CN110262334B - 一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域h∞控制方法 - Google Patents

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CN110262334B CN201910520445.5A CN201910520445A CN110262334B CN 110262334 B CN110262334 B CN 110262334B CN 201910520445 A CN201910520445 A CN 201910520445A CN 110262334 B CN110262334 B CN 110262334B
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Abstract

本发明提供一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，属于网络化控制系统领域。首先建立随机通信协议影响下，存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统模型；然后设计输出反馈控制器，利用模型变换技术和配方法，得到闭环系统满足H∞性能要求的充分条件；最后提出基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器设计算法，利用Matlab软件求解得到控制器的时变增益矩阵。本发明考虑实际情况下随机通信协议对状态饱和系统的影响，考虑系统存在随机参数和随机非线性，适用于一般网络化时变系统的有限时域H∞控制，降低了保守性。

Description

一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法
技术领域
本发明属于网络化控制系统领域，涉及一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法。
背景技术
由于网络化控制系统(Networked Control Systems,NCSs)具有易于共享、灵活性强和安装维护方便等优点，近年来关于NCSs的控制和滤波问题引起了广泛的研究。现有的控制器和滤波器设计方法大多只针对无限时域下时不变的被控对象，而在实际的NCSs中，由于操作点偏移、设备老化和环境因素的影响，很多系统都具有时变参数，因此研究时变系统在有限时域内的暂态特性比研究时不变系统的稳态特性更有实际意义。
一方面，在NCSs中，通信网络的带宽是有限的，这种限制很可能使控制或测量信号在网络传输过程中产生数据冲突，进而引起丢包和网络诱导时延等现象。如果网络中的多个节点都试图同时实现数据传输，非理想网络引起的这些现象可能会更加严重。因此避免数据冲突的有效方法是加入通信协议来管理每个节点访问网络的权利。另一方面，在实际应用中，由于设备的物理限制或保护措施，状态饱和时常发生，例如包括具有位置和速度限制的机械系统，以有限字长格式实现的数字滤波器以及具有饱和型传递函数的神经网络，在这些情况下，系统状态被约束在有界集合内。
发明内容
针对上述现有技术中存在的问题，本发明提供了一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法。考虑随机通信协议影响下状态饱和系统存在随机参数和随机非线性的情况，设计了有限时域上的输出反馈控制器，使得闭环网络化时变系统在上述情况下仍能保持稳定并满足H∞性能指标。
本发明的技术方案：
一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，包括以下步骤：
1)建立存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统的数学模型
Figure BDA0002096509700000011
其中：k为网络传输时刻，k∈[0,N]；N为正整数，代表有限时域的结束时刻；
Figure BDA0002096509700000012
为状态向量；
Figure BDA0002096509700000013
为控制输入向量；
Figure BDA0002096509700000014
为理想的测量输出向量；
Figure BDA0002096509700000015
为被控输出向量；
Figure BDA0002096509700000016
是系统的过程噪声，属于平方可积向量空间；
Figure BDA0002096509700000017
是系统的测量干扰，属于平方可积向量空间；
Figure BDA0002096509700000021
和
Figure BDA0002096509700000022
为系统的时变参数矩阵；
Figure BDA0002096509700000023
为饱和函数；
Figure BDA0002096509700000024
为随机参数矩阵，μk是方差为1的零均值高斯白噪声序列；
Figure BDA0002096509700000025
为系统的随机非线性函数；随机参数矩阵Ak(μk)和随机非线性函数f(xk)相互独立；
随机参数矩阵Ak(μk)具有如下统计特征：
Figure BDA0002096509700000026
其中：
Figure BDA0002096509700000027
为已知的矩阵，
Figure BDA0002096509700000028
为已知参数，
Figure BDA0002096509700000029
为矩阵Ak(μk)的第r行第s列元素，即
Figure BDA00020965097000000210
Figure BDA00020965097000000211
为矩阵Ak(μk)的第
Figure BDA00020965097000000229
行第
Figure BDA00020965097000000230
列元素，即
Figure BDA00020965097000000212
E{·}表示数学期望，Cov{·}表示协方差；
对于所有的xk，随机非线性函数f(xk)满足：
E{f(xk)|xk}＝0 (3)
Figure BDA00020965097000000213
其中：q是已知的非负整数，向量
Figure BDA00020965097000000214
和矩阵
Figure BDA00020965097000000215
是已知的常数阵；
定义饱和函数σ(·)为：
Figure BDA00020965097000000216
Figure BDA00020965097000000217
其中：σm(·)是σ(·)的第m个分量，
Figure BDA00020965097000000218
是向量xk的第m个分量，
Figure BDA00020965097000000219
是饱和水平，sign(·)是符号函数；
2)建立随机通信协议的数学模型
理想的测量输出yk由采用随机通信协议的通信网络传输后，实际的测量输出
Figure BDA00020965097000000220
为：
Figure BDA00020965097000000221
其中：
Figure BDA00020965097000000222
表示采用随机通信协议的通信网络传输矩阵；δ(ξk-i)为Kronecker delta函数，i∈{1,2,...,ny}；ξk为在网络传输时刻k获得访问网络权限的传感器节点，ξk的取值由转移概率矩阵为
Figure BDA00020965097000000223
的Markov链决定，其中
Figure BDA00020965097000000224
为状态i转移到状态j的转移概率，满足：
Figure BDA00020965097000000225
其中：Prob{·}表示概率，
Figure BDA00020965097000000226
是ny×ny的已知方阵，该方阵的第i行第j列的元素为
Figure BDA00020965097000000227
3)设计输出反馈控制器
Figure BDA00020965097000000228
其中：
Figure BDA0002096509700000031
为控制器的增益矩阵；
根据式(2)，Ak(μk)可重新表示为
Figure BDA0002096509700000032
满足
Figure BDA0002096509700000033
为了便于分析，定义
Figure BDA0002096509700000034
将式(7)和式(9)代入系统(1)，得到随机通信协议影响下的状态饱和系统：
Figure BDA0002096509700000035
4)随机通信协议下状态饱和系统满足H∞性能要求的充分条件
当存在正定对称矩阵
Figure BDA0002096509700000036
和
Figure BDA0002096509700000037
使逆向递推的类Riccati差分方程(11)成立且满足约束(12)时，则状态饱和系统(10)在给定的有限时域[0,N]内满足H∞性能要求；
Figure BDA0002096509700000038
Figure BDA00020965097000000328
和
Figure BDA0002096509700000039
此时，控制器的增益矩阵可通过如下公式计算：
Figure BDA00020965097000000310
其中：i∈{1,2,...,ny}，
Figure BDA00020965097000000311
Figure BDA00020965097000000312
Figure BDA00020965097000000313
Figure BDA00020965097000000314
的最大特征值为λP，
Figure BDA00020965097000000315
的最大特征值为λQ；γ为给定的H∞性能指标，
Figure BDA00020965097000000316
为给定的正定矩阵，εk为给定的正标量，I表示单位矩阵，对称矩阵
Figure BDA00020965097000000317
的第r行第s列元素为
Figure BDA00020965097000000318
Figure BDA00020965097000000319
表示
Figure BDA00020965097000000320
的Moore-Penrose伪逆，
Figure BDA00020965097000000321
表示
Figure BDA00020965097000000322
的Moore-Penrose伪逆，
Figure BDA00020965097000000323
表示矩阵
Figure BDA00020965097000000324
的迹；
Figure BDA00020965097000000325
λP、λQ和Ki,k为未知变量，其他变量都是已知的；
5)设计基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法
根据步骤4)，得到基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法：
①令k＝N，给定H∞性能指标γ，正定矩阵S，正标量εk，对于所有的i∈{1,2,...,ny}，
Figure BDA00020965097000000326
和
Figure BDA00020965097000000327
取接近于0的正定对称矩阵，执行②；
②令i＝1，执行③；
③利用Matlab软件计算
Figure BDA0002096509700000041
和
Figure BDA0002096509700000042
判断
Figure BDA0002096509700000043
且
Figure BDA0002096509700000044
是否成立，成立则转到④；不成立则转到⑧；
④计算
Figure BDA0002096509700000045
和
Figure BDA0002096509700000046
并根据式(13)求解控制器增益矩阵Ki,k，判断
Figure BDA0002096509700000047
是否成立，成立则转到⑤；不成立则转到⑧；
⑤求解类Riccati差分方程(11)得到
Figure BDA0002096509700000048
和
Figure BDA0002096509700000049
进而求出λP和λQ，判断
Figure BDA00020965097000000410
且
Figure BDA00020965097000000411
是否成立，成立则转到⑥；不成立则转到⑧；
⑥判断k＝0是否成立，不成立则转到⑦；成立，则判断
Figure BDA00020965097000000412
是否成立，成立则转到⑦，不成立则转到⑧；
⑦判断i＝ny是否成立，不成立则令i＝i+1，转到③；成立则判断k＝0是否成立，成立则在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统能满足H∞性能要求，得到控制器的增益矩阵Ki,k，转到⑨；不成立则令k＝k-1，转到②；
⑧在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统不能满足H∞性能要求，不能得到控制器的增益矩阵Ki,k，执行⑨；
⑨结束；
6)实现有限时域H∞控制
根据步骤5)求出的H∞控制器的增益矩阵Ki,k，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统实现有限时域H∞控制。
本发明的有益效果：考虑实际情况下随机通信协议对状态饱和系统的影响，考虑系统存在随机参数和随机非线性，适用于一般网络化时变系统的有限时域H∞控制，降低了保守性。
附图说明
图1是一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法的流程图。
图2是随机通信协议影响下获得网络权限的传感器节点变化图。
图3是开环状态饱和系统的状态响应图。
图4是闭环状态饱和系统的状态响应图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。
参照附图1，一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，包括以下步骤：
步骤1：建立存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统的数学模型为式(1)
步骤2：建立随机通信协议的数学模型
在随机通信协议的调度作用下，每个网络通信时刻只允许一个传感器节点访问网络并传送数据。用
Figure BDA0002096509700000051
表示通过网络传输后的测量输出，
Figure BDA0002096509700000052
表示在网络通信时刻k，控制器接收到的第i个传感器节点的测量输出。采用零输入处理策略，
Figure BDA0002096509700000053
的更新规则为：
Figure BDA0002096509700000054
其中：yi,k表示yk的第i个分量。
在式(14)的基础上，得到系统实际的测量输出为式(7)。
步骤3：设计输出反馈控制器为式(9)
将式(7)和式(9)代入系统(1)，得到随机通信协议影响下存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统(10)。
定义：
Figure BDA0002096509700000055
如果不等式(15)成立，则在有限时域[0,N]上的输出反馈控制器(9)使闭环状态饱和系统(10)满足H∞性能要求。
Figure BDA0002096509700000056
步骤4：随机通信协议下状态饱和系统满足H∞性能要求的充分条件
利用系统模型变换技术和配方法，得到状态饱和系统(10)满足H∞性能要求的充分条件。步骤如下：
首先，注意到系统(10)中含有
Figure BDA0002096509700000057
为了刻画测量干扰的尺度，同时为控制器的设计提供更多的自由度，引入正实数εk，定义
Figure BDA0002096509700000058
可知扰动
Figure BDA0002096509700000059
将系统(10)变换成式(16)的形式。
Figure BDA00020965097000000510
类似于式(15)，对于系统(16)定义如下H∞性能指标：
Figure BDA00020965097000000511
接着，得到在给定控制器增益Ki,k的情况下系统(10)满足H∞性能要求的充分条件。定义如下函数：
Figure BDA00020965097000000512
由于对于
Figure BDA00020965097000000513
若矩阵
Figure BDA00020965097000000514
为正定对称矩阵，则
Figure BDA00020965097000000515
恒成立，其中λmax{F}表示矩阵F的最大特征值，并根据式(16)可以得到：
Figure BDA0002096509700000061
根据矩阵协方差和迹的性质，由式(2)～式(4)可以得到：
Figure BDA0002096509700000062
Figure BDA0002096509700000063
因此，式(19)与式(22)等价。
Figure BDA0002096509700000064
在式(22)右边加上零项
Figure BDA0002096509700000065
并利用完全平方法，可将式(22)化为式(23)。
Figure BDA0002096509700000066
其中：
Figure BDA0002096509700000067
根据条件期望的性质，将不等式(23)从0累加到N，如果类Riccati差分方程(11a)成立，可得：
Figure BDA0002096509700000068
如果约束
Figure BDA0002096509700000069
成立，由于矩阵
Figure BDA00020965097000000610
正定对称，不难得出：
Figure BDA00020965097000000611
因此
Figure BDA00020965097000000612
系统(10)满足H∞性能要求。
最后，考虑控制器增益矩阵Ki,k的求解问题。为了得到输出反馈控制器存在的充分条件并降低结论的保守性，考虑干扰最大时，即
Figure BDA0002096509700000071
时的状态饱和系统(26)。定义
Figure BDA0002096509700000072
Figure BDA0002096509700000073
Figure BDA0002096509700000074
和成本函数
Figure BDA0002096509700000075
将闭环系统(16)变换为：
Figure BDA0002096509700000076
在最大干扰
Figure BDA0002096509700000077
情况下，定义如下函数：
Figure BDA0002096509700000078
根据式(26)可得：
Figure BDA0002096509700000079
在成本函数
Figure BDA00020965097000000710
的右边加上零项
Figure BDA00020965097000000711
定义
Figure BDA00020965097000000712
对
Figure BDA00020965097000000713
使用完全平方，如果类Riccati差分方程式(11)和约束(12)成立，可得：
Figure BDA00020965097000000714
注意到
Figure BDA00020965097000000715
为了缩小成本函数，控制器增益矩阵的选择如下：
Figure BDA00020965097000000716
因此，最小化问题(30)的最优解为式(13)，即为所求的控制器增益矩阵。
步骤5：设计基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法
根据步骤4，得到基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法。
步骤6：实现有限时域H∞控制
根据步骤5求出的H∞控制器的增益矩阵Ki,k，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统实现有限时域H∞控制。
实施例：
采用本发明提出的一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统(10)稳定且满足预定的H∞性能指标。具体实现方法如下：
某风能发电机系统为时变系统，其数学模型为式(1)，系统参数为：
Figure BDA0002096509700000081
Dk＝[-0.02 0.015]T，Ek＝[0.01 0.01]T，Lk＝[0.2 0.2]，随机非线性函数
Figure BDA0002096509700000082
Figure BDA0002096509700000083
其中μk，
Figure BDA0002096509700000084
和
Figure BDA0002096509700000085
为三个互不相关的均值为0，方差为1的高斯白噪声序列，随机非线性函数满足：
Figure BDA0002096509700000086
已知系统的初始状态x0＝[0.5 0.1]T，
Figure BDA0002096509700000087
和εk为1，随机通信协议的状态转移矩阵
Figure BDA0002096509700000088
系统的过程噪声和测量干扰分别设为wk＝1.5sin(k)，vk＝0.7cos(0.7k)，N＝30。
附图2描绘了状态转移矩阵为
Figure BDA0002096509700000089
的随机通信协议影响下获得网络权限的传感器节点变化情况。附图3展示了该开环状态饱和系统的状态响应曲线，可以看出原开环系统是不稳定的。
在保证算法有解且H∞性能指标尽可能小的前提下，给定γ＝0.92，正定矩阵S＝0.2I，
Figure BDA00020965097000000810
和
Figure BDA00020965097000000811
取0.01I。应用Matlab软件，根据算法求得的该系统控制器增益矩阵如表1所示，闭环状态饱和系统对应的仿真结果如附图4所示。由附图4可以看出，在给定的有限时域[0,N]内，闭环系统的状态响应曲线衰减振荡，经过一段时间的后收敛于0，说明按本发明方法设计的有限时域H∞控制器可以很好的使闭环状态饱和系统(10)稳定并满足预定的H∞性能指标。
表1有限时域H∞控制器的增益矩阵
Figure BDA00020965097000000812

Claims (1)

1.一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)建立存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统的数学模型
Figure FDA0002969189250000011
其中：k为网络传输时刻，k∈[0,N]；N为正整数，代表有限时域的结束时刻；
Figure FDA0002969189250000012
为状态向量；
Figure FDA0002969189250000013
为控制输入向量；
Figure FDA0002969189250000014
为理想的测量输出向量；
Figure FDA0002969189250000015
为被控输出向量；
Figure FDA0002969189250000016
是系统的过程噪声，属于平方可积向量空间；
Figure FDA0002969189250000017
是系统的测量干扰，属于平方可积向量空间；
Figure FDA0002969189250000018
和
Figure FDA0002969189250000019
为系统的时变参数矩阵；
Figure FDA00029691892500000110
为饱和函数；
Figure FDA00029691892500000111
为随机参数矩阵，μk是方差为1的零均值高斯白噪声序列；
Figure FDA00029691892500000112
为系统的随机非线性函数；随机参数矩阵Ak(μk)和随机非线性函数f(xk)相互独立；
随机参数矩阵Ak(μk)具有如下统计特征：
Figure FDA00029691892500000113
其中：
Figure FDA00029691892500000114
为已知的矩阵，
Figure FDA00029691892500000115
为已知参数，
Figure FDA00029691892500000116
为矩阵Ak(μk)的第r行第s列元素，即
Figure FDA00029691892500000117
Figure FDA00029691892500000118
为矩阵Ak(μk)的第
Figure FDA00029691892500000119
行第
Figure FDA00029691892500000120
列元素，即
Figure FDA00029691892500000121
E{·}表示数学期望，Cov{·}表示协方差；
对于所有的xk，随机非线性函数f(xk)满足：
E{f(xk)|xk}＝0 (3)
Figure FDA00029691892500000122
其中：q是已知的非负整数，向量
Figure FDA00029691892500000123
和矩阵
Figure FDA00029691892500000124
是已知的常数阵；
定义饱和函数σ(·)为：
Figure FDA00029691892500000125
Figure FDA00029691892500000126
其中：σm(·)是σ(·)的第m个分量，
Figure FDA00029691892500000127
是向量xk的第m个分量，
Figure FDA00029691892500000128
是饱和水平，sign(·)是符号函数；
2)建立随机通信协议的数学模型
理想的测量输出yk由采用随机通信协议的通信网络传输后，实际的测量输出
Figure FDA00029691892500000129
为：
Figure FDA00029691892500000130
其中：
Figure FDA00029691892500000131
表示采用随机通信协议的通信网络传输矩阵，δ(ξk-i)为Kronecker delta函数，i∈{1,2,...,ny}；ξk为在网络传输时刻k获得访问网络权限的传感器节点，ξk的取值由转移概率矩阵为
Figure FDA0002969189250000021
的Markov链决定，其中
Figure FDA0002969189250000022
为状态i转移到状态j的转移概率，满足：
Figure FDA0002969189250000023
其中：Prob{·}表示概率，
Figure FDA0002969189250000024
是ny×ny的已知方阵，该方阵的第i行第j列的元素为
Figure FDA0002969189250000025
3)设计输出反馈控制器
Figure FDA0002969189250000026
其中：
Figure FDA0002969189250000027
为控制器的增益矩阵；
根据式(2)，Ak(μk)重新表示为
Figure FDA0002969189250000028
Figure FDA0002969189250000029
满足
Figure FDA00029691892500000210
定义
Figure FDA00029691892500000211
将式(7)和式(9)代入系统(1)，得到随机通信协议影响下的状态饱和系统：
Figure FDA00029691892500000212
4)随机通信协议下状态饱和系统满足H∞性能要求的充分条件
当存在正定对称矩阵
Figure FDA00029691892500000213
和
Figure FDA00029691892500000214
使逆向递推的类Riccati差分方程(11)成立且满足约束(12)时，则状态饱和系统(10)在给定的有限时域[0,N]内满足H∞性能要求；
Figure FDA00029691892500000215
Figure FDA00029691892500000216
此时，控制器的增益矩阵通过如下公式计算：
Figure FDA00029691892500000217
其中：i∈{1,2,...,ny}，
Figure FDA00029691892500000218
Figure FDA00029691892500000219
Figure FDA00029691892500000220
Figure FDA00029691892500000221
的最大特征值为λP，
Figure FDA00029691892500000222
的最大特征值为λQ；γ为给定的H∞性能指标，
Figure FDA00029691892500000223
为给定的正定矩阵，εk为给定的正标量，I表示单位矩阵，对称矩阵
Figure FDA00029691892500000224
的第r行第s列元素为
Figure FDA0002969189250000031
表示
Figure FDA0002969189250000032
的Moore-Penrose伪逆，
Figure FDA0002969189250000033
表示
Figure FDA0002969189250000034
的Moore-Penrose伪逆，
Figure FDA0002969189250000035
表示矩阵
Figure FDA0002969189250000036
的迹；
Figure FDA0002969189250000037
λP、λQ和Ki,k为未知变量，其他变量都是已知的；
5)设计基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法
根据步骤4)，得到基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法：
①令k＝N，给定H∞性能指标γ，正定矩阵S，正标量εk，对于所有的i∈{1,2,...,ny}，
Figure FDA0002969189250000038
和
Figure FDA0002969189250000039
取为正定对称矩阵，执行②；
②令i＝1，执行③；
③利用Matlab软件计算
Figure FDA00029691892500000310
和
Figure FDA00029691892500000311
判断
Figure FDA00029691892500000312
且
Figure FDA00029691892500000313
是否成立，成立则转到④；不成立则转到⑧；
④计算
Figure FDA00029691892500000314
和
Figure FDA00029691892500000315
并根据式(13)求解控制器增益矩阵Ki,k，判断
Figure FDA00029691892500000316
是否成立，成立则转到⑤；不成立则转到⑧；
⑤求解类Riccati差分方程(11)得到
Figure FDA00029691892500000317
和
Figure FDA00029691892500000318
进而求出λP和λQ，判断
Figure FDA00029691892500000319
且
Figure FDA00029691892500000320
是否成立，成立则转到⑥；不成立则转到⑧；
⑥判断k＝0是否成立，不成立则转到⑦；成立，则判断
Figure FDA00029691892500000321
是否成立，成立则转到⑦，不成立则转到⑧；
⑦判断i＝ny是否成立，不成立则令i＝i+1，转到③；成立则判断k＝0是否成立，成立则在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统能满足H∞性能要求，得到控制器的增益矩阵Ki,k，转到⑨；不成立则令k＝k-1，转到②；
⑧在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统不能满足H∞性能要求，不能得到控制器的增益矩阵Ki,k，执行⑨；
⑨结束；
6)实现有限时域H∞控制
根据步骤5)求出的H∞控制器的增益矩阵Ki,k，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统实现有限时域H∞控制。
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