CN109802394A - 一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明的一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，包括：建立分布式电源节点与电动汽车节点的概率模型；根据传统潮流计算，得到电网连接拓扑、线路阻抗、节点注入功率等电网基础数据；采用基于随机漫步理论的拉丁超立方采样法对输入变量进行采样得到样本矩阵；根据样本矩阵及半不变量和原点矩阵的关系计算输入变量的各阶半不变量；通过级数展开求得状态变量和支路潮流的累积分布函数；进行半不变量法概率潮流计算。本发明不仅考虑了配电网中光伏、风电的不确定功率注入，也考虑了以电动汽车为例的随机负荷，使结果更加精确计算精度高、采样速度快、有助于提升电力系用的新能源接纳能力。

Description

一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法

技术领域

本发明属于概率潮流计算方法领域，涉及一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法。

背景技术

我国是世界能源消耗第三大国，随着生产力的迅速发展，能源消耗量也在不断增加，其中，石油、煤炭的消耗占据极大比例。但随着近年来全球气候逐渐变暖，石油资源的日益枯竭，新型能源的开发显得极为迫切。自国内风电、光伏分别于2009、2013年实施标杆电价制度(Benchmark electricity price)以来，国内新能源产业飞速发展。2017年全国光伏发电装机达到130000MW，全国风力发电装机达到130780MW。

实际电力系统运行过程中存在大量不确定的因素，如负荷波动、系统设备故障等。大规模的分布式电源并网和电动汽车等随机负荷的发展更增加了系统的不确定性。概率潮流计算可以将各种不确定因素作为输入变量，分析电网潮流特性，是电力系统稳定运行的重要工具。

目前传统的概率潮流计算方法有蒙特卡洛仿真法、点估计法和卷积法。其中蒙特卡洛法用抽样技术生成具有相关性的样本，然后进行多次确定性潮流计算，得到输出变量的统计分布特性，但是此方法计算量较为复杂，需要进行大规模的抽样，消耗时间成本。点估计法是根据已知输入随机变量的概率分布，求取输出随机变量各阶矩的概率统计方法，但此方法无法得到输出变量的累积分布函数且输出随机变量各阶矩的准确程度随着阶数的增加而降低。卷积法是根据输入随机变量的概率分布函数进行卷积计算，求得输出随机变量的概率分布特性，但此方法需要用卷积公式进行计算，数学计算复杂。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提供一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，计算精度高、采样速度快、有助于提升电力系用的新能源接纳能力。

本发明提供一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，包括如下步骤：

步骤1：建立分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点的概率模型，与基础电网模型共同构成系统模型；

步骤2：根据传统潮流计算获得系统模型的基础数据，包括电网连接拓扑、线路阻抗、负荷注入功率、发动机注入功率、各分布式电源节点的随机变量和电动汽车节点的随机变量；

步骤3：设置系统模型中节点类型，忽略分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点，用传统的牛顿拉夫逊法对系统进行确定性潮流计算，获取基准状态变量；

步骤4：采用基于随机漫步理论的拉丁超立方采样法对概率模型进行采样得到相应概率模型的样本矩阵；

步骤5：求取样本矩阵的灵敏度矩阵；

步骤6：根据样本矩阵和原点矩的关系，基于半不变量法计算概率模型的各阶半不变量；

步骤7：根据基础数据、基准状态变量、样本矩阵以及样本矩阵的灵敏度矩阵，采用半不变量法对系统模型进行概率潮流计算。

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤1中建立分布式风电节点的概率模型具体为：

平均风速服从韦伯分布：

式中：v为平均风速，k为形状参数，c为尺寸参数；

风电机组的有功功率输出特性如下：

式中：v_ci为切入风速；v_rate为额定风速；v_co为切出风速；P_rate为风电机组额定出力；

由式(1)(2)可以得出风电场出力的概率分布：

式中，

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤1中建立分布式光伏节点的概率模型具体为：

光照强度服从Beta分布，其概率密度模型为：

式中：r为实际的光照强度；r_max为研究时间内最大光照强度；α和β为Beta分布的形状参数；Γ(·)为Gamma函数；

设有n块光伏板，每块光伏板面积为A_i，转换效率为η_i，光伏板的有功功率表示为：

根据式(4)、(5)、(6)可以得到光伏输出的有功功率的概率密度为：

P_max＝Aηr_max (8)

式中：P_max为光伏电站有功功率的最大输出。

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤1中建立电动汽车节点的概率模型具体为：

建立电动汽车模型，采用的电动汽车概率模型为泊松分布：

式中：λ_EV,t为t时刻所接入的电动汽车数量期望值，n_EV,t为t时刻所接入的电动汽车数量。

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤4具体为：

步骤4.1：确定分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点的随机变量数量K；

步骤4.2：确定拉丁超立方采样法的采样次数N；

步骤4.3：采用拉丁超立方采样法对各个概率模型进行采样，生成K×N的原始样本矩阵S’_ij，其中，i代表第i个随机变量，j代表随机变量第j次采样值；

步骤4.4：采用随机漫步的方法对原始样本矩阵S’_ij进行重新排序，获得最终样本矩阵S_ij。

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤5具体为：

步骤5.1：潮流计算方程采用如下极坐标形式：

式(12)中：W为节点注入功率；H为支路潮流；X为节点电压值；

步骤5.2：将式(12)改写为矩阵表示的线性化交流潮流方程：

式(13)中：X₀、W₀、H₀分别表示节点电压的期望值、节点注入功率的期望值和支路潮流的期望值，并满足：

△X为节点电压的变化量；△W为节点注入功率的随机扰动；△H为支路潮流的变化量；

步骤5.3：将式(13)进行泰勒展开，并忽略2阶及以上的高次项，得到：

步骤5.4：对式(15)进行变换可得：

式中：J₀为基础电网模型的雅克比矩阵；S₀为J₀的逆矩阵；G₀为2b×2n阶矩阵，其中b为系统模型的支路数，n为系统模型的节点数；

步骤5.5：在系统正常运行的情况下，用传统的牛顿-拉夫逊潮流计算，通过计算在基准点运行的节点电压的期望值X₀、支路潮流的期望值H₀和雅克比矩阵J₀，进一步求取灵敏度矩阵T₀。

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤6具体为：

步骤6.1：根据拉丁超立方采样法获得的最终样本矩阵S_ij中的N个样本[X₁,X₂,···,X_N]，分别计算每个样本的各阶原点矩α_v：

步骤6.2：再根据半不变量和原点矩的关系，求出N个样本的各阶半不变量γ_v：

取前7阶半不变量以保证较高的计算精度。

在本发明的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法中，所述步骤7具体为：

步骤7.1：采用半步变量法潮流计算，各节点m的注入功率的随机变量ΔW_m可以表示为：

式中：代表卷积运算；ΔW_Gm和ΔW_Lm分别代表节点m的发电机功率和负荷功率的随机变量；

步骤7.2：根据半不变量法的齐次性和可加性，将式(20)改写为半不变量法的代数运算，节点m注入功率的k阶半不变量可以表示为：

步骤7.3：根据式(16)的线性化潮流模型，得出节点电压和支路潮流的k阶半不变量ΔX^(k)和ΔH^(k)：

步骤7.4：用Gram-Clarlier级数展开的方法分别求解随机变量的半不变量的概率密度、节点电压的半不变量的概率密度和支路潮流的半不变量的概率密度：

累积分布函数f(x)可以表示为含α(x)的各阶导数的级数展开式，则f(x)的各阶导数展开式为：

式中，x为各随机变量，α(x)为标准正态分布的随机变量的概率密度函数；

式中H_r(x)为雪夫-埃米尔特多项式：

结合式(23)(24)得到随机变量的累积分布函数为：

式中g为输入变量、节点电压和支路潮流和半不变量。

步骤7.5：根据累积分布函数与概率密度关系：

f(x)dx＝P (26)

求出节点电压、功率的概率分布；具体表示为某一节点某一时刻各电压、功率值的概率和某一节点某天所有时刻电压、功率概率最大值。

本发明的一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，至少具有以下有益效果：

本发明计算过程中采用基于随机漫步理论的拉丁超立方采样法对随机变量进行采样，将随机漫步理论与传统的拉丁超立方采样法进行结合，得到相关性较低的采样矩阵，并对采样矩阵进行Cholesky分解，进一步消除随机变量之间的相关性，避免使用了蒙特卡洛法对节点功率注入量进行相关性处理，保证了采样计算精度并提高了采样速度。

本发明计算过程中采用半不变量概率潮流计算方法，用加法计算代替卷积计算，简化了算法。其中潮流方程为电流方程，与常规概率潮流计算中采用的功率方程相比，电流方程为线性方程更加符合半不变量法概率潮流计算。

本发明计算不仅考虑了配电网中光伏、风电的不确定功率注入，也考虑了以电动汽车为例的随机负荷，使结果更加精确。

本发明计算能够适用于大规模的分布式电源与电动汽车并网后的复杂电网系统运行分析，安全预警等具有重要意义，有助于提升电力系用的新能源接纳能力。

附图说明

图1是一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法的流程图。

具体实施方式

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法。考虑基于随机漫步理论(Random Walk，RW)的拉丁超立方采样法(Latinhypercube sampling，LHS)，首先建立风电、光伏分布式电源和电动汽车的概率模型；其次将随机漫步理论与传统的拉丁超立方采样法相结合的方法得到样本矩阵，消除随机变量之间的相关性，在保证计算精度的同时提高计算速度；最后利用半不变量法进行概率潮流计算。通过在输入变量相互独立的情况下采用代数运算来代替卷积运算，运行简单、速度快，能够快速准确评估系统运行特性。

如图1所示本发明的一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，包括如下步骤：

步骤1：建立分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点的概率模型，与基础电网模型共同构成系统模型；

(1)建立分布式风电节点的概率模型具体为：

平均风速服从韦伯分布：

式中：v为平均风速，k为形状参数，c为尺寸参数；

风电机组的有功功率输出特性如下：

式中：v_ci为切入风速；v_rate为额定风速；v_co为切出风速；P_rate为风电机组额定出力；

由式(1)(2)可以得出风电场出力的概率分布：

式中，

(2)建立分布式光伏节点的概率模型具体为：

光照强度服从Beta分布，其概率密度模型为：

式中：r为实际的光照强度；r_max为研究时间内最大光照强度；α和β为Beta分布的形状参数；Γ(·)为Gamma函数；

设有n块光伏板，每块光伏板面积为A_i，转换效率为η_i，光伏板的有功功率表示为：

根据式(4)、(5)、(6)可以得到光伏输出的有功功率的概率密度为：

P_max＝Aηr_max (8)

式中：P_max为光伏电站有功功率的最大输出。

(3)建立电动汽车节点的概率模型具体为：

建立电动汽车模型，本发明专利采用的电动汽车概率模型近似为泊松分布：

式中：λ_EV,t为t时刻所接入的电动汽车数量期望值，n_EV,t为t时刻所接入的电动汽车数量。

步骤2：根据传统潮流计算获得系统模型的基础数据，包括电网连接拓扑、线路阻抗、负荷注入功率、发动机注入功率、各分布式电源节点的随机变量和电动汽车节点的随机变量；

步骤3：设置系统模型中节点类型，忽略分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点，用传统的牛顿拉夫逊法对系统进行确定性潮流计算，获取基准状态变量；

具体实施时，设置系统模型中节点类型，如1,2,3，···，k号节点为PV节点，k+1，k+2,···n-1号节点为PQ节点，n为平衡节点。忽略分布式电源和随机负荷节点，用传统的牛顿拉夫逊法对系统进行确定性潮流计算，获取系统的基准状态变量，并作如下标记：V表示节点电压，I表示节点电流，P表示节点注入的有功功率，Q表示节点注入的无功功率，△表示状态变化量，下标G表示PV节点，下标L表示PQ节点，下标r表示实部，下标m表示虚部，Y表示导纳矩阵。

步骤4：采用基于随机漫步理论的拉丁超立方采样法对概率模型进行采样得到相应概率模型的样本矩阵，所述步骤4具体为：

步骤4.1：确定分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点的随机变量数量K；

步骤4.2：确定拉丁超立方采样法的采样次数N；

步骤4.3：采用拉丁超立方采样法对各个概率模型进行采样，生成K×N的原始样本矩阵S’_ij，其中，i代表第i个随机变量，j代表随机变量第j次采样值；

步骤4.4：采用随机漫步的方法对原始样本矩阵S’_ij进行重新排序，获得最终样本矩阵S_ij。

具体实施时，对原始样本矩阵S’_ij进行重新排序，本发明采用随机漫步的方法，该方法是一种等可能的算法，将随机变量作为研究对象，在矩阵中进行随机漫步，因其各个方向都是等可能的，将随机漫步的方法应用到拉丁超立方排序步骤中，降低了各个随机变量的相关性，可确保各个样本的随机性，均等性和无偏好性。

(1)设置拉丁超立方原始样本矩阵S’_ij的初始迭代点S₀，行走的步长μ。

(2)为了产生合适的迭代控制交数r，设置循环初始值a＝1。

(3)当a＜r时，随机生成j个随机序列的新的矩阵L＝[L₁,L₂,…L_i,L_j]，并从这个j个新的序列中通过以下目标函数，选出相关度最小的序列S₁，完成其中一步行走。

(4)具体的目标函数如下所示：

式中Cov(·)为协方差；var(·)是方差，L₁,L₂,…L_i,L_j表示各个随机序列。

式(11)是为了降低各随机变量之间采样值L_i,L_j的相关性。

将计算的函数值带入(10)(11)中，若计算值比初始值更好，则选择样本矩阵的采样值放入样本矩阵中。否则a＝a+1，回到步骤(3)。

(5)若连续r次都找不到最优值，此时将步长μ减半返回步骤1，重新一轮的排序。再将上述步骤产生的采样值带入到目标函数。

最后生成的采样矩阵S_ij，其中，i代表第i个随机变量，j代表随机变量第j次采样值。

步骤5：求取样本矩阵的灵敏度矩阵；

本发明采用线性化潮流方程，包括节点注入功率方程和支路潮流方程，采用交流线性化模型，将其在基准运行点进行泰勒展开，并忽略2阶及以上的高次项，具体为：

步骤5.1：潮流计算方程采用如下极坐标形式：

式(12)中：W为节点注入功率；H为支路潮流；X为节点电压值；

步骤5.2：将式(12)改写为矩阵表示的线性化交流潮流方程：

式(13)中：X₀、W₀、H₀分别表示节点电压的期望值、节点注入功率的期望值和支路潮流的期望值，并满足：

△X为节点电压的变化量；△W为节点注入功率的随机扰动；△H为支路潮流的变化量；

步骤5.3：将式(13)进行泰勒展开，并忽略2阶及以上的高次项，得到：

步骤5.4：对式(15)进行变换可得：

式中：J₀为基础电网模型的雅克比矩阵；S₀为J₀的逆矩阵；G₀为2b×2n阶矩阵，其中b为系统模型的支路数，n为系统模型的节点数；

步骤5.5：在系统正常运行的情况下，用传统的牛顿-拉夫逊潮流计算，通过计算在基准点运行的节点电压的期望值X₀、支路潮流的期望值H₀和雅克比矩阵J₀，进一步求取灵敏度矩阵T₀。

步骤6：根据样本矩阵和原点矩的关系，基于半不变量法计算概率模型的各阶半不变量，所述步骤6具体为：

步骤6.1：根据拉丁超立方采样法获得的最终样本矩阵S_ij中的N个样本[X₁,X₂,···,X_N]，分别计算每个样本的各阶原点矩α_v：

步骤6.2：再根据半不变量和原点矩的关系，求出N个样本的各阶半不变量γ_v：

取前7阶半不变量以保证较高的计算精度。

步骤7：根据基础数据、基准状态变量、样本矩阵以及样本矩阵的灵敏度矩阵，采用半不变量法对系统模型进行概率潮流计算，所述步骤7具体为：

步骤7.1：采用半步变量法潮流计算，各节点m的注入功率的随机变量ΔW_m可以表示为：

式中：代表卷积运算；ΔW_Gm和ΔW_Lm分别代表节点m的发电机功率和负荷功率的随机变量；

步骤7.2：根据半不变量法的齐次性和可加性，将式(20)改写为半不变量法的代数运算，节点m注入功率的k阶半不变量可以表示为：

步骤7.3：根据式(16)的线性化潮流模型，由得出k阶线性化潮流模型：

本发明中半不变量法的独立性前提是由卷积的性质决定的，因为采用改进的拉丁超立方得到的采样矩阵已经消除了随机变量相关性，所以不需要对随机变量进行进一步的处理；

步骤7.4：用Gram-Clarlier级数展开的方法分别求解随机变量的半不变量的概率密度、节点电压的半不变量的概率密度和支路潮流的半不变量的概率密度：

累积分布函数f(x)可以表示为含α(x)的各阶导数的级数展开式，则f(x)的各阶导数展开式为：

式中，x为各随机变量，α(x)为标准正态分布的随机变量的概率密度函数；

式中H_r(x)为雪夫-埃米尔特多项式：

结合式(23)(24)得到随机变量的累积分布函数为：

式中g为输入变量、节点电压和支路潮流和半不变量。

步骤7.5：根据累积分布函数与概率密度关系：

f(x)dx＝P (26)

求出节点电压、功率的概率分布；具体表示为某一节点某一时刻各电压、功率值的概率和某一节点某天所有时刻电压、功率概率最大值。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明的思想，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：建立分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点的概率模型，与基础电网模型共同构成系统模型；

步骤2：根据传统潮流计算获得系统模型的基础数据，包括电网连接拓扑、线路阻抗、负荷注入功率、发动机注入功率、各分布式电源节点的随机变量和电动汽车节点的随机变量；

步骤3：设置系统模型中节点类型，忽略分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点，用传统的牛顿拉夫逊法对系统进行确定性潮流计算，获取基准状态变量；

步骤4：采用基于随机漫步理论的拉丁超立方采样法对概率模型进行采样得到相应概率模型的样本矩阵；

步骤5：求取样本矩阵的灵敏度矩阵；

步骤6：根据样本矩阵和原点矩的关系，基于半不变量法计算概率模型的各阶半不变量；

步骤7：根据基础数据、基准状态变量、样本矩阵以及样本矩阵的灵敏度矩阵，采用半不变量法对系统模型进行概率潮流计算。

2.如权利要求1所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤1中建立分布式风电节点的概率模型具体为：

平均风速服从韦伯分布：

式中：v为平均风速，k为形状参数，c为尺寸参数；

风电机组的有功功率输出特性如下：

式中：v_ci为切入风速；v_rate为额定风速；v_co为切出风速；P_rate为风电机组额定出力；

由式(1)(2)可以得出风电场出力的概率分布：

式中，

3.如权利要求1所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤1中建立分布式光伏节点的概率模型具体为：

光照强度服从Beta分布，其概率密度模型为：

式中：r为实际的光照强度；r_max为研究时间内最大光照强度；α和β为Beta分布的形状参数；Γ(·)为Gamma函数；

设有n块光伏板，每块光伏板面积为A_i，转换效率为η_i，光伏板的有功功率表示为：

根据式(4)、(5)、(6)可以得到光伏输出的有功功率的概率密度为：

P_max＝Aηr_max (8)

式中：P_max为光伏电站有功功率的最大输出。

4.如权利要求1所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤1中建立电动汽车节点的概率模型具体为：

建立电动汽车模型，采用的电动汽车概率模型为泊松分布：

式中：λ_EV，t为t时刻所接入的电动汽车数量期望值，n_EV，t为t时刻所接入的电动汽车数量。

5.如权利要求1所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤4具体为：

步骤4.1：确定分布式风电节点、分布式光伏节点以及电动汽车节点的随机变量数量K；

步骤4.2：确定拉丁超立方采样法的采样次数N；

步骤4.3：采用拉丁超立方采样法对各个概率模型进行采样，生成K×N的原始样本矩阵S’_ij，其中，i代表第i个随机变量，j代表随机变量第j次采样值；

步骤4.4：采用随机漫步的方法对原始样本矩阵S’_ij进行重新排序，获得最终样本矩阵S_ij。

6.如权利要求1所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤5具体为：

步骤5.1：潮流计算方程采用如下极坐标形式：

式(12)中：W为节点注入功率；H为支路潮流；X为节点电压值；

步骤5.2：将式(12)改写为矩阵表示的线性化交流潮流方程：

式(13)中：X₀、W₀、H₀分别表示节点电压的期望值、节点注入功率的期望值和支路潮流的期望值，并满足：

ΔX为节点电压的变化量；ΔW为节点注入功率的随机扰动；ΔH为支路潮流的变化量；

步骤5.3：将式(13)进行泰勒展开，并忽略2阶及以上的高次项，得到：

步骤5.4：对式(15)进行变换可得：

式中：J₀为基础电网模型的雅克比矩阵；S₀为J₀的逆矩阵；G₀为2b×2n阶矩阵，其中b为系统模型的支路数，n为系统模型的节点数；

步骤5.5：在系统正常运行的情况下，用传统的牛顿-拉夫逊潮流计算，通过计算在基准点运行的节点电压的期望值X₀、支路潮流的期望值H₀和雅克比矩阵J₀，进一步求取灵敏度矩阵T₀。

7.如权利要求5所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤6具体为：

步骤6.1：根据拉丁超立方采样法获得的最终样本矩阵S_ij中的N个样本[X₁，X₂，…，X_N]，分别计算每个样本的各阶原点矩α_v：

步骤6.2：再根据半不变量和原点矩的关系，求出N个样本的各阶半不变量γ_v：

取前7阶半不变量以保证较高的计算精度。

8.如权利要求6所述的计及分布式电源与电动汽车接入的概率潮流计算方法，其特征在于，所述步骤7具体为：

步骤7.1：采用半步变量法潮流计算，各节点m的注入功率的随机变量ΔW_m可以表示为：

式中：代表卷积运算；ΔW_Gm和ΔW_Lm分别代表节点m的发电机功率和负荷功率的随机变量；

步骤7.2：根据半不变量法的齐次性和可加性，将式(20)改写为半不变量法的代数运算，节点m注入功率的k阶半不变量可以表示为：

步骤7.3：根据式(16)的线性化潮流模型，得出节点电压和支路潮流的k阶半不变量ΔX^(k)和ΔH^(k)：

步骤7.4：用Gram-Clarlier级数展开的方法分别求解随机变量的半不变量的概率密度、节点电压的半不变量的概率密度和支路潮流的半不变量的概率密度：

累积分布函数f(x)可以表示为含α(x)的各阶导数的级数展开式，则f(x)的各阶导数展开式为：

式中，x为各随机变量，α(x)为标准正态分布的随机变量的概率密度函数；

式中H_r(x)为雪夫-埃米尔特多项式：

结合式(23)(24)得到随机变量的累积分布函数为：

式中g为输入变量、节点电压和支路潮流和半不变量。

步骤7.5：根据累积分布函数与概率密度关系：

f(x)dx＝P (26)

求出节点电压、功率的概率分布；具体表示为某一节点某一时刻各电压、功率值的概率和某一节点某天所有时刻电压、功率概率最大值。