CN110186682A - 基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法，涉及轴承的故障诊断方法技术领域。所述方法包括如下步骤：对滚动轴承的振动信号进行提取，并将所述振动信号进行处理得到多分量LMF振动信号；将多分量LMF振动信号进行分数阶变分模态分解，得到振动信号的模态分量；根据获得的振动信号的模态分量对振动信号进行重构；将重构后的振动信号进行小波变换，得到瞬时转频曲线，根据瞬时转频曲线得到滚动轴承的故障信息。将提出的方法成功地应用到滚动轴承内圈故障数据分析中，能够精确的提取到瞬时故障特征频率，并具有较强的噪声鲁棒性。
Description
技术领域
本发明涉及滚动轴承的故障诊断方法技术领域，尤其涉及一种基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法。
背景技术
轴承是机车的核心部件之一，具有结构复杂、运动速度高、负荷大等特点，是一类典型的非线性系统。轴承故障类型多种多样，且易发生损伤，据统计，每年对机车轴承使用量的40％进行检测，就存在33％得轴承都需要更换。并且机车轴承任何微小故障都有可能给国家和人民带来巨大的损失。在工程实践应用中，多数采用分析轴承振动信号进行故障诊断，然而利用传感器采集到的振动信号会伴随有大量的干扰信号，从而使信号具有微弱、非稳定的特征。因此如何有效的提取出故障特征、分析出故障特征频率、判断出故障类型一直是人们比较关注的问题，同时也是对非平稳和非高斯分布的振动信号前沿热点研究问题。
针对故障振动信号强烈的非线性和非平稳性特征，需要寻找一种算法将信号分解成几个与其相关的平稳信号，并进行特征信号提取。从而应运而生了一系列分解算法，在故障诊断方面也取得了很大的进展。基于经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)的机械故障诊断方法，根据信号在时间尺度上的局部特征结构，自适应地提取反映信号本质特征的固有模态分量；Wu等将噪声辅助信号分析的方法引入到EMD中，提出了集合经验模态分解(EEMD)方法；Dragomiretskiy等结合维纳滤波、Hilbert变换和频率混合，2014年提出了一种新的完全非递归自适应信号处理方法，即变分模态分解(VMD)方法，近年来对该方法的改进算法已成为研究热点，但是对该方法的改进都是在整数域的改进，由于算法本身的局限性，都不可避免的会出现模态混叠的现象。
Namias首次从数学的理论提出了分数阶傅里叶变换(FRFT)的定义，它是一种在时频域内分析信号的新方法。罗慧等研究发现，在时频平面上存在耦合的特征信号，旋转到合适的分数阶平面时却不存在耦合问题。由于故障信号的非平稳性，近年来分数阶傅里叶变换和信号分解相结合的算法被应用到故障诊断中来。现有技术中还有利用EMD和分数阶傅里叶变换相结合的算法(EMD-FRFT)抑制跟踪雷达信号中的高功率干扰，取得了一定成效，但是对于干扰频率较高时，滤波效果不明显；现有技术中还提出了一种基于分数阶傅里叶变换的集成经验模态分解算法(EEMD-FRFT)，对多分量线性调频信号进行检测和参数估计，但是由于集成经验模态分解算法的局限性使模态混叠问题没有得到很好的解决。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是如何提供一种能精确的提取到轴承故障特征频率的基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法。
为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是：一种基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于包括如下步骤：对滚动轴承的振动信号进行提取，并将所述振动信号进行处理得到多分量LMF振动信号；将多分量LMF振动信号进行分数阶变分模态分解，得到振动信号的模态分量；根据获得的振动信号的模态分量对振动信号进行重构；将重构后的振动信号进行小波变换，得到瞬时转频曲线，根据瞬时转频曲线得到滚动轴承的故障信息。
采用上述技术方案所产生的有益效果在于：本发明提出了一种基于分数阶傅里叶变换的VMD故障诊断方法(分数阶变分模态分解(variational mode decomposition–fractional Fourier transform，缩写为VMD-FRFT)，并与传统VMD方法进行了对比分析，仿真结果验证了所述方法的有效性。将提出的方法成功地应用到滚动轴承内圈故障数据分析中，能够精确的提取到故障特征频率。
附图说明
下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
图1是本发明实施例中相平面旋转示意图；
图2是本发明实施例中信号在分数阶Fourier域上的投影示意图；
图3是本发明实施例中仿真信号fSig1(t)的VMD曲线图；
图4是本发明实施例中仿真信号fSig2(t)的VMD曲线图；
图5是本发明实施例中仿真信号fSig1(t)的VMD-FRFT曲线图；
图6是本发明实施例中仿真信号fSig2(t)的VMD-FRFT曲线图；
图7是本发明实施例中VMD和VMD-FRFT信号幅值平均绝对误差曲线图；
图8是本发明实施例中VMD和VMD-FRFT第二分量中心频率估计图；
图9是本发明实施例中K＝3时多分量LMF信号VMD时频曲线图；
图10是本发明实施例中K＝3时多分量LMF信号VMD-FRFT时频曲线图；
图11是本发明实施例中K＝4时多分量LMF信号VMD时频曲线图；
图12是本发明实施例中K＝4时多分量LMF信号VMD-FRFT时频曲线图；
图13是本发明实施例中K＝5时多分量LMF信号VMD时频曲线图；
图14是本发明实施例中K＝5时多分量LMF信号VMD-FRFT时频曲线图；、
图15是本发明实施例中不同K值下信号幅值平均绝对误差曲线图；
图16是本发明实施例中不同K值下第二分量中心频率估计曲线图；
图17是本发明实施例中SNR＝8时，信号fsig4(t)时域曲线图；
图18是本发明实施例中SNR＝8时，仿真信号VMD时域和频域曲线图；
图19是本发明实施例中SNR＝8时，仿真信号VMD-FRFT时域和频域曲线图；
图20是本发明实施例中不同信噪比下VMD-FRFT分量平均绝对误差图；
图21是本发明实施例中不同信噪比下VMD-FRFT第二分量中心频率估计图；
图22是本发明实施例中QPZZ－Ⅱ旋转机械故障模拟试验台图；
图23是本发明实施例中滚动轴承内圈故障示意图；
图24是本发明实施例中匀加速工况下滚动轴承内圈故障振动信号图；
图25是本发明实施例中故障信号小波变换瞬时转频提取图；
图26是本发明实施例中匀加速内圈故障信号VMD模态分量波形与频谱图；
图27是本发明实施例中匀加速内圈故障信号VMD-FRFT模态分量波形与频谱图；
图28是本发明实施例中匀加速内圈故障信号VMD小波变换瞬时转频提取图；
图29是本发明实施例中匀加速内圈故障信号VMD-FRFT小波变换瞬时转频提取图；
图30是本发明实施例所述方法的主流程图；
其中：1、轴承内圈；2、内圈故障。
具体实施方式
下面结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是本发明还可以采用其他不同于在此描述的其它方式来实施，本领域技术人员可以在不违背本发明内涵的情况下做类似推广，因此本发明不受下面公开的具体实施例的限制。
总体的，如图30所示，本发明实施例公开了一种基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法，包括如下步骤：
对滚动轴承的振动信号进行提取，并将所述振动信号进行处理得到多分量LMF振动信号；
将多分量LMF振动信号进行分数阶变分模态分解，得到振动信号的模态分量；
根据获得的振动信号的模态分量对振动信号进行重构；
将重构后的振动信号进行小波变换，得到瞬时转频曲线，根据瞬时转频曲线得到滚动轴承的故障信息。
分数阶傅里叶变换(FRFT)定义：
FRFT可看作是时频面经过角度α旋转变换得到的如图1所示，它提供了信号从时域到频域的全过程的描述。随着阶数从0连续增长到1，FRFT展示出信号从时域逐步变化到频域的变化。当阶数取不同值时，信号的FRFT谱的能量集中性有优有劣。当选择恰当的阶数时，就可得到能量集中性较好的分析图谱，从而能够更好地分析信号性质，如图2所示。在信号时频分布图中有一个与时间轴夹角为β1的信号，此时通过分数阶傅里叶变换的方法，让信号在时频平面上绕着原点旋转，旋转后在构成的分数域上进行表示，当旋转角度α与β1正交时，该信号在分数域上的能量最集中，这样在多分量的情况下将信号实现了信号分离，经过逆变换实现信号的提取。
FRFT定义为：
其中，分数阶傅里叶变换的核函数为：
其中，α＝pπ/2；p为分数阶傅里叶变换的阶数；Fα为分数阶傅里叶算子符号；
而分数阶傅里叶反变换就是具有角度-α＝-pπ/2的分数阶傅里叶变换，即：
线性调频(LFM)信号检测与估计：
由于FRFT是一种一维的线性变化，与常用二次型时频分布相比它不受交叉项的困扰，具有计算量与FFT相当的快速算法。因此利用FRFT不仅能够可靠地实现LFM信号的检测与参数估计，而且能够降低处理的复杂度。
含噪声的单分量LFM信号可表示为：
其中，a0，f0和ζ0为未知参数，w(t)为加性高斯白噪声。则式(3)信号检测和估计过程可描述为：
其中，Xα(u)为信号x(t)的FRFT；分别代表LMF信号的调频率，中心频率，相位和幅度参数估计；
分数阶变分模态分解(VMD-FRFT)
VMD的实质是将信号f(t)分解成K个具有特定稀疏性的模态分量(IMF)μk。每个μk具有不同的中心频率wk，待中心频率确定以后便可以通过迭代寻优的方法确定μk的带宽。在VMD算法中wk不出现在重建保真度约束项中，只与最优带宽求取相关。从而求得中心频率最优值为对应的模态分量瞬时相位的最小二乘线性回归频率，这样就降低了中心频率的估计精度，并且在计算中并没有剔除噪声的影响。而本发明提出的VMD-FRFT算法，利用分数阶傅里叶变换对LMF信号参数估计的优势，在分数域对模态分量μk的中心频率进行估计，从而在最优带宽求取中增加了关于wk的信号重建保真度约束项，最终提高最优模态分量和中心频率估计的精度及抗噪性。VMD-FRFT算法的主要推导和求解过程如下：
1)对每个μk(t)进行希尔伯特变换，
式中，t表示大于0的时间常量，δ(t)为冲击函数。
2)求步骤1)得到解析函数的单边谱，并且将每一个模态的频谱进行调制，
式中，{ωk}＝{ω1,...,ωK}表示各分量μk(t)的中心频率。
3)根据FRFT对LMF信号的参数估计，利用式(5)求取模态分量μk的中心频率，
4)通过转换成求解约束变分问题的形式，估计出各个模态分量的有效带宽。结合式(8)得VMD-FRFT约束性条件为
为了求取上述的变分问题，引入了二次惩罚因子β与Lagrange乘法算子λ1(t)和λ2(t)。其中β为足够大的正数，具有较好的收敛性，则扩展的Lagrange可表示为：
接着通过交替更新λ1 n+1(t)、λ2 n+1(t)、求取扩展Lagrange表达式的解，其中，为第n+1次循环时的模态分量、λ1 n+1(t)、λ2 n+1(t)为第n+1次循环时乘法算子、为当前模态函数中心频率。
5)模态分量迭代最优解求取。
迭代最小化求解中只和式(10)中前三项相关，因此的求解过程可表述为：
式中，i∈{1,2,...,K}且i≠k，利用傅里叶变换，将式(11)转变到频域后用ω-ωk代替ω得，
并将得到的结果转换为非负频率区间积分的形式，则优化问题的解为
令等式右边目标函数对求偏导，得：
令解得：
6)中心频率迭代最优解。
同理，的求解过程可表述为：
利用傅里叶变换，将式(16)转变到频域后用ω-ωk代替ω，并将得到的结果转换为非负频率区间积分的形式，则优化问题的解为:
同样令目标函数对偏导等于0则：
在t＝0时则
其中，
为的分数阶傅里叶变换为：
将子优化的解式(15)和式(19)插入到优化算法式(10)中，得到了完整的分数阶变分模式分解算法，总结在表1中。
表1分数阶变分模态分解算法
多分量线性调频信号的VMD-FRFT方法仿真与分析：
在本节中，将所提出的VMD-FRFT算法应用于一系列测试信号，以评估所提方法的有效性。首先，通过对多分量LMF信号的测试试验，得到在VMD和VMD-FRFT两种算法中，各分量中心频率分布对模态分量与真实分量的平均绝对误差和中心频率估计误差曲线，分析VMD-FRFT算法对多分量LMF信号中心频率分布的非脆弱性；其次，对同一测试信号进行不同K值分解得到VMD-FRFT算法对模态分量个数K的敏感度；最后建立不同信噪比下的仿真信号，研究了VMD-FRFT算法的噪声鲁棒性。
VMD-FRFT对多分量LMF信号中心频率分布的非脆弱性：
VMD算法中对两个中心频率接近的信号视为一种以中间谐波振幅调制的信号，而不是两个单独的谐波，因此使得中心频率接近的信号难以进行有效的VMD分解。由于LMF在不同的分数阶傅里叶域上呈现出不同的能量聚集性，将信号从VMD难以分离的区域变换到可以有VMD有效分解的区域，就可以实现分量的提取，因此提出分数阶变分模态分解方法。
分别以中心频率为ω1，ω2两个LMF合成信号如下式所示进行仿真对比试验。
x1(t)＝exp(j0+j2πω1t+8πt2)
x2(t)＝exp(j0+j2πω2t+4πt2)
fSig(t)＝x1(t)+x2(t) (22)
ω1＝25，ω2＝35构成仿真信号1fSig1(t)，ω1＝25，ω2＝28构成仿真信号2fSig2(t)。两个仿真信号中采样频率fs＝2048Hz，采样点数n＝1300，K＝2，α＝2000，VMD和VMD-FRFT的分解曲线分别如图3-4以及图5-6所示。在模态分量时域曲线图中，虚线表示合成信号中真实组成信号xk(t)，实线表示模态分量μk(t)。并且利用μk(t)和xk(t)信号之间的平均绝对误差，如式(23)表示分解算法的精度。
其中，K表示模态分量个数，n表示采样点数。
从图3-图4以及图5-图6可知，随着多分量LMF信号fSig1(t)和fSig2(t)中心频率差Δω＝|w2-ω1|由10Hz(如图3和图5所示)变为3Hz(如图4和图6所示)，模态分量μk(t)对信号真实分量xk(t)拟合度和中心频率估计精度变差。通过图6和图4对比分析可知，虽然随着信号分量中心频率差的减小，模态分量IMF1和IMF2的边缘效应变强，但是VMD-FRFT算法相比VMD算法在一定程度上减少了该边缘效应的程度。在VMD算法仿真结果图4中，边缘效应持续时间约为0.2s，而VMD-FRFT算法中该时间不足0.1s，提高了模态分量精度。μk(t)和xk(t)信号之间的平均绝对误差和IMF2中心频率ω2估计误差随中心频率差Δω变化曲线如图7和图8所示。
通过图7可知，随着Δω的增加，VMD和VMD-FRFT两种算法的平均绝对误差都趋于0，表明两种算法均适用于中心频率相差较大的多分量LMF信号分解。但随着中心频率的接近，VMD方法的平均绝对误差明显大于VMD-FRFT。在Δω＝0.5时，VMD误差达到信号幅值的44.21％，对信号分量的还原度极差；而VMD-FRFT方法使最大误差降低为17.08％，模态分量对真实信号分量拟合度更高。由此可知对中心频率接近的LMF信号，VMD分解算法已失效，不能有效的对信号进行分解还原；而在VMD-FRFT算法中，大大降低了分解误差，可以对该信号进行有效的分解。针对两种算法对信号的中心频率估计仿真试验如图8所示，在相同的Δω下，VMD-FRFT比VMD对IMF2分量中心频率估计精度更高。并且随着Δω的减小，VMD-FRFT中心频率估计误差变化较少，而VMD算法中将会产生很大的估计误差。通过对比不同中心频率分布的两分量LMF信号的模态分解时频曲线、Δω～δ曲线，Δω～ω2曲线，得到VMD-FRFT算法对多分量LMF信号中心频率分布的非脆弱性。
VMD-FRFT算法对模态分量个数K的敏感度：
VMD算法的分解效果受个数K的影响，即分解过多或不足都会影响分析结果的准确性。因此如何在分解前选适当的K值，是VMD广泛应用的关键。而VMD-FRFT方法降低了对分解个数K的敏感度，K较大时，引入的过多分量幅值较小，可看作真实信号分解时的泄露信号组成，不影响信号的真实分量，避免了VMD分解时的过分解现象。对仿真信号3(如式(24))进行不同K值下的VMD和VMD-FRFT分解，进行仿真分析，仿真结果如图7所示。
图9-图10中K＝3时分解个数等于真实分量个数，VMD和VMD-FRFT算法中分量μk(t)对真实信号分量xk(t)拟合误差较小。但随着分解个数K的增加，VMD分解出现了过分解现象，模态分量与真实信号分量误差变大，不能很好的对真实信号进行拟合，并且出现了幅值较大的不容忽略的虚假分量如图13中VMD分解中IMF4分量所示，因此对信号不能进行有效的噪声滤波和信号重构。而VMD-FRFT算法中，随着K值的增加，分解信号IMF1，IMF2，IMF3对真实信号拟合度较高，误差较小，只是引入了前三个分量分解泄露信号，分别如图12中VMD-FRFT分解中IMF4，及图14中VMD-FRFT分解中IMF4和IMF5所示，该多余分量相对真实分量时域幅值较小，不足真实分量幅值的1％，即可忽略，有利于信号滤波和重构。
同时分析分量个数和分解分量平均绝对误差曲线(K～δ曲线)如图15所示，可知当K等于真实分量个数时，VMD和VMD-FRFT都可对信号进行有效分解，分量平均绝对误差相差不大，但随着K的增加VMD算法中误差急剧增加，当K＝5时，平均绝对误差达到了信号真实分量幅值的40％，已不能很好的对真实信号进行拟合如图13所示。而VMD-FRFT中，随着K的增加误差变化不大，都能很好的对真实信号分量进行拟合如图12及图14所示。同理分K～ω2曲线如图16所示，可知K的变化对VMD-FRFT方法中对信号中心频率参数估计影响也较小。由此可知，VMD-FRFT方法中对K的敏感度大大低于VMD方法，可以有效避免K值对VMD方法的影响。
VMD-FRFT算法的噪声鲁棒性：
VMD算法中对低噪声比的信号分解，通过增加α提高中心频率的估计精度，但是对于模态分量时域拟合，α的增大会为其增加更多的噪声信号。而VMD-FRFT算法同时提高了低信噪比的多分量LMF信号的分解时频域精度。通过仿真信号4(如式(25))，分析VMD-FRFT算法的噪声鲁棒性。
fSig4(t)＝exp(j0+j2π·ω1t+8πt2)+exp(j0+j2π·ω2t+4πt2)+η (25)
其中，ω1＝25，ω2＝40，η为不同信噪比下的高斯噪声。当信噪比(SNR)等于8时，得到仿真信号4的时域曲线如图17所示，VMD和VMD-FRFT时频域曲线如图18-图19所示。
通过图18-图19对比可知，在SNR＝8时VMD分解中如图18所示，在噪声的影响下没有将两个LMF信号很好的进行分离，在IMF1，IMF2频率曲线中可观察到，两个中心频率的信号都混杂在各个分量中，没有对信号进行有效的分解，也没有很好的分离出噪声。而VMD-FRFT分解时，在分数域迭代求取中心频率信号时，在最优分数域分量信号幅值大大高于噪声幅值，因此可以有效的进行信号与噪声分离。如图19所示，VMD-FRFT方法中，IMF1和IMF2与真实分量误差较小，而IMF3幅值较小，频率覆盖整个横坐标即为典型的噪声信号，因此可见噪声对有效分量影响较小，VMD-FRFT具有较好的抗噪能力。
对不同信噪比的信号进行VMD-FRFT算法仿真，得到SNR～δ和SNR～ω2曲线如图20-图21所示。在SNR≥-4时，模态分量的平均绝对误差低于信号幅值的10％，中心频率估计误差小于10％，因此可见VMD-FRFT算法不仅对噪声具有较强的鲁棒性，而且也适用与低信噪比信号的滤波。
分数阶变分模态分解在滚动轴承故障诊断中的应用
本实施例中以QPZZ－Ⅱ旋转机械故障模拟试验台为实验平台，如图22所示。实验对象是型号为N205EM的滚动轴承内圈故障，如图23所示。滚动轴承以匀加速运动，采样频率fs＝25600Hz，采样点数n＝76800，得到振动加速度LMF信号如图24所示。图25为直接对采集到的振动信号进行小波变换得到的瞬时转频曲线，可见信号的瞬时转频完全淹没在强噪声下，不能得到有效提取。因此分别利用VMD和VMD-FRFT算法对信号进行分解，滤波和重构。
将振动信号分别进行VMD和VMD-FRFT分解如图26-27所示，从两种方法的分解时频域图中可以看出，VMD-FRFT具有更好的频域分辨率。对比图26和图27中的IMF5分量可知，VMD-FRFT中分数域的引进对噪声具有更加有效的分离，其中IMF5分量频率平均分布在整个频率带，可见只有噪声的成分。而VMD中IMF5分量不仅含有噪声成分，还包含了部分IMF4分量的信息。因此若将两种算法的IMF1，IMF2，IMF3，IMF4进行信号重构，可以滤掉信号中的噪声成分起到滤波的效果。最后将重构后的信号进行小波变换，得到瞬时转频曲线，如图28-图29所示。
通过图28-图29两种算法瞬时转频提取曲线对比可知，VMD算法中只能将低频信息进行提取，由于噪声的影响对中高频提取效果不理想，而VMD-FRFT算法具有更好的降噪效果，对低，中，高频的转频都有很好的提取效果，使故障特征更加明确。
本发明所述方法以LMF信号为对象结合分数阶傅里叶变换，给出了VMD-FRFT方法的定义和推导，得到了该方法的模态分量和中心频率估计公式。同时利用不同的仿真信号和匀加速滚动轴承内圈故障振动信号，进行了VMD-FRFT与VMD的对比分析，得到如下结论：
(1)VMD-FRFT对多分量LMF信号中心频率分布的非脆弱性。通过对比不同中心频率分布的两分量LMF信号的模态分量时频曲线、Δω～δ曲线，Δω～ω2曲线，可知随着信号分量中心频率的接近，VMD算法模态分量时域曲线与仿真信号分量曲线拟合度变差，中心频率估计精度变小，而VMD-FRFT算法精度变化较小，对多分量LMF信号中心频率分布具有非脆弱性。
(2)VMD-FRFT对参数K的不敏感性。当K过大时，VMD-FRFT算法未出现VMD分解中的过分解现象，有效模态分量仍保持真实信号分量成分，多余的模态分量只是改变了噪声信号的分布信息。
(3)VMD-FRFT具有较强的噪声鲁棒性。对不同信噪比的信号进行VMD-FRFT仿真，在SNR≥-4时，模态分量的平均绝对误差低于信号幅值的10％，中心频率估计误差小于10％，因此可见VMD-FRFT算法不仅对噪声具有较强的鲁棒性，而且也适用与低信噪比信号的滤波。
Claims (3)
1.一种基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于包括如下步骤：
对滚动轴承的振动信号进行提取，并将所述振动信号进行处理得到多分量LMF振动信号；
将多分量LMF振动信号进行分数阶变分模态分解，得到振动信号的模态分量；
根据获得的振动信号的模态分量对振动信号进行重构；
将重构后的振动信号进行小波变换，得到瞬时转频曲线，根据瞬时转频曲线得到滚动轴承的故障信息。
2.如权利要求1所述的基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，分数阶变分模态分解的方法如下：
将振动信号f(t)分解成K个具有特定稀疏性的模态分量μk，每个模态分量μk具有不同的中心频率wk；
1)对每个模态分量μk(t)进行希尔伯特变换：
式中，t表示大于0的时间常量，δ(t)为冲击函数；
2)求步骤(1)得到解析函数的单边谱，并且将每一个模态分量的频谱进行调制：
式中，{ωk}＝{ω1,...,ωK}表示各分量μk(t)的中心频率；
3)根据分数阶傅里叶变换FRFT对LMF信号的参数估计，求取模态分量μk的中心频率，
4)通过转换成求解约束变分问题的形式，估计出各个模态分量μk的有效带宽，结合式(3)得分数阶变分模态分解约束性条件为：
为了求取上述的变分问题，引入二次惩罚因子β与Lagrange乘法算子λ1(t)和λ2(t)；其中β为足够大的正数，具有较好的收敛性，则扩展的Lagrange可表示为：
接着通过交替更新λ1 n+1(t)、λ2 n+1(t)、求取扩展Lagrange表达式的解，其中，为第n+1次循环时的模态分量、λ1 n+1(t)、λ2 n+1(t)为第n+1次循环时乘法算子、为当前模态函数中心频率；
5)模态分量迭代最优解求取：
迭代最小化求解中只和式(5)中前三项相关，因此的求解过程可表述为：
式中，i∈{1,2,...,K}且i≠k，利用傅里叶变换，将式(6)转变到频域后用ω-ωk代替ω得，
并将得到的结果转换为非负频率区间积分的形式，则优化问题的解为：
令等式右边目标函数对求偏导，得：
令解得：
6)中心频率迭代最优解：
同理，的求解过程可表述为：
利用傅里叶变换，将式(11)转变到频域后用ω-ωk代替ω，并将得到的结果转换为非负频率区间积分的形式，则优化问题的解为:
同样令目标函数对偏导等于0则：
在t＝0时则
其中，
为的分数阶傅里叶变换为：
将子优化的解式(10)和式(14)插入到优化算法式(5)中，直到满足终止条件迭代结束，其中ε为终止判别条件满足0＜ε＜＜1，即得到完整的分数阶变分模式分解算法。
3.如权利要求2所述的基于分数阶变分模态分解的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，各模态分量μk的中心频率检测与估计的方法如下：
含噪声的单分量LFM信号可表示为：
其中，a0，f0和ζ0为未知参数，w(t)为加性高斯白噪声；则上式信号中心频率检测和估计过程可描述为：
其中，Xα(u)为信号x(t)的分数阶傅里叶变换FRFT；代表LMF信号的中心频率。
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