CN109783964A - 一种基于曲率单调变化的三次均匀b样条曲线设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,主要步骤为:给定三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V1;给定所述三次均匀B样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴T;根据所述三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V1、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴T,分别计算得到所述三次均匀B样条曲线初始控制边矢量V0和结尾控制边矢量V2;根据所述三次均匀B样条曲线对应的三条控制边矢量V0,V1,V2,计算得到所述三次均匀B样条曲线的控制顶点与曲线表达式。本发明通过给定三次均匀B样条的初始条件,控制其缩放因子和旋转角度,克服了传统方法中难以保证三次均匀B样条曲线的曲率单调变化的缺陷,实现了曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法,属于计算机辅助几何设计(CAGD)与计算机图形学领域。
背景技术
曲线的曲率能够反映曲线在一点处的弯曲程度,是曲线的固有属性。由于曲率具有仿射不变性,目前其在模式识别领域应用广泛。曲线的光顺性对于曲线的外形及性质具有重要影响,而曲线的曲率分布则是评价曲线光顺性的重要指标,通常认为具有较少曲率单调变化段的曲线具有较好的光顺性。在工业设计中,对于产品外形的光顺性要求较高,因此设计曲率单调变化的曲线段具有较高的应用前景。
B样条曲线是CAGD领域最为通用的一种曲线,其优良的几何性质使其成为几何建模的首要选择。目前,对于三次均匀B样条曲线光顺性的研究,主要集中在如何在给定B样条曲线的基础上,对其进行光顺性优化,然而无法保证曲率的单调变化,对于如何设计曲率单调变化的三次均匀B样条,目前仍没有相关技术与方法。
发明内容
针对相关技术中的上述技术问题,本发明提出一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,改善现有技术的上述缺陷。通过对曲率单调变化的B样条曲线的设计,可以将其应用于计算机辅助设计、轨道交通过渡路径设计、艺术曲线设计等领域。
为实现上述技术目的,本发明的技术方案包括以下步骤:
步骤S1:给定三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V1;
步骤S2:给定所述三次均匀B样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴T;
步骤S3:根据所述三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V1、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴T,分别计算得到所述三次均匀B样条曲线初始控制边矢量V0和结尾控制边矢量V2;
步骤S4:根据所述三次均匀B样条曲线对应的三条控制边矢量V0,V1,V2,计算得到所述三次均匀B样条曲线的控制顶点与曲线表达式。
其中,在步骤S1中,中间控制边矢量V1可选取任意的非零矢量,即||V1||>0且方向任意,其中,符号“|| ||”表示矢量的模。
在步骤S2中,选取的旋转轴T应不与中间控制边矢量V1平行,即T≠αV1,其中α为任意实数。
进一步地,在步骤S2中,选取的缩放因子s为不等于1的正实数,且s和旋转角度θ应满足以下关系:
s*cosθ≥1(s>1)或s≤cosθ(0<s<1)
其中,当s>1时,三次均匀B样条曲线P(t)的曲率(t∈[0,1])单调下降;当s<1时,曲率κ(t)单调增加。其中,P(t)为所述三次均匀B样条曲线,P'(t)是其对应的一阶导矢,P”(t)是其二阶导矢,|| ||表示矢量的模。
进一步地,在步骤S3中,所求三次均匀B样条曲线的初始控制边矢量V0和结尾控制边矢量V2的具体表达式分别为:
V2=2sRθV1-V1 (2)
其中,Rθ为绕旋转轴T逆时针旋转θ角的旋转矩阵,R-θ为绕旋转轴T逆时针旋转-θ角的旋转矩阵,s是不等于1的正实数,V1是任意给定的非零中间控制边矢量。
进一步地,在步骤S4中,所述三次均匀B样条的控制边矢量Vi(i=0,1,2)与其控制顶点bi(i=0,1,2,3)之间满足bibi+1=Vi(i=0,1,2),由此可计算得到所述三次均匀B样条的全部控制顶点。
进一步地,可得所述三次均匀B样条曲线P(t)的表达式为:
其中,Ni,3(t)(i=0,1,2,3)为三次均匀B样条曲线的基函数。
本发明的有益效果:区别于现有技术,本发明通过给定三次均匀B样条的初始条件,控制其缩放因子和旋转角度,克服了传统方法中难以保证三次均匀B样条曲线的曲率单调变化的缺陷,实现了曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案,下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍,显而易见地,下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例,对于本领域普通技术人员来讲,在不付出创造性劳动的前提下,还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是根据本发明实施例的曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法流程图;
图2是根据本发明实施例的曲率单调下降的三次均匀B样条曲线的设计示意图;
图3是根据本发明实施例的曲率单调下降的三次均匀B样条曲线的二维曲率图;
图4是根据本发明实施例的曲率单调上升的三次均匀B样条曲线的设计示意图;
图5是根据本发明实施例的曲率单调上升的三次均匀B样条曲线的二维曲率图;
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图,对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述,显然,所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例,而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例,本领域普通技术人员所获得的所有其他实施例,都属于本发明保护的范围。
实施例一:
设计曲率单调下降的三次均匀B样条曲线,结果如图2和图3所示。
(1)给定初始矢量V1=(1,0,0),且有V1=b1b2;
(2)给定B样条曲线的缩放因子s=2、旋转角度θ=π/4以及旋转轴T=(0,1,0),因为符合s*cosθ≥1(s>1)的条件;
(3)由公式(1)、(2)可得且有V0=b0b1和V2=b2b3,可得b0和b3的坐标;
(4)将b0、b1、b2和b3代入公式(3),得到曲线的表达式P(t)并绘制曲线(图2)以及对应的曲率图(图3)。
实施例二:
设计曲率单调上升的三次均匀B样条曲线,结果如图4和图5所示。
(1)给定初始矢量V1=(1,0,0),且有V1=b1b2;
(2)给定B样条曲线的缩放因子s=0.5、旋转角度θ=π/6以及旋转轴T=(0,0,1),因为符合s≤cosθ(s<1)的条件;
(3)根据公式(1)求得
(4)将b0、b1、b2和b3代入公式(3),得到曲线的表达式P(t)并绘制曲线(图4)以及对应的曲率图(图5)。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已,并不用以限制本发明,凡在本发明的精神和原则之内,所作的任何修改、等同替换、改进等,均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,包括以下步骤:
步骤S1:给定三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V1;
步骤S2:给定所述B样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴T;
步骤S3:根据所述B样条曲线的中间控制边矢量V1、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴T,分别计算得到所述三次均匀B样条曲线初始控制边矢量V0和结尾控制边矢量V2;
步骤S4:根据所述三次均匀B样条曲线对应的三条控制边矢量V0,V1,V2,计算得到所述三次均匀B样条曲线的控制顶点与曲线表达式。
2.根据权利要求1所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,所述步骤S1中,所述三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V1为任意的非零矢量,即满足:
||V1||>0
其中,符号“|| ||”表示矢量的长度。
3.根据权利要求1所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,所述步骤S2中,所述三次均匀B样条曲线的旋转轴T满足以下条件:
T≠αV1
其中α为任意实数。
4.根据权利要求2所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,所述步骤S2中,所述三次均匀B样条曲线的尺度系数s为不等于1的正实数,且s和旋转角度θ满足以下条件:
s*cosθ≥1(s>1)
5.根据权利要求2所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,所述步骤S2中,所述三次均匀B样条曲线的尺度系数s为不等于1的正实数,且s和旋转角度θ满足以下条件:
s≤cosθ(0<s<1)
6.根据权利要求4或5所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,所述步骤S3中,所述三次均匀B样条曲线对应的控制边矢量V0,V2的具体表达式为:
V2=2sRθV1-V1 (2)
其中,Rθ为绕旋转轴T逆时针旋转θ角的旋转矩阵,R-θ为绕旋转轴T逆时针旋转-θ角的旋转矩阵,s是不等于1的正实数,V1是任意给定的非零中间控制边矢量。
7.根据权利要求6所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法,其特征在于,所述步骤S4中,所述B样条曲线的表达式,记为P(t):
其中,bi(i=0,1,2,3)为所述B样条曲线的控制顶点,且满足bibi+1=Vi(i=0,1,2);Ni,3(i=0,1,2,3)为B样条基函数。
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