)在区域范围[a,b]内，确定区域范围的中点c，对应的缔合勒让德函数分别为f(a)、f(b)和f(c)；
(b)若|f(c)|<ε，则c就是缔合勒让德函数的零根值，其中，ε为预设精度值；
(c)若f(a)f(c)<0，则令b的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(a)，若f(a)f(c)>0，则令a的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(a)。
在区域范围[a,b]内，f(a)f(b)<0。预设精度值ε的取值不大于0.0001。
一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展系统，包括：
球冠半径确定模块：用于在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；
边界条件确定模块：用于根据球冠半径确定模块确定的球冠半径θ0，确定球冠边界条件；
阶次扩展模块：用于根据边界条件确定模块提供的球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展，进而提高了地球扰动引力的赋值精度。
本发明与现有技术相比的有益效果是：
本发明球冠谐模型能够弥补高阶次全球重力场模型在描述局部重力场精细结构中的不足，而且可以用较少的位系数反映较高的分辨率。阶次扩展方法在传统Muller方法的基础上引入二分法，获取更多的零根值，一定程度上扩展了球冠谐阶次，提高了空间飞行器沿轨扰动引力的赋值精度，有利于精确导航。
附图说明
图1为本发明流程图；
图2为Muller方法示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式进行进一步的详细描述。
远程飞行器在飞行过程中时刻受到地球引力场的作用，因此地球引力场精度会对飞行器的控制和命中精度产生影响。地球引力场是反映地球物质分布与运动的基本物理场，也是提供精确的发射方位、建立坐标系统和高程基准的基础条件。要对远程飞行器进行精确制导，必须要知道精细的局部重力场和全球重力场参数。地球重力场模型就是用一个截断到N阶的引力位球谐函数的级数式来表示的地球引力场。其中扰动位表达式如下：
式中GM为地心引力常数，R为平均地球半径，是规格化球谐位系数，是空间点的球坐标，r是地心向径，是地心纬度，λ是地心经度，为完全正常化勒让德函数。将上式对三个坐标分别求偏导数，就可以得到扰动引力的三个分量：
上述过程就是传统的球谐位系数法，用于计算空间一点扰动引力。球谐系数通常是利用卫星摄动运动的观测数据求得的，因此比较适合高空点的扰动引力计算。
对于低空扰动引力，虽然可以采用较高阶的模型来计算扰动引力，在理论上能获得更高的精度，但是目前阶次有限，且较高阶的位系数置信度并不高，同时系数量的增大会造成计算的复杂。而球冠谐分析方法能够弥补高阶次全球重力场模型不能较好描述局部重力场精细结构的不足，而且可以用较少的位系数反映较高的分辨率，这对于扰动引力的快速精确计算是十分有益的。
局部重力场扰动位的球冠谐表达式为：
这是一个非整阶nk(m)整次m的球谐展开式，是非整阶缔合勒让德函数，nk(m)是m的一个实函数，k是nk(m)的序号。其他符号意义同上。
正如上文所述，需要按边界条件反求nk(m)，计算量非常繁重，同时由于缔合勒让德函数的特性，当阶次达到一定数值的时候，其函数具备发散性质，利用常规方法，所能计算的零根值有限。因此，本发明给出一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，从而有效提高扰动引力的赋值精度。
如图1所示，本发明提出的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，利用球冠谐方法逼近局部区域扰动引力场，步骤如下：
(1)在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；
(2)根据步骤(1)确定的球冠半径θ0，确定球冠边界条件；
球冠边界条件具体为：
其中，就是缔合勒让德函数，n，m分别是勒让德函数的阶数和次数，θ是地心余纬。
(3)根据所述球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展，进而提高了地球扰动引力的赋值精度。具体为：
(3.1)判断缔合勒让德函数发散的性质，如果勒让德函数不发散，则进入步骤(3.2)；如果勒让德函数发散，进入步骤(3.3)；
判断缔合勒让德函数发散的性质具体为：计算区域范围内的极大值点，当极大值点与当前区域范围内零根值的距离大于等于前一个区域范围内极大值点与零根值之间距离的十分之一时，勒让德函数不发散，否则勒让德函数发散。
区域范围是指缔合勒让德函数中的单调递增区间或单调递减区间，每个区域范围内均包括一个极大值点和一个零根值。
(3.2)根据所述球冠边界条件，采用Muller方法计算非整阶缔合勒让德函数的零根值，返回步骤(3.1)；
Muller方法属于广义割线求零根值方法，已知函数f(x)，并计算出三个点值：(p0,f0)，(p1,f1)，(p2,f2)。通过这三个点可以确定一个抛物线，如图2所示。假设p2作为最接近零根值的点。引入新变量：
t＝x-p2
则两个已知点新变量为
新变量下的二次抛物线函数为
y＝at2+bt+c
式中，a,b,c为待定参数，将三个点坐标代入，并解方程得：
式中，e0＝f0-f2，e1＝f1-f2，抛物线零根值为：
由于所求值距离p2较近，故选取绝对值较小的零根值：
得到新的坐标点：
p3＝p2+t
将p3代入函数f(x)中，若满足要求，即为所求根值；若不满足要求，则将p3作为新的p2值，利用三点(p0,f0)，(p1,f1)和新的(p2,f2)点继续利用抛物线计算零根值，直至满足要求。
(3.3)采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次采用二分法计算得到的零根值之间的距离小于所述预设限值时，计算结束。具体为：
(a)在区域范围[a,b]内，确定区域范围的中点c，对应的缔合勒让德函数分别为f(a)、f(b)和f(c)；在区域范围[a,b]内，f(a)f(b)<0；
(b)若|f(c)|<ε，则c就是缔合勒让德函数的零根值，其中，ε为预设精度值，ε的取值不大于0.0001。
(c)若f(a)f(c)<0，则令b的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(a)，若f(a)f(c)>0，则令a的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(a)。
在最新的零根值点设置初始步长，这个步长要足够小，通过大量的数值计算，本发明采用0.001作为计算步长，每次计算缔合勒让德函数值，当出现变号的时候，确定缔合勒让德函数求零根值的区间范围，然后通过二分法逐个找出零根值。精度判定ε是一个足够小的数值，通常可以设置为0.0001，如果不能达到要求继续重复以上步骤。
基于上述方法，本发明还提出了一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展系统，包括：
球冠半径确定模块：用于在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；
边界条件确定模块：用于根据球冠半径确定模块确定的球冠半径θ0，确定球冠边界条件；
阶次扩展模块：用于根据边界条件确定模块提供的球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展，进而提高了地球扰动引力的赋值精度。
实施例：
以球冠半径为5°为例，利用Muller方法解算零根值，可以直接计算出11个零根值，结合二分法，可以得到13个以上零根值。需要说明的是，采用这种方法可以计算出更多零根值，由于11以后的零根值距离很近，因此后续计算就终止了，终止的指令是当两个相邻的零根值距离过小时，终止搜索，这里令距离小于0.0001。
可以看出，本发明给出的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，可以计算出更多的零根值，有效扩展了球冠谐阶次，从而能提高空间飞行器沿轨扰动引力的赋值精度，有利于精确导航。

Claims (10)

1.一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于步骤如下：
(1)在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；
(2)根据步骤(1)确定的球冠半径θ0，确定球冠边界条件；
(3)根据所述球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展，进而提高了地球扰动引力的赋值精度。
2.根据权利要求1所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：所述步骤(3)根据所述球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，具体为：
(2.1)判断缔合勒让德函数发散的性质，如果勒让德函数不发散，则进入步骤(2.2)；如果勒让德函数发散，进入步骤(2.3)；
(2.2)根据所述球冠边界条件，采用Muller方法计算非整阶缔合勒让德函数的零根值，返回步骤(2.1)；
(2.3)采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次采用二分法计算得到的零根值之间的距离小于所述预设限值时，计算结束。
3.根据权利要求1所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：所述步骤(2)球冠边界条件具体为：
其中，就是缔合勒让德函数，n，m分别是勒让德函数的阶数和次数，θ是地心余纬。
4.根据权利要求2所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：所述步骤(2.1)判断缔合勒让德函数发散的性质，具体为：计算区域范围内的极大值点，当极大值点与当前区域范围内零根值的距离大于等于前一个区域范围内极大值点与零根值之间距离的十分之一时，勒让德函数不发散，否则勒让德函数发散。
5.根据权利要求4所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：所述区域范围是指缔合勒让德函数中的单调递增区间或单调递减区间，每个区域范围内均包括一个极大值点和一个零根值。
6.根据权利要求2所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：所述步骤(2.3)采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，具体为：
(a)在区域范围[a,b]内，确定区域范围的中点c，对应的缔合勒让德函数分别为f(a)、f(b)和f(c)；
(b)若|f(c)|<ε，则c就是缔合勒让德函数的零根值，其中，ε为预设精度值；
(c)若f(a)f(c)<0，则令b的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(a)，若f(a)f(c)>0，则令a的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤
(a)。
7.根据权利要求6所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：在区域范围[a,b]内，f(a)f(b)<0。
8.根据权利要求6所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展方法，其特征在于：预设精度值ε的取值不大于0.0001。
9.一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展系统，其特征在于包括：
球冠半径确定模块：用于在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；
边界条件确定模块：用于根据球冠半径确定模块确定的球冠半径θ0，确定球冠边界条件；
阶次扩展模块：用于根据边界条件确定模块提供的球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次计算得到的零根值之间的距离小于预设限值，则计算结束，即实现了地球扰动引力场球冠谐模型阶次的扩展，进而提高了地球扰动引力的赋值精度。
10.根据权利要求9所述的一种地球扰动引力场球冠谐模型阶次扩展系统，其特征在于：
根据球冠边界条件，循环计算缔合勒让德函数的零根值，具体为：
(10.1)判断缔合勒让德函数发散的性质，如果勒让德函数不发散，则进入步骤(10.2)；如果勒让德函数发散，进入步骤(10.3)；
(10.2)根据所述球冠边界条件，采用Muller方法计算非整阶缔合勒让德函数的零根值，返回步骤(10.1)；
(10.3)采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，当相邻两次采用二分法计算得到的零根值之间的距离小于所述预设限值时，计算结束；
球冠边界条件具体为：
其中，就是缔合勒让德函数，n，m分别是勒让德函数的阶数和次数，θ是地心余纬；
判断缔合勒让德函数发散的性质，具体为：计算区域范围内的极大值点，当极大值点与当前区域范围内零根值的距离大于等于前一个区域范围内极大值点与零根值之间距离的十分之一时，勒让德函数不发散，否则勒让德函数发散；
区域范围是指缔合勒让德函数中的单调递增区间或单调递减区间，每个区域范围内均包括一个极大值点和一个零根值；
采用二分法计算缔合勒让德函数的零根值，具体为：
(aa)在区域范围[a,b]内，确定区域范围的中点c，对应的缔合勒让德函数分别为f(a)、f(b)和f(c)；
(ab)若|f(c)|<ε，则c就是缔合勒让德函数的零根值，其中，ε为预设精度值；
(ac)若f(a)f(c)<0，则令b的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(aa)，若f(a)f(c)>0，则令a的值等于c，形成新的区域范围[a,b]，返回步骤(aa)；
在区域范围[a,b]内，f(a)f(b)<0，预设精度值ε的取值不大于0.0001。
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