CN109783964B - 一种基于曲率单调变化的三次均匀b样条曲线设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，主要步骤为：给定三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁；给定所述三次均匀B样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴T；根据所述三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴T，分别计算得到所述三次均匀B样条曲线初始控制边矢量V₀和结尾控制边矢量V₂；根据所述三次均匀B样条曲线对应的三条控制边矢量V₀,V₁,V₂，计算得到所述三次均匀B样条曲线的控制顶点与曲线表达式。本发明通过给定三次均匀B样条的初始条件，控制其缩放因子和旋转角度，克服了传统方法中难以保证三次均匀B样条曲线的曲率单调变化的缺陷，实现了曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法。

Description

一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法，属于计算机辅助几何设计(CAGD)与计算机图形学领域。

背景技术

曲线的曲率能够反映曲线在一点处的弯曲程度，是曲线的固有属性。由于曲率具有仿射不变性，目前其在模式识别领域应用广泛。曲线的光顺性对于曲线的外形及性质具有重要影响，而曲线的曲率分布则是评价曲线光顺性的重要指标，通常认为具有较少曲率单调变化段的曲线具有较好的光顺性。在工业设计中，对于产品外形的光顺性要求较高，因此设计曲率单调变化的曲线段具有较高的应用前景。

B样条曲线是CAGD领域最为通用的一种曲线，其优良的几何性质使其成为几何建模的首要选择。目前，对于三次均匀B样条曲线光顺性的研究，主要集中在如何在给定B样条曲线的基础上，对其进行光顺性优化，然而无法保证曲率的单调变化，对于如何设计曲率单调变化的三次均匀B样条，目前仍没有相关技术与方法。

发明内容

针对相关技术中的上述技术问题，本发明提出一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，改善现有技术的上述缺陷。通过对曲率单调变化的B样条曲线的设计，可以将其应用于计算机辅助设计、轨道交通过渡路径设计、艺术曲线设计等领域。

为实现上述技术目的，本发明的技术方案包括以下步骤：

步骤S1：给定三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁；

步骤S2：给定所述三次均匀B样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴T；

步骤S3：根据所述三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴T，分别计算得到所述三次均匀B样条曲线初始控制边矢量V₀和结尾控制边矢量V₂；

步骤S4：根据所述三次均匀B样条曲线对应的三条控制边矢量V₀,V₁,V₂，计算得到所述三次均匀B样条曲线的控制顶点与曲线表达式。

其中，在步骤S1中，中间控制边矢量V₁可选取任意的非零矢量，即||V₁||>0且方向任意，其中，符号“|| ||”表示矢量的模。

在步骤S2中，选取的旋转轴T应不与中间控制边矢量V₁平行，即T≠αV₁，其中α为任意实数。

进一步地，在步骤S2中，选取的缩放因子s为不等于1的正实数，且s和旋转角度θ应满足以下关系：

s*cosθ≥1(s>1)或s≤cosθ(0<s<1)

其中，当s>1时，三次均匀B样条曲线P(t)的曲率

(t∈[0,1])单调下降；当s<1时，曲率κ(t)单调增加。其中，P(t)为所述三次均匀B样条曲线，P'(t)是其对应的一阶导矢，P”(t)是其二阶导矢，|| ||表示矢量的模。

进一步地，在步骤S3中，所求三次均匀B样条曲线的初始控制边矢量V₀和结尾控制边矢量V₂的具体表达式分别为：

V₂＝2sR_θV₁-V₁ (2)

其中，R_θ为绕旋转轴T逆时针旋转θ角的旋转矩阵，R_-θ为绕旋转轴T逆时针旋转-θ角的旋转矩阵，s是不等于1的正实数，V₁是任意给定的非零中间控制边矢量。

进一步地，在步骤S4中，所述三次均匀B样条的控制边矢量V_i(i＝0,1,2)与其控制顶点b_i(i＝0,1,2,3)之间满足b_ib_i+1＝V_i(i＝0,1,2)，由此可计算得到所述三次均匀B样条的全部控制顶点。

进一步地，可得所述三次均匀B样条曲线P(t)的表达式为：

其中，N_i,3(t)(i＝0,1,2,3)为三次均匀B样条曲线的基函数。

本发明的有益效果：区别于现有技术，本发明通过给定三次均匀B样条的初始条件，控制其缩放因子和旋转角度，克服了传统方法中难以保证三次均匀B样条曲线的曲率单调变化的缺陷，实现了曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是根据本发明实施例的曲率单调变化的三次均匀B样条曲线的设计方法流程图；

图2是根据本发明实施例的曲率单调下降的三次均匀B样条曲线的设计示意图；

图3是根据本发明实施例的曲率单调下降的三次均匀B样条曲线的二维曲率图；

图4是根据本发明实施例的曲率单调上升的三次均匀B样条曲线的设计示意图；

图5是根据本发明实施例的曲率单调上升的三次均匀B样条曲线的二维曲率图；

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例一：

设计曲率单调下降的三次均匀B样条曲线，结果如图2和图3所示。

(1)给定初始矢量V₁＝(1,0,0)，且有V₁＝b₁b₂；

(2)给定B样条曲线的缩放因子s＝2、旋转角度θ＝π/4以及旋转轴T＝(0,1,0)，因为

符合s*cosθ≥1(s>1)的条件；

(3)由公式(1)、(2)可得

且有V₀＝b₀b₁和V₂＝b₂b₃，可得b₀和b₃的坐标；

(4)将b₀、b₁、b₂和b₃代入公式(3)，得到曲线的表达式P(t)并绘制曲线(图2)以及对应的曲率图(图3)。

实施例二：

设计曲率单调上升的三次均匀B样条曲线，结果如图4和图5所示。

(1)给定初始矢量V₁＝(1,0,0)，且有V₁＝b₁b₂；

(2)给定B样条曲线的缩放因子s＝0.5、旋转角度θ＝π/6以及旋转轴T＝(0,0,1)，因为

符合s≤cosθ(s<1)的条件；

(3)根据公式(1)求得

(4)将b₀、b₁、b₂和b₃代入公式(3)，得到曲线的表达式P(t)并绘制曲线(图4)以及对应的曲率图(图5)。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1：给定具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁；

步骤S2：给定所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴T；

步骤S3：根据所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴T，分别计算得到所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线初始控制边矢量V₀和结尾控制边矢量V₂；

所述步骤S3中，所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线对应的控制边矢量V₀,V₂的具体表达式为：

V₂＝2sR_θV₁-V₁(2)

其中，R_θ为绕旋转轴T逆时针旋转θ角的旋转矩阵，R_-θ为绕旋转轴T逆时针旋转-θ角的旋转矩阵，s是不等于1的正实数，V₁是任意给定的非零中间控制边矢量；

步骤S4：根据所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线对应的三条控制边矢量V₀,V₁,V₂，计算得到所述三次均匀B样条曲线的控制顶点与曲线表达式；

所述步骤S4中，所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的表达式，记为P(t)：

其中，b_i(i＝0,1,2,3)为所述B样条曲线的控制顶点，且满足b_ib_i+1＝V_i(i＝0,1,2)；N_i,3(i＝0,1,2,3)为B样条基函数。

2.根据权利要求1所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤S1中，所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的中间控制边矢量V₁为任意的非零矢量，即满足：

||V₁||>0

其中，符号“||||”表示矢量的长度。

3.根据权利要求1所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的旋转轴T满足以下条件：

T≠αV₁

其中α为任意实数。

4.根据权利要求2所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的尺度系数s为不等于1的正实数，且s和旋转角度θ满足以下条件：

s*cosθ≥1(s>1)。

5.根据权利要求2所述的基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，所述具有曲线外形产品的三次均匀B样条曲线的尺度系数s为不等于1的正实数，且s和旋转角度θ满足以下条件：

s≤cosθ(0<s<1)。

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