CN110188417B - 一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法 - Google Patents

一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，包括：建立初始有限元模型，将初始有限元模型划分成多级超单元有限元模型；对多级超单元模型采用模态综合法进行缩聚，将超单元缩聚成质量矩阵和刚度矩阵，将所得的质量矩阵和刚度矩阵装配到残余结构，对残余结构进行模态分析得到模态振型和固有频率；测量实际结构的试验模态，采用摄动法构造试验固有频率和模态分析得到的固有频率的残差，建立目标函数，通过优化反问题求解，实现模型修正。本发明在初始有限元模型的基础上，先进行多级超单元建模分析，选择合适结构作为残余结构，对残余结构进行模态分析；对残余结构进行模型修正，有效地提高了有限元模型修正的效率。

Description

一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法
技术领域
本发明涉及有限元模型修正方法，尤其涉及一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法。
背景技术
对于传动系统这类的工程结构，常常需要快速准确地分析整个结构的动态特性，因此迫切需要提高计算精度与效率，而数学建模分析是结构动力分析中最关键的一环。由于工程结构的日益大型复杂化和建模过程中的一些因素，如单元类型、材料属性和几何形状等，往往存在一定的误差，影响分析结果的准确性。因此，建立复杂结构的精细化的有限元模型并进行准确的计算分析，这本身就是一件非常困难的工作。
因此，亟待解决上述问题。
发明内容
发明目的：针对大型复杂结构模型规模较大导致修正时间过长、运算困难的问题，本发明提供一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，在多级超单元建模的基础上进行模型修正，有效地提高了有限元模型修正的效率。
技术方案：为实现以上目的，本发明公开了一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，包括以下步骤：
(1)建立初始有限元模型，将初始有限元模型划分成多级超单元有限元模型；
(2)对多级超单元模型采用模态综合法进行缩聚，将超单元缩聚成质量矩阵和刚度矩阵，将所得的质量矩阵和刚度矩阵装配到残余结构，对残余结构进行模态分析得到模态振型和固有频率；
(3)测量实际结构的试验模态，采用摄动法构造试验固有频率和步骤(2)中模态分析得到的固有频率的残差，建立目标函数，通过优化反问题求解，实现基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正。
其中，所述步骤(1)中具体划分方法包括如下步骤：
(1.1)建立初始有限元模型；
(1.2)考虑到研究对象本身的材料分布特性和连接属性，对初始有限元模型进行分级，得到各级超单元和残余结构，具体分级方法包括：首先将初始有限元模型中具有装配和分层关系的结构划分为不同级的超单元，其次，将同一级超单元中具有不同材料属性的结构划分为同一级下的不同超单元，最后将变形量可能大于最小变形量50％以上的结构作为残余结构。
优选的，所述步骤(2)中模态综合法的具体步骤以下步骤：
(2.1)超单元无阻尼运动方程为
Figure BDA00020584971900000211
式中
Figure BDA0002058497190000021
其中M表示超单元的刚度矩阵，K表示超单元的质量矩阵，
Figure BDA00020584971900000210
表示超单元的加速度，u表示位移，f表示外力，下标ii、ij(ji)和jj分别表示内部自由度、边界和内部耦合自由度、约束边界自由度；
以模态坐标变换矩阵将物理坐标变换到缩减的模态坐标p下
Figure BDA0002058497190000022
式中
Figure BDA0002058497190000023
Figure BDA0002058497190000024
其中
Figure BDA0002058497190000025
分别表示模态坐标下的质量矩阵和刚度矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000026
表示模态坐标二次求导，Φc0表示全部界面自由度的约束模态，φbL表示约束界面主模态，/>
Figure BDA0002058497190000027
表示约束界面特征向量；Ij表示单位矩阵；
(2.2)根据超单元的界面位移协调和力平衡条件，将多级超单元和残余结构进行模态综合，建立整体结构的无阻尼自由振动方程
Figure BDA0002058497190000028
式中
Figure BDA0002058497190000029
Figure BDA0002058497190000031
Figure BDA0002058497190000032
其中，
Figure BDA0002058497190000033
表示整体结构的刚度矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000034
表示整体结构的质量矩阵，Mres是残余结构的刚度矩阵，Kres是残余结构的质量矩阵；q表示广义坐标，/>
Figure BDA0002058497190000035
表示广义坐标二次求导，I表示单位矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000036
和/>
Figure BDA0002058497190000037
分别表示超单元A刚度矩阵中的内部矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A中刚度矩阵的约束边界矩阵、超单元B中刚度矩阵的内部矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的约束边界矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000038
Figure BDA0002058497190000039
和/>
Figure BDA00020584971900000310
分别表示超单元A质量矩阵中的内部矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的约束边界矩阵、超单元B质量矩阵中的内部矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的约束边界矩阵；
对整体结构的无阻尼自由振动方程进行求解，即可得到整体结构的模态振型和固有频率。
再者，所述步骤(3)中具体方法包括以下步骤：
(3.1)若fe、fa分别表示试验特征值向量和分析特征值向量，求解特征值问题，进一步将结构模型修正问题转化为优化问题，其修正目标函数为
Figure BDA00020584971900000311
式中：ε＝fe-fa(p)是试验和分析得到的特征值残差向量，Wε是对称加权矩阵，p和
Figure BDA0002058497190000041
分别表示待修正参数的上、下边界值；
(3.2)有限元模型修正过程中，通过调整结构设计参数p迭代修正目标函数公式，直至满足迭代收敛条件。
进一步，所述步骤(3.2)中迭代收敛条件为
Figure BDA0002058497190000042
有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下显著优点：本发明基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法考虑了大型复杂结构模型修正的困难，在初始有限元模型的基础上，先进行多级超单元建模分析，选择合适结构作为残余结构，对残余结构进行模态分析；只需要对残余结构进行模型修正，有效地提高了有限元模型修正的效率。
附图说明
图1为本发明的流程示意图；
图2为本发明实施例中的行星轮系和支撑轴的精细化有限元模型；
图3为本发明实施例中的行星轮系和支撑轴多级超单元划分示意图；
图4为本发明基于多级超单元的行星轮系和支撑轴有限元模型修正的残余结构频率误差收敛曲线；
图5为本发明基于多级超单元的行星轮系和支撑轴有限元模型修正的残余结构参数误差收敛曲线。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。
如图1所示，本发明一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，包括以下步骤：
1、一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)建立初始有限元模型，将初始有限元模型划分成多级超单元有限元模型；
其中具体划分方法包括如下步骤：
(1.1)建立初始有限元模型；
(1.2)考虑到研究对象本身的材料分布特性和连接属性，对初始有限元模型进行分级，得到各级超单元和残余结构，具体分级方法包括：首先将初始有限元模型中具有装配和分层关系的结构划分为不同级的超单元，其次，将同一级超单元中具有不同材料属性的结构划分为同一级下的不同超单元，最后将变形量可能大于最小变形量50％以上的结构作为残余结构；
(2)对多级超单元模型采用模态综合法进行缩聚，将超单元缩聚成质量矩阵和刚度矩阵，将所得的质量矩阵和刚度矩阵装配到残余结构，对残余结构进行模态分析得到模态振型和固有频率；
其中模态综合法的具体步骤以下步骤：
(2.1)超单元无阻尼运动方程为
Figure BDA0002058497190000059
式中
Figure BDA0002058497190000051
其中M表示超单元的刚度矩阵，K表示超单元的质量矩阵，
Figure BDA00020584971900000510
表示超单元的加速度，u表示位移，f表示外力，下标ii、ij(ji)和jj分别表示内部自由度、边界和内部耦合自由度、约束边界自由度；
以模态坐标变换矩阵将物理坐标变换到缩减的模态坐标p下
Figure BDA0002058497190000052
式中
Figure BDA0002058497190000053
Figure BDA0002058497190000054
其中
Figure BDA0002058497190000055
分别表示模态坐标下的质量矩阵和刚度矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000056
表示模态坐标二次求导，Φc0表示全部界面自由度的约束模态，φbL表示约束界面主模态，/>
Figure BDA0002058497190000057
表示约束界面特征向量；Ij表示单位矩阵；
(2.2)根据超单元的界面位移协调和力平衡条件，将多级超单元和残余结构进行模态综合，建立整体结构的无阻尼自由振动方程
Figure BDA0002058497190000058
式中
Figure BDA0002058497190000061
/>
Figure BDA0002058497190000062
Figure BDA0002058497190000063
其中，
Figure BDA0002058497190000064
表示整体结构的刚度矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000065
表示整体结构的质量矩阵，Mres是残余结构的刚度矩阵，Kres是残余结构的质量矩阵；q表示广义坐标，/>
Figure BDA0002058497190000066
表示广义坐标二次求导，I表示单位矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000067
和/>
Figure BDA0002058497190000068
分别表示超单元A刚度矩阵中的内部矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A中刚度矩阵的约束边界矩阵、超单元B中刚度矩阵的内部矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的约束边界矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000069
Figure BDA00020584971900000610
和/>
Figure BDA00020584971900000611
分别表示超单元A质量矩阵中的内部矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的约束边界矩阵、超单元B质量矩阵中的内部矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的约束边界矩阵；
对整体结构的无阻尼自由振动方程进行求解，即可得到整体结构的模态振型和固有频率；
(3)测量实际结构的试验模态，采用摄动法构造试验固有频率和步骤(2)中模态分析得到的固有频率的残差，建立目标函数，通过优化反问题求解，实现基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正；
其中具体方法包括以下步骤：
(3.1)若fe、fa分别表示试验特征值向量和分析特征值向量，求解特征值问题，进一步将结构模型修正问题转化为优化问题，其修正目标函数为
Figure BDA0002058497190000071
式中：ε＝fe-fa(p)是试验和分析得到的特征值残差向量，Wε是对称加权矩阵，p和
Figure BDA0002058497190000072
分别表示待修正参数的上、下边界值；
(3.2)有限元模型修正过程中，通过调整结构设计参数p迭代修正目标函数公式，直至满足迭代收敛条件，其中迭代收敛条件为
Figure BDA0002058497190000073
实施例
一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，包括以下步骤：
(1)建立初始有限元模型，将初始有限元模型划分成多级超单元有限元模型；具体划分步骤包括：
(1.1)以行星轮系和支撑轴为研究对象，包括一个太阳轮、四个行星轮、一个内齿圈和一个支撑轴；行星轮系的几何参数如表1所示，其整体结构为钢材料，弹性模量E＝190000MPa，泊松比μ＝0.3，密度ρ＝7500kg/m3；在商用有限元软件Hypermesh采用六面体单元进行建模，图2所示为该结构的有限元模型；共建立57492个节点，45485个单元；定义全模型为包含所有计算自由度的有限元模型；
表1行星轮系几何参数
Figure BDA0002058497190000074
(1.2)考虑齿轮之间的耦合，选取太阳轮、行星轮和内齿圈的齿作为残余结构，各个齿轮的轮盘和支撑轴作为超单元，将支撑轴作为一级超单元，所有齿轮的轮盘作为二级超单元；
(2)对多级超单元模型采用模态综合法进行缩聚，将超单元缩聚成质量矩阵和刚度矩阵，将所得的质量矩阵和刚度矩阵装配到残余结构，对残余结构进行模态分析得到模态振型和固有频率；
其中模态综合法的具体步骤以下步骤：
(2.1)超单元无阻尼运动方程为
Figure BDA00020584971900000810
式中
Figure BDA0002058497190000081
其中M表示超单元的刚度矩阵，K表示超单元的质量矩阵，
Figure BDA00020584971900000811
表示超单元的加速度，u表示位移，f表示外力，下标ii、ij(ji)和jj分别表示内部自由度、边界和内部耦合自由度、约束边界自由度；
以模态坐标变换矩阵将物理坐标变换到缩减的模态坐标p下
Figure BDA0002058497190000082
式中
Figure BDA0002058497190000083
Figure BDA0002058497190000084
其中
Figure BDA0002058497190000085
分别表示模态坐标下的质量矩阵和刚度矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000086
表示模态坐标二次求导，Φc0表示全部界面自由度的约束模态，φbL表示约束界面主模态，/>
Figure BDA0002058497190000087
表示约束界面特征向量；Ij表示单位矩阵；
(2.2)根据超单元的界面位移协调和力平衡条件，将多级超单元和残余结构进行模态综合，建立整体结构的无阻尼自由振动方程
Figure BDA0002058497190000088
式中
Figure BDA0002058497190000089
Figure BDA0002058497190000091
Figure BDA0002058497190000092
其中，
Figure BDA0002058497190000093
表示整体结构的刚度矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000094
表示整体结构的质量矩阵，Mres是残余结构的刚度矩阵，Kres是残余结构的质量矩阵；q表示广义坐标，/>
Figure BDA0002058497190000095
表示广义坐标二次求导，I表示单位矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000096
和/>
Figure BDA0002058497190000097
分别表示超单元A刚度矩阵中的内部矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A中刚度矩阵的约束边界矩阵、超单元B中刚度矩阵的内部矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的约束边界矩阵，/>
Figure BDA0002058497190000098
Figure BDA0002058497190000099
和/>
Figure BDA00020584971900000910
分别表示超单元A质量矩阵中的内部矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的约束边界矩阵、超单元B质量矩阵中的内部矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的约束边界矩阵；
对整体结构的无阻尼自由振动方程进行求解，即可得到整体结构的模态振型和固有频率；
(3)测量实际结构的试验模态，构造试验固有频率和步骤(2)中模态分析得到的固有频率的残差，建立目标函数，通过优化反问题求解，实现基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正；
其中具体方法包括以下步骤：
(3.1)若fe、fa分别表示试验特征值向量和分析特征值向量，求解特征值问题，进一步将结构模型修正问题转化为优化问题，其修正目标函数为
Figure BDA0002058497190000101
式中：ε＝fe-fa(p)是试验和分析得到的特征值残差向量，Wε是对称加权矩阵，p和
Figure BDA0002058497190000102
分别表示待修正参数的上、下边界值；
(3.2)有限元模型修正过程中，通过调整结构设计参数p迭代修正目标函数公式，直至满足迭代收敛条件，其中迭代收敛条件为
Figure BDA0002058497190000103
基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法的验证，结果如下：为比较有限元模型和多级超单元模型的分析精度，对两种模型进行自由模态分析，如表2和表3所示；从表2和表3可以看出，有限元模型分析得到的结构模态与多级超单元分析所得残余结构的模态振型一致；定义频率分析误差ef＝100％×(fw-fs)/fw，其中w和s分别表示有限元模型和多级超单元模型；分析表的频率误差可知，该复杂模型的最大误差出现在第5阶，为0.00253％，其余4阶均小于0.0025％，计算偏差较小。
表2有限元模型和多级超单元模型对应模态振型比较
Figure BDA0002058497190000104
表3有限元模型和多级超单元模型固有频率误差分析
Figure BDA0002058497190000105
Figure BDA0002058497190000111
基于行星轮系和支撑轴的多级超单元有限元模型修正方法，采用摄动法，构造误差模型。假设残余结构的弹性模量E和泊松比μ分别有20％和-20％的初始误差，即E0＝228GPa和μ0＝0.24，选取结构第七阶到第十一阶特征频率，结构前六阶模态为刚体模态，以E和μ为待修正参数进行修正。从图4和图5可以看出，随着迭代次数的增加，目标函数逐渐收敛，而各阶固有频率和结构参数逐渐趋向于修正值。从表2列举的数据可以看出，行星齿轮系结构模型修正后的固有频率与目标频率误差很小，很好地说明了方法的有效性。
表4行星轮系和支撑轴结构计算频率修正前后误差分析
Figure BDA0002058497190000112
/>

Claims (4)

1.一种基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)建立初始有限元模型，将初始有限元模型划分成多级超单元有限元模型；
(2)对多级超单元模型采用模态综合法进行缩聚，将超单元缩聚成质量矩阵和刚度矩阵，将所得的质量矩阵和刚度矩阵装配到残余结构，对残余结构进行模态分析得到模态振型和固有频率；
其中模态综合法的具体步骤以下步骤：
(2.1)超单元无阻尼运动方程为
Figure FDA0003924480460000011
式中
Figure FDA0003924480460000012
其中M表示超单元的刚度矩阵，K表示超单元的质量矩阵，
Figure FDA0003924480460000013
表示超单元的加速度，u表示位移，f表示外力，下标ii表示超单元内部自由度、下标ij、ji表示超单元边界和超单元内部耦合自由度，下标jj表示约束边界自由度；
以模态坐标变换矩阵将物理坐标变换到缩减的模态坐标p下
Figure FDA0003924480460000014
式中
Figure FDA0003924480460000015
Figure FDA0003924480460000016
其中
Figure FDA0003924480460000017
分别表示模态坐标下的质量矩阵和刚度矩阵，
Figure FDA0003924480460000018
表示模态坐标二次求导，Φc0表示全部界面自由度的约束模态，φbL表示约束界面主模态，
Figure FDA0003924480460000019
表示约束界面特征向量；Ij表示单位矩阵；
(2.2)根据超单元的界面位移协调和力平衡条件，将多级超单元和残余结构进行模态综合，建立整体结构的无阻尼自由振动方程
Figure FDA00039244804600000110
式中
Figure FDA0003924480460000021
Figure FDA0003924480460000022
p＝βq；
Figure FDA0003924480460000023
其中，
Figure FDA0003924480460000024
表示整体结构的刚度矩阵，
Figure FDA0003924480460000025
表示整体结构的质量矩阵，Mres是残余结构的刚度矩阵，Kres是残余结构的质量矩阵；q表示广义坐标，
Figure FDA0003924480460000026
表示广义坐标二次求导，I表示单位矩阵，
Figure FDA0003924480460000027
和
Figure FDA0003924480460000028
分别表示超单元A刚度矩阵中的内部矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A中刚度矩阵的约束边界矩阵、超单元B中刚度矩阵的内部矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B刚度矩阵中的约束边界矩阵，
Figure FDA0003924480460000029
Figure FDA00039244804600000210
和
Figure FDA00039244804600000211
分别表示超单元A质量矩阵中的内部矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元A质量矩阵中的约束边界矩阵、超单元B质量矩阵中的内部矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的边界和内部耦合矩阵、超单元B质量矩阵中的约束边界矩阵；
对整体结构的无阻尼自由振动方程进行求解，即可得到整体结构的模态振型和固有频率；
(3)测量实际结构的试验模态，采用摄动法构造试验固有频率和步骤(2)中模态分析得到的固有频率的残差，建立目标函数，通过优化反问题求解，实现基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正。
2.根据权利要求1所述的基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，其特征在于，所述步骤(1)中具体划分方法包括如下步骤：
(1.1)建立初始有限元模型；
(1.2)考虑到研究对象本身的材料分布特性和连接属性，对初始有限元模型进行分级，得到各级超单元和残余结构，具体分级方法包括：首先将初始有限元模型中具有装配和分层关系的结构划分为不同级的超单元，其次，将同一级超单元中具有不同材料属性的结构划分为同一级下的不同超单元，最后将变形量大于最小变形量50％以上的结构作为残余结构。
3.根据权利要求1所述的基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，其特征在于，所述步骤(3)中具体方法包括以下步骤：
(3.1)若fe、fa分别表示试验特征值向量和分析特征值向量，求解特征值问题，进一步将结构模型修正问题转化为优化问题，其修正目标函数为
Figure FDA0003924480460000031
式中：ε＝fe-fa(p)是试验和分析得到的特征值残差向量，Wε是对称加权矩阵，p和
Figure FDA0003924480460000032
分别表示待修正参数的上、下边界值；
(3.2)有限元模型修正过程中，通过调整结构设计参数p迭代修正目标函数公式，直至满足迭代收敛条件。
4.根据权利要求3所述的基于多级超单元的复杂结构有限元模型修正方法，其特征在于，所述步骤(3.2)中迭代收敛条件为
Figure FDA0003924480460000033
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