CN106383442B - 一种网络化线性参数变化系统的h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种网络化线性参数变化系统的H_∞控制方法，考虑网络化线性参数变化控制系统信号传递中存在随机丢包的情况下，首先建立闭环网络化线性参数变化控制系统模型，再构造恰当的Lyapunov函数，得到网络化线性参数变化控制系统均方指数稳定和H_∞控制器存在的充分条件，利用近似基函数和网格技术将原本无限维的线性矩阵不等式组的求解问题近似为有限维的求解问题，并且给出了相应的H_∞控制器的增益为本发明考虑了传感器‑控制器以及控制器‑执行器之间的丢包情况，丢包的发生概率满足Bernoulli分布更具有实际意义，提出了依赖于参数的H_∞性能约束，降低了该H_∞控制器设计方法的保守性。

Description

一种网络化线性参数变化系统的H∞控制方法

技术领域

本发明涉及网络化线性参数变化控制系统和H_∞控制，特别是涉及一种带有丢包的网络化线性参数变化控制系统的H_∞控制方法。

背景技术

线性参数变化(LPV)系统是一类特殊的线性系统，其状态空间矩阵(系统状态空间描述中的系数矩阵，简称“状态空间矩阵”)不是线性时不变的，而是以某些时变参数向量为自变量的函数。线性参数变化系统是比一般线性时变(LTV)系统和线性定常系统(LTI)更为广泛和一般的系统。当线性参数变化系统时变参数轨迹变化是给定的，这时其可以看成一般的线性时变系统；当时变参数为给定常数时，线性参数变化系统则与线性定常系统等价。因而，与线性时变系统和线性定常系统相比，线性参数变化系统在实际工程中应用更为广泛。在实际系统中，由于网络化控制系统回路中的大惯性环节、网络信号传输过程及复杂的现场干扰等情况存在，不可避免的产生时滞、丢包等现象。这些现象作为一类不确定的因素，其往往会对系统的性能造成非常大的干扰，不仅会干扰系统的准确性和可靠性，还可能严重干扰系统的稳定性[2]。因此，研究这些影响线性参数变化系统稳定的因素具有重要意义。

近年来，众多学者就网络化控制系统的耗散问题展开了大量研究，包括线性系统、离散系统、确定系统、不确定系统，甚至是广义系统，取得了一些研究成果。但是现有的研究中大多只考虑了时滞线性参数变化系统的H_∞控制，几乎没有关于不确定丢包因素的研究，因此设计不确定丢包情况下线性参数变化系统的H_∞控制器具有重要意义。

发明内容

针对上述现有技术中存在的问题，综合考虑数据丢包问题和Lipschitz非线性对离散线性参数变化系统产生的影响，提出了一种基于观测器的非脆弱鲁棒H_∞控制器的设计方法，将控制器存在的充分条件转化为线性不等式的求解问题，不仅保证了闭环系统的稳定性，而且使系统具有更好的鲁棒性能。

本发明所采用的技术方案是：一种网络化线性参数变化控制系统的H_∞控制方法，包括以下步骤：

1)对网络化线性参数变化控制系统设计基于观测器的状态反馈控制器，闭环网络化线性参数变化控制系统为：

其中：x_k∈Rⁿ为状态向量，z_k∈R^r为被控输出，为测量输出向量，是系统的状态估计向量，ω_k∈R^q是干扰输入向量，属于集合l₂[0,∞)，集合l₂[0,∞)是平方可积向量空间，系统估计误差L(ρ)∈R^n×p和K(ρ)∈R^m×n分别是观测器和控制器的增益向量；

和是α_k和β_k的数学期望；A(ρ)，B(ρ)，C₁(ρ)，D(ρ)，D₁(ρ)，C₂(ρ)和D₂(ρ)时变参数ρ的函数，ρ满足实时可测；f(k,x_k)是非线性向量函数并且同时满足以下的Lipschitz条件：

||f(k,x_k)||≤||Gx_k||

||f(k,x_k)-f(k,y_k)||≤||G(x_k-y_k)||

其中G是已知的常数矩阵；

α_k表示发生在传感器-控制器通道上的随机丢包情况，β_k表示发生在控制器-执行器通道上的随机丢包情况，α_k和β_k为满足Bernoulli 0-1序列分布的随机变量：

2)构造Lyapunov函数

其中：P(ρ)∈R^n×n，Q(ρ)∈R^n×n是正定对称矩阵；

定义系统均方指数稳定如下：

当ω_k＝0，存在两个常数φ＞0和τ∈(0,1)，使得

定义H_∞性能约束如下：

(a)闭环线性参数变化系统(8)是均方指数稳定的。

(b)在零初始条件下，对所有的非零ω_k，被控输出z_k满足

其中γ＞0是限定的标量。

3)计算系统均方指数稳定和存在H_∞控制器的条件

系统均方指数稳定和H_∞控制器存在的充分条件为：

针对下列线性矩阵不等式：

其中：Υ₁₁＝-P(ρ)+τ₁G^TG，Υ₂₂＝-Q(ρ)+τ₂G^TG， Υ₇₃＝Q(ρ)D(ρ)-ND₂(ρ)。

上式中，Q(ρ)^-1N＝L(ρ)，P₁(ρ)^-1M＝K(ρ)， U∈R^n×n和V∈R^m×m是正交矩阵，B₁∈R^m×m是对角矩阵，U₁∈R^m×n，U₂∈R^(n-m)×n，P₁₁(ρ)，P₂₂(ρ)，M，N，τ₁，τ₂，ε₁和ε₂为未知变量，其他变量都是已知的。

利用Matlab LMI工具箱进行求解，如果存在对称正定矩阵P₁₁(ρ)∈R^m×m，P₂₂(ρ)∈R^(n-m)×(n-m)，实矩阵M∈R^m×n，N∈R^n×p，实数τ₁≥0，τ₂≥0，ε₁＞0，ε₂＞0，则网络化线性参数变化控制系统是均方指数稳定，且满足H_∞性能约束，控制器增益矩阵为观测器增益矩阵为L(ρ)＝Q^-1(ρ)N，且可以继续进行步骤4)；如果上述未知变量没有解，则网络化线性参数变化控制系统不是均方指数稳定的且不能获得H_∞控制器增益矩阵，不可以进行步骤4)；

4)计算H_∞控制器增益矩阵K

选取基函数：f₁(ρ)＝1，f₂(ρ)＝sin(k)²，得到P₁₁(ρ)＝P₁₁₁+(sin(k)²)P₁₁₂，P₂₂(ρ)＝P₂₂₁+(sin(k)²)P₂₂₂，其中P₁₁₁(ρ)∈R^m×m，P₁₁₂(ρ)∈R^m×m，P₂₂₁(ρ)∈R^(n-m)×(n-m)，P₂₂₂(ρ)∈R^{(n -m)×(n-m)}。用网格化技术将ρ的参数空间划分为十个，根据γ＝Σ(||z_k||)²/Σ(||w_k||)²求出对应的系统性能指标γ，H_∞控制下最优H_∞性能指标γ_opt的条件为：

令e＝γ²，如果以下优化问题成立：

mine s.t.

P₁₁＞0，P₂₂＞0，τ₁≥0，τ₂≥0，ε₁＞0，ε₂＞0

则可获得闭环系统在符合H_∞控制条件下，系统的最优H_∞性能指标同时H_∞控制器增益矩阵为

与现有技术相比，本发明具有以下有益技术效果：

1)本发明针对网络化线性参数变化系统，同时考虑了网络中存在的丢包、外界扰动以及由于模型简化或者其它物理因素带来的不确定性，通过一系列的推导、转化建立了闭环网络化线性参数变化控制系统模型，给出了该网络环境下H_∞控制器的设计方法。

2)本发明考虑了传感器-控制器以及控制器-执行器之间的丢包情况，丢包的发生概率满足 Bernoulli分布，更具有实际意义。

3)本发明适用于一般线性参数变化系统的H_∞控制，提出了新的依赖于参数的H_∞性能约束，降低了该H_∞控制器设计方法的保守性。

附图说明

附图1是网络化线性参数变化系统的H_∞控制方法的流程图。

附图2是线性参数变化系统开环时的状态响应图。

附图3是网络化线性参数变化系统的H_∞控制时的状态响应

附图4是网络化线性参数变化系统的H_∞控制时的状态响应

附图5是网络化线性参数变化系统的H_∞控制时的状态响应

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

参照附图1，一种网络化线性参数变化系统的H_∞控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立网络化线性参数变化系统模型

其中：x_k∈Rⁿ为状态向量，u_k∈R^m为控制输入，z_k∈R^r为被控输出，为测量输出向量， w_k∈R^q为外部扰动，A(ρ)，B(ρ)，C₁(ρ)，D(ρ)，D₁(ρ)，C₂(ρ)和D₂(ρ)都是时变参数ρ的函数。f(k,x_k)是非线性向量函数并且同时满足以下的Lipschitz条件：

||f(k,x_k)||≤||Gx_k||

||f(k,x_k)-f(k,y_k)||≤||G(x_k-y_k)||

其中G是已知的常数矩阵。

选用α_k来描述发生在传感器-控制器通道上的随机丢包情况，当α_k＝1时,传感器测量得到的数据完全被控制器接受；当α_k＝0时，传感器测量得到的数据全部丢失。随机变量α_k为满足 Bernoulli 0-1序列分布的随机变量：

对系统(1)，考虑设计如下形式的基于观测器的状态反馈控制器：

观测器：

控制器：

其中：是网络化线性参数变化控制系统(1)的状态估计，为观测器的控制输入，是没有随机丢包的控制输入，L(ρ)∈R^n×p和K(ρ)∈R^m×n分别是观测器和控制器的增益矩阵。

选用β_k来描述发生在控制器-执行器通道上的随机丢包情况，当β_k＝1时，控制器端到执行器端没有数据丢失；当β_k＝0时，控制器端到执行器端的数据全部丢失。随机变量β_k为满足 Bernoulli 0-1序列分布的随机变量：

定义系统估计误差：

结合式(1)、(2)、(3)和(4)，得闭环网络化线性参数变化控制系统模型：

其中

步骤2：构造合适的Lyapunov函数

其中P∈R^n×n是正定对称矩阵。

当外部扰动w_k＝0时：

其中：Λ如下式：

其中：

根据S-procedure引理，由于如果存在标量τ₁≥0，τ₂≥0使得

Λ-τ₁Λ₁-τ₂Λ₂＜0 (6)

成立，则

ΔV_k＝ξ^TΛξ＜0 (7)

其中：

步骤3：基于步骤2构造的Lyapunov函数，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到网络化线性参数变化系统均方指数稳定和H_∞控制器存在的充分条件，步骤如下：

步骤3.1：首先判断网络化线性参数变化系统的稳定性，得到网络化线性参数变化系统均方指数稳定的充分条件。

假设不等式(6)成立，根据Schur补引理

其中：

Γ₂₂＝diag{-P(ρ),-Q(ρ)-P(ρ),-Q(ρ),-Q(ρ)}，

通过式(7)可知：

其中：0＜α＜min{λ_min(-Λ),σ}，σ:＝max{λ_max(P),λ_max(Q)}。

由公式(7)和(9)，有

α||η_k||²＜V_k≤σ||η_k||²

根据Lyapunov稳定性理论，公式(5)所示的网络化线性参数变化系统随机稳定的充分条件是：当外部扰动w_k＝0时，存在正定矩阵P(ρ)＞0，Q(ρ)＞0，非负实数τ₁、τ₂，使得线性矩阵不等式(7)成立。当步骤3.1的充分条件成立时，再执行步骤3.2；如果步骤3.1的充分条件不成立，则系统不是均方指数稳定的且H_∞控制器不存在，不能执行步骤3.2。

步骤3.2：对任意w_k≠0，定义

其中：ζ_k＝[x_k e_k w_k f(k,x_k) F_k]^T，Ω如下式

其中：

类似于步骤2，由于如果存在标量τ₁≥0，τ₂≥0使得

Ω-τ₁Ω₁-τ₂Ω₂＜0 (11)

成立，则

其中：

对k从0到∞求和，在零初始条件下有

因为步骤3.1中已证明系统(5)是均方指数稳定的，并且η₀＝0，所以可以直接得出

这也意味着系统(5)对所有非零ω_k满足H_∞性能约束。

所以根据Lyapunov稳定性理论，公式(5)所示的网络化线性参数变化系统均方指数稳定，满足H_∞性能约束且具有H_∞控制器存在的充分条件是：当w_k≠0时，成立。

假设不等式(11)成立，根据Schur补引理，可以得到以下不等式：

其中：Σ₂₂＝diag{-P(ρ),-Q(ρ),-I,-P(ρ),-Q(ρ),-Q(ρ)}，

假设矩阵B∈R^n×m是列满秩，即rank(B)＝m，则存在两个正交矩阵U∈R^n×n和V∈R^{m ×m}，使得

其中：U₁∈R^m×n，U₂∈R^(n-m)×n，B₁＝diag{b₁,b₂,…,b_m}，b_i(i＝1,2,…,m)是B的非零奇异值。

由于存在P₁₁(ρ)∈R^m×m＞0，P₂₂(ρ)∈R^(n-m)×(n-m)＞0，满足其中，U₁∈R^m×n，U₂∈R^(n-m)×n，则存在非奇异矩阵P₁(ρ)∈R^m×m，使得矩阵等式B(ρ)P₁(ρ)＝P(ρ)B(ρ) 成立。通过关系B(ρ)P₁(ρ)＝P(ρ)B(ρ)，求出矩阵P(ρ)

即

因此，有

根据线性矩阵不等式(12)，令M＝P₁K，N＝PL，则式(12)可以改写(13)

其中：Π₁₁＝Σ₁₁，Π₂₂＝Σ₂₂，

其中

利用Matlab LMI工具箱进行求解，存在正定矩阵P₁₁(ρ)∈R^m×m＞0，P₂₂(ρ)∈R^{(n -m)×(n-m)}＞0，实矩阵M∈R^m×n，N∈R^n×p，实数τ₁≥0，τ₂≥0，ε₁＞0，ε₂＞0满足矩阵不等式(13)，则当w_k≠0时，成立。那么系统(5)均方指数稳定，并且满足H_∞性能约束，非脆弱耗散控制器增益矩阵且可以继续进行步骤4；如果上述未知变量没有解，则网络化线性参数变化系统不是均方指数稳定且不满足H_∞性能约束，不能获得H_∞控制器增益矩阵，也不可以进行步骤4。

步骤4：利用γ＝Σ(||z_k||)²/Σ(||w_k||)²求出对应的系统性能指标γ，给出H_∞控制下最优性能指标γ_opt优化的条件为：

令e＝γ²，如果以下优化问题成立：

P₁₁(ρ)＞0，P₂₂(ρ)＞0，τ₁≥0，τ₂≥0，ε₁＞0，ε₂＞0

则可获得闭环系统(5)在符合H_∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比同时H_∞控制器增益矩阵为

实施例：

采用本发明提出的一种网络化线性参数变化系统的H_∞控制方法，在没有外界扰动的情况下即w(k)＝0时，闭环网络化线性参数变化控制系统是均方指数稳定的。当存在外界扰动时，系统也是均方指数稳定的且满足H_∞性能指标。具体实现方法如下：

步骤1：被控对象为闭环网络化线性参数变化控制系统，其状态空间模型为公式(1)，给定其系统参数为

C₁＝[0.1 0 0]，C₂＝[23.738 20.287 0]，D₁＝0.1，D₂＝0.2,

其中ρ(k)＝sin(k)²为时变参数，系统(1)的初始状态为x₀＝[0.2 0.3 0]^T，干扰输入为ω_k＝e^{-0.1ksin(πk)}。选取3种丢包情形。情形1：传感器-控制器和控制器-执行器的丢包概率均为0.1；情形2：传感器-控制器和控制器-执行器的丢包概率均为0.2；情形3：传感器- 控制器和控制器-执行器的丢包概率均为0.3。

步骤2：选取如下的基函数：

f₁(ρ)＝1，f₂(ρ)＝sin(k)²

于是得到

P₁₁(ρ)＝P₁₁₁+(sin(k)²)P₁₁₂，P₂₂(ρ)＝P₂₂₁+(sin(k)²)P₂₂₂

用网格化技术将ρ的参数空间划分为十个，并且根据步骤1给出三种不同的丢包率，应用Matlab LMI工具箱为系统(1)设计控制器，使得H_∞性能指标γ最小化。在不同的丢包概率下相应的控制器参数以及H_∞性能指标γ在表1中给出。从表1可以看出，随着网络通道中丢包概率的增大，系统的性能指标γ也随之增大。

表1不同丢包情况下的控制器参数

步骤3：给定初始状态x₀＝[0.2 0.3 0]^T，利用步骤2中Matlab LMI工具箱求解的结果，用Matlab仿真出不同丢包概率情况下的，系统的闭环系统状态响应，如附图2至附图4所示。

由附图2至附图4可以看出，线性参数变化系统的状态响应曲线经过一段时间的振荡后都收敛为零，说明按本发明方法设计的控制器可以很好的使线性参数变化系统(1)指数均方稳定。而且随着通信通道丢包概率的增大，H_∞性能指标γ也越大，系统达到稳定状态的时间也增长，说明丢包概率对系统的性能是有重要影响的，与实际情况相符。

以上是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化与修饰，均属于发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种网络化线性参数变化系统的H_∞控制方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

1)对网络化线性参数变化控制系统设计基于观测器的状态反馈控制器，闭环网络化线性参数变化控制系统为：

其中：x_k∈Rⁿ为状态向量，z_k∈R^r为被控输出，为测量输出向量，是系统的状态估计向量，ω_k∈R^q是干扰输入向量，属于集合l₂[0,∞)，集合l₂[0,∞)是平方可积向量空间，系统估计误差L(ρ)∈R^n×p和K(ρ)∈R^m×n分别是观测器和控制器的增益向量；

和是α_k和β_k的数学期望；A(ρ)，B(ρ)，C₁(ρ)，D(ρ)，D₁(ρ)，C₂(ρ)和D₂(ρ)都是时变参数ρ的函数，ρ满足实时可测；f(k,x_k)是非线性向量函数并且同时满足以下的Lipschitz条件：

||f(k,x_k)||≤||Gx_k||

||f(k,x_k)-f(k,y_k)||≤||G(x_k-y_k)||

其中G是已知的常数矩阵；

α_k表示发生在传感器-控制器通道上的随机丢包情况，β_k表示发生在控制器-执行器通道上的随机丢包情况，α_k和β_k为满足Bernoulli 0-1序列分布的随机变量：

2)构造Lyapunov函数

其中，P(ρ)∈R^n×n，Q(ρ)∈R^n×n是正定对称矩阵；

3)计算系统均方指数稳定和存在H_∞控制器的条件

系统均方指数稳定和H_∞控制器存在的充分条件为：

针对下列线性矩阵不等式：

其中Υ₁₁＝-P(ρ)+τ₁G^TG，Υ₂₂＝-Q(ρ)+τ₂G^TG，Υ₇₃＝Q(ρ)D(ρ)-ND₂(ρ)；

上式中，Q(ρ)-¹N＝L(ρ)，P₁(ρ)^-1M＝K(ρ)， U∈R^n×n和V∈R^m×m是正交矩阵，B₁∈R^m×m是对角矩阵，U₁∈R^m×n，U₂∈R^(n-m)×n，P₁₁(ρ)，P₂₂(ρ)，M，N，τ₁，τ₂，ε₁和ε₂为未知变量，其他变量都是已知的；

利用Matlab LMI工具箱进行求解，如果存在对称正定矩阵P₁₁(ρ)∈R^m×m，P₂₂(ρ)∈R^{(n -m)×(n-m)}，实矩阵M∈R^m×n，N∈R^n×p，实数τ₁≥0，τ₂≥0，ε₁＞0，ε₂＞0，则网络化线性参数变化控制系统是均方指数稳定，且满足H_∞性能约束，控制器增益矩阵为观测器增益矩阵为L(ρ)＝Q^-1(ρ)N，且可以继续进行步骤4)；如果上述未知变量没有解，则网络化线性参数变化控制系统不是均方指数稳定的且不能获得H_∞控制器增益矩阵，不可以进行步骤4)；

4)计算H_∞控制器增益矩阵K

选取基函数：f₁(ρ)＝1，f₂(ρ)＝sin(k)²，得到P₁₁(ρ)＝P₁₁₁+(sin(k)²)P₁₁₂，P₂₂(ρ)＝P₂₂₁+(sin(k)²)P₂₂₂，其中P₁₁₁(ρ)∈R^m×m，P₁₁₂(ρ)∈R^m×m，P₂₂₁(ρ)∈R^(n-m)×(n-m)，P₂₂₂(ρ)∈R^(n-m)×(n-m)；用网格化技术将ρ的参数空间划分为十个，根据γ＝Σ(||z_k||)²/Σ(||w_k||)²求出对应的系统性能指标γ，H_∞控制下最优H_∞性能指标γ_opt的条件为：

令e＝γ²，如果以下优化问题成立：

min e s.t.

P₁₁＞0，P₂₂＞0，τ₁≥0，τ₂≥0，ε₁＞0，ε₂＞0

则可获得闭环系统在符合H_∞控制条件下，系统的最优H_∞性能指标同时H_∞控制器增益矩阵为