CN110262334A - 一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，属于网络化控制系统领域。首先建立随机通信协议影响下，存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统模型；然后设计输出反馈控制器，利用模型变换技术和配方法，得到闭环系统满足H∞性能要求的充分条件；最后提出基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器设计算法，利用Matlab软件求解得到控制器的时变增益矩阵。本发明考虑实际情况下随机通信协议对状态饱和系统的影响，考虑系统存在随机参数和随机非线性，适用于一般网络化时变系统的有限时域H∞控制，降低了保守性。

Description

一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法

技术领域

本发明属于网络化控制系统领域，涉及一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法。

背景技术

由于网络化控制系统(Networked Control Systems,NCSs)具有易于共享、灵活性强和安装维护方便等优点，近年来关于NCSs的控制和滤波问题引起了广泛的研究。现有的控制器和滤波器设计方法大多只针对无限时域下时不变的被控对象，而在实际的NCSs中，由于操作点偏移、设备老化和环境因素的影响，很多系统都具有时变参数，因此研究时变系统在有限时域内的暂态特性比研究时不变系统的稳态特性更有实际意义。

一方面，在NCSs中，通信网络的带宽是有限的，这种限制很可能使控制或测量信号在网络传输过程中产生数据冲突，进而引起丢包和网络诱导时延等现象。如果网络中的多个节点都试图同时实现数据传输，非理想网络引起的这些现象可能会更加严重。因此避免数据冲突的有效方法是加入通信协议来管理每个节点访问网络的权利。另一方面，在实际应用中，由于设备的物理限制或保护措施，状态饱和时常发生，例如包括具有位置和速度限制的机械系统，以有限字长格式实现的数字滤波器以及具有饱和型传递函数的神经网络，在这些情况下，系统状态被约束在有界集合内。

发明内容

针对上述现有技术中存在的问题，本发明提供了一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法。考虑随机通信协议影响下状态饱和系统存在随机参数和随机非线性的情况，设计了有限时域上的输出反馈控制器，使得闭环网络化时变系统在上述情况下仍能保持稳定并满足H∞性能指标。

本发明的技术方案：

一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，包括以下步骤：

1)建立存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统的数学模型

其中：k为网络传输时刻，k∈[0,N]；N为正整数，代表有限时域的结束时刻；为状态向量；为控制输入向量；为理想的测量输出向量；为被控输出向量；是系统的过程噪声，属于平方可积向量空间；是系统的测量干扰，属于平方可积向量空间；和为系统的时变参数矩阵；为饱和函数；为随机参数矩阵，μ_k是方差为1的零均值高斯白噪声序列；为系统的随机非线性函数；随机参数矩阵A_k(μ_k)和随机非线性函数f(x_k)相互独立；

随机参数矩阵A_k(μ_k)具有如下统计特征：

其中：为已知的矩阵，为已知参数，为矩阵A_k(μ_k)的第r行第s列元素，即 为矩阵A_k(μ_k)的第行第列元素，即E{·}表示数学期望，Cov{·}表示协方差；

对于所有的x_k，随机非线性函数f(x_k)满足：

E{f(x_k)|x_k}＝0 (3)

其中：q是已知的非负整数，向量和矩阵是已知的常数阵；

定义饱和函数σ(·)为：

其中：σ_m(·)是σ(·)的第m个分量，是向量x_k的第m个分量，是饱和水平，sign(·)是符号函数；

2)建立随机通信协议的数学模型

理想的测量输出y_k由采用随机通信协议的通信网络传输后，实际的测量输出为：

其中：表示采用随机通信协议的通信网络传输矩阵；δ(ξ_k-i)为Kronecker delta函数，i∈{1,2,...,n_y}；ξ_k为在网络传输时刻k获得访问网络权限的传感器节点，ξ_k的取值由转移概率矩阵为的Markov链决定，其中为状态i转移到状态j的转移概率，满足：

其中：Prob{·}表示概率，是n_y×n_y的已知方阵，该方阵的第i行第j列的元素为

3)设计输出反馈控制器

其中：为控制器的增益矩阵；

根据式(2)，A_k(μ_k)可重新表示为满足为了便于分析，定义将式(7)和式(9)代入系统(1)，得到随机通信协议影响下的状态饱和系统：

4)随机通信协议下状态饱和系统满足H∞性能要求的充分条件

当存在正定对称矩阵和使逆向递推的类Riccati差分方程(11)成立且满足约束(12)时，则状态饱和系统(10)在给定的有限时域[0,N]内满足H∞性能要求；

和

此时，控制器的增益矩阵可通过如下公式计算：

其中：i∈{1,2,...,n_y}，

的最大特征值为λ_P，的最大特征值为λ_Q；γ为给定的H∞性能指标，为给定的正定矩阵，ε_k为给定的正标量，I表示单位矩阵，对称矩阵的第r行第s列元素为 表示的Moore-Penrose伪逆，表示的Moore-Penrose伪逆，表示矩阵的迹；λ_P、λ_Q和K_i,k为未知变量，其他变量都是已知的；

5)设计基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法

根据步骤4)，得到基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法：

①令k＝N，给定H∞性能指标γ，正定矩阵S，正标量ε_k，对于所有的i∈{1,2,...,n_y}，和取接近于0的正定对称矩阵，执行②；

②令i＝1，执行③；

③利用Matlab软件计算和判断且是否成立，成立则转到④；不成立则转到⑧；

④计算和并根据式(13)求解控制器增益矩阵K_i,k，判断是否成立，成立则转到⑤；不成立则转到⑧；

⑤求解类Riccati差分方程(11)得到和进而求出λ_P和λ_Q，判断且是否成立，成立则转到⑥；不成立则转到⑧；

⑥判断k＝0是否成立，不成立则转到⑦；成立，则判断是否成立，成立则转到⑦，不成立则转到⑧；

⑦判断i＝n_y是否成立，不成立则令i＝i+1，转到③；成立则判断k＝0是否成立，成立则在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统能满足H∞性能要求，得到控制器的增益矩阵K_i,k，转到⑨；不成立则令k＝k-1，转到②；

⑧在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统不能满足H∞性能要求，不能得到控制器的增益矩阵K_i,k，执行⑨；

⑨结束；

6)实现有限时域H∞控制

根据步骤5)求出的H∞控制器的增益矩阵K_i,k，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统实现有限时域H∞控制。

本发明的有益效果：考虑实际情况下随机通信协议对状态饱和系统的影响，考虑系统存在随机参数和随机非线性，适用于一般网络化时变系统的有限时域H∞控制，降低了保守性。

附图说明

图1是一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法的流程图。

图2是随机通信协议影响下获得网络权限的传感器节点变化图。

图3是开环状态饱和系统的状态响应图。

图4是闭环状态饱和系统的状态响应图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

参照附图1，一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统的数学模型为式(1)

步骤2：建立随机通信协议的数学模型

在随机通信协议的调度作用下，每个网络通信时刻只允许一个传感器节点访问网络并传送数据。用表示通过网络传输后的测量输出，表示在网络通信时刻k，控制器接收到的第i个传感器节点的测量输出。采用零输入处理策略，的更新规则为：

其中：y_i,k表示y_k的第i个分量。

在式(14)的基础上，得到系统实际的测量输出为式(7)。

步骤3：设计输出反馈控制器为式(9)

将式(7)和式(9)代入系统(1)，得到随机通信协议影响下存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统(10)。

定义：如果不等式(15)成立，则在有限时域[0,N]上的输出反馈控制器(9)使闭环状态饱和系统(10)满足H∞性能要求。

步骤4：随机通信协议下状态饱和系统满足H∞性能要求的充分条件

利用系统模型变换技术和配方法，得到状态饱和系统(10)满足H∞性能要求的充分条件。步骤如下：

首先，注意到系统(10)中含有为了刻画测量干扰的尺度，同时为控制器的设计提供更多的自由度，引入正实数ε_k，定义可知扰动将系统(10)变换成式(16)的形式。

类似于式(15)，对于系统(16)定义如下H_∞性能指标：

接着，得到在给定控制器增益K_i,k的情况下系统(10)满足H∞性能要求的充分条件。定义如下函数：

由于对于若矩阵为正定对称矩阵，则恒成立，其中λ_max{F}表示矩阵F的最大特征值，并根据式(16)可以得到：

根据矩阵协方差和迹的性质，由式(2)～式(4)可以得到：

因此，式(19)与式(22)等价。

在式(22)右边加上零项并利用完全平方法，可将式(22)化为式(23)。

其中：

根据条件期望的性质，将不等式(23)从0累加到N，如果类Riccati差分方程(11a)成立，可得：

如果约束成立，由于矩阵正定对称，不难得出：

因此系统(10)满足H_∞性能要求。

最后，考虑控制器增益矩阵K_i,k的求解问题。为了得到输出反馈控制器存在的充分条件并降低结论的保守性，考虑干扰最大时，即时的状态饱和系统(26)。定义 和成本函数将闭环系统(16)变换为：

在最大干扰情况下，定义如下函数：

根据式(26)可得：

在成本函数的右边加上零项定义对使用完全平方，如果类Riccati差分方程式(11)和约束(12)成立，可得：

注意到为了缩小成本函数，控制器增益矩阵的选择如下：

因此，最小化问题(30)的最优解为式(13)，即为所求的控制器增益矩阵。

步骤5：设计基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法

根据步骤4，得到基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法。

步骤6：实现有限时域H∞控制

根据步骤5求出的H∞控制器的增益矩阵K_i,k，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统实现有限时域H∞控制。

实施例：

采用本发明提出的一种随机通信协议影响下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统(10)稳定且满足预定的H∞性能指标。具体实现方法如下：

某风能发电机系统为时变系统，其数学模型为式(1)，系统参数为：

D_k＝[-0.02 0.015]^T，E_k＝[0.01 0.01]^T，L_k＝[0.2 0.2]，随机非线性函数 其中μ_k，和为三个互不相关的均值为0，方差为1的高斯白噪声序列，随机非线性函数满足：

已知系统的初始状态x₀＝[0.5 0.1]^T，和ε_k为1，随机通信协议的状态转移矩阵系统的过程噪声和测量干扰分别设为w_k＝1.5sin(k)，v_k＝0.7cos(0.7k)，N＝30。

附图2描绘了状态转移矩阵为的随机通信协议影响下获得网络权限的传感器节点变化情况。附图3展示了该开环状态饱和系统的状态响应曲线，可以看出原开环系统是不稳定的。

在保证算法有解且H∞性能指标尽可能小的前提下，给定γ＝0.92，正定矩阵S＝0.2I，和取0.01I。应用Matlab软件，根据算法求得的该系统控制器增益矩阵如表1所示，闭环状态饱和系统对应的仿真结果如附图4所示。由附图4可以看出，在给定的有限时域[0,N]内，闭环系统的状态响应曲线衰减振荡，经过一段时间的后收敛于0，说明按本发明方法设计的有限时域H∞控制器可以很好的使闭环状态饱和系统(10)稳定并满足预定的H∞性能指标。

表1有限时域H_∞控制器的增益矩阵

Claims (1)

1.一种随机通信协议下状态饱和系统的有限时域H∞控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立存在随机参数和随机非线性的状态饱和系统的数学模型

其中：k为网络传输时刻，k∈[0,N]；N为正整数，代表有限时域的结束时刻；为状态向量；为控制输入向量；为理想的测量输出向量；为被控输出向量；是系统的过程噪声，属于平方可积向量空间；是系统的测量干扰，属于平方可积向量空间；和为系统的时变参数矩阵；为饱和函数；为随机参数矩阵，μ_k是方差为1的零均值高斯白噪声序列；为系统的随机非线性函数；随机参数矩阵A_k(μ_k)和随机非线性函数f(x_k)相互独立；

随机参数矩阵A_k(μ_k)具有如下统计特征：

其中：为已知的矩阵，为已知参数，为矩阵A_k(μ_k)的第r行第s列元素，即 为矩阵A_k(μ_k)的第行第列元素，即E{·}表示数学期望，Cov{·}表示协方差；

对于所有的x_k，随机非线性函数f(x_k)满足：

E{f(x_k)|x_k}＝0 (3)

其中：q是已知的非负整数，向量和矩阵是已知的常数阵；

定义饱和函数σ(·)为：

其中：σ_m(·)是σ(·)的第m个分量，是向量x_k的第m个分量，是饱和水平，sign(·)是符号函数；

2)建立随机通信协议的数学模型

理想的测量输出y_k由采用随机通信协议的通信网络传输后，实际的测量输出为：

其中：表示采用随机通信协议的通信网络传输矩阵，δ(ξ_k-i)为Kronecker delta函数，i∈{1,2,...,n_y}；ξ_k为在网络传输时刻k获得访问网络权限的传感器节点，ξ_k的取值由转移概率矩阵为的Markov链决定，其中为状态i转移到状态j的转移概率，满足：

其中：Prob{·}表示概率，是n_y×n_y的已知方阵，该方阵的第i行第j列的元素为

3)设计输出反馈控制器

其中：为控制器的增益矩阵；

根据式(2)，A_k(μ_k)重新表示为满足定义将式(7)和式(9)代入系统(1)，得到随机通信协议影响下的状态饱和系统：

4)随机通信协议下状态饱和系统满足H∞性能要求的充分条件

当存在正定对称矩阵和使逆向递推的类Riccati差分方程(11)成立且满足约束(12)时，则状态饱和系统(10)在给定的有限时域[0,N]内满足H∞性能要求；

和

此时，控制器的增益矩阵通过如下公式计算：

其中：i∈{1,2,...,n_y}，

的最大特征值为λ_P，的最大特征值为λ_Q；γ为给定的H∞性能指标，为给定的正定矩阵，ε_k为给定的正标量，I表示单位矩阵，对称矩阵的第r行第s列元素为 表示的Moore-Penrose伪逆，表示的Moore-Penrose伪逆，表示矩阵的迹；λ_P、λ_Q和K_i,k为未知变量，其他变量都是已知的；

5)设计基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法

根据步骤4)，得到基于逆向递推类Riccati差分方程技术的有限时域H∞控制器的实现算法：

①令k＝N，给定H∞性能指标γ，正定矩阵S，正标量ε_k，对于所有的i∈{1,2,...,n_y}，和取接近于0的正定对称矩阵，执行②；

②令i＝1，执行③；

③利用Matlab软件计算和判断且是否成立，成立则转到④；不成立则转到⑧；

④计算和并根据式(13)求解控制器增益矩阵K_i,k，判断是否成立，成立则转到⑤；不成立则转到⑧；

⑤求解类Riccati差分方程(11)得到和进而求出λ_P和λ_Q，判断且是否成立，成立则转到⑥；不成立则转到⑧；

⑥判断k＝0是否成立，不成立则转到⑦；成立，则判断是否成立，成立则转到⑦，不成立则转到⑧；

⑦判断i＝n_y是否成立，不成立则令i＝i+1，转到③；成立则判断k＝0是否成立，成立则在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统能满足H∞性能要求，得到控制器的增益矩阵K_i,k，转到⑨；不成立则令k＝k-1，转到②；

⑧在有限时域[0,N]内随机通信协议影响下的状态饱和系统不能满足H∞性能要求，不能得到控制器的增益矩阵K_i,k，执行⑨；

⑨结束；

6)实现有限时域H∞控制

根据步骤5)求出的H∞控制器的增益矩阵K_i,k，随机通信协议影响下具有随机参数和随机非线性的状态饱和系统实现有限时域H∞控制。